数学期中试卷讲评

数学期中试卷讲评
一．讲评目标：
1.掌握等差数列、等比数列的通项公式和求和公式；
2.掌握数学归纳法的一般步骤；
3.会用几个常用极限判断极限是否存在，并能运用极限的运算性质求有关数列的极限；
4.分析试卷，发现自己的薄弱环节并在以后的学习中及时予以掌握；
5.加强审题能力，运算能力，化归能力等。

二．讲评重点：
试卷上的主要错误及错因分析。

三．讲评难点：
错误试题知识点的迁移。

四．讲评过程：
（一）试卷正确率分析
（二）重点题型讲解
题型一：数列的通项公式、求和公式
6、数列{}n a 中，12a =，122n n n
a n a a n ++⎧⎪=⎨⎪⎩　，为奇数
，　为偶数(*n N ∈)，则5a = 。

分析：本题在迭代的时候特别要注意代哪个表达式，建议下标不要化简，以防代错。

9、已知数列{}n a 中，31=a ，),,3,2,1(,121 =-+=+n n a a n n 那么它的通项公式n a = 。

分析：本题用累加法，在解题过程中要注意等式右边的项数。

10、已知数列{}n a 的通项公式1222
+-+=n n
n a （其中*N n ∈），则该数列的前n 项和=n S 。

分析：本题采用分组求和的方法，需要对等比数列的判断方法较熟练，当然也可以通过特例猜想是等比数列，但花费时间较多。

在化简过程中，要特别注意计算的准确性。

15、已知数列{}n a 的首项11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，*
13()n n a S n N +=∈，则下列结论正确的是
（ ）
A ．数列是{}n a 等比数列
B ．数列23n a a a ⋅⋅⋅，，
，是等比数列 C ．数列是{}n a 等差数列 D ．数列23n a a a ⋅⋅⋅，，
，是等差数列 分析：本题主要考查了通过n S 求n a ，务必要注意2≥n ，这是易错点之一，然后根据等比数列的定义可以得到结论。

本题主要错误在于错选了A ，但稍加注意，就会发现如果A 选项正确，那么B 选项也正确，故
可以排除A ，选B 。

17、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2
235n S n n =-+（*n N ∈），求数列{}n a 的通项公式。

分析：同上题，本题主要考查了通过n S 求n a ，务必要注意讨论，这是易错点之一。

最后总结时能合则合，不能合再分，本题不能合。

20、数列{}n a 的前2n 2n S n =项和，数列{}n b 为等比数列，且112211)(,b a a b b a =-=。

（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设n
n
n b a c =
，求数列{}n c 的前n T n 项和。

分析：第（1）问求n
a 方法同前两题，本题能合注意到已知数列{}n
b 为等比数列，故只要求出前两项就可以求出{}n b 的通项公式。

第（2）问是等差*等比的形式，故用错位相减法，本小问运算问题比较多，需加强。

题型二：等差、等比数列的概念和性质
8、已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，若102020,60,S S ==则30
10
S S = 。

分析：本题思路有两种，一是根据等比数列的性质解，二是根据基本量来做，但显然第一种方法较简单，第二种较繁琐。

12、公差为(0)d d ≠的无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列说法中正确的是 。

（写出所有正确项的序号）
（1）若0d <，则数列{}n S 有最大项； （2）若数列{}n S 有最大项，则0d <；
（3）若数列{}n S 是递增数列，则对任意*n N ∈都有0n S >； （4）若对任意*n N ∈都有0n S >，则数列{}n S 是递增数列。

分析：本题考查了数列的单调性，思维强度比较大。

如果通过直接法求解对学生而言较困难，可通过举反例排除（3）。

13、“ab x =
”是“实数b x a ,,成等比数列”的（ ）条件。

A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分又不必要
分析：本题主要错选为B ，忽视了正负。

18、数列{}n a 是递增的等差数列，且661-=+a a ，843=⋅a a ． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值；
分析：第（1）问采用基本量法，同时要注意审题，读到“递增”即写上d>0，后面就很自然地舍去一种情
况。

第（2）问有两种处理方式，一是根据n S 是n 的二次式，用函数的思想解决；二是根据⎩⎨⎧≥≤+00
1
n n a a 来解。

题型三：数列极限
5、若lim(12)0n
n x →∞
-=，则实数x 的取值范围是 。

分析：本题利用结论：当1<q 时，有0lim =∞
→n
n q 。

主要问题在于q 的取值范围错误。

11、设n S 是数列{}n a 的前n 项和，1(2)
n a n n =
+（*n N ∈），则lim n n S →∞
= 。

分析：本题的主要问题在于求和错误。

裂项相消法求和，消去了哪些项？还剩几项？建议学生通过多写几项找出规律。

14、数列{}n a 中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤=1001,210001,1
22
2
n n
n n n n a n （*n N ∈），则数列{}n a 的极限（ ） A ．等于0 B ．等于1 C ．等于0或1 D ．不存在
分析：分段数列求极限，到底看哪一段？这要求学生对数列极限的定义掌握的较好。

在这基础上，总结规
律。

题型四：数学归纳法 7、设*111
()()12
2f n n N n n n
=
+++
∈++，那么(1)()f n f n +-等于 。

分析：本题主要问题在于确定两者相同的项和不同的项，建议学生至少写出两者相同的的第一项和最后一项。

19、已知数列{}n a 满足26a =，1(1)(1)(1)n n n a n a +-=+-（*n N ∈）。

（1）求1345a a a a 、、、的值；
（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想。

分析：第（1）问主要是简单的计算，问题不大。

第（2）问主要问题在证明中的第二步，当n=k+1时，无所适从，不知道可以利用已知的那个等式，数学归纳法的格式还有问题，应加强练习。

题型五：综合题
16、对数列{}{},n n a b ，若区间[],n n a b 满足下列条件：
①[]11,n n a b ++≠⊂[]()
*,n n a b n N ∈；②()lim 0n n n b a →∞
-=， 则称{}
,n n a b ⎡⎤⎣⎦为区间套。

下列选项中，可以构成区间套的数列是（ ）
A ．1
1,13n n n n a b n -==+⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 21,31n
n n n a b n ==+⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．12,23n
n
n n a b ==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．32,21n n n n a b n n ++==++
分析：本题是选择题，可以用排除法。

由条件①可知{}n a 是递增数列，即可排除选项B 、C 、D 。

21、设数列{}n a 的首项1a 为常数，且132n
n n a a +=-*()n N ∈。

（1）证明：3{}5
n
n a -是等比数列；
（2）若13
2
a =
，{}n a 中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项；若不存在，说明理由。

分析：像第（1）问这种要证明等差数列或者等比数列的题目，目标明确，即根据定义证明5
35
31
1n
n n n a a -
-
++为常数，接下来的主要问题就是化简。

第（2）问这种问是否存在性问题，一般假设存在，然后根据题意得出关系式求解，如果无解或者矛盾则不存在，否则就存在。

本题对学生的数学运算能力较高。

五．讲评小结
本堂课学到了哪些知识和方法？ 六．课后作业 订正试卷。