初中八年级数学上册第二章汇总

2.1 轴对称与轴对称图形知识点一：轴对称1，下列的图形中，左边图形与右边图形成轴对称的是（ D ）A．B．C．D．知识解读：把一个图形沿着一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。

轴对称的条件：（1）必须是两个图形；（2）存在一条直线，两个图形沿着这条直线对折后能够重合；知识点二：轴对称图形2．如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形的是( C )A． B． C． D．知识解读：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。

知识点三：轴对称与轴对称图形的区别和联系3.如图，在长方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，试用折叠的方法判断：（1）图中有哪几对三角形成轴对称？画出它们的对称轴；（2）图中哪几个三角形是轴对称图形?画出它们的对称轴。

解：（1）△OAB和△ODC，△ABC和△DCB，△ABD和△DCA成轴对称，它们的对称轴是直线MN；△OAD和△OBC，△ABC和△BAD，△ADC和△BCD成轴对称，它们的对称轴是直线PQ；解：△OAB、△OBC、△ODC、△OAD都是轴对称图形，△OAB、△ODC的对称轴都是直线PQ；△OBC、△OAD的对称轴都是直线MN知识解读：轴对称和轴对称图形的区别和联系：区别：（1）轴对称是指两个图形间的位置关系，轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形；（2）轴对称涉及两个图形，轴对称图形是对一个图形而言的．联系：（1）定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠重合；（2）如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分（即看成两个图形），那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．题型一：识别轴对称图形及轴对称4.观察下列大写英文字母：A、B、H、S、T、Y、Z，这7个大写字母中是轴对称图形的有那几个？答：A、B、H、T、Y是轴对称图形，共有5个；题型二：确定轴对称图形的对称轴5.判断下列图形是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．解：（1）（3）（5）（6）（9）不是轴对称图形；（2）（4）有1条对称轴；（7）有4条对称轴；（8）有1条对称轴；（10）有2条对称轴．题型三：生活中的轴对称现象6.小亮在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近8：00的是（ D ）A． B． C． D．点拨：可看试题的背面，背面显示的时间就是实际的时间；题型四：动手操作题7.如图所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是（ C ）点拨：每次翻折都是一次轴对称的变换，可由最后一格图逐步复原得到。

8.如图1所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（ D ）A． B． C．D．题型五：综合探究题8.如图所示的四个图形中，从几何图形的性质考虑与其他三个不同的图形序号是______．解：②。

因为①③④都是轴对称图形，②不是的。

9.数的运算中有一些有趣的对称式，如12×231=132×21，请你仿照这个等式填空：×462= ×解：因为462与264对称，且462和264分别是231和132的2倍，故另一对数可以分别是12和21的相同倍数的数，如12、21；24、42；36、63；48、84。

所以等式可以是12×462=264×21或24×462=264×42；2.2 轴对称的性质知识点一：线段的垂直平分线1、直线MN垂直平分线段AB，垂足是O.如果AB=6cm，那么AO长为多少？∠MOA 的度数为?注意点：1、线段的垂直平分线是一条直线，不是线段或者射线2、直线和射线没有中点，所以没有垂直平分线3、线段、射线和直线都是轴对称图形，线段有两条对称轴一是他们本身所在的直线，二是他的垂直平分线，射线和直线都只有一条对称轴，是它本身或者它本身所在的直线知识点二：轴对称性质2、图中的两组图形都成对称，请在图中标出A、B、C关于它们各自对称轴的对称点Aˊ、Bˊ、Cˊ。

3、轴对称性质知识点：1)成轴对称的两个图形全等;2)成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，3）成轴对称的两个图形，它们的对称线段（或对称线段的延长线）的交点在对称轴上，4）成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称。

4、如图所示，△ABC与△DEF关于直线l对称，则点ABC关于l的对应点分别是__D、E、F_,l是线段CF的___垂直平分线___,AB=_DE____,∠BAC= _∠EDF_ ，△ABC≌ _△DEF_ ，若∠ABC=40°，则∠DEF= _40度_。

若△DEF的周长为32cm，则△ABC的周长为_32_ cm。

知识点三：画与已知图形形成轴对称的图形6、如图，已知四边形ABCD和直线L．（1）作出四边形ABCD以直线L为对称轴的对称图形A′B′C′D′；（2）分别延长4条线段，使它们相交，你发现什么？（3）你能提出更多的问题吗？解：1）过点A作AP⊥直线l，垂足为p，延长ap到aˊ，使AˋP=AP，得到点A关于直线l的对称点Aˋ，2）同理，作出点BCD关于直线l的对称点BˋCˋDˋ，3）顺次连接线段AˋB、ˋB Cˋ、CˋDˋ、DˋAˋ则四边形AˋBˋCˋDˋ即为所求做的四边形（2）交点在对称轴上；（3）与AD相等的线段是哪一条．Eg，如图，已知△ABC和直线MN，画△ABC关于直线MN的轴对称图形，并写画图过程知识点4,/由已知图形和一个点的对称点画出轴对称图形5、已知四边形ABCD，如果点D、C关于直线MN对称，（1）画出直线MN；（2）画出四边形ABCD关于直线MN的对称图形．1）连接dc，作出dc的垂直平分线，即为mn，2）分别画出点AB关于直线mn的对称点AˊBˊ,D的对称点为C。

c的对称点为d，顺次连接AˊBˊ，AˊD、BˊC、CD.则AˊBˊDC即为所求对称图形知识点四：利用轴对称的性质解决折叠问题6、如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．（1）探索并写出这种关系；（2）请说明理由．表示出图中所有三角形的内角和以及所有四边形的内角和，整理化简即可得到所求角之间的关系．解答：解：（1）2∠A=∠1+∠2；（2）在原三角形ABC中，∠A+∠B+∠C=180°①；在△ADE中∠A+∠ADE+∠AED=180°②；在四边形BCDE中∠B+∠C+∠1+∠2+∠ADE+∠AED=360°③；①+②-③得2∠A=∠1+∠2．点评：注意：①几何计算题中，常用到方程的思想；②求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件；③三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．Eg，如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE 折叠压平，A与A'重合，若∠A=75°，则∠1+∠2= 140如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB..”主要考查你对轴对称，三角形的内角和定理等考点的理解。

：试题分析：有题意分析，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，则有：,由题知，Eg，如图，把一张长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点Dˊ、Cˊ的位置，若∠EFB=65°，则∠AED=答案】分析：首先根据AD∥BC，求出∠FED的度数，然后根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，则可知∠DEF=∠FED′，最后求得∠AED′的大小．解答：解：∵AD∥BC，∴∠EFB=∠FED=65°，由折叠的性质知，∠DEF=∠FED′=65°，∴∠AED′=180°-2∠FED=50°．故∠AED′等于50°．知识点六、轴对称的性质在生活的应用如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子，我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内沿直线隔着棋子对称跳行，跳行一次称为一步，已知点A为乙方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为（）A．2步B．3步C．4步D．5步观察图形可知：先向右跳行，在向左，最后沿着对称的方法即可跳到对方那个区域，所以最少是3步．故选B．eg 如图，四边形CDEF是一个长方形的台球桌面，白、黑两球分别位于点A、B处，试问怎样撞击黑球A,使A先碰到台边EF反弹后再击中白球B?将A沿EF边对称,得一个点P,将P与B连线,该连线与EF交于Q,连AQ,AQB便是所要的路径,题目的意思是要入射角等于出射角,角AQE=角PQE.对称,角PQE=角BQF.对顶角,因此,角AQE=角BQF,入射角为角AQE的余角,出射角为角BQF的余角,因此入射角等于出射角知识点七：综合探究题如图，正六边形ABCDEF中，对角线AD、BECF交于点o，问图中哪个三角形与△AOF 成轴对称，并指出相应的对称轴（至少指出三个）分析1）△AOB，对称轴为AD所在的直线2）△BOC，对称轴为AB的中垂线，3）△DOC，对称轴为EB所在的直线4）△EOD，对称轴为EF的中垂线5）△EOF，对称轴为FC所在的直线。

Eg，如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称．（1）画出直线EF；（2）直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB″与直线MN、EF所夹锐角α的数量关系．（1）如图，连接B′B″．（1分）作线段B'B″的垂直平分线EF．（2分）则直线EF是△A′B′C′和△A″B″C″的对称轴．（3分）（2）连接B′O．∵△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称，∴∠BOM=∠B'OM．（5分）又∵△A'B'C'和△A″B″C″关于直线EF对称，∴∠B′OE=∠B″OE．（6分）∴∠BOB″=∠BOM+∠B′OM+∠B′OE+∠B″OE=2（∠B′OM+∠B′OE）=2α即∠BOB″=2α．（7分如图，四边形ABCD的对角线AC BD相交于点O。

AC⊥BD OA>OC,OB>OD试问：BC+AD>AB+CD解法一：证明：在OA上截取OC′=OC,在OB上截取OD′=OD,连接C′D′,AD′,BC′,设BC′、AD′交于E,易证△COD≌△C′OD′（SAS）,所以CD=C′D′,易证△AOD≌△AOD′,△COB≌△C′OB（SAS）,所以AD=AD′,CB=C′B,在△C′D′E中,C′E+D′E＞C′D′①在△ABE中,AE+BE ＞AB②①+②得AE+D′E+BE+C′E＞AB+C′D′,所以A D′+BC′＞AB+CD,所以AD+BC＞AB+CD．解法二：由勾股定理得：(BC+AD)-(AB+CD)=（BC-AB）+（AD-CD)=(√OB^2+OC^2-√OA^2+OB^2)+(√OA^2+OD^2-√OC^2+OD^2 )=(OC^2-OA^2 )/(√OB^2+OC^2+√OA^2+OB^2)+(OA^2-OC^2)/√OA^2+OD^2+√OC^2+OD^2 ) =(OA^2-OC^2)(1/(√OA^2+OD^2+√OC^2+OD^2)-1/(√OB^2+OC^2+√OA^2+O B^2)因为OB＞OD,所以√OA^2+OB^2＞√OA^2+OD^2,√OB^2+OC^2＞√OC^2+OD^2所以√OB^2+OC^2+√OA^2+OB^2＞√OA^2+OD^2+√OC^2+OD^2所以1/(√OA^2+OD^2+√OC^2+OD^2)＞1/(√OB^2+OC^2+√OA^2+OB^2又因为OA＞OC ,所以OA^2-OC^2＞0 ,所以BC+AD ＞AB+CD2.4 线段、角的轴对称性知识点一:线段的轴对称性1，如图,点p在线段AB的垂直平分线l上,若PA=4cm,则PB的长为多少根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，得PB= PA=4 知识点:线段是轴对称图形,有两条对称轴,,垂直平分线和线段本身.2，如图所示，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD 和∠BCD ，连接BD ，则AC 与BD 交于点E ，求证：直线AC 垂直平分线段BD证明：∵AC 平分∠BAD 和∠BCD,∴∠BAC=∠DAC ，∠BCA=∠DCA ，在△ABC 和△ADC 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠DCA BCA ACAC DAC BAC ∴△ABC ≌△ADC(ASA)∴ AB=AD ，BC=DC.∴点A 、C 在线段BD 的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上），即直线AC 垂直平分线段BD3、如图，如图,点D 在△ABC 的边BC 上.如果DC=DA,那么点D 在线段( AB )的垂直平分线上；如果BC=DC+AD,那么点D 在线段( AC )的垂直平分线上.解：∵BC=BD+AD=BD+C D∴AD=C D∴点D 在AC 的垂直平分线上．知识解读：线段的垂直平分线有如下定理：（1）性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；（2）判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。