定义新运算附答案
【初中数学】专题四 定义新运算 (练习题)
专题四定义新运算(361)1.现规定一种运算“*”，对于a，b两数有a∗b=a b−2ab，则计算(−3)∗2的值为2.定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为n2k (其中k为使n2k为奇数的正整数)．运算重复进行下去，例如，取n=26，运算如图.若n=449，则第449次“F运算”的结果是．3.已知a，b均为有理数，现我们定义一种新的运算，规定：a#b=a2+ab−5.例如：1#2=12+1×2−5=−2.求：(1)(−3)#6的值；(2)[2#(−32)]−[(−5)#9]的值．4.定义一种新运算：1⊙3=1×4+3=7；3⊙(−1)=3×4−1=11；5⊙4=5×4+4=24；4⊙(−3)=4×4−3=13.(1)请你想一想：a⊙b=；(2)若a≠b，则a⊙b b⊙a(填入“=”或“≠”)；(3)若a⊙(−2b)=4，则2a−b=，并计算(a−b)⊙(2a+b)的值．5.若“∗”是一种新的运算符号，并且规定a∗b=a+bb2．例如：3∗5=3+552=825，求[2∗(−2)]∗(−3)的值．6.计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢2进1”，如(1101)2表示二进制数，将它转换成十进制形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进制数(1111)2转换成十进制形式是（）A.8B.15C.30D.317.小亮在电脑上设计了一个有理数运算的程序：输入a，※键，再输入b，得到运算a※b=a2−b2−2b×(a−b)，则(−2)※3等于．参考答案1.【答案】:21【解析】:(−3)∗2=(−3)2−2×(−3)×2=9+12=21.2.【答案】:8【解析】:本题提供的“F运算”，需要对正整数n分情况(奇数、偶数)循环计算，由于n=449为奇数应先进行F①运算，即3×449+5=1352(偶数)，需再进行F②运算，即1352÷23=169(奇数)，再进行F①运算，得到3×169+5=512(偶数)，再进行F②运算，即512÷29=1(奇数)，再进行F①运算，得到3×1+5=8(偶数)，再进行F②运算，即8÷23=1，再进行F①运算，得到3×1+5=8(偶数)，…，即第1次运算结果为1352，…，第4次运算结果为1，第5次运算结果为8，可以发现第6次运算结果为1，第7次运算结果为8，从第6次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为8，偶数次运算的结果为1，而第449次是奇数次，故这样循环计算一直到第449次“F运算”，得到的结果为8.3(1)【答案】解：(−3)#6=(−3)2+(−3)×6−5=9−18−5=−14.(2)【答案】[2#(−3)]−[(−5)#9]2=[22+2×(−3)−5]−[(−5)2+(−5)×9−5]2=(4−3−5)−(25−45−5)=−4+25=21.4(1)【答案】4a+b(2)【答案】≠【解析】:因为a⊙b=4a+b，b⊙a=4b+a，所以(a⊙b)−(b⊙a)=(4a+b)−(4b+a)=4a+b−4b−a=3(a−b)．因为a≠b，所以3(a−b)≠0，所以(a⊙b)≠(b⊙a)．故答案为≠．(3)【答案】因为a⊙(−2b)=4，a⊙(−2b)=4a+(−2b)=4a−2b，所以4=4a−2b，所以2a−b=2.故答案为2.(a−b)⊙(2a+b)=4(a−b)+(2a+b)=6a−3b=3(2a−b)=3×2=6.5.【答案】:解：原式=2+(−2)∗(−3)(−2)2=0∗(−3)=0+(−3)(−3)2．=−136.【答案】:B【解析】:1×23+1×22+1×21+1×20=8+4+2+1=15.7.【答案】:25【解析】:(−2)※3=(−2)2−32−2×3×(−2−3)=4−9+30=25.。
七上数学每日一练：定义新运算练习题及答案_2020年压轴题版
七上数学每日一练：定义新运算练习题及答案_2020年压轴题版答案解析答案解析答案解析2020年七上数学：数与式_代数式_定义新运算练习题1.(2019东阳.七上期末) 东东在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序数：x ， x ， x ， 称为数列x ， x， x .计算|x |，，，将这三个数的最小值称为数列x ， x ， x 的最佳值.例如，对于数列2，-1，3，因为|2|=2， =， = ，所以数列2，-1，3的最佳值为 .东东进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳值.如数列-1，2，3的价值为 ；数列3，-1，2的最佳值为1；….经过研究，东东发现，对于“2，-1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，最佳值的最小值为 .根据以上材料，回答下列问题：（1） 数列-4，-3，1的最佳值为；（2） 将“-4，-3，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的最佳值的最小值为，取得最佳值最小值的数列为（写出一个即可）；（3） 将2，-9，a （a ＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列.若这些数列的最佳值为1，求a 的值.考点： 定义新运算;2.(2019椒江.七上期末) 阅读理解：整体代换是一个重要的数学思想方法.例如：计算4(a+b)-7(a+b)+(a+b)时可将(a+b)看成一个整体，合并同类项得-2(a+b)，再利用分配律去括号得-2a-2b.同时，我们也知道：代数的基本要义就是用字母表示数使之更具一般性。
所以，在计算a(a+b)时，同样可以利用分配律得a +a b .（1） 请你尝试着把(a-2)或(b-2)看成整体计算：(a-2)(b-2)（2） 创新应用：如果两个数的乘积等于它们的和的两倍，则我们称这两个数为“积倍和数对”.即：若ab=2(a+b)，则a 、b 是一对积倍和数对，记为(a 、b)．例如：因为3×6＝2(3＋6)，所以3和6是一对积倍和数对，记为(3、6).请你找出所有a 、b 均为整数的积倍和数对.考点： 定义新运算;3.(七上期末) 在一个m （m≥3，m 为整数）位的正整数中，若从左到右第n （n≤m ，n 为正整数）位上的数字与从右到左第n 位上的数字之和都等于同一个常数k （k 为正整数），则称这样的数为“对称等和数”．例如在正整数3186中，因为3+6=1+8=9，所以3186是“对称等和数”，其中k=9．再如在正整数53697中，因为5+7=3+9=6+6=12，所以53697是“对称等和数”，其中k=12．（1） 已知在一个能被11整除的四位“对称等和数”中k=4．设这个四位“对称等和数”的千位上的数字为s （1≤s≤9，s 为整数），百位上的数字为t （0≤t≤9，t 为整数）， 是整数，求这个四位“对称等和数”；（2） 已知数A ，数B ，数C 都是三位“对称等和数”．A= （1≤a≤9，a 为整数），设数B 十位上的数字为x （0≤x≤9，x为整数），数C 十位上的数字为y （0≤y≤9，y 为整数），若A+B+C=1800，求证：y=﹣x+15．考点：用字母表示数;列式表示数量关系;定义新运算;4.(2020海淀.七上期中) 阅读下列材料：我们给出如下定义：数轴上给定两点，以及一条线段，若线段的中点 在线段上（点可以与点或重合），则称点与点 关于线段 径向对称.下图为点 与点 关于线段 径向对称的示意图.12312311232答案解析答案解析解答下列问题：如图1，在数轴上，点为原点，点 表示的数为-1，点 表示的数为2.（1） ①点，， 分别表示的数为-3， ，3，在，，三点中，与点关于线段径向对称；②点表示的数为 ，若点与点关于线段径向对称，则 的取值范围是；（2）在数轴上，点 ，，表示的数分别是-5，-4，-3，当点以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动时，线段同时以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动.设移动的时间为（）秒，问为何值时，线段 上至少存在一点与点 关于线段径向对称.考点： 数轴及有理数在数轴上的表示;定义新运算;一元一次方程的其他应用;5.(2018天河.七上期末) A ，B ，C 为数轴上三点，若点C 到点A 的距离是点C 到点B 的距离的2倍，我们就称点C 是【A ，B 】的和谐点.例如：图1中，点A 表示的数为-1，点B 表示的数为2。
定义新运算练习题
定义新运算练习题 一、选择题 1、对于两个数A、B，规定A*B = A×B÷2，则5*6的值为（ ） A．15 B．30 C．25 D．10 答案：A 解析：由题意，5*6 = 5×6÷2 =30÷2 =15。
2、如果定义a△b = 2ab - b2，那么7△9 =（ ） A．56 B．45 C．77 D．14 答案：B 解析：7△9 = 2×7×9 - 92 =126-81 = 45。
3、规定一种运算：a※b =（b + a）×b，则（3※2）※4 =（ ） A．56 B．40 C．9 D．24 答案：A 解析：3※2=（3+2）×2 =10；10※4 =（10+4）×4 =56，所以（3※2）※4 = 56。
4、我们可以把a×a×a…×a（共n个a相乘）记为an，例如3×3×…×3（共6个3相乘）=729，现规定如下：如果正整数a，n，b满足an = b，则记作n = a○b，根据上述规定判断下列哪个是错误的？（ ） A．23×33=63 B．2○4=3○9 C．3○3+3○27=3○81 D．（3○9）×（3○3）=3○27 答案：D 解析： A，23×33=2×2×2×3×3×3=6×6×6= 63，正确； B，22=4，32=9，2○4=2，3○9=2，2○4=3○9，正确； C，31=3，33=27，34=81，3○3=1，3○27=3，3○81=4，1+3=4，3○3+3○27=3○81，正确； D，31=3，32=9，33=27，3○9=2，3○3=1，3○27=3，1×2≠3，（3○9）×（3○3）≠3○27，结论不正确。
5、规定一种新运算a*b=baba1111，则31*41=（ ） A．7 B．12 C．712 D．127 答案：C
6、定义新运算：○与？ 已知A○B =A+B-1，A？B=A×B-1，如果x○（x？4）=30，则x的值为（ ）
A．6 B．532 C．533 D．7 答案：B 解析：由已知x○（x？4）=30 => x○（4x-1）=30 => x+4x-1-1=30 => 5x=32 => x=532 7、定义运算：a*b，当a＞b时，有a*b=a，当a＜b时，有a*b=b，如果（x+3）*2x=x+3，那么x的取值范围是（ ） A．x＜3 B．x＞3 C．x＜1 D．1＜x＜3 答案：A 解析：∵（x+3）*2x=x+3，∴x+3＞2x，解得x＜3，
定义新运算练习题四年级
定义新运算练习题四年级
1. 题目一：如果“*”表示加法，那么计算 3*5 的结果是多少？
答案：3+5=8
2. 题目二：如果“&”表示乘法，那么计算 4&6 的结果是多少？
答案：4×6=24
3. 题目三：如果“^”表示减法，那么计算 9^4 的结果是多少？
答案：9-4=5
4. 题目四：如果“@”表示除法，那么计算 15@3 的结果是多少？
答案：15÷3=5
5. 题目五：如果“#”表示加法和乘法的组合运算，即 a#b=a+b+a×b，
那么计算 2#3 的结果是多少？
答案：2+3+2×3=2+3+6=11
6. 题目六：如果“%”表示乘法和除法的组合运算，即 a%b=a×b÷a，
那么计算 8%4 的结果是多少？
答案：8×4÷8=32÷8=4
7. 题目七：如果“$”表示加法和减法的组合运算，即 a$b=a+b-a，
那么计算 7$5 的结果是多少？
答案：7+5-7=12-7=5
8. 题目八：如果“!”表示一个数的平方，那么计算 6! 的结果是多
少？
答案：6×6=36
9. 题目九：如果“|”表示一个数的立方，那么计算 3| 的结果是多
少？
答案：3×3×3=27
10. 题目十：如果“~”表示一个数的倒数，那么计算 4~ 的结果是多
少？
答案：1÷4=0.25
小学思维数学：定义新运算-带答案解析
定义新运算定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
一 定义新运算 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二 定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合模块一、直接运算型【例 1】 若*A B 表示()()3A B A B +⨯+，求5*7的值。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算【解析】 A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘积。
由 A *B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ）可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312【答案】312【巩固】 定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求的值。
小学四年级奥数第23讲 定义新运算(含答案分析)
第23讲定义新运算一、知识要点：运算方式不同，实质上是对应法则不同。
一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。
通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。
这一讲，我们将定义一些新的运算形式，它们与我们常用的加、减、乘、除运算是不相同的。
二、精讲精练例1：设a、b都表示数，规定：a△b表示a的3倍减去b的2倍，即：a△b = a×3－b×2。
试计算：（1）5△6；（2）6△5。
练习一1、设a、b都表示数，规定：a○b=6×a－2×b。
试计算3○4。
2、设a、b都表示数，规定：a*b=3×a＋2×b。
试计算：（1）（5*6）*7 （2）5*（6*7）例2：对于两个数a与b，规定a⊕b=a×b＋a＋b，试计算6⊕2。
练习二1、对于两个数a与b，规定：a⊕b=a×b－（a＋b）。
计算3⊕5。
2、对于两个数A与B，规定：A☆B=A×B÷2。
试算6☆4。
例3：如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，按此规律计算3△5。
练习三1、如果5▽2=5×6，2▽3=2×3×4，计算：3▽6。
2、如果2▽4=24÷（2＋4），3▽6=36÷（3＋6），计算8▽4。
例4：对于两个数a与b，规定a□b=a+ (a+1)+(a+2)+…(a+b－1)。
已知x□6=27，求x。
练习四1、如果2□3=2＋3＋4=9，6□5=6＋7＋8＋9＋10=40。
已知x□3=5973，求x。
2、对于两个数a与b，规定a□b=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b－1)，已知95□x=585，求x。
三、课后作业1、有两个整数是A、B，A▽B表示A与B的平均数。
已知A▽6=17，求A。
2、对于两个数a与b，规定：a⊕b= a×b＋a＋b。
如果5⊕x=29，求x。
3、如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，且1△x=15，求x。
四年级上册奥数知识点专讲第3课《定义新运算》试题附答案
答案
四年级奥数上册：第三讲定义新运算习题解答
---------------------赠予---------------------
【幸遇•书屋】
你来，或者不来
我都在这里，等你、盼你
等你婉转而至
盼你邂逅而遇
你想，或者不想
我都在这里，忆你、惜你
忆你来时莞尔
惜你别时依依
你忘，或者不忘
我都在这里，念你、羡你
念你袅娜身姿
羡你悠然书气
人生若只如初见
任你方便时来
随你心性而去
却为何，有人
为一眼而愁肠百转
为一见而不远千里
晨起凭栏眺但见云卷Fra bibliotek舒风月乍起
春寒已淡忘
如今秋凉甚好
几度眼迷离
感谢喧嚣
把你高高卷起
砸向这一处静逸
惊翻了我的万卷
和其中的一字一句
幸遇只因这一次
被你拥抱过，览了
被你默诵过，懂了
被你翻开又合起
被你动了奶酪和心思
不舍你的过往
和过往的你
记挂你的现今
和现今的你
遐想你的将来
和将来的你
难了难了
相思可以这一世
---------------------谢谢喜欢--------------------
小学六年级数学专题思维训练—定义新运算
小学六年级数学专题思维训练—定义新运算1.规定：如果A大于B，则【A-B】=A-B，如果A等于B，则【A-B】=0，如果A小于B，则【A-B】=B-A，根据上述规律计算：【4.1-1.3】+【2.3-5.6】+【3.2-2.3】=【答案】 6.2【分析】原式=（4.2-1.3）+（5.6-2.3）=6.22，对于正整数 A与B，规定A*B=A×（A+1)×（A+2)×……×（A+B+1)。
如果(X*3）*2=3660，那么X=【答案】3【分析】方法一：由题中所给的定义可知，B为多少，则有多少个乘数。
3660=60×61，即：60*2=3660，则X*3=60；60=3×4×5，即3*3=60，所以X=3方法二：可以将（X*3）看作一个整体Y，那么就是Y*2=3660，Y*2=Y（Y+1)=3660=60×61，所以Y=60，那么就有X*3=60,60=3×4×5，即3*3=60，所以X=3。
3.国际统一书号ISBN由10个数字组成，前面9个数字分成3组，分别用来表示区域、出版社和书名，最后一个数字则作为核检之用，核检码可以根据前面9个数字按照一定的顺序算得。
如某书的书号是ISBN 7-107-17543-2，它的核检验码的计算顺序是①7×10+1×9+0×8+7×7+1×6+7×5+5×4+4×3+3×2=207②207÷11=18 (9)③11-9=2，这里的2就是该书号的检验码。
依照上面的顺序，求书号ISBN7-303-07618-□的检验码。
【答案】2【分析】7×10+3×9+0×8+3×7+0×6+7×5+6×4+1×3+8×2=196；196除以11=17……9；11-9=2.4.若A 、B 、C 为任意正整数，定义： [A,B,C]=（A ×B+C,D)；（D,E ）-（F ，G ）=（D ×G-E ×F ）则[11,2,5]-[3,1,7]=( , ) 【答案】（289，35）【分析】[11,2,5]-[3,1,7]=(11×5+2.5)-（3×7+1.7）=（57,5）-（22,7）=（289,35）5.有ABCD 四种计算机装置，装置A ；将输入的数乘以5；装置B 将输入的数加上3；装置C 将输入的数除以4，装置D 将输入的数减去6，这些装置可以连接，如装置A 后面连接装置B ，就写成A*B ，输入4，结果就是23，输入装置B 后面连接A ，就写成B*A ，输入4，其结果是35①装置A*C*D 连接，输入19，结果是多少？②装置D*C*B*A 连接，输入什么数，结果是96？【答案】①471②5354 【分析】①19×5÷4-6=471 ② 设输入的数为X ，有[(X-6)÷4+3]×5=96,解得X=3354 6.规定A@B===+⨯++⨯2010@2009322@1)111，求，已知）（（X B A B A 【答案】404009924040099220111-2009120111-2010120101-20091120101200912010200912010@2009132221112112@1==+=+⨯++⨯===+⨯++⨯=）（）（，解得）（）（分析：由运算规则，X7.用A*B 表示A 和B 中较大的数除以较小的数所得的余数。
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定义新运算附答案我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等。
如：2＋3＝52×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法,对应法则不同就是不同的运算。
当然，这个对应法则应该是对任意两个数,通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中,我们定义了一些新的运算形式,它们与我们常用的“＋”，“－"，“×”，“÷”运算不相同。
我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例1、设a、b都表示数，规定a△b＝3×a－2×b，①求3△2， 2△3;②这个运算“△"有交换律吗？③求（17△6）△2,17△（6△2);④这个运算“△”有结合律吗？⑤如果已知4△b＝2，求b。
分析:解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质,本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍.解：① 3△2＝3×3－2×2＝9－4＝52△3＝3×2－2×3＝6－6＝0。
②由①的例子可知“△”没有交换律.③要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有:17△6＝3×17－2×6＝39；再计算第二步39△2＝3 × 39－2×2＝113，所以（17△6)△2＝113.对于17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2＝3×6－2×2＝14，其次17△14＝3×17－2×14＝23,所以17△（6△2）＝23。
④由③的例子可知“△”也没有结合律。
⑤因为4△b＝3×4－2×b＝12－2b，那么12－2b＝2，解出b＝5。
例2、定义运算※为a※b＝a×b－(a＋b),①求5※7，7※5; ②求12※（3※4），（12※3)※4；③这个运算“※”有交换律、结合律吗？④如果3※（5※x)＝3，求x.解：① 5※7＝5×7－（5＋7）＝35－12＝23，7※ 5＝7×5－（7＋5）＝35－12＝23。
②要计算12※(3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5,再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以12※（3※4)＝43.对于(12※3)※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59,所以(12※ 3）※4＝59.③由于a※b＝a×b－（a＋b)；b※a＝b×a－（b＋a)＝a×b－(a＋b）（普通加法、乘法交换律）所以有a※b＝b※a,因此“※”有交换律.由②的例子可知，运算“※"没有结合律。
④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5；3※(5※x）＝3※(4x－5）＝3（4x－5）－（3＋4x－5）＝12x－15－（4x－2）＝ 8x－ 13那么 8x－13＝3 解出x＝2。
例3、定义新的运算a Å b＝a×b＋a＋b.①求6 Å 2，2 Å 6；②求（1 Å 2）Å 3，1 Å（2 Å 3)；③这个运算有交换律和结合律吗？解:① 6 Å 2＝6×2＋6＋2＝20，2 Å 6＝2×6＋2＋6＝20。
②（1 Å 2）Å 3＝（1×2＋1＋2）Å 3＝5 Å 3＝5×3＋5＋3＝231 Å（2 Å 3)＝1 Å（2×3＋2＋3）＝1 Å 11＝1×11＋1＋11＝23.③先看“Å”是否满足交换律:a Å b＝a×b＋a＋bb Å a＝b×a＋b＋a＝a×b＋a＋b（普通加法与乘法的交换律）所以a Å b＝b Å a,因此“Å”满足交换律。
再看“Å”是否满足结合律：（a Å b)Å c＝（a×b＋a＋b)Å c＝(a×b＋a＋b）×c＋a×b＋a＋b＋c＝abc＋ac＋bc＋ab＋a＋b＋c.a Å（b Å c)＝a Å（b×c＋b＋c)＝a×（b×c＋b＋c）＋a＋b×c＋b＋c＝abc＋ab＋ac＋a＋bc＋b＋c＝abc＋ac＋bc＋ab＋a＋b＋c。
(普通加法的交换律)所以（a Å b）Å c＝a Å(b Å c），因此“Å”满足结合律.说明：“Å”对于普通的加法不满足分配律,看反例：1 Å（2＋3)＝1 Å 5＝1×5＋1＋5＝11；1 Å 2＋1 Å 3＝1×2＋1＋2＋1×3＋1＋3＝5＋7＝12；因此1 Å（2＋3）≠ 1 Å 2＋1 Å 3。
例4、有一个数学运算符号“Ä",使下列算式成立：2Ä4＝8，5Ä3＝13，3Ä5＝11, 9Ä7＝25，求7Ä3＝？解：通过对2Ä4＝8,5Ä3＝13，3Ä5＝11，9Ä7＝25这几个算式的观察，找到规律:aÄb＝2a＋b，因此7Ä3＝2×7＋3＝17.例5、x、y表示两个数，规定新运算“＊"及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中m、n、k均为自然数，已知 1＊2=5,（2*3）△4=64，求（1△2）＊3的值。
分析：我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求1△2)＊3的值,首先我们要计算1△2,根据“△”的定义：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要计算出k的值，k值求出后,l△2的值也就计算出来了。
我们设1△2=a，（1△2)＊3=a*3，按“*"的定义: a＊3=ma+3n，在只有求出m、n时，我们才能计算a*3的值。
因此要计算（1△2）*3的值，我们就要先求出 k、m、n的值.通过1*2 =5可以求出m、n的值，通过(2＊3）△4=64求出 k的值.解：因为1*2=m×1+n×2=m+2n ，所以有m+2n=5.又因为m 、n 均为自然数，所以解出：①当m=1，n=2时: （2*3)△4=(1×2+2×3)△4=8△4=k×8×4=32k有32k=64，解出k=2。
②当m=3，n=1时：（2＊3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k×9×4=36k有36k=64，解出k=，这与k 是自然数矛盾，因此m=3,n =1，k=这组值应舍去。
所以m=l,n=2，k=2.（1△2）＊3=（2×1×2)*3=4＊3=1×4+2×3=10。
在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是:抓住定义这一点不放,在计算时，严格遵照规定的法则代入数值.还有一个值得注意的问题是:定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题。
课后习题1.a ＊b 表示a 的3倍减去b的，例如： 1＊2=1×3－2×=2，根据以上的规定，计算：①10＊6； ②7*（2*1）。
2.定义新运算为 a ㊀b ＝，①求2㊀（3㊀4）的值； ② 若x ㊀4＝1。
35,则x ＝？3.有一个数学运算符号○,使下列算式成立：9719712121b 1a m=3 n =1m=1n =2 m=2 n =（舍去） 23定义新运算附答案 ○=，○=，○=，求○的值。
4。
定义两种运算“Å”、“Ä”，对于任意两个整数a 、b ，a Åb ＝a ＋b ＋1， a Äb=a×b －1， ①计算4Ä[（6Å8）Å（3Å5）］的值;②若x Å（x Ä4）=30，求x 的值。
5.对于任意的整数x 、y ，定义新运算“△”，x△y=（其中m 是一个确定的整数），如果1△2=2，则2△9=？6.对于数a 、b 规定运算“▽”为a▽b=（a ＋1）×（1－b)，若等式(a▽a ）▽(a ＋1）=(a ＋1)▽（a▽a ）成立，求a 的值.7。
“＊”表示一种运算符号,它的含义是：x*y=＋, 已知2*1=＋=，求1998＊1999的值。
8.a※b=,在x※（5※1）=6中,求x 的值.9。
规定 a△b=a ＋（a ＋1）＋（a ＋2）＋…＋（a ＋b －1），（a 、b 均为自然数，b>a ）如果x△10=65,那么x=？10.我们规定：符号◇表示选择两数中较大数的运算，例如：5◇3=3◇5=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，例如:5△3=3△5=3，计算：=?课后习题解答1。
2。
21326354974511657142611354y ×2x ×m y×x ×6+xy 1））（（A y 1x 1++1×21））（（A 1121++32b ÷a ba +)25.2◇106237()9934△3.0()3323△625.0()2617◇6.0(++3.所以有5x—2=30，解出x=6.4左边:8.解：由于9.解:按照规定的运算：x△10=x +（x+1）+（x+2)+…+（x+10－1) =10x +(1+2+3+⋯+9）=10x + 45因此有10x + 45=65，解出x=2。