函数的极值与最优化问题求解
7(10)无约束最优化问题
无约束最优化问题
三,极值的充分条件
定理2 充分条件) 定理2 (充分条件) 设函数 z = f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续, 有一阶及二阶连续偏导数, 的某邻域内连续 有一阶及二阶连续偏导数 又 f x ( x0 , y0 ) = 0, f y ( x0 , y0 ) = 0, 令 fxx ( x0 , y0 ) = A, fxy ( x0 , y0 ) = B, f yy ( x0 , y0 ) = C,
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无约束最优化问题
作业
习题7.10 (112页 习题7.10 (112页) (A)2. 3.(2) 6. (B) 1. 2. 6.
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�
一元函数 f ( x , y0 ) 在点 x0 处取得有极小值 处取得有极小值, 表示动点 P ( x , y ) ∈ U ( P0 , δ ),且 P ( x , y )沿直线
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无约束最优化问题
y = y0上, 并沿该直线 即沿平行于 轴的正负 并沿该直线(即沿平行于 即沿平行于Ox轴的正负
方向)趋向于 方向 趋向于P0 ( x0 , y0 )时, f ( x, y) > f ( x0 , y0 ). 它们的关系是: 它们的关系是 取得极大(小 值 f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 取得极大 小)值 f ( x0 , y )和f ( x , y0 )分别在 y0点和x0点 取得极大(小 值 取得极大 小)值.
下半个圆锥面
x
点取极大值. 也是最大值). 在(0,0)点取极大值 (也是最大值 点取极大值 也是最大值 马鞍面
z
O
y
O
x
y
4
无约束最优化问题
求极值的方法
求极值的方法在数学中，求极值是一个非常重要的问题，它涉及到函数的最大值和最小值，对于优化问题和最优化理论具有重要意义。
本文将介绍几种常见的求极值的方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一数学问题。
首先，我们来介绍一种常见的求极值的方法——导数法。
对于一个函数f(x)，如果要求其极值，可以先求出它的导数f'(x)，然后令f'(x)=0，解出方程得到临界点，再通过一阶导数的符号变化来判断极值的位置。
如果f'(x)>0，那么f(x)在x点附近取得极小值；如果f'(x)<0，那么f(x)在x点附近取得极大值。
这种方法适用于绝大多数函数，而且求导的过程相对简单，因此被广泛应用。
其次，我们来介绍一种更为直观的求极值的方法——二阶导数法。
对于一个函数f(x)，如果要求其极值，可以先求出它的一阶导数f'(x)，然后再求出f'(x)的导数f''(x)，即二阶导数。
如果f''(x)>0，那么f(x)在x点附近取得极小值；如果f''(x)<0，那么f(x)在x点附近取得极大值。
这种方法相对于导数法来说，更加直观和简单，适用于一些特定类型的函数。
除了导数法和二阶导数法，还有一种常见的求极值的方法——拉格朗日乘数法。
这种方法主要用于带有约束条件的极值问题，通过引入拉格朗日乘子来构造新的函数，然后求出新函数的驻点，最终得到极值点。
这种方法在一些优化问题中有着重要的应用，能够有效地解决带有约束条件的极值问题。
另外，还有一些特殊函数的极值求解方法，比如三角函数、指数函数、对数函数等。
针对不同类型的函数，可以采用不同的方法来求极值，比如利用周期性、对称性、单调性等特点来简化求解过程。
总的来说，求极值是数学中一个重要且基础的问题，掌握好求极值的方法对于理解和应用数学知识都具有重要意义。
不同的方法适用于不同类型的函数，读者可以根据具体情况选择合适的方法来求解极值问题。
数学中的优化与最优化问题
数学中的优化与最优化问题数学中的优化与最优化问题是数学领域中的一个重要研究方向。
本文将介绍优化和最优化问题的基本概念和方法，并通过实际案例来说明其在现实世界中的应用。
一、优化问题的概念与方法1.1 优化问题的定义在数学中，优化问题是指寻找函数的极值（最大值或最小值）的问题。
一般来说，优化问题可以表示为以下形式：$$\max f(x)$$或$$\min f(x)$$其中，$f(x)$为要优化的目标函数，$x$为自变量。
1.2 常用的优化方法常用的优化方法包括一维搜索、梯度下降、牛顿法和拟牛顿法等。
这些方法可以根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。
二、最优化问题的概念与方法最优化问题是优化问题的一个特例，它在满足一系列约束条件的前提下寻找目标函数的最优解。
最优化问题可以表示为以下形式：$$\max f(x)$$或$$\min f(x)$$约束条件为：$$g_i(x)\geq 0, i=1,2,\dots,m$$$$h_j(x)=0, j=1,2,\dots,n$$其中$g_i(x)$和$h_j(x)$为约束函数。
最优化问题可以分为线性最优化和非线性最优化两种情况。
2.1 线性最优化线性最优化问题是指目标函数和约束条件均为线性函数的最优化问题。
常用的求解线性最优化问题的方法有单纯形法和内点法等。
2.2 非线性最优化非线性最优化问题是指目标函数和约束条件至少有一个为非线性函数的最优化问题。
求解非线性最优化问题的方法较为复杂，常用的方法有梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
三、优化与最优化问题的应用优化和最优化问题在现实生活中有着广泛的应用。
以下是其中的一些例子：3.1 交通路径优化交通路径优化是指通过优化算法来寻找最短路径或最快路径，以减少交通拥堵和节约时间。
例如，在导航软件中，通过优化算法可以找到最短路径来指导驾驶员的行驶方向。
3.2 物流配送优化物流配送优化是指通过优化算法来确定最佳的物流配送路线，以提高物流效率和减少成本。
目标函数的几种极值求解方法
目标函数的几种极值求解方法在数学和优化领域中，目标函数是一个描述优化问题的函数，其目标是将该函数的值最小化或最大化。
目标函数的极值求解方法主要有以下几种方法：1.数值方法：数值方法是通过计算目标函数在一组特定点上的近似值来确定极值。
其中最简单的方法是取目标函数的一些特定点，并计算这些点上的函数值。
然后根据计算结果确定极值。
这些特定点通常是目标函数的极值点的近似值。
例如，可以使用微分方法来估计目标函数的极值点。
2.数学分析方法：数学分析方法是通过对目标函数进行数学分析来确定极值。
其中最常用的方法是求解目标函数的导数或二阶导数，并设置导数等于零来求解函数的极值点。
这个方法适用于一些简单的函数，例如多项式函数。
它可以精确地确定函数的极值点。
3.迭代方法：迭代方法是通过不断迭代目标函数来逼近极值。
迭代方法通常需要一个初始点，然后在每一步中更新该点，直到满足一些停止条件。
最常用的迭代方法是梯度下降法和牛顿法。
梯度下降法通过不断沿着函数的梯度方向进行迭代来逐渐接近极小值。
牛顿法将函数近似为一个二次函数，并使用二次函数的极值点来逼近原函数的极值点。
4.线性规划方法：线性规划方法是对一类特殊的目标函数进行极值求解的方法。
线性规划问题是指包含一组线性不等式或等式约束条件的目标函数的最小化或最大化问题。
线性规划方法可以通过求解线性规划问题的对偶问题来确定原问题的极值。
这个方法对于一些特殊的线性规划问题非常高效。
5.元启发式方法：元启发式方法是一种基于经验和启发式规则来确定目标函数极值的方法。
这些方法通常使用一些随机算法和优化算法，例如遗传算法、粒子群算法等。
元启发式方法通过不断目标函数的解空间来逼近极值。
总之，目标函数的极值求解方法有多种选择，可以根据具体的问题和需求选择合适的方法。
不同的方法有不同的适用范围和计算复杂度，需要根据具体情况进行选择和调整。
2020版数学(理)人教A版新设计大一轮课件：第三章 第2节 第2课时 利用导数研究函数的极值、最值
(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a＝1－xax(x>0). 当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立， 即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点； 当 a>0 时，当 x∈0，1a时，f′(x)>0， 当 x∈1a，＋∞时，f′(x)<0，故函数在 x＝1a处有极大值. 综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点， 当 a>0 时，函数 y＝f(x)有一个极大值点，且为 x＝1a.
解 (1)当 a＝12时，f(x)＝ln x－12x，函数的定义域为(0，＋∞)且 f′(x)＝1x－12＝2
令f′(x)＝0，得x＝2， 于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.
x
(0，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
ln 2－1
故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小值.
当 0<v<103 2时，y′<0，函数单调递减；
当 v>103 2时，y′>0，函数单调递增.
若 c<103 2 ，函数在(c，103 2)上单调递减，在(103 2，15)上单调递增， ∴当 v＝103 2时，总用氧量最少. 若 c≥103 2，则 y 在[c，15]上单调递增， ∴当v＝c时，这时总用氧量最少.
综上可知，a 的取值范围是12，＋∞.
考点二 利用导数求函数的最值 【例2】 (2019·广东五校联考)已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数.
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值； (2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值. 解 (1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)， 当 a＝－1 时，f(x)＝－x＋ln x，f′(x)＝－1＋1x＝1－x x， 令f′(x)＝0，得x＝1. 当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0. ∴f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数. ∴f(x)max＝f(1)＝－1.∴当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1.
多元函数的极值点与最值问题
多元函数的极值点与最值问题一、引言在数学中，多元函数的极值点与最值问题是一个重要且常见的研究课题。
通过寻找函数取得极值的点以及确定函数的最值，可以帮助我们更好地理解和分析多元函数的特性。
本文将介绍多元函数的极值点与最值问题的基本概念和方法。
二、多元函数的极值点1. 极值点的定义对于一个多元函数而言，极值点是指在定义域内存在的局部极大值或局部极小值点。
具体地说，设函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在点(a₁, a₂,..., aₙ)处有定义，如果存在一个邻域N(a₁, a₂,..., aₙ)，对于任意点(x₁, x₂,..., xₙ)∈N(a₁, a₂,..., aₙ)，有f(x₁, x₂,..., xₙ)≤f(a₁, a₂,..., aₙ)或f(x₁, x₂,..., xₙ)≥f(a₁, a₂,..., aₙ)，则称点(a₁, a₂,..., aₙ)是函数f(x₁, x₂,..., xₙ)的一个极值点。
2. 寻找极值点的方法（1）求偏导数为了确定函数的极值点，我们可以先求出函数的偏导数。
对于一个具有n个自变量的函数，可以分别对每个自变量求偏导数，将得到的偏导数方程组称为梯度向量。
（2）解偏导数方程组接下来，我们需要解偏导数方程组，即找到梯度向量的零点。
这些零点就是函数可能的极值点。
3. 极值点的分类根据二阶偏导数的符号，可以将极值点分为以下几种情况：（1）二阶偏导数恒正：该点为局部极小值点；（2）二阶偏导数恒负：该点为局部极大值点；（3）二阶偏导数存在正负交替：该点即可能为局部极小值点，也可能为局部极大值点；（4）二阶偏导数不存在：需要通过额外的分析判断。
三、多元函数的最值问题1. 最值的定义对于一个多元函数而言，最大值和最小值是函数在定义域内取得的极值中的特殊点。
具体地说，设函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在定义域D内有定义，如果对于任意(x₁, x₂,..., xₙ)∈D，有f(x₁, x₂,..., xₙ)≤f(a₁,a₂,..., aₙ)，则称函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在点(a₁, a₂,..., aₙ)处取得最大值。
求极值的方法和步骤
求极值的方法和步骤求极值是高等数学中的一个重要概念。
它是指在一个函数或者一组数据中，寻找出最大值或最小值的过程。
求极值的方法有很多种，下面将为大家介绍一下求极值的常见方法和步骤。
1. 寻找导数为0的点对于一个单变量函数，函数最大值和最小值一定在导数为0的点处出现。
因此，我们可以通过求导数来找到函数的最大值和最小值。
具体的做法是，先对函数进行求导，然后令导数等于0，解出方程的根，即可找到函数的极值点。
不过需要注意的是，只有在导数的定义域中导数为0的点才是函数的极值点。
2. 利用函数的性质对于一些特殊的函数，我们可以利用它们的性质来求其极值。
比如，对于一个凸函数，其极小值出现在函数的两个端点处；对于一个连续函数，其极值只可能出现在其定义域的端点处或者导数为0的点处。
此外，对于一些函数，我们还可以通过对函数图像的观察来判断其极值点的位置，这需要我们具备一定的直觉和分析能力。
3. 利用拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种常用的优化方法，可以用来求解带有约束条件的优化问题。
在求极值问题中，我们可以用拉格朗日乘数法来解决导数为0但不满足约束条件的问题。
具体的做法是，将约束条件转化为一个方程，然后构造拉格朗日函数，利用导数为0的条件来确定极值点的位置，最后再将这些极值点和约束条件代入原函数中，求出最终的极值点。
需要注意的是，拉格朗日乘数法只适用于带有等式约束的优化问题。
通过以上三种方法，我们可以较为全面、准确地找到函数的极值点。
在具体应用中，我们需要根据具体问题的特点来选择合适的方法，同时还需要注意对计算过程中可能出现的误差进行调整和处理，保证结果的可靠性。
求极值的方法与技巧
求极值的方法与技巧求极值（即最大值或最小值）是数学中的一个重要问题，对于实际问题的解决非常有帮助。
在解决求极值问题时，有几种方法和技巧可以帮助我们找到最优解。
一、导数法导数法是求取函数极值的一种重要方法。
它的基本思想是通过求取函数的导数来研究函数的增减性，从而得到函数的最值。
1.确定函数的定义域：首先需要确定函数的自变量范围，即函数是定义在哪个区间上的。
2.求导数：对于给定的函数，求取其导函数。
3.找到导数为零的点：求解导函数等于零的方程，在这些点处函数的导数为零，也就是函数的极值点。
4.检查极值：计算极值点的函数值，比较得出最大值或最小值。
例如，对于函数f(x)=x^2-4x+3，我们可以通过求导数的方法来求取极值。
首先求导函数f'(x)=2x-4，然后将导函数等于零，得到方程2x-4=0，解出x=2接下来，将x=2代入原函数中，得到f(2)=(2)^2-4(2)+3=-1所以，函数f(x)的极小值为-1，当且仅当x=2时。
二、二次型矩阵法对于二次型矩阵，我们可以通过计算其特征值和特征向量来求取极值。
1.构造二次型矩阵：将函数转化为一个二次型矩阵，即通过展开函数，并将其写成矩阵的形式。
2.求取特征值和特征向量：计算二次型矩阵的特征值和特征向量。
3.判断极值：根据特征值的正负情况来判断函数的极值。
如果特征值都大于零，那么函数有一个极小值。
如果特征值都小于零，那么函数有一个极大值。
如果特征值既有正数又有负数，那么函数没有极值。
三、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种求解约束问题的极值方法，可用于求解带有约束条件的极值问题。
1.确定函数和约束条件：首先需要将函数和约束条件写出来。
2.构造拉格朗日函数：将约束条件乘以一个拉格朗日乘子，并与原函数相加，形成一个新的函数。
3.求取梯度：对构造的拉格朗日函数求取梯度，得到等于零的方程组。
4.解方程组：求解方程组，得到自变量的值。
5.检查极值：将求得的自变量代入原函数中，求取函数的极值。
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函数的极值与最优化问题求解在数学中，函数的极值与最优化问题求解是一个重要的研究领域。
函数的极值是指函数在一个特定区间或整个定义域内取得的最大值或
最小值，而最优化问题则是在给定约束条件下寻找使目标函数取得最
大值或最小值的解。
本文将介绍函数的极值的计算方法和最优化问题
的求解策略。
一、函数的极值
1. 极大值与极小值
对于一个函数，极大值和极小值分别代表了该函数在某个区间内取
得的最大值和最小值。
函数的极值点是函数增减性发生变化的点，也
即函数的导数为零或不存在的点。
根据极值点的定义，可以通过以下
步骤计算函数的极值：
（1）求导：计算函数的导数；
（2）解方程：将导数等于零的方程进行求解，求出极值点；
（3）求二阶导数并判别：对导数等于零的点求二阶导数，并根据
二阶导数的正负来判断该点是极大值还是极小值。
2. 实例分析
以函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 为例，来计算它在定义域内的极值。
（1）求导：f'(x) = 3x^2 - 6x + 2；
（2）解方程：解方程 3x^2 - 6x + 2 = 0，得到极值点；
（3）求二阶导数并判别：对极值点进行二阶导数计算，f''(x) = 6x - 6。
当 x = 1 时，f''(1) = 0，且 f''(x) > 0，因此 x = 1 是极小值点。
二、最优化问题求解
最优化问题是通过约束条件寻找目标函数的最大值或最小值。
最优
化问题常见的解决方法有暴力搜索、梯度下降法和拉格朗日乘子法等。
下面将介绍其中两种常用的求解策略。
1. 暴力搜索
暴力搜索是一种简单直接的求解方法，通过穷举法遍历所有可能的解，然后比较目标函数的取值，找到最大值或最小值。
虽然暴力搜索
可以保证找到最优解，但当问题规模较大时，其计算量会非常大。
2. 梯度下降法
梯度下降法是一种基于导数信息进行搜索的优化算法。
其基本思想
是从初始点开始，以当前点的负梯度方向为搜索方向，通过迭代更新
当前点，直至找到最优解。
梯度下降法具有较好的收敛性和鲁棒性，
适用于求解连续可导的目标函数。
三、小结
函数的极值和最优化问题求解是数学中重要的研究内容，它们在实
际问题中具有广泛的应用价值。
函数的极值通过求导和判别二阶导数
的方法，可以准确地计算出函数的最大值和最小值。
最优化问题则通
过不同的求解策略，如暴力搜索和梯度下降法，可以有效地找到目标函数的最优解。
在实际问题中，我们常常需要通过函数的极值和最优化问题求解来做出合理的决策和优化方案。
因此，深入理解和掌握这些概念和方法是非常重要的。
通过逐步学习和实践，我们可以更好地应用极值与最优化问题求解的知识，为实际问题的解决提供有力的支持。