高等数学专升本试卷(含答案)
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高等数学专升本试卷(含答案) 高等数学专升本试卷
题号得分
考试说明:
1、考试时间为150分钟;
2、满分为150分;
3、答案请写在试卷纸上,用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷,否则无效;
4、密封线左边各项要求填写清楚完整。
一.选择题(每个小题给出的选项中,只有一项符合要求.
本题共有5个小题,每小题4分,共20分)
1.函数y=1-x+arccos(x+1)的定义域是()
A.x<1
B.(-3,1)
C.{x|x<1}∩[-3,1]
D.-3≤x≤1.
2.极限lim(sin3x/x) x→∞等于()
A.0
B.1
C.不存在
D.3.
3.下列函数中,微分等于dx的是()
A.x^2/2
B.y=ln(lnx)+c
XXX.
4.d(1-cosx)=()
A.1-cosx
B.-cosx+c
C.x-XXX.
5.方程z=(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)表示的二次曲面是(超纲,去掉)()
A.椭球面
B.圆锥面
C.椭圆抛物面
D.柱面.
二.填空题(只须在横线上直接写出答案,不必写出计算过程,本题共有10个小题,每小题4分,共40分)
1.lim(x^2+x-6)/(x^2-4) x→2_______________.
2.设函数f(x)=|x-a|+x,在点x=a处连续,则
a=________________.
3.设函数y=xe。则y''(x)=__________________.
4.函数y=sinx-x在区间[0,π]上的最大值是
______________________.
5.|sin(x)|=________________.
6.设F(x)=(∫π/4x^2cos^2tdt+1)/4,则
F'(x)=_______________________.
7.设f(x)+f(-x)=x/(1+x^2),则∫xf(t)+f(-
t)dt=____________________________.
8.设a=3i-j-2k,b=i+2j-k,则a·b=____________________.
9.设z=(2x+y),则∂z/∂x=____________________.
10.设D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},则
∬D(x^2+y^2)dxdy=_________________.
注:题目中的“∫”为积分符号,“∬”为二重积分符号,“∂”
为偏导数符号。)
3.解:原式 $=\int \frac{1}{(1+x^2)^2}dx$,令 $1+ x^2 = t$,则 $xdx = \frac{1}{2}dt$,原式
$=\frac{1}{2}\int\frac{1}{t^2}dt = -\frac{1}{t}+C=-
\frac{1}{1+x^2}+C$。
4.解法1.$\frac{dy}{dx} = -2t\sin(t^2)$,分离变量得
$\frac{dy}{\sin(t^2)}=-2t dx$,两边积分得 $\cos(t^2) = -t^2+C$,即 $C = 1$,则 $\cos(t^2) = -t^2+1$。解法2:因为 $dx =
\sin(t^2)dt$,$dy = -2t\sin(t^2)dt$,所以$\frac{dy}{dx} = -2t$。
5.解:原式 $= \int_{-\infty}^{+\infty}
\frac{d(1+x)}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}$,令 $1+x = \tan t$,则$dx = \frac{1}{\cos^2t}dt$,原式 $= \int_{-
\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos t dt = 2$。
6.解:由条件得 $\arctan(1+x) = \frac{\pi}{4}$,即 $x =
\tan(\frac{\pi}{4})-1 = 0$。所以 $\lim_{n\to\infty}f(\frac{2}{n}) = \lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x} = f'(0)$,又 $f'(x) =
\frac{2}{1+(1+x)^2}$,所以 $f'(0) = 2$,即
$\lim_{n\to\infty}nf(\frac{2}{n}) = 2$。
7.解法1:分离变量得 $\frac{dy}{3+y^2} = -\cot x dx$,两边积分得 $\ln|3+y^2| = -\ln|\sin x| + c$,代入初值条件得 $c = -3$,所以 $y = \pm\sqrt{-3+Ce^{-2\ln|\sin x|}}$,即 $y =
\pm\sqrt{\frac{C}{\sin^2 x}-3}$。解法2:令 $y = \tan z$,则$\frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx}\sec^2 z$,原方程化为
$\frac{dz}{dx} = -\frac{\cos x}{\sin^3 x}$,两边积分得 $\tan z = \frac{1}{2}\ln|\frac{\sin x}{3+\cos^2 x}|+c$,代入初值条件得$c = 0$,所以 $y = \tan z = \pm\sqrt{\frac{1}{3+\cos^2 x}}$。
8.解:根据链式法则,$\frac{\partial z}{\partial x} =
\frac{\partial z}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial
x}+\frac{\partial z}{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial x}$,$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial x}) = \frac{\partial^2 z}{\partial
r^2}(\frac{\partial r}{\partial x})^2+\frac{\partial^2 z}{\partial
\theta^2}(\frac{\partial \theta}{\partial x})^2+\frac{\partial^2
z}{\partial r\partial \theta}\frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial