初中数学相似三角形经典练习难题易错题(附详解)
初中数学图形的相似易错题汇编附答案
初中数学图形的相似易错题汇编附答案一、选择题1．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，则下列结论不正确的是（ ） A ．AC 2＝AD •ABB ．CD 2＝AD •BDC ．BC 2＝BD •AB D ．CD •AD ＝AC •BC【答案】D【解析】【分析】直接根据射影定理来分析、判断，结合三角形的面积公式问题即可解决．【详解】解：如图，∵∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，∴由射影定理得：AC 2＝AD•AB ，BC 2＝BD•AB ，CD 2＝AD•BD ； ∴CD BC AD AC=； ∴CD •AC ＝AD•BC ，∴A ，B ，C 正确，D 不正确．故选：D ．【点睛】该题主要考查了射影定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用射影定理来分析、判断、推理或解答．2．若△ABC ∽△DEF ，△ABC 与△DEF 的相似比为2︰3，则S △ABC ︰S △DEF 为( )A ．2∶3B ．4∶9C 23D ．3∶2【答案】B【解析】【分析】 根据两相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以224()39ABC DEF S S ==V V ． 【详解】因为△ABC ∽△DEF ，所以△ABC 与△DEF 的面积比等于相似比的平方，所以S △ABC ：S △DEF =（23）2=49，故选B ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握：两个相似三角形面积比等于相似比的平方．3．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（）A．1 B．C．D．【答案】C【解析】【分析】由平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，可知△ADE与△ABC相似，且面积比为，则相似比为，的值为．【详解】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE把△ABC分成面积相等的两部分，∴S△ADE＝S四边形DBCE，∴＝，∴＝＝，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方的逆用等．4．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边=，8AC mCD m=，则树高=，2040=，测得边DF离地面的高度 1.5DE cmEF cmAB是（）A．4米B．4.5米C．5米D．5.5米【答案】D【解析】【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明的身高即可求得树高AB.【详解】解：∵∠DEF=∠BCD-90°∠D=∠D∴△ADEF∽△DCB∴BC DC EF DE=∴DE=40cm=0.4m，EF-20cm=0.2m，AC-1.5m，CD=8m∴80.20.4BC=解得：BC=4∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米故答案为：5.5.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型。
(易错题精选)初中数学图形的相似难题汇编含答案(1)
（易错题精选）初中数学图形的相似难题汇编含答案(1)一、选择题1．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与111A B C ∆相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】 根据相似三角形的判定方法一一判断即可．【详解】解：因为111A B C ∆中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B ，且满足两边成比例夹角相等，故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．2．如果两个相似正五边形的边长比为1：10，则它们的面积比为（ ）A ．1：2B ．1：5C ．1：100D ．1：10 【答案】C【解析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，由两个相似正五边形的相似比是1：10，可知它们的面积为1：100．故选：C ．点睛：此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝2，D 是AB 边上一个动点（不与点A 、B 重合），E 是BC 边上一点，且∠CDE ＝30°．设AD ＝x ，BE ＝y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】 根据题意可得出4,23,AB BC ==4,23,BD x CE y =-=然后判断△CDE ∽△CBD ，继而利用相似三角形的性质可得出y 与x 的关系式，结合选项即可得出答案．【详解】解：∵∠A ＝60°，AC ＝2， ∴4,3,AB BC ==4,23,BD x CE y =-=在△ACD 中，利用余弦定理可得CD 2＝AC 2+AD 2﹣2AC •AD cos ∠A ＝4+x 2﹣2x ， 故可得242CD x x =-+又∵∠CDE ＝∠CBD ＝30°，∠ECD ＝∠DCB （同一个角），∴△CDE ∽△CBD ，即可得,CE CD CD CB= 2223422342yx x x x --+=-+ 故可得： 23343633y x x =-++ 即呈二次函数关系，且开口朝下． 故选C ．【点睛】考查解直角三角形，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是4．如图，在ABC ∆中，点D E F 、、分别在边AB AC BC 、、上，// ,//DE BC DF AC ，则下列结论一定正确的是( )A ．DE CE BF AE =B ．AE CE CF BF =C ．AD AB CF AC= D ．DF AD AC AB = 【答案】B【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理，可得B 正确．【详解】解：//DE BC Q ，//DF AC ， ∴AE AD CE BD =，BF BD CF AD =， ∴AE CF CE BF=， 故B 选项正确，选项A 、C 、D 错误，故选：B ．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，找准对应边是解题的关键．5．如图，点E 是ABCD Y 的边AD 上一点，2DE AE =，连接BE ，交AC 边于点F ，下列结论中错误的是（ ）A ．3BC AE =B ．4AC AF = C ．3BF EF =D ．2BC DE =【解析】【分析】由平行四边形的性质和相似三角形的性质分别判断即可．【详解】解：∵在ABCD Y 中，//AD BC ，AD BC =，∴AEF CBF V :V , ∴AE AF EF CB CF BF ==, ∵2DE AE = ∴332BC DE AE ==，选项A 正确，选项D 错误， ∴133AF AE AE CF CB AE ===，即：3CF AF =， ∴4AC AF =，∴选项B 正确，∴133EF AE AE BF CB AE ===，即：3BF EF =， ∴选项C 正确，故选：D ．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，能熟练利用相似三角形对应边成比例是解题关键．6．如图，□ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，CE 平分∠BCD 交AB 于点E ，交BD 于点F ，且∠ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接OE ．下列结论：①EO ⊥AC ；②S △AOD ＝4S △OCF ；③AC ：BD ＝21：7；④FB 2＝OF •DF ．其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①③ 【答案】B【解析】【分析】 ①正确．只要证明EC=EA=BC ，推出∠ACB=90°，再利用三角形中位线定理即可判断． ②错误．想办法证明BF=2OF ，推出S △BOC =3S △OCF 即可判断．③正确．设BC=BE=EC=a ，求出AC ，BD 即可判断．④正确．求出BF ，OF ，DF （用a 表示），通过计算证明即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，OD=OB ，OA=OC ，∴∠DCB+∠ABC=180°，∵∠ABC=60°，∴∠DCB=120°，∵EC 平分∠DCB ，∴∠ECB=12∠DCB=60°， ∴∠EBC=∠BCE=∠CEB=60°，∴△ECB 是等边三角形，∴EB=BC ，∵AB=2BC ，∴EA=EB=EC ，∴∠ACB=90°，∵OA=OC ，EA=EB ，∴OE ∥BC ，∴∠AOE=∠ACB=90°，∴EO ⊥AC ，故①正确，∵OE ∥BC ，∴△OEF ∽△BCF ，∴12OE OF BC FB == ， ∴OF=13OB ， ∴S △AOD =S △BOC =3S △OCF ，故②错误，设BC=BE=EC=a ，则AB=2a ，3，223(72)a a +， ∴7a ，∴AC ：3a 7217，故③正确，∵OF=137， ∴BF=73a ， ∴BF 2=79a 2，7a•7779⎫=⎪⎪⎝⎭ a 2，∴BF 2=OF•DF ，故④正确，故选：B ．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．7．如图，将ABC ∆沿BC 边上的中线AD 平移到A B C '''∆的位置．已知ABC ∆的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若1AA '=，则A D '等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．32【答案】B【解析】【分析】 由 S △ABC ＝16、S △A ′EF ＝9且 AD 为 BC 边的中线知 1922A DE A EF S S '∆'∆==，182ABD ABC S S ∆∆== ，根据△DA ′E ∽△DAB 知2A DE ABD S A D AD S ∆∆'⎛⎫=' ⎪⎝⎭，据此求解可得． 【详解】16ABC S ∆=Q 、9A EF S ∆'=，且AD 为BC 边的中线，1922A DE A EF S S ∆∆''∴==，182ABD ABC S S ∆∆==， Q 将ABC ∆沿BC 边上的中线AD 平移得到A B C '''∆，//A E AB ∴'， DA E DAB '∴∆~∆， 则2A DE ABD S A D AD S ∆∆'⎛⎫=' ⎪⎝⎭，即22991816A D A D ⎛⎫== '⎪+⎝⎭'， 解得3A D '=或37A D '=-（舍）， 故选：B ．【点睛】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．8．如图，点E是平行四边形ABCD中BC的延长线上的一点，连接AE交CD于F，交BD于M，则图中共有相似三角形(不含全等的三角形)( )对．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AD//BC，AB//CD，根据相似三角形的判定方法进行分析，即可得到图中的相似三角形的对数．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD，∴△ADM∽△EBM，△ADF∽△ECF，△DFM∽△BAM，△EFC∽△EAB，∵∠AFD=∠BAE，∠DAE=∠E，∴△ADF∽△EBA，∴图中共有相似三角形5对，故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定，平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．9．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F，若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（）A 235B233C334D435【答案】D【解析】【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2，即：∠BDE=∠ABD，进而判断出DE∥AB，再求出AB=3，即可得出结论．【详解】如图，在Rt△BDC中，BC=4，∠DBC=30°，∴BD=23，连接DE，∵∠BDC=90°，点D是BC中点，∴DE=BE=CE=12BC=2，∵∠DCB=30°，∴∠BDE=∠DBC=30°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠BDE，∴DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴DF DE BF AB＝，在Rt△ABD中，∠ABD=30°，BD=23，∴AB=3，∴23 DFBF＝，∴25 DFBD＝，∴DF=22432355BD=⨯=，故选D．【点睛】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，判断出DE∥是解本题的关键．10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（―1，2）B．（―9，18）C．（―9，18）或（9，―18）D．（―1，2）或（1，―2）【答案】D【解析】【分析】【详解】试题分析：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似，∴△ ABO∽△A′B′O且OA'OA＝13.∴A EAD＝0E0D＝13.∴A′E＝13AD＝2，OE＝13OD＝1.∴A′（－1,2）.同理可得A′′（1,―2）.方法二：∵点A（―3，6）且相似比为13，∴点A的对应点A′的坐标是（―3×13，6×13），∴A′（－1,2）.∵点A′′和点A′（－1,2）关于原点O对称，∴A′′（1,―2）.故答案选D.考点：位似变换.11．如图，在ABC ∆中，,D E 分别是边,AB AC 的中点，ADE ∆和四边形BCED 的面积分别记为12,S S ，那么12S S 的值为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．23【答案】C【解析】【分析】根据已知可得到△ADE ∽△ABC ，从而可求得其面积比，则不难求得12S S 的值． 【详解】∵,D E 分别是边,AB AC 的中点，∴DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE ：BC=1：2， 所以它们的面积比是1：4，所以1211=413S S =-， 故选C ．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理和相似三角形的性质：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．12．在平面直角坐标系中，已知点E （﹣4，2），F （﹣2，﹣2），以原点O 为位似中心，相似比为，把△EFO 缩小，则点E 的对应点E′的坐标是A ．（﹣2，1）B ．（﹣8，4）C ．（﹣8，4）或（8，﹣4）D ．（﹣2，1）或（2，﹣1）【答案】D【解析】试题分析：根据位似的性质，缩小后的点在原点的同侧，为（-2,1），然后求在另一侧为（2，-1）．故选D考点：位似变换13．如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE⊥AC于点F，则下列结论中错误的是（）A．AF＝12 CFB．∠DCF＝∠DFCC．图中与△AEF相似的三角形共有5个D．tan∠CAD3【答案】D【解析】【分析】由AE=12AD=12BC，又AD∥BC，所以12AE AFBC FC==，故A正确，不符合题意；过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=12BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B正确，不符合题意；根据相似三角形的判定即可求解，故C正确，不符合题意；由△BAE∽△ADC，得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求tan∠CAD的值，故D错误，符合题意．【详解】解：A、∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴AEBC＝AFFC，∵AE＝12AD＝12BC，∴AFFC＝12，故A正确，不符合题意；B、过D作DM∥BE交AC于N，∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM ＝DE ＝12BC ， ∴BM ＝CM ，∴CN ＝NF ， ∵BE ⊥AC 于点F ，DM ∥BE ，∴DN ⊥CF ，∴DF ＝DC ，∴∠DCF ＝∠DFC ，故B 正确，不符合题意；C 、图中与△AEF 相似的三角形有△ACD ，△BAF ，△CBF ，△CAB ，△ABE 共有5个，故C 正确，不符合题意．D 、设AD ＝a ，AB ＝b 由△BAE ∽△ADC ，有b a ＝2a ． ∵tan ∠CAD ＝CD AD ＝b a ＝22，故D 错误，符合题意． 故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．14．如图，E 是矩形ABCD 中AD 边的中点，BE 交AC 于点,F ABF V 的面积为2，则四边形CDEF 的面积为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】【分析】设AEF S x =△，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出4BCF S x =V ，求出x 即可解答．【详解】解：∵AD ∥BC ，E 是矩形ABCD 中AD 边的中点，∴AEF ~CBF V V ，设AEF S x =△，那么4BCF S x =V ，∵2ABF S =V ， ∴()1x 2422x +=+， 解得：x 1=， ∴325CDEF S x =+=四边形，故选：B.【点睛】此题主要考查相似三角形的相似比与面积比之间的关系，灵活运用关系是解题关键． 15．如图，△AOB 是直角三角形，∠AOB ＝90°，△AOB 的两边分别与函数12,y y x x=-=的图象交于B 、A 两点，则等于（ ）A ．22B ．12C ．14D 3【答案】A【解析】【分析】过点A,B 作AC ⊥x 轴,BD ⊥x 轴,垂足分别为C,D.根据条件得到△ACO ∽△ODB.根据反比例函数比例系数k 的几何意义得出2()S OBD OB S AOC OA ∆=∆＝121＝12利用相似三角形面积比等于相似比的平方得出2OB OA =【详解】 ∵∠AOB ＝90°，∴∠AOC +∠BOD ＝∠AOC +∠CAO ＝90°，∠CAO ＝∠BOD ，∴△ACO ∽△BDO ， ∴2()S OBD OB S AOC OA ∆=∆ , ∵S △AOC ＝12 ×2＝1，S △BOD ＝12×1＝12， ∴2()OB OA ＝121＝12 ， ∴2OB OA =， 故选A ．【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和相似三角形的判定与性质，解题关键在于做辅助线，然后得到相似三角形再进行求解16．如图，△ABC 中，∠BAC ＝45°，∠ACB ＝30°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到△AB 1C 1，当点C 1、B 1、C 三点共线时，旋转角为α，连接BB 1，交AC 于点D ．下列结论：①△AC 1C 为等腰三角形；②△AB 1D ∽△BCD ；③α＝75°；④CA ＝CB 1，其中正确的是（ ）A ．①③④B ．①②④C ．②③④D ．①②③④【答案】B【解析】【分析】 将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到△AB 1C 1，得到△ABC ≌△AB 1C 1，根据全等三角形的性质得到AC 1=AC ，于是得到△AC 1C 为等腰三角形；故①正确；根据等腰三角形的性质得到∠C 1=∠ACC 1=30°，由三角形的内角和得到∠C 1AC=120°，得到∠B 1AB=120°，根据等腰三角形的性质得到∠AB 1B=30°=∠ACB ，于是得到△AB 1D ∽△BCD ；故②正确；由旋转角α=120°，故③错误；根据旋转的性质得到∠C 1AB 1=∠BAC=45°，推出∠B 1AC=∠AB 1C ，于是得到CA=CB 1；故④正确．【详解】解：∵将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到△AB 1C 1，∴△ABC ≌△AB 1C 1，∴AC 1＝AC ，∴△AC 1C 为等腰三角形；故①正确；∴AC 1＝AC ，∴∠C 1＝∠ACC 1＝30°，∴∠C 1AC ＝120°，∴∠B 1AB ＝120°，∵AB 1＝AB ，∴∠AB 1B ＝30°＝∠ACB ，∵∠ADB 1＝∠BDC ，∴△AB 1D ∽△BCD ；故②正确；∵旋转角为α，∴α＝120°，故③错误；∵∠C 1AB 1＝∠BAC ＝45°，∴∠B 1AC ＝75°，∵∠AB 1C 1＝∠BAC ＝105°，∴∠AB 1C ＝75°，∴∠B 1AC ＝∠AB 1C ，∴CA ＝CB 1；故④正确．故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．17．如图，Rt ABO ∆中，90AOB ∠=︒，3AO BO =，点B 在反比例函数2y x =的图象上，OA 交反比例函数()0k y k x=≠的图象于点C ，且2OC CA =，则k 的值为（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-【答案】D【解析】【分析】 过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴，利用AA 定理和平行证得△COE ∽△OBF ∽△AOD ，然后根据相似三角形的性质求得21()9BOF OAD S OB S OA ==V V ，24()9COE AOD S OC S OA ==V V ，根据反比例函数比例系数的几何意义求得212BOF S ==V ，从而求得4COE S =V ，从而求得k 的值．【详解】解：过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴∴CE ∥AD ，∠CEO=∠BFO=90°∵90AOB ∠=︒∴∠COE+∠FOB=90°，∠ECO+∠COE=90°∴∠ECO=∠FOB∴△COE ∽△OBF ∽△AOD又∵3AO BO =，2OC CA = ∴13OB OA =，23OC OA = ∴21()9BOF OAD S OB S OA ==V V ，24()9COE AOD S OC S OA ==V V ∴4COE BOFS S =V V ∵点B 在反比例函数2y x =的图象上 ∴212BOF S ==V ∴4COE S =V ∴42k =，解得k=±8 又∵反比例函数位于第二象限，∴k=-8故选：D ．【点睛】本题考查反比例函数的性质和相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线证明三角形相似，利用数形结合思想解题是关键．18．如图，AB ∥GH ∥CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，AB=2，CD=3，则GH 长为（ ）A ．1B ．1.2C ．2D ．2.5 【答案】B【解析】【分析】由AB ∥GH ∥CD 可得：△CGH ∽△CAB 、△BGH ∽△BDC ，进而得：GH CH AB BC =、GH BH CD BC=，然后两式相加即可． 【详解】解：∵AB ∥GH ，∴△CGH ∽△CAB ，∴GH CH AB BC =，即2GH CH BC =①， ∵CD ∥GH ，∴△BGH ∽△BDC ，∴GH BH CD BC =，即3GH BH BC =②， ①+②，得：123GH GH CH BH BC BC +=+=，解得：6 1.25GH ==． 故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．19．若△ABC 的每条边长增加各自的50%得△A 'B 'C '，若△ABC 的面积为4，则△A 'B 'C '的面积是（ ）A ．9B ．6C ．5D ．2 【答案】A【解析】【分析】根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵△ABC 的每条边长增加各自的50%得△A ′B ′C ′，∴△ABC 与△A ′B ′C ′的三边对应成比例，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′， ∴214()150%9ABC A B C S S '''==+V V ， ∵△ABC 的面积为4，则△A'B'C'的面积是9．故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．20．矩形ABCO 如图摆放，点B 在y 轴上，点C 在反比例函数y k x=(x ＞0)上，OA ＝2，AB ＝4，则k 的值为（ ）A ．4B ．6C ．325D ．425【答案】C 【解析】【分析】 根据矩形的性质得到∠A=∠AOC=90°，OC=AB ，根据勾股定理得到OB 22OA AB =+=5C 作CD ⊥x 轴于D ，根据相似三角形的性质得到CD 855=，OD 45= 求得8545，)于是得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCO 是矩形，∴∠A＝∠AOC＝90°，OC＝AB，∵OA＝2，AB＝4，∴过C作CD⊥x轴于D，∴∠CDO＝∠A＝90°，∠COD+∠COB＝∠COB+∠AOB＝90°，∴∠COD＝∠AOB，∴△AOB∽△DOC，∴OB AB OA OC CD OD==，∴2542CD OD==，∴CD85=，OD45=，∴C(45，85)，∴k325 =，故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．。
(易错题精选)初中数学图形的相似易错题汇编及解析
（易错题精选）初中数学图形的相似易错题汇编及解析一、选择题1．如图，边长为4的等边ABC V 中，D 、E 分别为AB ，AC 的中点，则ADE V 的面积是( )A 3B ．32C ．334D ．23【答案】A【解析】【分析】 由已知可得DE 是△ABC 的中位线，由此可得△ADE 和△ABC 相似，且相似比为1：2，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△ABC 的面积．【详解】Q 等边ABC V 的边长为4，2ABC 3S 443∴==V Q 点D ，E 分别是ABC V 的边AB ，AC 的中点，DE ∴是ABC V 的中位线，DE //BC ∴，1DE BC 2=，1AD AB 2=，1AE AC 2=， 即AD AE DE 1AB AC BC 2===， ADE ∴V ∽ABC V ，相似比为12， 故ADE S V ：ABC S 1=V ：4， 即ADE ABC 11S S 43344==⨯=V V 故选A ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握等边三角形的面积公式、相似三角形的判定与性质及中位线定理．2．若△ABC ∽△DEF ，△ABC 与△DEF 的相似比为2︰3，则S △ABC ︰S △DEF 为( )A ．2∶3B ．4∶9C 23D ．3∶2【解析】【分析】 根据两相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以224()39ABC DEF S S ==V V ． 【详解】因为△ABC ∽△DEF ，所以△ABC 与△DEF 的面积比等于相似比的平方，所以S △ABC ：S △DEF =（23）2=49，故选B ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握：两个相似三角形面积比等于相似比的平方．3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝2，D 是AB 边上一个动点（不与点A 、B 重合），E 是BC 边上一点，且∠CDE ＝30°．设AD ＝x ，BE ＝y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】根据题意可得出4,23,AB BC ==4,23,BD x CE y =-=然后判断△CDE ∽△CBD ，继而利用相似三角形的性质可得出y 与x 的关系式，结合选项即可得出答案．解：∵∠A ＝60°，AC ＝2， ∴4,23,AB BC ==4,23,BD x CE y =-=-在△ACD 中，利用余弦定理可得CD 2＝AC 2+AD 2﹣2AC •AD cos ∠A ＝4+x 2﹣2x ，故可得242CD x x =-+,又∵∠CDE ＝∠CBD ＝30°，∠ECD ＝∠DCB （同一个角）， ∴△CDE ∽△CBD ，即可得,CE CD CD CB= 即222342,2342yx x x x --+=-+ 故可得： 23343.y x x =-++ 即呈二次函数关系，且开口朝下． 故选C ．【点睛】考查解直角三角形，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.4．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A ，B ，E 在x 轴上．若正方形ABCD 的边长为2，则点F 坐标为（ ）A ．（8，6）B ．（9，6）C ．19,62⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．（10，6）【答案】B【解析】【分析】 直接利用位似图形的性质结合相似比得出EF 的长，进而得出△OBC ∽△OEF ，进而得出EO 的长，即可得出答案．【详解】解：∵正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13， ∴13BC OB EF EO ==，∴EF＝BE＝6，∵BC∥EF，∴△OBC∽△OEF，∴136BOBO=+，解得：OB＝3，∴EO＝9，∴F点坐标为：（9，6），故选：B．【点睛】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出OB的长是解题关键．5．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC 的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】【分析】证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质可推导得出AC2=AD•AB，由此即可解决问题.【详解】∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴△ADC∽△ACB，∴AC AD AB AC=，∴AC2=AD•AB=2×8=16，∵AC>0，∴AC=4，故选B.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.6．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边40DE cm=，20EF cm=，测得边DF离地面的高度 1.5AC m=，8CD m=，则树高A．4米B．4.5米C．5米D．5.5米【答案】D【解析】【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明的身高即可求得树高AB.【详解】解：∵∠DEF=∠BCD-90°∠D=∠D∴△ADEF∽△DCB∴BC DC EF DE=∴DE=40cm=0.4m，EF-20cm=0.2m，AC-1.5m，CD=8m∴80.20.4BC=解得：BC=4∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米故答案为：5.5.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型。
人教中考数学 相似 培优 易错 难题练习(含答案)附答案
一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在⊙O中，直径AB经过弦CD的中点E，点M在OD上，AM的延长线交⊙O于点G，交过D的直线于F，且∠BDF=∠CDB，BD与CG交于点N．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连结MN，猜想MN与AB的位置有关系，并给出证明．【答案】（1）证明：∵直径AB经过弦CD的中点E，， = ,即是的切线（2）解：猜想：MN∥AB．证明：连结CB．∵直径AB经过弦CD的中点E，∴ = , = ,∴∵∴∴∵∴∵∵∴∴∴MN∥AB．【解析】【分析】（1）要证DF是⊙O的切线，由切线的判定知，只须证∠ODF=即可。
由垂径定理可得AB⊥CD，则∠BOD+∠ODE=，而∠ODF=∠CDF+∠ODE，由已知易得∠BOD=∠CDF，则结论可得证；（2）猜想：MN∥AB．理由：连结CB，由已知易证△CBN∽△AOM，可得比例式，于是由已知条件可转化为，∠ODB是公共角，所以可得△MDN∽△ODB，则∠DMN=∠DOB，根据平行线的判定可得MN∥AB。
2．如图，AB是半圆O的直径，AB＝2，射线AM、BN为半圆O的切线.在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC.过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F.过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q.（1）若△ABD≌△BFO，求BQ的长；（2）求证：FQ=BQ【答案】（1）解：∵≌，∴，∵均为半圆切线，∴ .连接 ,则，∴四边形为菱形，∴DQ∥，∵均为半圆切线，∴∥，∴四边形为平行四边形∴，（2）证明：易得∽，∴ = ，∴ .∵是半圆的切线，∴ .过点作于点，则 .在中，，∴，解得：，∴∴【解析】【分析】（1）连接OP,由ΔABD≌ΔBFO可得AD=OB，由切线长定理可得AD=DP，于是易得OP=OA=DA=DP，根据菱形的判定可得四边形DAOP为菱形，则可得DQ∥AB，易得四边形DABQ为平行四边形，根据平行四边形的性质可求解；（2）过Q点作QK⊥AM于点K，由已知易证得ΔABD∽ΔBFO，可得比例式，可得BF与AD的关系，由切线长定理可得AD=DP,QB=QP ，解直角三角形DQK可求得BQ与AD 的关系，则根据FQ=BF−BQ可得FQ与AD的关系，从而结论得证。
(易错题精选)初中数学图形的相似难题汇编附解析
（易错题精选）初中数学图形的相似难题汇编附解析一、选择题1．如图，点A，B是双曲线18yx=图象上的两点，连接AB，线段AB经过点O，点C 为双曲线kyx=在第二象限的分支上一点，当ABCV满足AC BC=且:13:24AC AB=时，k的值为（）．A．2516-B．258-C．254-D．25-【答案】B【解析】【分析】如图作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F．连接OC．首先证明△CFO∽△OEA，推出2()COFAOES OCS OA∆∆=，因为CA：AB＝13：24，AO＝OB，推出CA：OA＝13：12，推出CO：OA＝5：12，可得出2()COFAOES OCS OA∆∆=＝25144，因为S△AOE＝9，可得S△COF＝2516，再根据反比例函数的几何意义即可解决问题．【详解】解：如图作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F．连接OC．∵A、B关于原点对称，∴OA＝OB，∵AC＝BC，OA＝OB，∴OC⊥AB，∴∠CFO＝∠COA＝∠AEO＝90°，∴∠COF＋∠AOE＝90°，∠AOE＋∠EAO＝90°，∴∠COF ＝∠OAE ，∴△CFO ∽△OEA ， ∴2()COF AOE S OC SOA∆∆=， ∵CA ：AB ＝13：24，AO ＝OB ，∴CA ：OA ＝13：12，∴CO ：OA ＝5：12，∴2()COF AOE S OC S OA ∆∆=＝25144， ∵S △AOE ＝9，∴S △COF ＝2516， ∴||25216k =， ∵k ＜0，∴258k =- 故选：B ．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上的点的特征、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．2．如图，在△ABC 中，∠A ＝75°，AB ＝6，AC ＝8，将△ABC 沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】A 、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．D、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．3．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A，B，E在x轴上．若正方形ABCD的边长为2，则点F坐标为（）A．（8，6）B．（9，6）C．19,62⎛⎫⎪⎝⎭D．（10，6）【答案】B【解析】【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出EF的长，进而得出△OBC∽△OEF，进而得出EO 的长，即可得出答案．【详解】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，∴13 BC OBEF EO==，∵BC＝2，∴EF＝BE＝6，∵BC∥EF，∴△OBC∽△OEF，∴136BOBO=+，解得：OB＝3，∴EO＝9，∴F点坐标为：（9，6），故选：B．【点睛】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出OB的长是解题关键．4．如图，点A在双曲线y═kx（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，大于12OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F（0，2），连接AC．若AC=1，则k的值为（）A．2 B．3225C．435D．2525+【答案】B【解析】分析：如图，设OA交CF于K．利用面积法求出OA的长，再利用相似三角形的性质求出AB、OB即可解决问题；详解：如图，设OA交CF于K．由作图可知，CF垂直平分线段OA，∴OC=CA=1，OK=AK，在Rt△OFC中，22=5OF OC+∴2555，∴45，由△FOC∽△OBA，可得OF OC CFOB AB OA==，∴215455 OB AB==，∴OB=85，AB=45，∴A（85，45），∴k=32 25．故选B．点睛：本题考查作图-复杂作图，反比例函数图象上的点的坐标特征，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，AC分别交BE，DF于G，H，试判断下列结论：①△ABE≌△CDF；②AG＝GH＝HC；③2EG＝BG；④S△ABG：S四边形GHDE＝2：3，其中正确的结论是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】【分析】根据SAS，即可证明①△ABE≌△CDF；在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，根据有一组对边平行且相等四边形是平行四边形，即可证明四边形BFDE是平行四边形，由AD∥BC，即可证明△AGE∽△CGB，△CHF∽△AHD，然后根据相似三角形的对应边成比例，证得AG∶CG＝EG∶BG＝1∶2，CH∶AH＝1∶2，即可证得②AG＝GH＝HC，③2EG＝BG；由S△ABG＝2S△AEG，S四边形GHD E＝3S△AEG，可得结论④S△ABG：S四边形GHDE＝2：3．【详解】解：在平行四边形ABCD中，AB＝CD，∠BAE＝∠DCF，BC＝DA，∵E，F分别是边AD，BC的中点，∴AE＝CF，∴△ABE≌△CDF，故①正确；∵AD∥BC，∴△AGE∽△CGB，△CHF∽△AHD，∴AG∶CG＝EG∶BG＝AE∶CB，CH∶AH＝CF∶AD，∵E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，∴AE ＝12AD ，CF ＝12BC ， ∴AE ∶CB ＝1∶2，CF ∶AD ＝1∶2，∴EG ∶BG ＝AG ∶CG ＝1∶2，CH ∶AH ＝1∶2∴AG ＝CH ＝１３AC ，2EG ＝BG ，故③正确； ∴AG ＝GH ＝HC ，故②正确；∵S △ABG ＝2S △AEG ，S 四边形GHD E ＝3S △AEG ，∴S △ABG ：S 四边形GHDE ＝2：3，故④正确，故选：D【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握这些知识是解本题的关键．6．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 和CD 相交于点F ，且S △EFC ＝3S △EFD ，则S △ADE ：S △ABC 的值为（ ）A ．1：3B ．1：8C ．1：9D ．1：4【答案】C【解析】【分析】 根据题意，易证△DEF ∽△CBF ，同理可证△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形面积比是对应边比例的平方即可解答．【详解】∵S △EFC ＝3S △DEF ，∴DF ：FC ＝1：3 （两个三角形等高，面积之比就是底边之比），∵DE ∥BC ，∴△DEF ∽△CBF ，∴DE ：BC ＝DF ：FC ＝1：3同理△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE ：S △ABC ＝1：9，故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比是对应边比例的平方．7．如图，已知在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，AOB V 是直角三角形，90AOB ∠=︒，2OB OA =，点B 在反比例函数2y x =上，若点A 在反比例函数k y x=上，则k 的值为( )A ．12B ．12-C ．14D ．14- 【答案】B【解析】【分析】通过添加辅助线构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质可求得1,2x A x ⎛⎫-⎪⎝⎭，然后由点的坐标即可求得答案．【详解】解：过点B 作BE x ⊥于点E ，过点A 作AF x ⊥于点F ，如图：∵点B 在反比例函数2y x =上 ∴设2,B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴OE x =，2BE x=∵90AOB ∠=︒ ∴90AOD BOD ∠+∠=︒∴90BOE AOF ∠+∠=︒∵BE x ⊥，AF x ⊥∴90BEO OFA ∠=∠=︒∴90OAF AOF ∠+∠=︒∴BOE OAF ∠=∠∴BOE OAF V V ∽∵2OB OA = ∴12OF AF OA BE OE BO ===∴121122OF BE x x =⋅=⋅=，11222x AF OE x =⋅=⋅= ∴1,2x A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭∵点A 在反比例函数k y x=上 ∴12x k x=- ∴12k =-． 故选：B【点睛】本题考查了反比例函数与相似三角形的综合应用，点在函数图象上则点的坐标就满足函数解析式，结合已知条件能根据相似三角形的性质求得点A 的坐标是解决问题的关键．8．如图，O 是AC 的中点，将面积为216cm 的菱形ABCD 沿AC 方向平移AO 长度得到菱形OB C D '''，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．28cmB ．26cmC ．24cmD ．22cm【答案】C【解析】【分析】 根据题意得，▱ABCD ∽▱OECF ，且AO=OC=12AC ，故四边形OECF 的面积是▱ABCD 面积的14 【详解】解：如图，由平移的性质得，▱ABCD ∽▱OECF ，且AO=OC=12AC 故四边形OECF 的面积是▱ABCD 面积14即图中阴影部分的面积为4cm 2．故选：C【点睛】 此题主要考查了相似多边形的性质以及菱形的性质和平移性质的综合运用．关键是 应用相似多边形的性质解答问题.9．如图，AB 为O e 的直径，C 为O e 上一点，弦AD 平分BAC ∠，交弦BC 于点E ，4CD =，2DE =，则AE 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】【分析】 根据角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD ，根据圆周角定理得到∠DCB=∠BAD ，证明△DCE ∽△DAC ，根据相似三角形的性质求出AD ，结合图形计算，得到答案．【详解】解：∵AD 平分∠BAC ，∴∠CAD=∠BAD ，由圆周角定理得，∠DCB=∠BAD ，∴∠CAD=∠DCB ，又∠D=∠D ，∴△DCE ∽△DAC ，∴DE DC DC DA =，即244AD=，解得，AD=8，∴AE=AD -DE=8-2=6，故选：C ．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．10．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与111A B C ∆相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】 根据相似三角形的判定方法一一判断即可．【详解】解：因为111A B C ∆中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B ，且满足两边成比例夹角相等，故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．11．平面直角坐标系xOy 中，点P （a ，b ）经过某种变换后得到的对应点为P ′（12a +1，12b ﹣1）．已知A ，B ，C 是不共线的三个点，它们经过这种变换后，得到的对应点分别为A ′，B ′，C ′．若△ABC 的面积为S 1，△A ′B ′C ′的面积为S 2，则用等式表示S 1与S 2的关系为（ ）A ．S 112=S 2B ．S 114=S 2C ．S 1＝2S 2D ．S 1＝4S 2【答案】D【解析】【分析】先根据点P 及其对应点判断出变换的类型，再依据其性质可得答案．【详解】由点P （a ，b ）经过变换后得到的对应点为P ′（12a +1，12b ﹣1）知， 此变换是以点（2，﹣2）为中心、2：1的位似变换，则△ABC 的面积与△A ′B ′C ′的面积比为4：1，∴S 1＝4S 2，故选：D ．【点睛】 本题主要考查几何变换类型，解题的关键是根据对应点的坐标判断出其几何变换类型．12．如图，以正方形ABCD 的AB 边为直径作半圆O ，过点C 作直线切半圆于点E ，交AD 边于点F ，则FE EC＝（ ）A ．12B ．13C ．14D ．38【答案】C【解析】【分析】连接OE 、OF 、OC ，利用切线长定理和切线的性质求出∠OCF ＝∠FOE ，证明△EOF ∽△ECO ，利用相似三角形的性质即可解答．【详解】解：连接OE 、OF 、OC ．∵AD 、CF 、CB 都与⊙O 相切，∴CE ＝CB ；OE ⊥CF ； FO 平分∠AFC ，CO 平分∠BCF ．∵AF ∥BC ，∴∠AFC+∠BCF ＝180°，∴∠OFC+∠OCF ＝90°，∵∠OFC+∠FOE ＝90°，∴∠OCF ＝∠FOE ，∴△EOF ∽△ECO ，∴=OE EF EC OE，即OE 2＝EF•EC ．设正方形边长为a ，则OE ＝12a ，CE ＝a ． ∴EF ＝14a ． ∴EF EC ＝14． 故选：C ．【点睛】本题考查切线的性质、切线长定理、相似三角形的判定与性质，其中通过作辅助线构造相似三角形是解答本题的关键．.13．如图，矩形AEHC 是由三个全等矩形拼成的，AH 与BE 、BF 、DF 、DG 、CG 分别交于点P 、Q 、K 、M 、N ，设BPQ ∆，DKM ∆，CNH ∆的面积依次为1S 、2S 、3S ，若1320S S +=，则2S 的值为( )A ．6B ．8C ．10D ．1【答案】B【解析】【分析】 由已知条件可以得到△BPQ ∽△DKM ∽△CNH ，然后得到△BPQ 与△DKM 的相似比为12，△BPQ 与△CNH 的相似比为13，由相似三角形的性质求出1S ，从而求出2S . 【详解】解：∵矩形AEHC 是由三个全等矩形拼成的，∴AB=BD=CD ，AE ∥BF ∥DG ∥CH ，∴四边形BEFD 、四边形DFGC 是平行四边形，∠BQP=∠DMK=∠CHN ，∴BE ∥DF ∥CG ，∴∠BPQ=∠DKM=∠CNH ，∴△ABQ ∽△ADM ，△ABQ ∽△ACH ，∴12 AB BQAD DM==，13BQ ABCH AC==，∴△BPQ∽△DKM∽△CNH，∵12BQMD=，13BQCH=，∴1214SS=，1319SS=，∴214S S=，319S S=，∵1320S S+=，∴12S=，∴2148S S==；故选：B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质以及平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，正确得到214S S=，319S S=，从而求出答案. 14．如图，网格中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】D【解析】【分析】利用对应点的连线都经过同一点进行判断．【详解】如图，位似中心为点D．故选D．【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行．15．如图，顶角为36o 的等腰三角形，其底边与腰之比等k ，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰AB=1，ABC ∆为第一个黄金三角形，BCD ∆为第二个黄金三角形，CDE ∆为第三个黄金三角形以此类推，第2020个黄金三角形的周长（）A ．2018kB ．2019kC ．20182k k + D ．2019(2)k k +【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形对应角相等，对应边成比例，求出前几个三角形的周长，进而找出规律：第n 个黄金三角形的周长为k n-1（2+k ），从而得出答案．【详解】解：∵AB=AC=1，∴△ABC 的周长为2+k ；△BCD 的周长为k+k+k 2=k （2+k ）；△CDE 的周长为k 2+k 2+k 3=k 2（2+k ）；依此类推，第2020个黄金三角形的周长为k 2019（2+k ）．故选：D ．【点睛】此题考查黄金分割，相似三角形的性质，找出各个三角形周长之间的关系，得出规律是解题的关键．16．如图，某河的同侧有A ，B 两个工厂，它们垂直于河边的小路的长度分别为2AC km =，3BD km =，这两条小路相距5km ．现要在河边建立一个抽水站，把水送到A ，B 两个工厂去，若使供水管最短，抽水站应建立的位置为（ ）A ．距C 点1km 处B ．距C 点2km 处 C ．距C 点3km 处D ．CD 的中点处【答案】B【解析】【分析】 作出点A 关于江边的对称点E ，连接EB 交CD 于P ，则PA PB PE PB EB +=+=，根据两点之间线段最短，可知当供水站在点P 处时，供水管路最短．再利用三角形相似即可解决问题.【详解】作出点A 关于江边的对称点E ，连接EB 交CD 于P ，则PA PB PE PB EB +=+=．根据两点之间线段最短，可知当供水站在点P 处时，供水管路最短．根据PCE PDB ∆∆:，设PC x =，则5PD x =-，根据相似三角形的性质，得 PC CE PD BD =，即253x x =-， 解得2x =．故供水站应建在距C 点2千米处．故选：B ．【点睛】本题为最短路径问题，作对称找出点P ，利用三角形相似是解题关键.17．如图，已知一组平行线////a b c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和D 、E 、F ，且 1.5AB =，2BC =， 1.8DE =，则EF =（ ）A ．4.4B ．4C ．3.4D ．2.4【答案】D【解析】【分析】 根据平行线等分线段定理列出比例式，然后代入求解即可．【详解】解：∵////a b c ∴AB DE BC EF= 即1.5 1.82EF = 解得：EF=2.4 故答案为D ．【点睛】 本题主要考查的是平行线分线段成比例定理，利用定理正确列出比例式是解答本题的关键． 18．如图，点D 是△ABC 的边AB 上的一点，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E ，连接BE ，过点D 作BE 的平行线交AC 于点F ，则下列结论错误的是（ ）A ．AD AE BD EC= B ．AF DF AE BE = C ．AE AF EC FE = D ．DE AF BC FE = 【答案】D 【解析】【分析】 由平行线分线段成比例和相似三角形的性质进行判断. 【详解】 ∵DE //BC ，∴AD AE BD EC= ，故A 正确； ∵DF //BE ，∴△ADF ∽△ABF , ∴AF DF AE BE =，故B 正确； ∵DF //BE ，∴ AD AF BD FE =，∵AD AE BD EC= ，∴AE AF EC FE =，故C 正确； ∵DE //BC ，∴△ADE ∽△ABC ,∴DE AD BC AB =，∵DF //BE ，∴AF AD AE AB =，∴DE AF BC AE =，故D 错误.故选D.【点睛】本题考查平行线分线段成比例性质，相似三角形的性质，由平行线得出比例关系是关键.19．如图，点D 是ABC V 的边BC 上一点，,2BAD C AC AD ∠=∠= ，如果ACD V 的面积为15，那么ABC V 的面积为（ ）A ．20B ．22.5C ．25D ．30 【答案】A【解析】【分析】先证明C ABD BA ∽△△，再根据相似比求出ABC V 的面积即可．【详解】∵,BAD C B B ∠=∠=∠∠∴C ABD BA ∽△△∵2AC AD =∴4S ABD S CBA =V V ∴43S ACD S CBA =V V ∵ACD V 的面积为15∴44152033S CBA S ACD ==⨯=VV 故答案为：A ．【点睛】 本题考查了相似三角形的问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键．20．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2米，旗杆底部与平面镜的水平距离为12米，若小明的眼晴与地面的距离为1.5米，则旗杆的高度为（ ）A ．9B ．12C ．14D ．18【答案】A【解析】【分析】 如图，BC ＝2m ，CE ＝12m ，AB ＝1.5m ，利用题意得∠ACB ＝∠DCE ，则可判断△ACB ∽△DCE ，然后利用相似比计算出DE 的长．【详解】解：如图，BC ＝2m ，CE ＝12m ，AB ＝1.5m ，由题意得∠ACB ＝∠DCE ，∵∠ABC ＝∠DEC ，∴△ACB∽△DCE，∴AB BCDE CE=，即1.5212DE=，∴DE＝9．即旗杆的高度为9m．故选A．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．。
(易错题精选)初中数学图形的相似易错题汇编附答案解析
（易错题精选）初中数学图形的相似易错题汇编附答案解析一、选择题1．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点P 以每秒1cm 的速度从点A 出发，沿折线AC －CB 运动，到点B 停止．过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，PD 的长y （cm ）与点P 的运动时间x （秒）的函数图象如图2所示．当点P 运动5秒时，PD 的长是（ ）A ．1.5cmB ．1.2cmC ．1.8cmD ．2cm【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】由图2知，点P 在AC 、CB 上的运动时间时间分别是3秒和4秒，∵点P 的运动速度是每秒1cm ， ∴AC=3，BC=4．∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°， ∴根据勾股定理得：AB=5．如图，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则易得△ABC ∽△ACH ． ∴CH AC BC AB =，即AC BC 3412CH CH AB 55⋅⨯=⇒==． ∴如图，点E （3，125），F （7，0）． 设直线EF 的解析式为y kx b =+，则123k b {507k b=+=+，解得：3k5 {21b5=-=．∴直线EF的解析式为321y x55=-+．∴当x5=时，()3216PD y5 1.2cm555==-⨯+==．故选B．2．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F，若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（）A．235B．233C．334D．435【答案】D【解析】【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2，即：∠BDE=∠ABD，进而判断出DE∥AB，再求出AB=3，即可得出结论．【详解】如图，在Rt△BDC中，BC=4，∠DBC=30°，∴3连接DE，∵∠BDC=90°，点D是BC中点，∴DE=BE=CE=12BC=2，∵∠DCB=30°，∴∠BDE=∠DBC=30°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠BDE ， ∴DE ∥AB ， ∴△DEF ∽△BAF ， ∴DF DEBF AB＝， 在Rt △ABD 中，∠ABD=30°，， ∴AB=3， ∴23DF BF ＝， ∴25DF BD ＝， ∴DF=22555BD =⨯=故选D ． 【点睛】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，判断出DE ∥是解本题的关键．3．若△ABC ∽△DEF ，△ABC 与△DEF 的相似比为2︰3，则S △ABC ︰S △DEF 为( ) A ．2∶3 B ．4∶9CD ．3∶2【答案】B 【解析】 【分析】根据两相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以224()39ABC DEF S S ==V V ． 【详解】因为△ABC ∽△DEF ，所以△ABC 与△DEF 的面积比等于相似比的平方， 所以S △ABC ：S △DEF =（23）2=49，故选B ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握：两个相似三角形面积比等于相似比的平方．4．如果两个相似正五边形的边长比为1：10，则它们的面积比为（ ） A ．1：2 B ．1：5C ．1：100D ．1：10【答案】C 【解析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，由两个相似正五边形的相似比是1：10，可知它们的面积为1：100． 故选：C ．点睛：此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．5．如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，CD 是AB 边上的中线，作CD 的中垂线与CD 交于点E ，与BC 交于点F ．若CF ＝x ，tanA ＝y ，则x 与y 之间满足（ ）A ．2244x y+=B ．2244x y -=C ．2288x y -=D ．2288x y+=【答案】A 【解析】 【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出CD ＝12AB ＝AD ＝4，由等腰三角形的性质得出∠A ＝∠ACD ，得出tan ∠ACD ＝GE CE＝tan A ＝y ，证明△CEG ∽△FEC ，得出GE CECE FE =，得出y ＝2FE ，求出y 2＝24FE ，得出24y＝FE 2，再由勾股定理得出FE 2＝CF 2﹣CE 2＝x 2﹣4，即可得出答案． 【详解】 解：如图所示：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，CD 是AB 边上的中线，∴CD ＝12AB ＝AD ＝4， ∴∠A ＝∠ACD ， ∵EF 垂直平分CD ，∴CE ＝12CD ＝2，∠CEF ＝∠CEG ＝90°， ∴tan ∠ACD ＝GECE＝tanA ＝y ， ∵∠ACD+∠FCE ＝∠CFE+∠FCE ＝90°， ∴∠ACD ＝∠FCE ， ∴△CEG ∽△FEC ，CE FE ∴y ＝2FE， ∴y 2＝24FE ， ∴24y＝FE 2， ∵FE 2＝CF 2﹣CE 2＝x 2﹣4， ∴24y＝x 2﹣4， ∴24y+4＝x 2， 故选：A ．【点睛】本题考查了解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．6．如图，在△ABC 中，点D 是边AB 上的一点，∠ADC ＝∠ACB ，AD ＝2，BD ＝6，则边AC 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B 【解析】 【分析】证明△ADC ∽△ACB ，根据相似三角形的性质可推导得出AC 2=AD•AB ，由此即可解决问题. 【详解】∵∠A=∠A ，∠ADC=∠ACB ， ∴△ADC ∽△ACB ，AB AC∴AC 2=AD•AB=2×8=16， ∵AC>0， ∴AC=4， 故选B. 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.7．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列结论正确的是（ ）A ．AD DEDB BC = B ．BF EFBC AB= C ．AE EC FCDE= D ．EF BFAB BC= 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定与性质逐项分析即可.由△ADE ∽△ABC ，可判断A 的正误；由△CEF ∽△CAB ，可判定B 错误；由△ADE ～△EFC ，可判定C 正确；由△CEF ∽△CAB ，可判定D 错误. 【详解】 解：如图所示：∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴DE AD ADBC AB DB =≠， ∴答案A 错舍去； ∵EF ∥AB ，∴△CEF ∽△CAB ，CF EF BC A B B BFC=≠ ∴答案B 舍去∵∠ADE＝∠B，∠CFE＝∠B，∴∠ADE＝∠CFE，又∵∠AED＝∠C，∴△ADE～△EFC，∴AE DEEC FC=，C正确；又∵EF∥AB，∴∠CEF＝∠A，∠CFE＝∠B，∴△CEF∽△CAB，∴EF CE FC BF AB AC BC BC==≠，∴答案D错舍去；故选C．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似是解题的关键．8．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，AC分别交BE，DF于G，H，试判断下列结论：①△ABE≌△CDF；②AG＝GH＝HC；③2EG＝BG；④S△ABG：S四边形GHDE＝2：3，其中正确的结论是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】【分析】根据SAS，即可证明①△ABE≌△CDF；在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，根据有一组对边平行且相等四边形是平行四边形，即可证明四边形BFDE是平行四边形，由AD∥BC，即可证明△AGE∽△CGB，△CHF∽△AHD，然后根据相似三角形的对应边成比例，证得AG∶CG＝EG∶BG＝1∶2，CH∶AH＝1∶2，即可证得②AG＝GH＝HC，③2EG＝BG；由S△ABG＝2S△AEG，S四边形GHD E＝3S△AEG，可得结论④S△ABG：S四边形GHDE＝2：3．【详解】解：在平行四边形ABCD中，AB＝CD，∠BAE＝∠DCF，BC＝DA，∵E，F分别是边AD，BC的中点，∴AE＝CF，∴△ABE ≌△CDF ，故①正确； ∵AD ∥BC ，∴△AGE ∽△CGB ，△CHF ∽△AHD ，∴AG ∶CG ＝EG ∶BG ＝AE ∶CB ，CH ∶AH ＝CF ∶AD ， ∵E ，F 分别是边AD ，BC 的中点， ∴AE ＝12AD ，CF ＝12BC ， ∴AE ∶CB ＝1∶2，CF ∶AD ＝1∶2， ∴EG ∶BG ＝AG ∶CG ＝1∶2，CH ∶AH ＝1∶2∴AG ＝CH ＝１３AC ，2EG ＝BG ，故③正确； ∴AG ＝GH ＝HC ，故②正确；∵S △ABG ＝2S △AEG ，S 四边形GHD E ＝3S △AEG ， ∴S △ABG ：S 四边形GHDE ＝2：3，故④正确， 故选：D 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握这些知识是解本题的关键．9．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，如果AC=3，AB=6，那么AD 的值为（ ）A ．32B ．92C 33D ．3【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】解：∵Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ， ∴△ACD ∽△ABC ， ∴AC ：AB=AD ：AC ，∵AC=3，AB=6，∴AD=32．故选A ． 考点：相似三角形的判定与性质．10．如图，已知在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，AOB V 是直角三角形，90AOB ∠=︒，2OB OA =，点B 在反比例函数2y x =上，若点A 在反比例函数k y x=上，则k 的值为( )A ．12B ．12-C ．14D ．14-【答案】B 【解析】 【分析】通过添加辅助线构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质可求得1,2x A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后由点的坐标即可求得答案． 【详解】解：过点B 作BE x ⊥于点E ，过点A 作AF x ⊥于点F ，如图：∵点B 在反比例函数2y x=上 ∴设2,B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴OE x =，2BE x=∵90AOB ∠=︒ ∴90AOD BOD ∠+∠=︒ ∴90BOE AOF ∠+∠=︒ ∵BE x ⊥，AF x ⊥ ∴90BEO OFA ∠=∠=︒ ∴90OAF AOF ∠+∠=︒ ∴BOE OAF ∠=∠ ∴BOE OAF V V ∽ ∵2OB OA = ∴12OF AF OA BE OE BO ===∴121122OF BE x x =⋅=⋅=，11222x AF OE x =⋅=⋅= ∴1,2x A x ⎛⎫-⎪⎝⎭ ∵点A 在反比例函数ky x=上 ∴12x k x=- ∴12k =-． 故选：B 【点睛】本题考查了反比例函数与相似三角形的综合应用，点在函数图象上则点的坐标就满足函数解析式，结合已知条件能根据相似三角形的性质求得点A 的坐标是解决问题的关键．11．如图，Rt ABC V 中，90,60ABC C ∠=∠=o o ，边AB 在x 轴上，以O 为位似中心，作111A B C △与ABC V 位似，若()3,6C 的对应点()11,2C ，则1B 的坐标为（ ）A ．()1,0B ．3,02⎛⎫⎪⎝⎭C ．()2,0D ．()2,1【答案】A【解析】【分析】如图，根据位似图形的性质可得B 1C 1//BC ，点B 在x 轴上，由∠ABC=90°，可得B 1C 1⊥x 轴，根据C 1坐标即可得B 1坐标．【详解】如图，∵111A B C △与ABC V 位似，位似中心为点O ，边AB 在x 轴上，∴B 1C 1//BC ，点B 在x 轴上，∵∠ABC=90°，∴B 1C 1⊥x 轴，∵C 1坐标为（1，2），∴B 1坐标为（1，0）故选：A ．【点睛】本题考查位似图形的性质，位似图形的对应边互相平行，对应点的连线相交于一点，这一点叫做位似中心．12．矩形ABCO 如图摆放，点B 在y 轴上，点C 在反比例函数y k x=(x ＞0)上，OA ＝2，AB ＝4，则k 的值为（ ）A ．4B ．6C ．325D ．425 【答案】C【解析】【分析】 根据矩形的性质得到∠A=∠AOC=90°，OC=AB ，根据勾股定理得到OB 22OA AB =+=5C 作CD ⊥x 轴于D ，根据相似三角形的性质得到CD855=，OD455=，求得C (854555，)于是得到结论．【详解】解：∵四边形ABCO是矩形，∴∠A＝∠AOC＝90°，OC＝AB，∵OA＝2，AB＝4，∴过C作CD⊥x轴于D，∴∠CDO＝∠A＝90°，∠COD+∠COB＝∠COB+∠AOB＝90°，∴∠COD＝∠AOB，∴△AOB∽△DOC，∴OB AB OA OC CD OD==，∴2542CD OD==，∴CD85=，OD45=，∴C(45，85)，∴k325 =，故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．13．已知正方形ABCD的边长为5，E在BC边上运动，DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，问CE为多少时A、C、F在一条直线上（）A．35B．43C．53D．34【答案】C【解析】【分析】首先延长BC，做FN⊥BC，构造直角三角形，利用三角形相似的判定，得出Rt△FNE∽Rt△ECD，再利用相似比得出12.52NE CD==，运用正方形性质,得出△CNF是等腰直角三角形，从而求出CE．【详解】解：过F作BC的垂线，交BC延长线于N点，∵∠DCE=∠ENF=90°，∠DEC+∠NEF=90°，∠NEF+∠EFN=90°，∴∠DEC=∠EFN，∴Rt△FNE∽Rt△ECD，∵DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，∴两三角形相似比为1：2，∴可以得到CE=2NF，12.52NE CD==∵AC平分正方形直角，∴∠NFC=45°，∴△CNF是等腰直角三角形，∴CN=NF，∴2255.3323 CE NE==⨯=故选C．【点睛】此题主要考查了旋转的性质与正方形的性质以及相似三角形的判定等知识，求线段的长度经常运用相似三角形的知识解决，同学们应学会这种方法.14．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（―1，2）B．（―9，18）C．（―9，18）或（9，―18）D．（―1，2）或（1，―2）【答案】D【解析】【分析】【详解】试题分析：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似，∴△ ABO∽△A′B′O且OA'OA＝13.∴A EAD＝0E0D＝13.∴A′E＝13AD＝2，OE＝13OD＝1.∴A′（－1,2）.同理可得A′′（1,―2）.方法二：∵点A（―3，6）且相似比为13，∴点A的对应点A′的坐标是（―3×13，6×13），∴A′（－1,2）.∵点A′′和点A′（－1,2）关于原点O对称，∴A′′（1,―2）.故答案选D.考点：位似变换.15．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2米，旗杆底部与平面镜的水平距离为12米，若小明的眼晴与地面的距离为1.5米，则旗杆的高度为（）A．9 B．12 C．14 D．18【答案】A【解析】【分析】如图，BC＝2m，CE＝12m，AB＝1.5m，利用题意得∠ACB＝∠DCE，则可判断△ACB∽△DCE，然后利用相似比计算出DE的长．【详解】解：如图，BC＝2m，CE＝12m，AB＝1.5m，由题意得∠ACB＝∠DCE，∵∠ABC＝∠DEC，∴△ACB∽△DCE，∴AB BCDE CE=，即1.5212DE=，∴DE＝9．即旗杆的高度为9m．故选A．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．16．如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点E，交AD边于点F，则FEEC＝（）A ．12B ．13C ．14D ．38【答案】C【解析】【分析】连接OE 、OF 、OC ，利用切线长定理和切线的性质求出∠OCF ＝∠FOE ，证明△EOF ∽△ECO ，利用相似三角形的性质即可解答．【详解】解：连接OE 、OF 、OC ．∵AD 、CF 、CB 都与⊙O 相切，∴CE ＝CB ；OE ⊥CF ； FO 平分∠AFC ，CO 平分∠BCF ．∵AF ∥BC ，∴∠AFC+∠BCF ＝180°，∴∠OFC+∠OCF ＝90°，∵∠OFC+∠FOE ＝90°，∴∠OCF ＝∠FOE ，∴△EOF ∽△ECO ，∴=OE EF EC OE，即OE 2＝EF•EC ． 设正方形边长为a ，则OE ＝12a ，CE ＝a ． ∴EF ＝14a ． ∴EF EC ＝14． 故选：C ．【点睛】本题考查切线的性质、切线长定理、相似三角形的判定与性质，其中通过作辅助线构造相似三角形是解答本题的关键．.17．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，当点C1、B1、C三点共线时，旋转角为α，连接BB1，交AC于点D．下列结论：①△AC1C 为等腰三角形；②△AB1D∽△BCD；③α＝75°；④CA＝CB1，其中正确的是（）A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③④【答案】B【解析】【分析】将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，得到△ABC≌△AB1C1，根据全等三角形的性质得到AC1=AC，于是得到△AC1C为等腰三角形；故①正确；根据等腰三角形的性质得到∠C1=∠ACC1=30°，由三角形的内角和得到∠C1AC=120°，得到∠B1AB=120°，根据等腰三角形的性质得到∠AB1B=30°=∠ACB，于是得到△AB1D∽△BCD；故②正确；由旋转角α=120°，故③错误；根据旋转的性质得到∠C1AB1=∠BAC=45°，推出∠B1AC=∠AB1C，于是得到CA=CB1；故④正确．【详解】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，∴△ABC≌△AB1C1，∴AC1＝AC，∴△AC1C为等腰三角形；故①正确；∴AC1＝AC，∴∠C1＝∠ACC1＝30°，∴∠C1AC＝120°，∴∠B1AB＝120°，∵AB1＝AB，∴∠AB1B＝30°＝∠ACB，∵∠ADB1＝∠BDC，∴△AB1D∽△BCD；故②正确；∵旋转角为α，∴α＝120°，故③错误；∵∠C1AB1＝∠BAC＝45°，∴∠B1AC＝75°，∵∠AB1C1＝∠BAC＝105°，∴∠AB1C＝75°，∴∠B1AC＝∠AB1C，∴CA＝CB1；故④正确．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．18．如图，Rt ABO ∆中，90AOB ∠=︒，3AO BO =，点B 在反比例函数2y x =的图象上，OA 交反比例函数()0k y k x=≠的图象于点C ，且2OC CA =，则k 的值为（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-【答案】D【解析】 【分析】 过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴，利用AA 定理和平行证得△COE ∽△OBF ∽△AOD ，然后根据相似三角形的性质求得21()9BOF OAD S OB S OA ==V V ，24()9COE AOD S OC S OA ==V V ，根据反比例函数比例系数的几何意义求得212BOF S ==V ，从而求得4COE S =V ，从而求得k 的值．【详解】解：过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴∴CE ∥AD ，∠CEO=∠BFO=90°∵90AOB ∠=︒∴∠COE+∠FOB=90°，∠ECO+∠COE=90°∴∠ECO=∠FOB∴△COE ∽△OBF ∽△AOD 又∵3AO BO =，2OC CA =∴13OB OA =，23OC OA = ∴21()9BOF OAD S OB S OA ==V V ，24()9COE AOD S OC S OA ==V V∴4COEBOFSS=VV∵点B在反比例函数2yx=的图象上∴212BOFS==V∴4COES=V∴42k=，解得k=±8又∵反比例函数位于第二象限，∴k=-8故选：D．【点睛】本题考查反比例函数的性质和相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线证明三角形相似，利用数形结合思想解题是关键．19．下列图形中，一定相似的是（）A．两个正方形 B．两个菱形 C．两个直角三角形 D．两个等腰三角形【答案】A【解析】【分析】根据相似形的对应边成比例，对应角相等，结合正方形，菱形，直角三角形，等腰三角形的性质与特点对各选项分析判断后利用排除法．【详解】A、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项正确；B、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；C、两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；D、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误．故选A ．【点睛】本题主要考查了相似图形的定义，比较简单，要从边与角两方面考虑．20．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，2CD =，1BD =，则AD 的长是（ ）A ．1.B 2C ．2D ．4【答案】D【解析】【分析】 由在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，根据同角的余角相等，可得∠ACD=∠B ，又由∠CDB=∠ACB=90°，可证得△ACD ∽△CBD ，然后利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【详解】∵在Rt △ABC 中,∠ACB=90°，CD ⊥AB ，∴∠CDB=∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°,∠BCD+∠B=90°，∴∠ACD=∠B ，∴△ACD ∽△CBD ， ∴=AD CD CD BD， ∵CD=2，BD=1， ∴2=21AD ， ∴AD=4.故选D.【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，解题关键在于证得△ACD ∽△CBD.。
经典相似三角形练习的题目(附参考答案详解)
实用标准文案相似三角形一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD 、AC 把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q 作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．14．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．17．已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB 上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC 交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P 为顶点的三角形与△ABC相似．22．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1）所需的测量工具是：_________ ；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）25．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．26．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．28．已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．（1）求BD、CD的长；（2）过B作BE⊥DC于E，求BE的长．30．（1）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．解答：证明：∵DE∥BC，∴DE∥FC，∴∠AED=∠C．又∵EF∥AB，∴EF∥AD，∴∠A=∠FEC．∴△ADE∽△EFC．点评：本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．解答：（1）证明：∵梯形ABCD，AB∥CD，∴∠CDF=∠FGB，∠DCF=∠GBF，（2分）∴△CDF∽△BGF．（3分）（2）解：由（1）△CDF∽△BGF，又F是BC的中点，BF=FC，∴△CDF≌△BGF，∴DF=GF，CD=BG，（6分）∵AB∥DC∥EF，F为BC中点，∴E为AD中点，∴EF是△DAG的中位线，∴2EF=AG=AB+BG．∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2，∴CD=BG=2cm．（8分）3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．解答：证明：∵FD∥AB，FE∥AC，∴∠B=∠FDE，∠C=∠FED，∴△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．解答：证明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，（2分）∴∠BAF=∠AED．（4分）∵BF⊥AE，∴∠AFB=90°．∴∠AFB=∠D．（5分）∴△ABF∽△EAD．（6分）点评：考查相似三角形的判定定理，关键是找准对应的角．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．解答：（1）证明：①∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAE=∠CAD，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABE≌△ACD，∴BE=CD．②由△ABE≌△ACD，得∠ABE=∠ACD，BE=CD，∵M、N分别是BE，CD的中点，∴BM=CN．又∵AB=AC，∴△ABM≌△ACN．∴AM=AN，即△AMN为等腰三角形．（2）解：（1）中的两个结论仍然成立．（3）证明：在图②中正确画出线段PD，由（1）同理可证△ABM≌△ACN，∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN．又∵∠BAC=∠DAE，∴∠MAN=∠DAE=∠BAC．∴△AMN，△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形．∴△PBD和△AMN都为顶角相等的等腰三角形，∴∠PBD=∠AMN，∠PDB=∠ANM，∴△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．分析：根据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相似这一判定定理可证明图中相似三角形有：△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．解答：解：相似三角形有△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．（3分）如：△AEF∽△BEC．在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠3．（6分）∴△AEF∽△BEC．（7分）7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC= 135°°，BC= ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．解答：解：（1）∠ABC=135°，BC=；（2）相似；∵BC=，EC==；∴，；∴；又∠ABC=∠CED=135°，∴△ABC∽△DEC．8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA 方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由解：（1）设经过x秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的，则有：（6﹣2x）x=×3×6，即x2﹣3x+2=0，（2分）解方程，得x1=1，x2=2，（3分）经检验，可知x1=1，x2=2符合题意，所以经过1秒或2秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的．（4分）（2）假设经过t秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似，由矩形ABCD，可得∠CDA=∠MAN=90°，因此有或（5分）即①，或②（6分）解①，得t=；解②，得t=（7分）经检验，t=或t=都符合题意，所以动点M，N同时出发后，经过秒或秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．（8分）9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．解答：解：（1）任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况：①②，①③，①④，②③，②④，③④（2分）其中有两组（①③，②④）是相似的．∴选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P=（4分）证明：（2）选择①、③证明．在△AOB与△COD中，∵AB∥CD，∴∠CDB=∠DBA，∠DCA=∠CAB，∴△AOB∽△COD（8分）选择②、④证明．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠DAB=∠CBA，∴在△DAB与△CBA中有AD=BC，∠DAB=∠CAB，AB=AB，∴△DAB≌△CBA，（6分）∴∠ADO=∠BCO．又∠DOA=∠COB，∴△DOA∽△COB（8分）．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，即相似三角形的证明．还考查了相似三角形的判定．10．附加题：如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比．解答：解：（1）AD=DE，AE=CE．∵CE⊥BD，∠BDC=60°，∴在Rt△CED中，∠ECD=30°．∴CD=2ED．∵CD=2DA，∴AD=DE，∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD．∴AE=CE．（2）图中有三角形相似，△ADE∽△AEC；∵∠CAE=∠CAE，∠ADE=∠AEC，∴△ADE∽△AEC；（3）作AF⊥BD的延长线于F，设AD=DE=x，在Rt△CED中，可得CE=，故AE=．∠ECD=30°．在Rt△AEF中，AE=，∠AED=∠DAE=30°，∴sin∠AEF=，∴AF=AE•sin∠AEF=．∴．点评：本题主要考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定及三角形面积的求法等，范围较广．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．解答：解：（1）∵AB∥MP，QM∥AC，∴四边形APMQ 是平行四边形，∠B=∠PMC，∠C=∠QMB．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠PMC=∠QMB．∴BQ=QM，PM=PC．∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a．（2）∵PM∥AB，∴△PCM∽△ACB，∵QM∥AC，∴△BMQ∽△BCA；（3）当点M中BC的中点时，四边形APMQ是菱形，∵点M是BC的中点，AB∥MP，QM∥AC，∴QM，PM是三角形ABC的中位线．∵AB=AC，∴QM=PM=AB=AC．又由（1）知四边形APMQ是平行四边形，∴平行四边形APMQ是菱形．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．解答：证明：∵正方形ABCD，M为CD中点，∴CM=MD=AD．∵BP=3PC，∴PC=BC=AD=CM．∴．∵∠PCM=∠ADM=90°，∴△MCP∽△ADM．13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q 作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）过D作DH∥AB交BC于H点，∵AD∥BH，DH∥AB，∴四边形ABHD是平行四边形．∴DH=AB=8；BH=AD=2．∴CH=8﹣2=6．∵CD=10，∴DH2+CH2=CD2∴∠DHC=90°．∠B=∠DHC=90°．∴梯形ABCD是直角梯形．∴S ABCD=（AD+BC）AB=×（2+8）×8=40．（2）①∵BP=CQ=t ，∴AP=8﹣t，DQ=10﹣t，∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，∴8﹣t+2+10﹣t=t+8+t．∴t=3＜8．∴当t=3秒时，PQ将梯形ABCD周长平分．②第一种情况：0＜t≤8若△PAD∽△QEC则∠ADP=∠C ∴tan∠ADP=tan∠C==∴=，∴t=若△PAD∽△CEQ则∠APD=∠C ∴tan∠APD=tan∠C==，∴=∴t=第二种情况：8＜t≤10，P、A、D三点不能组成三角形；第三种情况：10＜t≤12△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不相似；∴t=或t=时，△PAD与△CQE相似．③第一种情况：当0≤t≤8时．过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E、H．∵AP=8﹣t，AD=2，∴PD==．∵CE=t，QE=t，∴QH=BE=8﹣t，BH=QE=t．∴PH=t﹣t=t．∴PQ==，DQ=10﹣t．Ⅰ：DQ=DP，10﹣t=，解得t=8秒．Ⅱ：DQ=PQ，10﹣t=，化简得：3t2﹣52t+180=0解得：t=，t=＞8（不合题意舍去）∴t=第二种情况：8≤t≤10时．DP=DQ=10﹣t．∴当8≤t＜10时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．第三种情况：10＜t≤12时．DP=DQ=t﹣10．∴当10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．综上所述，t=或8≤t＜10或10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立．14．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC 相似？解答：解：设经x秒后，△PBQ∽△BCD，由于∠PBQ=∠BCD=90°，（1）当∠1=∠2时，有：，即；（2）当∠1=∠3时，有：，即，∴经过秒或2秒，△PBQ∽△BCD．15．如图，在△ABC 中，AB=10cm ，BC=20cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以2cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，问经过几秒钟，△PBQ 与△ABC 相似． 解答： 设经过秒后t 秒后，△PBQ 与△ABC 相似，则有AP=2t ，BQ=4t ，BP=10﹣2t ， 当△PBQ ∽△ABC 时，有BP ：AB=BQ ：BC ， 即（10﹣2t ）：10=4t ：20，解得t=2.5（s ）（6分）当△QBP ∽△ABC 时，有BQ ：AB=BP ：BC ， 即4t ：10=（10﹣2t ）：20，解得t=1．所以，经过2.5s 或1s 时，△PBQ 与△ABC 相似（10分）．解法二：设ts 后，△PBQ 与△ABC 相似，则有，AP=2t ，BQ=4t ，BP=10﹣2t分两种情况：（1）当BP 与AB 对应时，有=，即=，解得t=2.5s （2）当BP 与BC 对应时，有=，即=，解得t=1s所以经过1s 或2.5s 时，以P 、B 、Q 三点为顶点的三角形与△ABC 相似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB 的长为多少时，这两个直角三角形相似． 解答： 解：∵AC=，AD=2，∴CD==．要使这两个直角三角形相似，有两种情况：1） 当Rt △ABC ∽Rt △ACD 时， 2） 有=，∴AB==3；3） 当Rt △ACB ∽Rt △CDA 时， 4） 有=，∴AB==3．故当AB 的长为3或3时，这两个直角三角形相似．17．已知，如图，在边长为a 的正方形ABCD 中，M 是AD 的中点，能否在边AB 上找一点N （不含A 、B ），使得△CDM 与△MAN 相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．解答： 证明：分两种情况讨论：①若△CDM ∽△MAN ，则=．∵边长为a ，M 是AD 的中点， ∴AN=a ．②若△CDM ∽△NAM ，则．∵边长为a，M 是AD的中点，∴AN=a，即N点与B重合，不合题意．所以，能在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似．当AN=a时，N点的位置满足条件．18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？解答：解：设经过x秒后，两三角形相似，则CQ=（8﹣2x）cm，CP=xcm，（1分）∵∠C=∠C=90°，∴当或时，两三角形相似．（3分）（1）当时，，∴x=；（4分）（2）当时，，∴x=．（5分）所以，经过秒或秒后，两三角形相似．（6分）点评：本题综合考查了路程问题，相似三角形的性质及一元一次方程的解法．19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．解答：解：（1）若点A，P，D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，∴=，∴=，∴AP2﹣7AP+6=0，∴AP=1或AP=6，检测：当AP=1时，由BC=3，AD=2，BP=6，∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．当AP=6时，由BC=3，AD=2，BP=1，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．（2）若点A，P，D分别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．∴=，∴=，∴AP=．检验：当AP=时，由BP=，AD=2，BC=3，∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BPC．因此，点P的位置有三处，即在线段AB距离点A的1、、6处．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC 交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．解答：证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠MBE=45°，∴∠BME+∠MEB=135°又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°∴∠NEC+∠MEB=135°∴∠BEM=∠NEC，（4分）而∠MBE=∠ECN=45°，∴△BEM∽△CNE．（6分）（2）与（1）同理△BEM∽△CNE，∴．（8分）又∵BE=EC，∴，（10分）则△ECN与△MEN中有，又∠ECN=∠MEN=45°，∴△ECN∽△MEN．（12分）21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P 为顶点的三角形与△ABC相似．解答：解：以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似，所以△ABC∽△PAQ或△ABC∽△QAP，①当△ABC∽△PAQ 时，，所以，解得：t=6；②当△ABC∽△QAP时，，所以，解得：t=；③当△AQP∽△BAC时，=，即=，所以t=；④当△AQP∽△BCA时，=，即=，所以t=30（舍去）．故当t=6或t=时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．22．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？解答：解：∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP，∴△MAC∽△MOP．∴，即，解得，MA=5米；同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5米，∴小明的身影变短了5﹣1.5=3.5米．23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1）所需的测量工具是：；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．解答：解：（1）皮尺，标杆；（2）测量示意图如图所示；（3）如图，测得标杆DE=a，树和标杆的影长分别为AC=b，EF=c，∵△DEF∽△BAC，∴，∴，∴．（7分）24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）解答：解：（1）由题意可知：∠BAC=∠EDF=90°，∠BCA=∠EFD．∴△ABC ∽△DEF．∴，即，（2分）∴DE=1200（cm）．所以，学校旗杆的高度是12m．（3分）（2）解法一：与①类似得：，即，∴GN=208．（4分）在Rt△NGH中，根据勾股定理得：NH2=1562+2082=2602，∴NH=260．（5分）设⊙O的半径为rcm，连接OM，∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH．（6分）则∠OMN=∠HGN=90°，又∵∠ONM=∠HNG，∴△OMN∽△HGN，∴（7分），又ON=OK+KN=OK+（GN﹣GK）=r+8，∴，解得：r=12．∴景灯灯罩的半径是12cm．（8分）解法二：与①类似得：，即，∴GN=208．（4分）设⊙O的半径为rcm，连接OM，∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH．（5分）则∠OMN=∠HGN=90°，又∵∠ONM=∠HNG，∴△OMN∽△HGN．∴，即，（6分）∴MN=r，又∵ON=OK+KN=OK+（GN﹣GK）=r+8．（7分）在Rt△OMN中，根据勾股定理得：r2+（r）2=（r+8）2即r2﹣9r﹣36=0，解得：r1=12，r2=﹣3（不合题意，舍去），∴景灯灯罩的半径是12cm．（8分）25．（2007•白银）阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．解答：解：∵AE∥BD，∴△ECA∽△DCB，∴．∵EC=8.7m，ED=2.7m，∴CD=6m．∵AB=1.8m，∴AC=BC+1.8m，∴，∴BC=4，即窗口底边离地面的高为4m．点评：此题基本上难度不大，利用相似比即可求出窗口底边离地面的高．26．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．解答：解：（1）由已知：AB∥OP，∴△ABC∽△OPC．∵，∵OP=l，AB=h，OA=a，∴，∴解得：．（2）∵AB∥OP，∴△ABC∽△OPC，∴，即，即．∴．同理可得：，∴=是定值．（3）根据题意设李华由A到A'，身高为A'B'，A'C'代表其影长（如图）．由（1）可知，即，∴，同理可得：，∴，由等比性质得：，当李华从A走到A'的时候，他的影子也从C移到C'，因此速度与路程成正比∴，所以人影顶端在地面上移动的速度为．27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c2=a2+b2（1）S1=S2+S3；（2）S1=S2+S3．证明如下：显然，S1=，S2=，S3=∴S2+S3==S1；（3）当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3．证明如下：∵所作三个三角形相似∴∴=1 ∴S1=S2+S3；（4）分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则S1=S2+S3．28．已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．解答：解：∵△ABC ∽△ADE，∴AE：AC=AD：AB．∵AE：AC=（AB+BD）：AB，∴AE：9=（15+5）：15．∴AE=12．29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．（1）求BD、CD的长；（2）过B作BE⊥DC于E，求BE的长．解答：解：（1）Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC==5，∵Rt△ABC∽Rt△BDC，∴==，==，∴BD=，CD=；（2）在Rt△BDC中，S△BDC=BE•CD=BD•BC，∴BE===3．30．（1）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．解：（1）设=k，那么x=2k，y=3k，z=5k，由于3x+4z﹣2y=40，∴6k+20k﹣6k=40，∴k=2，∴x=4，y=6，z=10．（2）设一个三角形周长为Ccm，则另一个三角形周长为（C+560）cm，则，∴C=240，C+560=800，即它们的周长分别为240cm，800cm。
(易错题精选)初中数学图形的相似难题汇编及答案解析
（易错题精选）初中数学图形的相似难题汇编及答案解析一、选择题1．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=6x（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（）A．y=﹣6xB．y=﹣4xC．y=﹣2xD．y=2x【答案】C 【解析】【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出13BCOAODSS=VV，进而得出S△AOD=3，即可得出答案．【详解】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，∵∠BOA=90°，∴∠BOC+∠AOD=90°，∵∠AOD+∠OAD=90°，∴∠BOC=∠OAD，又∵∠BCO=∠ADO=90°，∴△BCO∽△ODA，∵BOAO=tan30°3∴13BCOAODSS=VV，∵12×AD×DO=12xy=3，∴S△BCO=12×BC×CO=13S△AOD=1，∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，故反比例函数解析式为：y=﹣2x．故选C．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数数的几何意义，正确得出S △AOD =2是解题关键．2．如图，在ABC ∆中，点D E F 、、分别在边AB AC BC 、、上，// ,//DE BC DF AC ，则下列结论一定正确的是( )A ．DE CE BF AE= B ．AE CE CF BF = C ．AD AB CF AC= D ．DF AD AC AB = 【答案】B【解析】【分析】 根据平行线分线段成比例定理，可得B 正确．【详解】解：//DE BC Q ，//DF AC ， ∴AE AD CE BD =，BF BD CF AD=， ∴AE CF CE BF =， 故B 选项正确，选项A 、C 、D 错误，故选：B ．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，找准对应边是解题的关键．3．如图，正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，BE EC =，将DCE ∆沿DE 对折至DFE ∆，延长EF 交边AB 于点G ，连接DG ，BF ．给出以下结论：①DAG DFG ∆≅∆；②2BG AG =；③EBF DEG ∆∆:；④23BFC BEF S S ∆∆=．其中所有正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】 根据正方形的性质和折叠的性质可得AD ＝DF ，∠A ＝∠GFD ＝90°，于是根据“HL”判定Rt △ADG ≌Rt △FDG ，可判断①的正误；设正方形ABCD 的边长为a ，AG ＝FG ＝x ，BG ＝a−x ，根据勾股定理得到x ＝13a ，得到BG ＝2AG ，故②正确；根据已知条件得到△BEF 是等腰三角形，易知△GED 不是等腰三角形，于是得到△EBF 与△DEG 不相似，故③错误；连接CF ，根据三角形的面积公式得到S △BFC ＝2S △BEF ．故④错误．【详解】解：如图，由折叠和正方形性质可知，DF ＝DC ＝DA ，∠DFE ＝∠C ＝90°，∴∠DFG ＝∠A ＝90°，在Rt △ADG 和Rt △FDG 中，AD DF DG DG ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △ADG ≌Rt △FDG （HL ），故①正确；设正方形ABCD 的边长为a ，AG ＝FG ＝x ，BG ＝a−x ，∵BE ＝EC ，∴EF ＝CE ＝BE ＝12a∴GE=12a+x由勾股定理得：EG2＝BE2＋BG2，即：(12a+x)2=(12a)2+(a-x)2解得：x＝13∴BG＝2AG，故②正确；∵BE＝EF，∴△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，∴△EBF与△DEG不相似，故③错误；连接CF，∵BE＝CE，∴BE＝12 BC，∴S△BFC＝2S△BEF．故④错误，综上可知正确的结论的是2个．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、图形的折叠变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积计算，有一定的难度．4．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC 的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质可推导得出AC2=AD•AB，由此即可解决问题.【详解】∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴△ADC∽△ACB，∴AC AD AB AC=，∴AC2=AD•AB=2×8=16，∵AC>0，∴AC=4，故选B.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题. 5．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论正确的是（）A．AD DEDB BC=B．BF EFBC AB=C．AEEC FCDE=D．EF BFAB BC=【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形的判定与性质逐项分析即可.由△ADE∽△ABC，可判断A的正误；由△CEF ∽△CAB，可判定B错误；由△ADE～△EFC，可判定C正确；由△CEF∽△CAB，可判定D错误.【详解】解：如图所示：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴DE AD AD BC AB DB=≠，∴答案A错舍去；∴△CEF ∽△CAB ， CF EF BC A B B BF C =≠ ∴答案B 舍去∵∠ADE ＝∠B ，∠CFE ＝∠B ，∴∠ADE ＝∠CFE ，又∵∠AED ＝∠C ，∴△ADE ～△EFC ，∴AE DE EC FC=，C 正确； 又∵EF ∥AB ， ∴∠CEF ＝∠A ，∠CFE ＝∠B ，∴△CEF ∽△CAB ，∴EF CE FC BF AB AC BC BC==≠， ∴答案D 错舍去；故选C ．【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似是解题的关键．6．如图，点E 是平行四边形ABCD 中BC 的延长线上的一点，连接AE 交CD 于F ，交BD 于M ，则图中共有相似三角形(不含全等的三角形)( )对．A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】【分析】 由平行四边形的性质可得AD//BC ，AB//CD ，根据相似三角形的判定方法进行分析，即可得到图中的相似三角形的对数．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD//BC ，AB//CD ，∴△ADM ∽△EBM ，△ADF ∽△ECF ，△DFM ∽△BAM ，△EFC ∽△EAB ，∵∠AFD=∠BAE ，∠DAE=∠E ，∴△ADF∽△EBA，∴图中共有相似三角形5对，故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定，平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB的中点，点P是直线BC 上一点，将△BDP沿DP所在的直线翻折后，点B落在B1处，若B1D⊥BC，则点P与点B 之间的距离为（）A．1 B．54C．1或 3 D．54或5【答案】D【解析】【分析】分点B1在BC左侧，点B1在BC右侧两种情况讨论，由勾股定理可AB=5，由平行线分线段成比例可得12BD BE DEAB BC AC===，可求BE，DE的长，由勾股定理可求PB的长．【详解】解：如图，若点B1在BC左侧，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴225AC BC+∵点D是AB的中点，∴BD=12BA=52∵B1D⊥BC，∠C=90°∴B1D∥AC∴12 BD BE DEAB BC AC===∴BE=EC=12BC=2，DE=12AC=32∵折叠∴B1D=BD=52，B1P=BP∴B1E=B1D-DE=1∴在Rt△B1PE中，B1P2=B1E2+PE2，∴BP2=1+（2-BP）2，∴BP=5 4如图，若点B1在BC右侧，∵B1E=DE+B1D=32+52，∴B1E=4在Rt△EB1P中，B1P2=B1E2+EP2，∴BP2=16+（BP-2）2，∴BP=5故选：D．【点睛】本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．8．矩形ABCO如图摆放，点B在y轴上，点C在反比例函数ykx=(x＞0)上，OA＝2，AB＝4，则k的值为（）A．4 B．6 C．325D．425【答案】C【解析】【分析】根据矩形的性质得到∠A=∠AOC=90°，OC=AB，根据勾股定理得到OB22OA AB=+=25，过C作CD⊥x轴于D，根据相似三角形的性质得到CD855=，OD455=，求得C (854555，)于是得到结论．【详解】解：∵四边形ABCO是矩形，∴∠A＝∠AOC＝90°，OC＝AB，∵OA＝2，AB＝4，∴过C作CD⊥x轴于D，∴∠CDO＝∠A＝90°，∠COD+∠COB＝∠COB+∠AOB＝90°，∴∠COD＝∠AOB，∴△AOB∽△DOC，∴OB AB OA OC CD OD==，∴2542CD OD==，∴CD85=，OD45=，∴C(45，85)，∴k325 =，故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．9．如图，在ABC V 中，点D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，且//DE BC ，CD 、BE 相较于点O ，连接AO 并延长交DE 于点G ，交BC 边于点F ，则下列结论中一定正确的是( )A ．AD AE AB EC= B ．AG AE GF BD = C ．OD AE OC AC = D ．AG AC AF EC = 【答案】C【解析】【分析】 由//DE BC 可得到DEO V ∽CBO V ，依据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质进行判断即可．【详解】解：A.∵//DE BC ， ∴AD AE AB AC= ,故不正确； B. ∵//DE BC ， ∴AG AE GF EC = ,故不正确； C. ∵//DE BC ，∴ADE V ∽ABC V ，DEO V ∽CBO V ,DE AE BC AC ∴=，DE OD BC OC = ． OD AE OC AC∴= ，故正确； D. ∵//DE BC ，∴AG AE AF AC= ,故不正确； 故选C ．【点睛】 本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．10．在平面直角坐标系中，把△ABC 的各顶点的横坐标都除以14，纵坐标都乘13，得到△DEF ，把△DEF 与△ABC 相比，下列说法中正确的是( )A ．横向扩大为原来的4倍，纵向缩小为原来的13B ．横向缩小为原来的14，纵向扩大为原来的3倍 C ．△DEF 的面积为△ABC 面积的12倍D ．△DEF 的面积为△ABC 面积的112 【答案】A【解析】【分析】【详解】解：△DEF 与△ABC 相比，横向扩大为原来的4倍，纵向缩小为原来的13；△DEF 的面积为△ABC 面积的169， 故选A.11．如图，点D 是ABC V 的边BC 上一点，,2BAD C AC AD ∠=∠= ，如果ACD V 的面积为15，那么ABC V 的面积为（ ）A ．20B ．22.5C ．25D ．30 【答案】A【解析】【分析】先证明C ABD BA ∽△△，再根据相似比求出ABC V 的面积即可．【详解】∵,BAD C B B ∠=∠=∠∠∴C ABD BA ∽△△∵2AC AD =∴4S ABD S CBA =V V∴43S ACD S CBA =V V ∵ACD V 的面积为15∴44152033S CBA S ACD ==⨯=VV 故答案为：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键．12．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是A．（﹣2，1）B．（﹣8，4）C．（﹣8，4）或（8，﹣4）D．（﹣2，1）或（2，﹣1）【答案】D【解析】试题分析：根据位似的性质，缩小后的点在原点的同侧，为（-2,1），然后求在另一侧为（2，-1）．故选D考点：位似变换13．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，则下列结论不正确的是（）A．AC2＝AD•AB B．CD2＝AD•BD C．BC2＝BD•AB D．CD•AD＝AC•BC 【答案】D【解析】【分析】直接根据射影定理来分析、判断，结合三角形的面积公式问题即可解决．【详解】解：如图，∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∴由射影定理得：AC2＝AD•AB，BC2＝BD•AB，CD2＝AD•BD；∴CD BC AD AC；∴CD•AC＝AD•BC，∴A，B，C正确，D不正确．故选：D．【点睛】该题主要考查了射影定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用射影定理来分析、判断、推理或解答．14．在相同时刻，物高与影长成正比，如果高为1米的标杆影长为2米，那么影长为30米的旗杆的高为（）A．20米B．18米C．16米D．15米【答案】D【解析】【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，利用标杆的高：标杆影长=旗杆的高：旗杆的影长，列出方程，求解即可得出旗杆的高度．【详解】解：根据题意解：标杆的高：标杆影长=旗杆的高：旗杆的影长，即1:2=旗杆高：30，∴旗杆的高=130=152⨯米．故选：D．【点睛】本题主要考察的是相似三角形的应用，正确列出方程是解决本题的关键．15．如图，在平行四边形ABCD中，AC=4，BD=6，P是BD上的任一点，过点P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E、F，设BP=x，EF=y，则能反映y与x之间关系的图象是（）A．B．C．D ．【答案】C【解析】【分析】【详解】图象是函数关系的直观表现，因此须先求出函数关系式．分两段求：当P 在BO 上和P 在OD 上，分别求出两函数解析式，根据函数解析式的性质即可得出函数图象．解：设AC 与BD 交于O 点，当P 在BO 上时，∵EF ∥AC ， ∴EF BP AC BO =即43y x =， ∴43y x =； 当P 在OD 上时，有643DP EF y x DO AC -==即， ∴y=483x -+．故选C ．16．如图，在ABC V 中，//,,30DE BC AF BC ADE ⊥∠=︒，2,33,DE BC BF ==则DF 的长为（）A ．4B ．23C ．33D ．3【答案】D【解析】【分析】先利用相似三角形的相似比证明点D 是AB 的中点，再解直角三角形求得AB ，最后利用直角三角形斜边中线性质求出DF ．【详解】解：∵//DE BC ，∴ADE ~ABC V V ，∵2DE BC =，∴点D 是AB 的中点，∵,30AF BC ADE ⊥∠=︒，33BF =，∴∠B ＝30°，∴AB 6cos30BF ==︒， ∴DF=3，故选：D ．【点睛】 此题主要考查相似三角形的判定与性质、解直角三角形和直角三角形斜边中线性质，熟练掌握性质的运用是解题关键．17．如图，顶角为36o 的等腰三角形，其底边与腰之比等k ，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰AB=1，ABC ∆为第一个黄金三角形，BCD ∆为第二个黄金三角形，CDE ∆为第三个黄金三角形以此类推，第2020个黄金三角形的周长（）A ．2018kB ．2019kC ．20182k k + D ．2019(2)k k +【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形对应角相等，对应边成比例，求出前几个三角形的周长，进而找出规律：第n 个黄金三角形的周长为k n-1（2+k ），从而得出答案．【详解】解：∵AB=AC=1，∴△ABC 的周长为2+k ；△BCD 的周长为k+k+k 2=k （2+k ）；△CDE 的周长为k 2+k 2+k 3=k 2（2+k ）；依此类推，第2020个黄金三角形的周长为k 2019（2+k ）．故选：D ．【点睛】此题考查黄金分割，相似三角形的性质，找出各个三角形周长之间的关系，得出规律是解题的关键．18．若△ABC 的每条边长增加各自的50%得△A 'B 'C '，若△ABC 的面积为4，则△A 'B 'C '的面积是（ ）A ．9B ．6C ．5D ．2【答案】A【解析】【分析】根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵△ABC 的每条边长增加各自的50%得△A ′B ′C ′，∴△ABC 与△A ′B ′C ′的三边对应成比例，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′， ∴214()150%9ABC A B C S S '''==+V V ， ∵△ABC 的面积为4，则△A'B'C'的面积是9．故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．19．如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确的是（ ）A ．∠ABD=∠CB ．∠ADB=∠ABC C ．AB CB BD CD = D ．AD AB AB AC= 【答案】C【解析】【分析】由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．【详解】∵∠A是公共角，∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意要求；当AB：AD=AC：AB时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D正确，不符合题意要求；AB：BD=CB：AC时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误，符合题意要求，故选C．20．已知正方形ABCD的边长为5，E在BC边上运动，DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，问CE为多少时A、C、F在一条直线上（）A．35B．43C．53D．34【答案】C【解析】【分析】首先延长BC，做FN⊥BC，构造直角三角形，利用三角形相似的判定，得出Rt△FNE∽Rt△ECD，再利用相似比得出12.52NE CD==，运用正方形性质,得出△CNF是等腰直角三角形，从而求出CE．【详解】解：过F作BC的垂线，交BC延长线于N点，∵∠DCE=∠ENF=90°，∠DEC+∠NEF=90°，∠NEF+∠EFN=90°，∴∠DEC=∠EFN，∴Rt△FNE∽Rt△ECD，∵DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，∴两三角形相似比为1：2，∴可以得到CE=2NF，12.52NE CD==∵AC平分正方形直角，∴∠NFC=45°，∴△CNF是等腰直角三角形，∴CN=NF，∴2255.3323 CE NE==⨯=故选C．【点睛】此题主要考查了旋转的性质与正方形的性质以及相似三角形的判定等知识，求线段的长度经常运用相似三角形的知识解决，同学们应学会这种方法.。
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.相似三角形难题易错题一．填空题（共2小题）1．如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．2．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F．若AB=a，AD=c，BE=b，则BF=_________．二．解答题（共17小题）3．如图所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：．4．如图所示，▱ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求证：．5．一条直线截△ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F．求证：．6．如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d．7．如图所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD 于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．8．已知：P为▱ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：．9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN．10．P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图所示）．求证：．11．如图所示．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC 延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC：AB．12．已知P为△ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F．求证：（1）（2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2．13．如图所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB．14．如图所示．P，Q分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且BP=BQ，BH⊥PC于H．求证：QH⊥DH．15．已知M是Rt△ABC中斜边BC的中点，P、Q分别在AB、AC上，且PM⊥QM．求证：PQ2=PB2+QC2．16．如图所示．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB，CF平分∠BCD．求证：EF∥BC．17．如图所示．在△ABC内有一点P，满足∠APB=∠BPC=∠CPA．若2∠B=∠A+∠C，求证：PB2=PA•PC．（提示：设法证明△PAB∽△PBC．）18．已知：如图，△ABC为等腰直角三角形，D是直角边BC的中点，E在AB上，且AE：EB=2：1．求证：CE⊥AD．19．如图所示，△ABC中，M、N是边BC的三等分点，BE是AC边上的中线，连接AM、AN，分别交BE于F、G，求BF：FG：GE的值．20.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4．求证提示：要证明如几何题的常用方法：①比例法：将原等式变为，故构造成以a+b、b为边且与a、c所在三角形相似的三角形。
②通分法：将原等式变为，利用相关定理将两个个比通分即：2013初中相似三角形难题易错题参考答案与解析一．填空题（共2小题）1．如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．考点：平行线分线段成比例．专题：计算题．分析：由于BC是△ABC与△DBC的公共边，且AB∥EF∥CD，利用平行线分线段成比例的定理，可求EF．解答：解：在△ABC中，因为EF∥AB，所以EF：AB=CF：CB①，同样，在△DBC中有EF：CD=BF：CB②，①+②得EF：AB+EF：CD=CF：CB+BF：CB=1③．设EF=x厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入③得x：6+x：9=1，解得x=．故EF=厘米．点评：考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算．2．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F．若AB=a，AD=c，BE=b，则BF=．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．专题：计算题．分析：首先作辅助线：取AB的中点M，连接OM，由平行四边形的性质与三角形中位线的性质，即可求得：△EFB∽△EOM与OM的值，利用相似三角形的对应边成比例即可求得BF的值．解答：解：取AB的中点M，连接OM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OB=OD，∴OM∥AD∥BC，OM=AD=c，∴△EFB∽△EOM，∴，∵AB=a，AD=c，BE=b，∴ME=MB+BE=AB+BE=a+b，∴，∴BF=．故答案为：．点评：此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题．二．解答题（共17小题）3．如图所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：．考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定．专题：证明题．分析：过D引DE∥AB，交AC于E，因为AD平分∠BAC（=120°），所以∠BAD=∠EAD=60°．若引DE∥AB，交AC于E，则△ADE为正三角形，从而AE=DE=AD，利用△CED∽△CAB，可实现求证的目标．解答：证明：过D引DE∥AB，交AC于E．∵AD是∠BAC的平分线，∠BAC=120°，∴∠BAD=∠CAD=60°．又∠BAD=∠EDA=60°，所以∴△ADE是正三角形，∴EA=ED=AD．①由于DE∥AB，所以△CED∽△CAB，∴===1﹣．②由①，②得=1﹣，从而+=．点评：本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了相似三角形的判定，考查了等边三角形的判定，考查了角平分线的性质，本题中求证△CED∽△CAB是解题的关键．4．如图所示，▱ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求证：．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：应利用平行四边形的性质，通过添加辅助线使各线段“集中”到一个三角形中来求证．解答：证明：延长CB与EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB．在△EIH中，由于DF∥IH，∴=．∵IH=AB，∴=，从而，﹣=﹣===1+．①在△OED与△OBH中，∠DOE=∠BOH，∠OED=∠OHB，OD=OB，∴△OED≌△OBH（AAS）．从而DE=BH=AI，∴=1．②由①，②得﹣=2．点评：此题考查学生对相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质的理解和掌握，此题的关键是延长CB与EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB．这是此题的突破点，也是一个难点，因此属于一道难题．5．一条直线截△ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F．求证：．考点：三角形的面积．专题：证明题．分析：连接BE、AD，并把线段之比转化为两三角形面积之比，然后约分即可求证．解答：证明：如图，连接BE、AD，∵△BDE与△DCE等高，∴=，∵△DCE与△ADE等高，∴=，∵△ADF与△BDF等高，∴=，∵△AEF与△BEF等高，∴=，∴=，∴••=••=1．点评：此题考查学生对三角形面积的理解和掌握，解答此题的关键是连接BE、AD，并把线段之比转化为两三角形面积之比．6．如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．专题：计算题．分析：由FG∥BC，HI∥CA，ED∥AB，易证四边形AIPE、四边形BDPF、四边形CGPH 均是平行四边形，利用平行线分线段成比例定理的推论可得△IHB∽△AFG∽△ABC，于是=，=，再结合=，先计算式子右边的和，易求++==2，从而有++=2，再把DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425代入此式，解即可．解答：解：∵FG∥BC，HI∥CA，ED∥AB，∴四边形AIPE、四边形BDPF、四边形CGPH均是平行四边形，∴△IHB∽△AFG∽△ABC，∴=，=，∴++=，又∵DE=PE+PD=AI+FB，AF=AI+FI，BI=IF+FB，∴DE+AF+BI=2×（AI+IF+FB）=2AB，∴++==2，∵DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425，∴++=++=2，∴++=2，解得d=306．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论、平行四边形的判定和性质．7．如图所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD 于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．考点：平行线分线段成比例．分析：由平行线的性质可得===，得出OE与BC，OF与AD的关系，进而即可求解EF的长．解答：解：∵AD∥BC，EF∥BC，∴===，又==，==，∴OE=BC=，OF=AD=，∴EF=OE+OF=15．点评：本题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算问题．8．已知：P为▱ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：．考点：相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：由于AB=CD，所以将转化为，再由平行线的性质可得=，进而求解即可．解答：证明：在平行四边形ABCD中，则AD∥BC，AB∥CD，∴==∴﹣=﹣==1．点评：本题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握．9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN．考点：相似三角形的判定与性质；梯形．专题：计算题．分析：由平行线分线段成比例可得对应线段的比，再由题中已知条件即可求解线段MN的长．解答：解：∵MN∥BC，∴在△ABD中，=，即OM==，同理ON==，∴MN=OM+ON=．点评：本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，能够熟练掌握．10．P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图所示）．求证：．考点：平行线分线段成比例．专题：证明题．分析：（1）由平行线可得△PIF∽△CAB，得出对应线段成比例，即==，同理得出==，即可证明结论；（2）证明方法与（1）相同．解答：证明：（1）∵DE∥AB，IH∥AC，FG∥BC，∴可得△PIF∽△CAB，∴==，同理==，++=++=1．（2）仿（1）可得==，===，∴++=++=1．点评：本题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质通过线段之间的转化，证明一些简单的结论．11．如图所示．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC 延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC：AB．考点：相似三角形的判定与性质；梯形．专题：计算题．分析：由平行线可得对应线段成比例，又由已知EF=FG=CH=HI=IJ，可分别求出线段AB、CD与AE、CJ的关系，进而可求解结论．解答：解：∵AB∥CD，EF=FG=CH=HI=IJ，∴==，∴==，==，∴DJ=4AE，又=，解得AB=AE，又AE=CJ，∴AB=CJ，EB=4CJ，==，CD=5CJ，∴AB：CD=：5=1：2．点评：本题主要考查了相似三角形对应边成比例或平行线分线段成比例的性质问题，应熟练掌握．12．已知P为△ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F．求证：（1）（2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2．考点：平行线分线段成比例．专题：证明题．分析：（1）第一问可由三角形的面积入手，即△PBC+△PAC+△PAB=△ABC，通过化简可得面积与线段之间的关系，进而即可求解．（2）由（1）中得出，则其中至少有一个不大于，可设≤，即3AD≤PD，而AD=AP+PD，进而通过证明即可得出结论．解答：解：（1）由面积概念得：S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC①整理等式得：++=1，②由面积概念得：=，=，∴=，即=③同理得：=④=⑤把式③、④、⑤、代入式②得：；（2）由，知，，中至少有一个不大于，不妨设≤即3AD≤PD．而AD=AP+PD，∴AP≥2PD，∴≥2，即不小于2，同理可证三式中至少有一个不大于2．点评：本题主要考查了三角形的面积比与对应边的比值之间的关系，能够熟练掌握其内在联系，并能求解一些比较复杂的问题．13．如图所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB．考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质．专题：证明题．分析：利用角平分线分三角形中线段成比例的性质，构造三角形，设法证明△MEF∽△MAB，从而EF∥AB解答：证明：过B作BG∥AC交AE的延长线于G，交AM的延长线于H．∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠CAE．∵BG∥AC，∴∠CAE=∠G，∴∠BAE=∠G，∴BA=BG．又BD⊥AG，∴△ABG是等腰三角形，∠ABF=∠HBF，∴F到AB与BH的距离相等，∴S△ABF：S△HBF=AB：BH，∵S△ABF：S△HBF=AF：FH，∴AB：BH=AF：FH．又M是BC边的中点，且BH∥AC，易知ABHC是平行四边形，从而BH=AC，∴AB：AC=AF：FH．∵AE是△ABC中∠BAC的平分线，∴AB：AC=BE：EC，AF：FH=BE：EC，即（AM+MF）：（AM﹣MF）=（BM+ME）：（BM﹣ME）（这是因为ABHC是平行四边形，所以AM=MH及BM=MC）．由合分比定理，上式变为AM：MB=FM：ME．在△MEF与△MAB中，∠EMF=∠AMB，∴△MEF∽△MAB∴∠ABM=∠FEM，所以EF∥AB．点评：此题考查学生对相似三角形的判定与性质和角平分线的理解和掌握，证明此题的关键是过B引BG∥AC交AE的延长线于G，交AM的延长线于H．和利用合分比定理．14．如图所示．P，Q分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且BP=BQ，BH⊥PC于H．求证：QH⊥DH．考点：相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质；正方形的性质．专题：证明题．分析：要证QH⊥DH，只要证明∠BHQ=∠CHD．由于△PBC是直角三角形，且BH⊥PC，熟知∠PBH=∠PCB，从而∠HBQ=∠HCD，因而△BHQ与△DHC相似．解答：证明：在Rt△PBC中，∵BH⊥PC，∴∠PBC=∠PHB=90°，∴∠PBH=∠PCB．显然，Rt△PBC∽Rt△BHC，∴=，由已知，BP=BQ，BC=DC，∴=，∴=．∵∠ABC=∠BCD=90°，∠PBH=∠PCB，∴∠HBQ=∠HCD．在△HBQ与△HCD中，∵=，∠HBQ=∠HCD，∴△HBQ∽△HCD，∴∠BHQ=∠DHC，∠BHQ+∠QHC=∠DHC+∠QHC．又∵∠BHQ+∠QHC=90°，∴∠QHD=∠QHC+DHC=90°，即DH⊥HQ．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，难度适中，关键是掌握相似三角形的判定方法．15．已知M是Rt△ABC中斜边BC的中点，P、Q分别在AB、AC上，且PM⊥QM．求证：PQ2=PB2+QC2．考点：直角三角形斜边上的中线；勾股定理．专题：证明题．分析：以M点为中心，△MCQ顺时针旋转180°至△MBN，根据旋转的旋转可得△MCQ与△MBN全等，根据全等三角形对应边相等可得BN=QC，MN=MQ，全等三角形对应角相等可得，∠MBN=∠C，再连接PN，可以证明PM垂直平分NQ，所以PN=PQ，然后证明△PBN为直角三角形，根据勾股定理即可证明．解答：证明：如图，以M点为中心，△MCQ顺时针旋转180°至△MBN，∴△MCQ≌△MBN，∴BN=QC，MN=MQ，∠MBN=∠C，连接PN，∵PM⊥QM，∴PM垂直平分NQ，∴PN=PQ，∵△ABC是直角三角形，BC是斜边，∴∠ABC+∠C=90°，∴∠ABC+∠MBN=90°，即△PBN是直角三角形，根据勾股定理可得，PN2=PB2+BN2，∴PQ2=PB2+QC2．点评：本题考查了直角三角形的旋转，旋转变换的旋转，勾股定理的应用，利用旋转变换把构造出以PQ、PB、QC转化为同一个直角三角形的三边是证明的关键．16．如图所示．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB，CF平分∠BCD．求证：EF∥BC．考点：相似三角形的判定与性质；平行线的判定．专题：证明题．分析：由题中条件可得AC=AF，即△ACF是等腰三角形，所以EC=EF，进而得出∠ECF=∠EFC，结论得证．解答：证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CAD=∠BCD，又AE平分∠CAB，CF平分∠BCD，∴∠BCF=∠CAE，∠B=∠ACD，∴∠B+∠ECF=∠B+∠BCF，即∠ACF=∠AFC，又AE平分∠CAB，∴AC=AF，∴CE=EF，即∠ECF=∠EFC，∴∠EFC=∠BCF，即EF∥BC．点评：本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的判定问题，应熟练掌握．17．如图所示．在△ABC内有一点P，满足∠APB=∠BPC=∠CPA．若2∠B=∠A+∠C，求证：PB2=PA•PC．（提示：设法证明△PAB∽△PBC．）考点：相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：用∠APB=∠APC=120°，∠CBP=∠BAP两个对应角相等证明△PAB∽△PBC，根据相似比可证到结论．解答：证明：∵∠APB=120°，∴∠ABP+∠BAP=60°，又∵∠ABC=60°，∴∠ABP+∠CBP=60°，∴∠CBP=∠BAP，又∵∠APB=∠APC=120°，∴△ABP∽△BCP，∴=，∴BP2=PA•PC．点评：本题考查相似三角形的判定和性质定理，先用判定定理证明相似，然后根据相似对应边成比例证明结论．18．已知：如图，△ABC为等腰直角三角形，D是直角边BC的中点，E在AB上，且AE：EB=2：1．求证：CE⊥AD．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：证明题．分析：过B作BC的垂线交CE的延长线于点F，从而可推出AC∥BF，根据平行线的性质可得到两组对应角相等从而可判定△ACE∽△BFE，根据相似三角形的对应边对应成比例可得到AC=2BF，进而得到CD=BF，再利用HL判定△ACD≌△CBF，由全等三角形的性质得其对应角相等，再根据等角的性质不难证得结论．解答：证明：过B作BC的垂线交CE的延长线于点F，（1分）∴∠FBC=∠ACB=90°．∴AC∥BF．∴△ACE∽△BFE．（3分）∴．∴AC=2BF．（4分）∵AC=BC，∴CD=BF．（5分）在△ACD和△CBF中，∴△ACD≌△CBF．（6分）∴∠1=∠2．∴∠2+∠3=∠1+∠3=90°．∴∠4=90°．∴CE⊥AD．（7分）点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定及性质及相似三角形的判定及性质的综合运用．19．（巧解妙解）如图所示，△ABC中，M、N是边BC的三等分点，BE是AC边上的中线，连接AM、AN，分别交BE于F、G，求BF：FG：GE的值．考点：平行线分线段成比例．专题：应用题．分析：作已知图形的中心对称图形，如图所示，设BF=a，FG=b，GE=c，由平行线的性质分别求出a，b与c之间的关系，即可得出其比值．解答：解：如答图所示．作已知图形的中心对称图形，以E为对称中心．令BF=a，FG=b，GE=c．∵M′C∥AM，N′C∥AN∴a：（2b+2c）=BM：MC=1：2∴a=b+c，而（a+b）：2c=BN：NC=2：1∴a+b=4c，所以a=c，b=c．∴BF：FG：GE=5：3：2．点评：本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，要求线段的比，通过作平行线构造比例线段是一种重要的方法．20.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4．求证提示：要证明如将原等式变为，为此若能设法利用长度分别为AB，BC，CA及AB＋AC这4条线段，构造一对相似三角形，问题可能解决．注意到，原△ABC中，已含上述4条线段中的三条，因此，不妨以原三角形ABC为基础添加辅助线，构造一个三角形，使它与△ABC相似，期望能解决问题．证延长AB至D，使BD=AC(此时，AD=AB＋AC)，又延长BC至E，使AE=AC，连结ED．下面证明，△ADE∽△ABC．设∠A=α，∠B=2α，∠C=4α，则:∠A+∠B+∠C=7α=180°．由作图知，∠ACB是等腰三角形ACE的外角，所以∠ACE=180°-4α＝3α，所以∠CAE=180°-3α-3α=7α-6α=α．从而∠EAB=2α＝∠EBA，AE＝BE．∵AE=AC，AE=BD，∴ BE=BD，△BDE是等腰三角形，∴∠D＝∠BED＝α＝∠CAB，∴△ABC∽△DAE，∴∴。