角平分线练习题(答案)
2022年北师大版八下《角平分线》配套练习(附答案)
TQ PN MOED CBA1.4 角平分线 第1课时 角平分线一、选择题1．在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，AD=3，AB=4，那么D到BC 的距离是〔 〕 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6〔第1题〕 〔第2题〕2．如图，MP ⊥NP ，MQ 为△NMP 的角平分线，MT ＝MP ，连结TQ ，那么以下结论不正确的选项是〔 〕〔A 〕TQ ＝PQ ． 〔B 〕∠MQT ＝∠MQP ．〔C 〕∠QTN ＝90o． 〔D 〕∠NQT ＝∠MQT ． 3．如图，AB ＝AC ，AE ＝AD ，那么①△ABD ≌△ACE ；②△BOE ≌△COD ；③O 在∠BAC 的平分线上，以上结论〔 〕〔A 〕都正确． 〔B 〕都不正确． 〔C 〕只有一个正确． 〔D 〕只有一个不正确．〔第3题〕 〔第4题〕4．：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD 为∠ABC 的平分线，∠BDC ＝60o，那么∠A 的度数是〔 〕 〔A 〕10o． 〔B 〕20o． 〔C 〕30o． 〔D 〕40o． 5．如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是〔 〕 〔A 〕直角三角形． 〔B 〕等腰三角形． 〔C 〕等边三角形． 〔D 〕等腰直角三角形． 6．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，M 为AD 上任意一点，那么以下结论错误的选项是〔 〕〔A 〕DE ＝DF ． 〔B 〕ME ＝MF ． 〔C 〕AE ＝AF ． 〔D 〕BD ＝DC ．DCBAMF ED CB AFEDCBAFEAFE DCBA7．：如图，BE 、CF 是△ABC 的角平分线，BE 、CF 相交于D ，∠A ＝50o ，那么∠BDC 的度数是〔 〕 〔第6题〕〔A 〕70o． 〔B 〕120o． 〔C 〕115o． 〔D 〕130o．二、填空题 8．到一个角的两边距离相等的点在 ．9．直角三角形中，两锐角的角平分线所成的锐角等于 ．10．如以下图，AB ∥CD ，O 为∠A 、∠C 的角平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE=2，那么两平行线间AB 、CD 的距离等于 .11.△ABC 中，AD 是角平分线，AB=5，AC=3，且S △ADC =6，那么S △ABD = .三、解答题12．如图，BD ＝CD ，BF ⊥AC ，CE ⊥AB ．求证：D 在∠BAC 的角平分线上．13．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，点D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E ，F 为垂足，求证：D 在∠BAC 的角平分线上．ONM PC BA ABCDENM E DC BA14．：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90o，AC ＝BC ,AD 为∠BAC 的平分线，AE ＝BC ，DE ⊥AB 垂足为E ，求证△DBE 的周长等于AB ．15．如图，PA ⊥ON 于A ，PB ⊥OM 于B ，且PA ＝PB ．∠MON ＝50o，∠OPC ＝30o，求∠PCA 的大小．16．如图，AE 平分∠BAC ，BD ＝DC ，DE ⊥BC ，EM ⊥AB ，EN ⊥AC ．求证：BM ＝CN ．AB C DF NPM17．：如图，PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 与∠NCA 的平分线，它们交于P ，PD ⊥BM 于M ，PF ⊥BN 于F ．求证：BP 为∠MBN 的平分线．第1课时 三角形的全等和等腰三角形的性质 一．选择题〔共8小题〕 1．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 在BC 上，连接AD 、AE ，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，那么添加的条件不能为〔 〕A ． BD=CEB ． AD=AEC ． DA=DED ． BE=CD2．等腰三角形的一个角是80°，那么它顶角的度数是〔 〕A ． 80°B ． 80°或20°C ． 80°或50°D ． 20°3．实数x ，y 满足，那么以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是〔 〕A ． 20或16B ． 20C ． 16D ． 以上答案均不对 4．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，BD 为∠ABC 的平分线，那么∠BDC 的度数是〔 〕 A ． 60° B ． 70° C ． 75° D ． 80°5．等腰三角形的两边长分别是3和5，那么该三角形的周长是〔 〕 A ． 8 B ． 9 C ． 10或12 D ． 11或13 6.如图，给出以下四组条件：①AB DE BC EF AC DF ===，，；②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，； ③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，；④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，．△≌△的条件共有〔〕其中，能使ABC DEFA．1组 B．2组C．3组 D．4组7．在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个局部，那么这个等腰三角形的底边长为〔〕A． 7 B．11 C． 7或11 D． 7或108．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，那么顶角的度数为〔〕A．60°B．120° C．60°或150° D．60°或120°二．填空题〔共10小题〕9．等腰三角形的一个内角为80°，那么另两个角的度数是_________ ．10．如图，AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，那么∠ACD=_________ ．第10题第11题第12题第13题11．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外角∠DAC=130°，那么∠B=_________ °．12．如图，AB∥CD，AE=AF，CE交AB于点F，∠C=110°，那么∠A=________°．13．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，那么BD=_________ ．14．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=32°，那么∠BAC=_________°．第14题第15题第16题第17题第18题15.如图，AB与CD交于点O，OA＝OC，OD＝OB，∠A=50°，∠B＝30°，那么∠D的度数为_____.16．如图，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，那么∠BDC的度数为_________．17．如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，∠BAD=20°，那么∠C=_________ ．18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，E，F，P分别是AB，AC，BC边上一点，且BE=BP，CP=CF，那么∠EPF=_________ 度．三．解答题〔共5小题〕19．：如图，在等腰△ABC中，AB=AC，O是底边BC上的中点，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．求证：AD=AE．20．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．求证：〔1〕△ABD≌△ACD；〔2〕BE=CE．21．如下图，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE 和AB的位置关系，并给出证明．22．如图，在△ABC中，D、E分别是AC和AB上的点，BD与CE相交于点O，给出以下四个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．〔1〕上述四个条件中，由哪两个条件可以判定AB=AC？〔用序号写出所有的情形〕〔2〕选择〔1〕小题中的一种情形，说明AB=AC．23．〔1〕如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．判断DE=DB+EC是否成立？为什么？〔2〕如图，假设点F是∠ABC的平分线和外角∠ACG的平分线的交点，其他条件不变，请猜测线段DE、DB、EC之间有何数量关系？证明你的猜测．参考答案一、CBBCDCCD二、9、50°，50°或80°，20°；10、44；11、65；12、40；13、3；14、69；15、30°；16、72；17、70；18、50三、19、证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴∠ODB=∠OEC=90°．∵O是底边BC上的中点，∴OB=OC，在△OBD与△OCE中，∴△OBD≌△OCE〔AAS〕．∴BD=CE．∵AB=AC，∴AB﹣BD=AC﹣CE．即AD=AE．20、证明：〔1〕∵D是BC的中点，∴BD=CD，在△A BD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD〔SSS〕；…〔4分〕〔2〕由〔1〕知△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，即∠BAE=∠CAE，在△ABE和△ACE中，∴△ABE≌△ACE 〔SAS〕，∴BE=CE〔全等三角形的对应边相等〕．〔其他正确证法同样给分〕…〔4分〕21、解：OE⊥AB．证明：在△B A C和△ABD中，，∴△BAC≌△ABD〔SAS〕．∴∠OBA=∠OAB，∴OA=OB．又∵AE=BE，∴OE⊥AB．答：OE⊥AB．22、〔1〕答：有①③、①④、②③、②④共4种情形．〔2〕解：选择①④，证明如下：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，又∵∠EBO=∠DCO，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，∴AC=AB．②④理由是：在△BEO和△CDO中∵，∴△BEO≌△CDO，∴∠EBO=∠DCO，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，23、解：〔1〕成立；∵△ABC中BF、CF平分∠ABC、∠ACB，∴∠1=∠2，∠5=∠4．∵DE∥BC，∴∠2=∠3，∠4=∠6．∴∠1=∠3，∠6=∠5．根据在同一个三角形中，等角对等边的性质，可知：BD=DF，EF=CE．∴DE=DF+EF=BD+CE．故成立．〔2〕∵BF分∠ABC，∴∠DBF=∠FBC．∵DF∥BC，∴∠DFB=∠FBC．∴∠ABF=∠DFB，∴BD=DF．∵CF平分∠AC G，∴∠ACF=∠FCG．∵DF∥BC，∴∠DFC=∠FCG．∴∠ACF=∠DFC，∴CE=EF．∵EF+DE=DF，即DE+EC=BD．。
利用角平分线性质解决问题练习题
利用角平分线性质解决问题练习题角平分线是初中数学中一个重要的概念，它有着广泛的应用。
在解决一些几何问题时，我们可以利用角平分线的性质来简化计算，提高解题效率。
下面我将给出一些角平分线的问题练习题并逐一解答。
1. 题目：在三角形ABC中，角A的角平分线交BC边于点D，若AB=AC，AD=5cm，BD=3cm，求BC的长度。
解析：根据角平分线的性质，我们知道BD/DC = AB/AC。
代入已知条件，可得3/DC = 1，解得DC=3cm。
由此可以知道，BC = BD+DC = 3+3 = 6cm。
2. 题目：在平行四边形ABCD中，角A的角平分线交BC边于点E，若AB=8cm，AD=10cm，BE=6cm，求CE的长度。
解析：由于平行四边形的特性，我们可以得知AE=AD=10cm。
根据角平分线的性质，可以得到BE/EC = AB/AC，代入已知条件可得6/EC = 8/(10+AC)，解得EC=16cm。
因此，CE的长度为16cm。
3. 题目：在正方形ABCD中，角A的角平分线交BC边于点E，知AE=5cm，求BE的长度。
解析：由于正方形的特性，我们知道BE=BC。
根据角平分线的性质，我们可以得到AE/EC = AB/AC，即5/EC = 1。
解得EC=5cm，因此BE也等于5cm。
4. 题目：在三角形ABC中，角A的角平分线交BC边于点D，且AD=BD，若AC=6cm，BD=2cm，求AB的长度。
解析：根据角平分线的性质，我们知道BD/DC = AB/AC。
代入已知条件可得2/DC = AB/6。
由于AD=BD，即DC=2cm。
代入可得2/2 = AB/6，解得AB=6cm。
5. 题目：在梯形ABCD中，AB∥DC，角BAD的角平分线交BC边于点E，若BE=6cm，ED=9cm，求CD的长度。
解析：根据梯形的特性，我们可以得知AD∥BC。
根据角平分线的性质，可以得到BE/EC = BA/AD。
代入已知条件可得6/EC =AB/(AD+ED)，即6/EC = BA/CD。
角平分线模型对应练习(含答案)
角平分线模型对应练习1．如图，在ABC 中，ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于D 点，50A ∠=，则(D ∠= ) A ．1?5B ． 25C ． 30D ． 302．如图，BA 1和CA 1分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，BA 2是△A 1BD 的角平分线CA 2是△A 1CD 的角平分线，BA 3是A 2BD△的角平分线，CA 3是△A 2CD 的角平分线，若△A 1=α，则△A 2013为（ ） A ．B ．C ．D ．3．如图，在∆ABC 中，∠A=80︒，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2；……；∠A 7BC 与∠A 7CD 的平分线相交于点A 8，得∠A 8，则∠A 8的度数为（） A ．54B ．58C ．516D ．5324．如图，已知BD ，CD 分别是ABC ∠和ACE ∠的角平分线，若45A ∠=︒，则D ∠的度数是( ) A ．20 B ．22.5 C ．25 D ．305．已知，如图△ABC 中，△A=50°，BE 、CD 分别是△ABC 、△BCE 的角平分线，则△CDE=__°.6．如图，在△ABC 中，△ABC ，△ACB 的角平分线相交于O 点． 如果△A=α，那么△BOC 的度数为____________.7．如图，在△ABC 中，BO 、CO 分别平分△ABC 、△ACB ．若△BOC=110°，则△A=_____．8．如图，在△ABC 中，AI 和CI 分别平分△BAC 和△BCA ，如果△B=58°，那么△AIC=____________．9．如图，在△ABC 中，△B ＝42°，△ABC 的外角△DAC 和△ACF 的平分线交于点E ，则△AEC ＝____________．10．如图，在ABC 中，B ∠，C ∠的外角平分线相交于点O ，若74A ∠=，则O ∠=________度．11．如图，ABC 中，100A ∠=，BI 、CI 分别平分ABC ∠，ACB ∠，则BIC ∠=________，若BM 、CM 分别平分ABC ∠，ACB ∠的外角平分线，则M ∠=________．12．如图，ABC 中，30B ∠=︒，三角形的外角DAC ∠和ACF ∠的平分线交于点E ，则AEC ∠的度数为________．13．已知：如图1，线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、CB ，我们把形如图1的图形称之为“8字形”． 在图2中，△DAB 和△BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD 、AB 分别相交于M 、N ．若△DAO=50°，△OCB=40°，△P=35°，△D = _________参考答案1．B【解析】【分析】根据角平分线的定义和三角形的外角的性质即可得到△D＝12△A.【详解】解：△△ABC的平分线与△ACB的外角平分线相交于D点，△1＝12△ACE，△2＝12△ABC，又△D＝△1－△2，△A＝△ACE－△ABC，△△D＝12△A＝25°.故选B【点睛】此题综合考查了三角形的外角的性质以及角平分线定义，熟练掌握这些知识是解答此题的关键.2．D【详解】试题分析：根据角平分线的定义可得△A1BC=△ABC，△A1CD=△ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得△ACD=△A+△ABC，△A1CD=△A1BC+△A1，整理即可得解，同理求出△A2，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解．解：△A1B是△ABC的平分线，A1C是△ACD的平分线，△△A1BC=△ABC，△A1CD=△ACD，又△△ACD=△A+△ABC，△A1CD=△A1BC+△A1，△（△A+△ABC）=△ABC+△A1，△△A1=△A，△△A1=α．同理理可得△A2=△A1=α则△A 2013=．故选D ．点评：本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质然后推出后一个角是前一个角的一半是解题的关键． 3．C 【详解】△△ABC 与△ACD 的平分线交于点A 1， △△A 1BC=12△ABC ，△A 1CD=12△ACD ， 由三角形的外角性质，△ACD=△A+△ABC ， △A 1CD=△A 1+△A 1BC ，△12（△A+△ABC ）=△A 1+△A 1BC=△A 1+12△ABC ， 整理得，△A 1=12△A=12×80°=40°，同理可得△A 2=12△A 1=12×40°=20°；……其规律为：△A n =（12）n △A=(802n )o ． 当n=8时，∠A 8=（12）3△A=(8802)o ＝（516）o .故选C. 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质与定义并求出后一个角是前一个角的12是解题的关键． 4．B 【分析】由外角关系与角平分线定义得2321A ∠=∠+∠和31D ∠=∠+∠可推出2A D ∠=∠即可． 【详解】解：1∠，2∠，3∠，4∠如图所示，△BD 是ABC ∠的角平分线， △12∠=∠，△CD 是ACE ∠的角平分线， △ 34∠=∠，△ 3412A ∠+∠=∠+∠+∠，31D ∠=∠+∠， △ 2321A ∠=∠+∠，23212D ∠=∠+∠， △ 2A D ∠=∠， △ 45A ∠=， △ 14522.52D ∠=⨯=． 故选择：B ． 【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形的外角的性质，掌握角平分线的定义，三角形的外角的性质，会利用外角构造等式解决问题是关键． 5．65 【解析】试题分析：根据三角形内角和定理可得：△ABC+△ACB=180°-50°=130°，根据角平分线的性质可得：△DBC+△DCB=130°÷2=65°，则根据三角形的外角的性质可得：△CDE=△DBC+△DCB=65°． 6．90°+12α 【解析】△△ABC 、△ACB 的角平分线相交于点O ，△△OBC=12△ABC ，△OCB=12△ACB ， △△OBC+△OCB=12(△ABC+△ACB)=12(180°-△A)=90°-12△A ，△在△OBC 中，△BOC=180°-△OBC -△OCB ，△△BOC=180°-（90°-12△A）=90°+12△A=90°+12.7．40°【分析】先根据角平分线的定义得到△OBC=12△ABC，△OCB=12△ACB，再根据三角形内角和定理得△BOC+△OBC+△OCB=180°，则△BOC=180°﹣12（△ABC+△ACB），由于△ABC+△ACB=180°﹣△A，所以△BOC=90°+12△A，然后把△BOC=110°代入计算可得到△A的度数．【详解】解：△BO、CO分别平分△ABC、△ACB，△△OBC=12△ABC，△OCB=12△ACB，而△BOC+△OBC+△OCB=180°，△△BOC=180°﹣（△OBC+△OCB）=180°﹣12（△ABC+△ACB），△△A+△ABC+△ACB=180°，△△ABC+△ACB=180°﹣△A，△△BOC=180°﹣12（180°﹣△A）=90°+12△A，而△BOC=110°，△90°+12△A=110°△△A=40°．故答案为40°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．8．119°【详解】试题分析：根据△B=58°以及△ABC的内角和定理可得△BAC+△BCA=180°－58°=122°，根据角平分线的性质可得：△IAC+△ICA=122°÷2=61°，则根据△IAC的内角和定理可得：△AIC=180°－61°=119°.考点：(1)、角平分线的性质；(2)、三角形内角和定理9．69°．【解析】试题分析：△AEC＝180°-△EAC-△ECA，因为△ABC的外角△DAC和△ACF的平分线交于点E，所以△EAC=12△DAC，△ECA=12△ACF，所以△AEC＝180°-12△DAC-12△ACF=12（360°-△DAC-△ACF）=12（180°-△DAC+180°-△ACF）=12（△BAC+△ACB）=12(180°-△B)=69°.10．53【解析】【分析】根据三角形的内角和定理，得△ACB+△ABC=180°-74°=106°；再根据邻补角的定义，得两个角的邻补角的和是360°-106°=254°；再根据角平分线的定义，得△OCB+△OBC=127°；最后根据三角形的内角和定理，得△O=53°．【详解】解：△△A=74°，△△ACB+△ABC=180°-74°=106°，△△BOC=180°-12（360°-106°）=180°-127°=53°．故答案为53【点睛】此题综合运用了三角形的内角和定理以及角平分线定义．注意此题中可以总结结论：三角形的相邻两个外角的角平分线所成的锐角等于90°减去第三个内角的一半，即△BOC=90°-1 2△A．11．14040【解析】【分析】首先根据三角形内角和求出△ABC+△ACB的度数，再根据角平分线的性质得到△IBC=1 2△ABC，△ICB=12△ACB，求出△IBC+△ICB的度数，再次根据三角形内角和求出△I的度数即可；根据△ABC +△ACB 的度数，算出△DBC +△ECB 的度数，然后再利用角平分线的性质得到△1=12△DBC ，△2=12ECB ，可得到△1+△2的度数，最后再利用三角形内角和定理计算出△M 的度数． 【详解】 △△A =100°．△△ABC +△ACB =180°﹣100°=80°． △BI 、CI 分别平分△ABC ，△ACB ，△△IBC =12△ABC ，△ICB =12△ACB ，△△IBC +△ICB =12△ABC +12△ACB =12（△ABC +△ACB ）=12×80°=40°，△△I =180°﹣（△IBC +△ICB ）=180°﹣40°=140°；△△ABC +△ACB =80°，△△DBC +△ECB =180°﹣△ABC +180°﹣△ACB =360°﹣（△ABC +△ACB ）=360°﹣80°=280°．△BM 、CM 分别平分△ABC ，△ACB 的外角平分线，△△1=12△DBC ，△2=12ECB ，△△1+△2=12×280°=140°，△△M =180°﹣△1﹣△2=40°． 故答案为：140°；40°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，以及角平分线的性质，关键是根据三角形内角和定理计算出△ABC +△ACB 的度数． 12．75︒ 【分析】本题先通过三角形内角和求解△BAC 与△BCA 的和，继而利用邻补角以及角分线定义求解△EAC 与△ECA 的和，最后利用三角形内角和求解此题． 【详解】 △30B ∠=︒，△+150BAC BCA ∠∠=︒，又△180BAC DAC ︒∠=-∠，=180BCA FCA ∠-∠︒， △210DAC FCA ∠+∠=︒．△三角形的外角DAC ∠和ACF ∠的平分线交于点E ， △12EAC DAC ∠=∠，12ECA ACF ∠=∠， △+105EAC ECA ∠∠=︒， 即18010575AEC ∠=︒-︒=︒． 故填：75︒． 【点睛】本题考查三角形内角和公式以及角分线和邻补角的定义，难度较低，按照对应考点定义求解即可． 13．30° 【解析】△△DAB 和△BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，△DAO=50°，△OCB=40°， △△DAP=△PAB=25°，△DCP=△PCB=20°，在△DAM 和△PCM 中，根据三角形的内角和定理可得△DAM+△D=△DCP+△P ，即可求得△D=30°.点睛：本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键．。
三角形中线高角平分线的专项练习30题(有答案)ok
三角形高中线角平分线专项练习30题（有答案）1．如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F．（1）试说明∠BCD=∠ECD；（2）请找出图中所有与∠B相等的角（直接写出结果）．2．如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，（1）∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED的度数；（2）在△BED中作BD边上的高；（3）若△ABC的面积为60，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？3．在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABD和△ADC的周长之差为4（AB＞AC），AB与AC的和为14，求AB和AC的长．4．如图△ABC中，∠A=20°，CD是∠BCA的平分线，△CDA中，DE是CA边上的高，又有∠EDA=∠CDB，求∠B的大小．5．△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E．（1）∠B=30°，∠C=70°，求∠EAD的大小．（2）若∠B＜∠C，则2∠EAD与∠C﹣∠B是否相等？若相等，请说明理由．6．在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=20°，∠C=60°，求∠CAD和∠DAE的度数．7．在△ABC中．（1）若∠A=60°，AB、AC边上的高CE、BD交于点O．求∠BOC的度数．（如图）（2）若∠A为钝角，AB、AC边上的高CE、BD所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量∠BAC+∠BOC= _________°，再用你已学过的数学知识加以说明．（3）由（1）（2）可以得到，无论∠A为锐角还是钝角，总有∠BAC+∠BOC=_________°．8．在△ABC中，已知∠ABC=60°，∠ACB=50°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点．求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．9．如图，△ACB中，∠ACB=90°，∠1=∠B．（1）试说明CD是△ABC的高；（2）如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD的长．10．如图，已知△ABC的高AD，角平分线AE，∠B=26°，∠ACD=56°，求∠AED的度数．11．如图，△ABC中，∠ABC=40°，∠C=60°，AD⊥BC于D，AE是∠BAC的平分线．（1）求∠DAE的度数；（2）指出AD是哪几个三角形的高．12．如图，在△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．13．如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=20°，AD为△ABC的高，AE为角平分线（1）求∠EAD的度数；（2）寻找∠DAE与∠B、∠C的关系并说明理由．14．如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=40°，求∠ADB的度数．15．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，（1）若∠B=47°，∠C=73°，求∠DAE的度数．（2）若∠B=α°，∠C=β°（α＜β），求∠DAE的度数（用含α、β的代数式表示）16．如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠B=60°，∠C=45°，求∠ADB和∠ADC的度数．17．已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．18．如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．（3）．如图（2）若将点A在AD上移动到A´处，A´E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA´E，（2）中的结论还正确吗？为什么？19．如图，已知△ABC的周长为21cm，AB=6cm，BC边上中线AD=5cm，△ABD周长为15cm，求AC长．20．我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，如图，若△ABC的三条内角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E．（1）请你通过画图、度量，填写右上表（图画在草稿纸上，并尽量画准确）（2）从上表中你发现了∠BIC与∠BDI之间有何数量关系，请写出来，并说明其中的道理．∠BAC的度数40°60°90°120°∠BIC的度数∠BDI的度数21．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA 的度数．22．如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，填空：（1）BE=_________=_________（2）∠BAD=__________________（3）∠AFB=_________=90°（4）S△ABC =_________S△ABE．23．如图，BM是△ABC的中线，AB=5cm，BC=3cm，那么△ABM与△BCM的周长是差是多少？24．在△ABC中，AB=AC，AD是中线，△ABC的周长为34cm，△ABD的周长为30cm，求AD的长．25．如图，在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，三角形ABD的周长比三角形ACD的周长小5，你能求出AC与AB的边长的差吗？26．如图，在△ABC中，AC=AB，AD是BC边上的中线，则AD⊥BC，请说明理由．27．如图，∠BAD=∠CAD，则AD是△ABC的角平分线，对吗？说明理由．28．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC的长．29．如图所示，AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线，已知DE=2cm，求BD，BE，BC的长．30．如图所示，AD是△ABC的中线，AB=6cm，AC=5cm，求△ABD和△ADC的周长的差．参考答案：1．（1）∵∠B=70°，CD ⊥AB 于D ，∴∠BCD=90°﹣70°=20°，在△ABC 中，∵∠A=30°，∠B=70°，∴∠ACB=180°﹣30°﹣70°=80°，∵CE 平分∠ACB ，∴∠BCE=∠ACB=40°，∴∠ECD=∠BCE ﹣∠BCD=40°﹣20°=20°，∴∠BCD=∠ECD ；（2）∵CD ⊥AB 于D ，DF ⊥CE 于F ，∴∠CED=90°﹣∠ECD=90°﹣20°=70°，∠CDF=90°﹣∠ECD=90°﹣20°=70°，所以，与∠B 相等的角有：∠CED 和∠CDF ．2．（1）∵∠BED 是△ABE 的一个外角，∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+35°=50°．（2）如图所示，EF 即是△BED 中BD 边上的高．（3）∵AD 为△ABC 的中线，BE 为三角形ABD 中线，∴S △BED =S △ABC =×60=15；∵BD=5，∴EF=2S △BED ÷BD=2×15÷5=6，即点E 到BC 边的距离为6．3．∵AD 是BC 边上的中线，∴BD=CD ，∴△ABD 的周长﹣△ADC 的周长=（AB+AD+BD ）﹣（AC+AD+CD ）=AB ﹣AC=4，（2分）即AB ﹣AC=4①，又AB+AC=14②，①+②得．2AB=18，解得AB=9，②﹣①得，2AC=10，解得AC=5，∴AB 和AC 的长分别为：AB=9，AC=5．4．∵DE 是CA 边上的高，∴∠DEA=∠DEC=90°，∵∠A=20°，∴∠EDA=90°﹣20°=70°，∵∠EDA=∠CDB ，∴∠CDE=180°﹣70°×2=40°，在Rt △CDE 中，∠DCE=90°﹣40°=50°，∵CD 是∠BCA 的平分线，∴∠BCA=2∠DCE=2×50°=100°，在△ABC 中，∠B=180°﹣∠BCA ﹣∠A=180°﹣100°﹣20°=60°．故答案为：605．（1）∵∠B=30°，∠C=70°∴∠BAC=180°﹣∠B ﹣∠C=80°∵AE 是角平分线，∴∠EAC=∠BAC=40°∵AD 是高，∠C=70°∴∠DAC=90°﹣∠C=20°∴∠EAD=∠EAC ﹣∠DAC=40°﹣20°=20°；（2）由（1）知，∠EAD=∠EAC ﹣∠DAC=∠BAC ﹣（90°﹣∠C ）①把∠BAC=180°﹣∠B ﹣∠C 代入①，整理得∠EAD=∠C ﹣∠B ，∴2∠EAD=∠C ﹣∠B ．6．∵AD 是高，∠C=60°，∴∠CAD=90°﹣∠C=90°﹣60°=30°；∵∠B=20°，∠C=60°，∴∠BAC=180°﹣∠B ﹣∠C=180°﹣20°﹣60°=100°，∵AE 是角平分线，∴∠CAE=∠BAC=×100°=50°，∴∠DAE=∠CAE ﹣∠CAD=50°﹣30°=20°．7．（1）∵BD 、CE 分别是边AC ，AB 上的高，∴∠ADB=∠BEC=90°，又∵∠BAC=60°，∴∠ABD=180°﹣∠ADB ﹣∠A=180°﹣90°﹣60°=30°，∴∠BOC=∠EBD+∠BEO=90°+30°=120°；（2）如图所示：∠BAC+∠BOC=180°；理由如下：∵BD 、CE 分别是边AC ，AB 上的高，∴∠ADB=∠BEC=90°，∵∠ABD=180°﹣∠ADB ﹣∠BAD=180°﹣90°﹣∠BAD=90°﹣∠BAD ，∠O=180°﹣∠BEO ﹣∠DBA=90°﹣∠DBA=90°﹣（90°﹣∠BAD ）=∠BAD ，∵∠BAC=180°﹣∠DAB ，∴∠BAC=180°﹣∠O ，∴∠BAC+∠O=180°；（3）由（1）（2）可得∠BAC+∠BOC=180°．8．∵BE是AC上的高，∴∠AEB=90°，∵∠ABC=60°，∠ACB=50°，∴∠A=180°﹣60°﹣50°=70°，∴∠ABE=180°﹣90°﹣70°=20°，∵CF是AB上的高，∴∠AFC=90°，∴∠ACF=180°﹣90°﹣70°=20°，∵∠ABE=20°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=60°﹣20°=40°，∵∠ACF=20°，∠ACB=50°，∴∠BCH=30°，∴∠BHC=180°﹣40°﹣30°=110°．9．（1）∵∠1+∠BCD=90°，∠1=∠B∴∠B+∠BCD=90°∴△BDC是直角三角形，即CD⊥AB，∴CD是△ABC的高；（2）∵∠ACB=∠CDB=90°∴S△ABC=AC•BC=AB•CD，∵AC=8，BC=6，AB=10，∴CD===10.∵∠B=26°，∠ACD=56°∴∠BAC=30°∵AE平分∠BAC∴∠BAE=15°∴∠AED=∠B+∠BAE=41°11．（1）∵AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵∠ABC=40°，∠C=60°，∴∠BAD=50°，∠CAD=30°，∴∠BAC=50°+30°=80°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=40°，∴∠DAE=50°﹣40°=10°．（2）AD是△ABE、△ABD、△ABC、△AED、△AEC、△ADC的高．12．∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣66°﹣54°=60°．又∵BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，∴∠ABE=180°﹣∠BAC﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°．同理，∠ACF=30°，∴∠BHC=∠BEC+∠ACF=90°+30°=120°．13．（1）∵在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠C﹣∠B=180°﹣20°﹣60°=100°，又∵AE为角平分线，∴∠EAB=∠BAC=50°，在直角△ABD中，∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°，∴∠EAD=∠EAB﹣∠BAD=50°﹣30°=20°；（2）根据（1）可以得到：∠EAB=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠C）∠BAD=90°﹣∠B，则∠EAD=∠EAB﹣∠BAD=（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠B）=（∠B﹣∠C）．14．∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，∴∠DAC=∠BAD=30°，∵CE是△ABC的高，∠BCE=40°，∴∠B=50°，∴∠ADB=180°﹣∠B﹣∠BAD=180°﹣30°﹣50°=100°15．（1）∵∠B=47°，∠C=73°，∴∠BAC=180°﹣47°﹣73°=60°，∵AD是△ABC的BC边上的高，∴∠BAD=90°﹣47°=43°，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE=∠BAC=30°，∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=43°﹣30°=13°；（2））∵∠B=α°，∠C=β°，∴∠BAC=180°﹣α°﹣β°，∵AD是△ABC的BC边上的高，∴∠BAD=90°﹣α°，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE=∠BAC=（180°﹣α°﹣β°），∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=90°﹣α°﹣（180°﹣α°﹣β°），=90°﹣α°﹣90°+α°+β°，=（β﹣α）°16．∵∠B=60°，∠C=45°，∴∠BAC=180°﹣60°﹣45°=75°，∵AD为∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=37.5°，在△ABD中，∠ADB=180°﹣∠BAD﹣∠B=82.5°，则∠ADC=180°﹣∠ADB=97.5°．17．∵∠ACB=90°，∴∠1+∠3=90°，∵CD⊥AB，∴∠2+∠4=90°，又∵BE平分∠ABC，∴∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵∠4=∠5，∴∠3=∠5，即∠CFE=∠CEF．18．（1）在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣50°﹣80°=50°；∵AD是角平分线，∴∠DAC=∠BAC=25°；在△ADC中，∠ADC=180°﹣∠C﹣∠DAC=75°；在△ADE中，∠DAE=180°﹣∠ADC﹣AED=15°．（2）∠DAE=180°﹣∠ADC﹣AED=180°﹣∠ADC﹣90°=90°﹣∠ADC=90°﹣（180°﹣∠C﹣∠DAC）=90°﹣（180°﹣∠C ﹣∠BAC）=90°﹣[180°﹣∠C ﹣（180°﹣∠B﹣∠C）]=（∠C﹣∠B）．（3）（2）中的结论仍正确．∠AʹDE=∠B+∠BAD=∠B+∠BAC=∠B+（180°﹣∠B﹣∠C）=90°+∠B ﹣∠C；在△DAʹE中，∠DAʹE=180°﹣∠AʹED﹣∠AʹDE=180°﹣90°﹣（90°+∠B ﹣∠C）=（∠C﹣∠B）．19．∵AB=6cm，AD=5cm，△ABD周长为15cm，∴BD=15﹣6﹣5=4cm，∵AD是BC边上的中线，∴BC=8cm，∵△ABC的周长为21cm，∴AC=21﹣6﹣8=7cm．故AC长为7cm．20．（1）填写表格如下：∠BAC的度数40°60°90°∠BIC的度数110°120°135°∠BDI的度数110°120°135°（2）∠BIC=∠BDI，理由如下：∵△ABC的三条内角平分线相交于点I，∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠BAC）=90+∠BAC；∵AI平分∠BAC，∴∠DAI=∠DAE．∵DE⊥AI于I，∴∠AID=90°．∴∠BDI=∠AID+∠DAI=90°+∠BAC．∴∠BIC=∠BDI．21．∵∠A=50°，∠C=60°∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°，又∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=30°，∵AE、BF是角平分线，∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°，∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAF=5°，∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°，∴∠DAC=30°，∠BOA=120°．故∠DAE=5°，∠BOA=120°．22．（1）∵AE是中线，∴BE=CE=BC，（2）∵AD是角平分线，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC，（3）∵AF是高，∴∠AFB=∠AFC=90°，（4）S△ABC=，S△ABE=，∵BC=2BE，∴S△ABC =2S△ABE，故答案为CE，BC，∠CAD，∠BAC，∠AFC，2 23．∵BM是△ABC的中线，∴MA=MC，∴C△ABM ﹣C△BCM=AB+BM+MA﹣BC﹣CM﹣BM=AB﹣BC=5﹣3=2cm．答：△ABM与△BCM的周长是差是2cm．24．方法1：由题意知：AB+AC+BC=34，AB+AD+BD=30，∵AB=AC，BD=BC，∴②×2得：2AB+2AD+BC=60③，③﹣①得：2AD=26，∴AD=13cm．方法2：∵AB=AC，D是中点，且AB+AC+BC=34，∴BD=BC，AB=（AB+AC），∴AB+BD=（AB+AC）+BC=（AB+AC+BC）=17cm（周长的一半）．∵AB+BD+AD=30cm，AD=30﹣17=13cm．25．能．由题意知：△ABD的周长=AB+BD+AD，△ACD的周长=AC+CD+AD，又因为AD是BC边上的中线，所以BD=CD．∵△ABD的周长比△ACD的周长小5，∴AC+CD+AD﹣（AB+BD+AD）=AC﹣AB=5．即AC与AB的边长的差为526．∵AD是BC边上的中线，∴BD=DC，∵AC=AB，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠ADB=∠ADC，∵∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴AD⊥BC．27．错误．因为AD虽然是线段，但不符合三角形角平分线定义，这里射线AD是∠BAC的平分线．28．∵AD是BC边上的中线，∴D为BC的中点，CD=BD．∵△ADC的周长﹣△ABD的周长=5cm．∴AC﹣AB=5cm．又∵AB+AC=11cm，∴AC=8cm．即AC的长度是8cm．29．∵AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线，∴BD=CD=2DE=4cm，∴BE=BD+DE=6cm，∴BC=2BD=8cm．30．∵AD是△ABC中BC边上的中线，∴BD=DC=BC，∴△ABD和△ADC的周长的差=（AB+BC+AD）﹣（AC+BC+AD）=AB﹣AC=1．。
角平分线(含解析)
A .10cm
B .8cm C .6cm D .9cm
3.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于点 E，S△ABC=8，ED=2，AC=3，则 AB 的
长是（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
4.如图，△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，BD 平分∠ABC 交 AC 于 D，DE⊥BC 于点 E，且 BC=6，则△DEC 的周长是（ ）
∵P 为 BC 的中点，且 DP⊥BC， ∴DB=DC， ∵OD 平分∠MON， ∴DE=DF， 在 Rt△DEB 和 Rt△DFC 中，
， ∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）， ∴∠DCF=∠DBE， ∵∠DBE+∠OBD=180° ∴∠DCF+∠OBD=180°， ∴∠MON+∠BDC=180°， ∵∠MON=50°， ∴∠BDC=130°．
解．
试题解析：
过点 D 作 DF⊥AC 于 F，
∵AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于点 E， ∴DE=DF=2，
∴S△ABC= ×AB×2+ ×3×2=8，
解得 AB=5． 故选 A．
4.答案： C 试题分析： 试题分析：根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 DE=AD，利用“HL”证 明 Rt△ABD 和 Rt△EBD 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AB=AE，然后求 出△DEC 的周长=BC，再根据 BC=6，即可得出答案． 试题解析：∵BD 是∠ABC 的平分线，DE⊥BC，∠A=90°， ∴DE=AD，
在 Rt△ABD 和 Rt△EBD 中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL）， ∴AB=AE， ∴△DEC 的周长=DE+CD+CE =AD+CD+CE， =AC+CE， =AB+CE， =BE+CE， =BC， ∵BC=6， ∴△DEC 的周长是 6； 故选 C．
三角形中线高角平分线的30题(有答案)ok
三角形中线高角平分线的30题(有答案)ok1.在三角形ABC中，角A为30°，角B为70°，CE为角ACB的平分线，CD垂直于AB于点D，DF垂直于CE于点F。
1) 证明角BCD等于角ECD。
2) 找出所有与角B相等的角。
2.在三角形ABC中，AD为中线，BE为三角形ABD的中线。
1) 已知角ABE为15°，角BAD为35°，求角BED的度数。
2) 在三角形BED中，作BD边上的高。
3) 若三角形ABC的面积为60，BD为5，求点E到BC边的距离。
3.在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，已知三角形ABD和三角形ADC的周长之差为4（其中AB＞AC），AB与AC的和为14，求AB和AC的长度。
4.在三角形ABC中，角A为20°，CD为角BCA的平分线，DE为CA边上的高，已知角EDA等于角CDB，求角B的度数。
5.在三角形ABC中，AD⊥BC，AE为角BAC的平分线，已知角B为30°，角C为70°。
1) 求角EAD的度数。
2) 若角B小于角C，是否有2倍角EAD等于角C减去角B？请说明理由。
6.在三角形ABC中，AD为高，AE为角平分线，已知角B为20°，角C为60°，求角CAD和角DAE的度数。
7.在三角形ABC中。
1) 若角A为60°，AB和AC边上的高CE和BD交于点O，求角BOC的度数。
2) 若角A为钝角，AB和AC边上的高CE和BD所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量角BAC加上角BOC的度数，再用已学过的数学知识加以说明。
3) 由(1)和(2)可以得到，无论角A为锐角还是钝角，总有角BAC加上角BOC等于180°。
8.在三角形ABC中，已知角ABC为60°，角ACB为50°，BE为AC上的高，CF为AB上的高，H为BE和CF的交点，求角ABE、角ACF和角BHC的度数。
人教版八年级数学上册《12.3 角平分线性质》培优练习卷(含答案)
人教版2020年八年级数学上册《角平分线性质》培优练习卷一、选择题1.如图，在△ACB中，∠ACB=100°，∠A=20°，D是AB上一点．将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）A．25° B．30° C．35° D．40°2.如图，已知∠AOB．按照以下步骤作图：①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD．②分别以点C，D为圆心，以大于线段OC的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接CE，DE．③连接OE交CD于点M．下列结论中错误的是( )A．∠CEO=∠DEO B．CM=MD C．∠OCD=∠ECD D．S四边形OCED=CD•OE3.如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A.1：1：1B.1：2：3C.2：3：4D.3：4：54.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若BC=7，则AE的长为（）A.4B.5C.6D.75.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF.给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AB=3BF，其中正确的结论共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个6.如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB=6，AC=3，则BE=（）A. 6B. 3C. 2D. 1.57.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于E,且AB=6cm，则△DEB的周长是（）A.6cmB.4cmC.10cmD.以上都不对8.如图，已知OQ平分∠AOB，点P为OQ上任意一点，点N为OA上一点，点M为OB上一点，若∠PNO+∠PMO=180°，则PM和PN的大小关系是（）A.PM＞PNB.PM＜PNC.PM=PND.不能确定9.如图，点P是△ABC外的一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接PB，PC．若PD=PE=PF，∠BAC=70°，则∠BPC的度数为（）A．25°B．30° C．35° D．40°10.如图，在△ABC中，∠A=52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D，∠ABD1与∠ACD1的角平分1线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（）A．56° B．60° C．68° D．94°11.如图所示，在Rt△ABC中，AD是斜边上的高，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点F、E，EG⊥BC于G，下列结论正确的是（）A．∠C=∠ABC B．BA=BG C．AE=CE D．AF=FD12.如图，BD为∠ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD的延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足.下列结论：①∠ABE=∠ACE；②∠BCE+∠BCD=180°；③AE=EC；④BE+BD=2BF，其中正确的是（）A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④二、填空题13.如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，AC=8cm，AE=4cm，则DE的长是．14.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，若AB=18，AC=12，△ABC的面积等于36，则DE= ．15.若△ABC的周长为41 cm，边BC=17 cm，AB<AC，角平分线AD将△ABC的面积分成3：5的两部分，则AB= cm．16.．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，若∠BAC=70°，∠BOC= ．17.如图所示，已知△ABC的周长是18，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，则△ABC的面积是．18.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积为．三、解答题19.如图所示，已知AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：DE=DF．20.如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC.(1)求证：CO平分∠ACD；(2)求证：AB+CD=AC.21.如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)求证：AB+AD=2AE.22.如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B.23.如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC.求证：∠A+∠C=180°．24.（1）如图1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F.①求证：OE=BE；②若△ABC 的周长是25，BC=9，试求出△AEF的周长；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，试探求∠BAC 与∠PAC的数量关系式.参考答案1.D2.答案为：C.3.C4.D5. 答案为：A；6. 答案为：D；7.A．8.C9.C10.A11.B12.答案为：D.13.答案为：3cm．14.答案为：2.4．15.答案为：9;16.答案为：125°．17.答案为：36．18.答案为：6；19.证明：连接AD，在△ACD和△ABD中，，∴△ACD≌△ABD（SSS），∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，∵DE⊥AE，DF⊥AF，∴DE=DF．20.证明：(1)过O点作OE⊥AC于点E.∵∠ABD=90°且OA平分∠BAC∴OB=OE，又∵O是BD中点∴OB=OD，∴OE=OD，∵OE⊥AC，∠D=90°∴点O在∠ACD 的角平分线上∴OC平分∠ACD.(2)在Rt△ABO和Rt△AEO中∵∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL)，∴AB=AE，在Rt△CDO和Rt△CEO中∵∴Rt△CDO≌Rt△CEO(HL)，∴CD=CE，∴AB+CD=AE+CE=AC.21.(1)证明：∵AC是角平分线，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，在Rt△BCE和Rt△DCF中，∴△BCE≌△DCF；(2)解：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴∠F=∠CEA=90°，在Rt△FAC和Rt△EAC中，，∴Rt△FAC≌Rt△EAC，∴AF=AE，∵△BCE≌△DCF，∴BE=DF，∴AB+AD=(AE+BE)+(AF﹣DF)=AE+BE+AE﹣DF=2AE.22.证明:延长AC至E,使CE=CD,连接ED∵AB=AC+CD∴AE=AB∵AD平分∠CAB∴∠EAD=∠BAD∴AE=AB，∠EAD=∠BAD，AD=AD∴△ADE≌△ADB∴∠E=∠B且∠ACD=∠E+∠CDE,CE=CD∴∠ACD=∠E+∠CDE=2∠E=2∠B即∠C=2∠B23.证明：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，∠DEC=∠F=90°，在RtCDE和Rt△ADF中，，∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），∴∠FAD=∠C，∴∠BAD+∠C=∠BAD+∠FAD=180°．24.（1）∵BO平分∠ABC，∴∠EBO=∠OBC，∵EF∥BC，∴∠EDB=∠OBC，∴∠EOB=∠EBO，∴OE=BE（2）△AEF的周长=AE+AF+EF=AE+AF+EB+FC=AB+AC=25-9=16(3)延长BA，证明P点在∠BAC外角的角平分线上，从而得到2∠PAC+∠BAC=180°。
《角平分线的性质》拓展练习(含答案)
《角平分线的性质》拓展练习(含答案)
1.（中）已知点A （m 2－5，2m +3）在第三象限角平分线上，则m =（ ）
A ．4
B ．－2
C ．4或－2
D ．－1
2.（中）在直角△ABC 中，∠B =30°，∠CAE =∠BAE ，ED ⊥AB 于D ，则下列结论⑴AC =AD ；⑵AE =BE ；⑶AD =BD ；⑷CE =DE 其中正确的有( )
A
C B
E D
A ．⑴⑵⑶⑷
B ．⑴⑵⑷
C ．⑵⑶⑷
D ．⑴⑵⑶
3.（中）如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在CD ，BC 上，且BF =CE ，连结BE 、AF 相交于点G ，则下列结论：(1)BE =AF (2)∠DAF =∠BEC (3)∠AFB +∠BEC =90 (4)AG ⊥BE ，正确的个数是( )
G
E
F C B
A
《
A ．1
B ．2 D ．4 4.（中）如图，已知△AB
C ，求作一点P ，使P 到∠A 的两边的距离相等，且PA=PB ．下列确定P 点的方法正确的是( )
A ．P 为∠A 、∠
B 两角平分线的交点；
B ．P 为∠A 的角平分线与AB 的垂直平分线的交点；
C ．P 为AC 、AB 两边上的高的交点；
D ．P 为AC 、AB 两边的垂直平分线的交点；
参考答案：
1．B 2．A 3．C 4．B。
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角平分线练习题
①如图，OM是∠AOB的角平分线，ON是∠BOC的角平分线，若∠AOC=120°，∠CON=38°，
求∠AOM的度数。
答案：22°
解析：根据OM与ON是角分线，所以∠AOC=2∠MON，∠MON=120°÷2=60°
∠BON=∠CON=38°，所以∠AOM=∠BOM=60°-38°=22°
②如图，O是直线AB上一点，∠BOC=36°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°，求∠AOE的度数。
答案：18°
解析：因为AB是直线，所以∠AOB=180°。
∠AOC=∠AOB-∠BOC=180°-36°=144°。
所以∠AOD=144°÷2=72°
∠AOE=∠DOE-∠AOD=90°-72°=18°
③如图OM是∠AOB的角平分线，ON是∠COD的角平分线，已知∠MON=90°，∠AOD=140°，
求∠BOC的度数。
答案：40°
解析：根据OM与ON是角分线，可知∠AOD=2∠MON-∠BOC(推导过程略)
所以∠BOC=2∠MON-∠AOD=90°×2 - 140°= 40°
④已知∠AOB=80°，∠BOC=30°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的度数。
答案：25°或55°
解析：由于没有给出具体图形，所以需要分类讨论。
当OC在OA与OB之间时，∠MON=∠MOB-∠NOB=40°-15°=25°
当OB在OA与OC之间时，∠MON=∠MOB+∠NOB=40°+15°=55°
⑤如图OM是∠AOC的角平分线，ON是∠BOD的角平分线，已知∠BOC=26°，∠AOD=150°，
求∠MON的度数。
答案：62°
解析：根据OM与ON是角分线，可知∠AOD=2∠MON+∠BOC(推导过程略)
∠MON=(∠AOD-∠BOC)÷2=(150°-26°)÷2=62°
⑥如图，OC是∠AOB的角平分线，OD是∠AOC的角平分线，OE是∠COD的角平分线，
OF是∠BOE的角平分线，那么∠EOF：∠AOD=。
答案：5:4
解析：设∠DOE为a，则∠AOD是2a，∠BOE是5a
∠EOF是2.5a。
所以∠EOF：∠AOD=2.5:2=5:4
1。