2023年全国硕士研究生招生考试《数学一》真题及答案解析【完整版】

2023年全国硕士研究生招生考试《数学一》真题及答案解析【完整版】一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置。

1．1ln 1y x e x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭曲线的渐近线方程为（ ）。

A ．y ＝x ＋e B ．y ＝x ＋1/e C ．y ＝xD ．y ＝x －1/e 【参考答案】B【参考解析】1ln 11lim lim lim ln 1,1x x x x e y x k e x x x →∞→∞→∞⎛⎫+ ⎪-⎛⎫⎝⎭===+= ⎪-⎝⎭ ()()()11lim lim ln lim ln 11111lim ln 1lim 11x x x x x b y kx x e x x e x x x x e x e x e →∞→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+==⎢⎥--⎣⎦所以斜渐近线方程为y ＝x ＋1/e ．2．已知微分方程式y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（ ）。

A ．a ＜0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＞0 C ．a ＝0，b ＞0 D ．a ＝0，b ＜0 【参考答案】C【参考解析】微分方程y ′′＋ay ′＋by ＝0的特征方程为λ2＋a λ＋b ＝0，当Δ＝a 2－4b ＞0时，特征方程有两个不同的实根λ1，λ2，则λ1，λ2至少有一个不等于零， 若C 1，C 2都不为零，则微分方程的解1212x x y C e C e λλ--=+在（－∞，＋∞）无界； 当Δ＝a 2－4b ＝0时，特征方程有两个相同的实根λ1，2＝－a/2， 若C 2≠0，则微分方程的解2212a a x xy C eC e=+在（－∞，＋∞）无界；当Δ＝a 2－4b ＜0时，特征方程的根为1,222a i λ=-±，则通解为212ax y eC x C x -⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭， 此时，要使微分方程的解在（－∞，＋∞）有界，则a ＝0，再由Δ＝a 2－4b ＜0，知b ＞0.3．设函数y ＝f （x ）由2sin x t t y t t⎧=+⎪⎨=⎪⎩确定，则（ ）。

A ．f （x ）连续，f′（0）不存在B ．f′（0）存在，f′（x ）在x ＝0处不连续C ．f′（x ）连续，f′′（0）不存在D ．f′′（0）存在，f′′（x ）在x ＝0处不连续 【参考答案】C 【参考解析】t ≥0时，3sin x t y t t =⎧⎨=⎩，得sin 33x xy =；t ＜0时，sin x t y t t=⎧⎨=-⎩，得y ＝－xsinx ；综上，sin ,033sin ,0xx x y x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩， 从而由()()00sin 0sin 0330lim 0,0lim 0x x x xx x y y x x +++-→→---''====，得y′（0）＝0； 于是1sin cos ,033930,0sin cos ,0x x x x y x x x x x ⎧+>⎪⎪'==⎨⎪--<⎪⎩，得y′连续；又由()()001sin cos 02sin cos 033930lim ,0lim 29x x x x x x x x y y x x++++→→+----''''====-， 得y′′（0）不存在.4．已知a n ＜b n （n ＝1，2，...），若级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑均收敛，则“级数1nn a∞=∑绝对收敛”是“1nn b∞=∑绝对收敛”的（ ）。

A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【参考答案】A【参考解析】由条件知()1nn n ba ∞=-∑为收敛的正项级数，进而绝对收敛；设1nn a∞=∑绝对收敛，则由|b n |＝|b n －a n ＋a n |≤| b n －a n |＋| a n |与比较判别法，得1nn b∞=∑绝对收敛；设1nn b∞=∑绝对收敛，则由|a n |＝|a n －b n ＋b n |≤| b n －a n |＋| b n |与比较判别法，得1nn a∞=∑绝对收敛.5．已知n 阶矩阵A ，B ，C 满足ABC ＝0，E 为n 阶单位矩阵，记矩阵0A BC E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0AB C E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0E AB AB ⎛⎫ ⎪⎝⎭的秩分别为γ1，γ2，γ3，则（ ）。

A ．γ1≤γ2≤γ3 B ．γ1≤γ3≤γ2 C ．γ3≤γ1≤γ2 D ．γ2≤γ1≤γ3 【参考答案】B【参考解析】因初等变换不改变矩阵的秩，10000A ABC r r r r n BC E BC E BC E -⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ()2000AB C AB r r r r AB n E E ⎡⎤⎡⎤===+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ()30000E AB E Er r r r r ABAB n ABAB ABAB ABAB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤====+⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 故选（B ）.6．下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是（ ）。

A ．11022003a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B ．1112003a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C ．11020002a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭D ．11022002a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【参考答案】D【参考解析】选项（A ）矩阵的特征值为三个不同特征值，所以必可相似对角化； 选项（B ）矩阵为实对称矩阵，所以必可相似对角化；选项（C ）矩阵特征值为1，2，2，二重特征值的重数2＝3－r （C －2E ），所以必可相似对角化；选项（D ）矩阵特征值为1，2，2，二重特征值的重数2≠3－r （D －2E ），所以不可相似对角化. 故选（D ）.7．已知向量121212212,1,5,03191⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααββ，若γ既可由α1，α2线性表示，也可由与β1，β2线性表示，则γ＝（ ）。

A ．33,4k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭B ．35,10k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭C ．11,2k k R -⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭D ．15,8k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭【参考答案】D【参考解析】设r ＝x 1α1＋x 2α2＝y 1β1＋y 2β2则x 1α1＋x 2α2－y 1β1－y 2β2＝0又()121212211003,,,2150010131910011--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ααββ故（x 1，x 2，y 1，y 2）T ＝c （－3，1，－1，1）T ，c ∈R所以r ＝－c β1＋c β2＝c （－1，－5，－8）T ＝－c （1，5，8）T ＝k （1，5，8）T ，k ∈R8．设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则E （|X －EX|）＝（ ）。

A ．1/e B ．1/2 C ．2/e D ．1【参考答案】C【参考解析】由题可知EX ＝1，所以1,01,1,2,...X X EX X X =⎧-=⎨-=⎩，故{}(){}(){}(){}()()1010111010112101k k E X EX P X k P X k k P X k P X e E X e e e∞=∞=-=⋅=+-==+-=--==+---=∑∑ 故选（C ）.9．设X 1，X 2，...，X n 为来自总体N （μ1，σ2）的简单随机样本，Y 1，Y 2，...，Y m 为来自总体N （μ2，2σ2）的简单随机样本，且两样本相互独立，记1111,,n ni i i i X X Y Y n m ====∑∑()()2222121111,11n n i i i i S X X S Y Y n m ===-=---∑∑，则（ ）。

A ．()2122~,S F n m S B ．()2122~1,1S F n m S -- C ．()21222~,S F n m S D ．()21222~1,1S F n m S -- 【参考答案】D【参考解析】X 1，X 2，...，X n 的样本方差()221111ni i S X X n ==--∑Y 1．Y 2，...，Y n 的样本方差()222111ni i S Y Ym ==--∑则()()()()2212222211~1,~12n S m S n m χχσσ----，两个样本相互独立 所以()()()()()21222211222222221/1/2~1,11/2/12n S n S S F n m m S S S m σσσσ--==----， 故选（D ）.10．设X 1，X 2为来自总体N （μ，σ2）的简单随机样本，其中σ（σ＞0）是未知参数，若12a X X σ=-为σ的无偏估计，则a ＝（ ）。

A．2B．2CD【参考答案】A【参考解析】由题可知X 1－X 2～N （0，2σ2）. 令Y ＝X 1－X 2，则Y 的概率密度()2222y f y σ-⋅=.()22222240d d y y E Y y yey σσ--+∞+∞⋅-∞===⎰()()12E a X X aE Y -==.由12a X X σ=-为σ的无偏估计，有E （σ）＝σ，得a =.故选（A ）.二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分。

11．当x →0时，函数f （x ）＝ax ＋bx 2＋ln （1＋x ）与()2cos x g x e x =-是等价无穷小，则ab ＝ . 【参考答案】－2【参考解析】()()()()()()2222200022221ln 12lim lim lim 11cos 112x x x x ax bx x x o x f x ax bx x g x e x x o x x o x →→→++-++++===⎡⎤-++--+⎢⎥⎣⎦，可得a ＋1＝0，b －1/2＝3/2，即a ＝－1，b ＝2，故ab ＝－2.12．曲面z ＝x ＋2y ＋ln （1＋x 2＋y 2）在点（0，0，0）处的切平面方程为 . 【参考答案】x ＋2y －z ＝0【参考解析】F （x ，y ，z ）＝x ＋2y ＋ln （1＋x 2＋y 2）－z ，()222222,,1,2,111x y z x yF F F x y x y ⎛⎫'''==++- ⎪++++⎝⎭n ， 即在点（0，0，0）处的法向量为（1，2，－1），即切平面方程为x ＋2y －z ＝0.13．设f （x ）为周期为2的周期函数，且f （x ）＝1－x ，x ∈[0，1]，若()01cos 2n n a f x a n x π∞==+∑，则21nn a∞=∑＝ .【参考答案】0【参考解析】由f （x ）展开为余弦级数知，f （x ）为偶函数.由傅里叶系数计算公式有()()()()11111001011001012202221cos d 2cos d cos d 112sin d sin 2d sin 2sin sin d 2sin d 2cos 2cos 1.n a x n x xn x x x n x x n x x n x n n x n x n x n x n x xn n x x n n x n n n ππππππππππππππππππ=-=-⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭=-=--=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰故()()2222211cos 21110.22n a n n n πππ--=-=-=14．设连续函数f （x ）满足f （x ＋2）－f （x ）＝x ，()2d =0f x x ⎰，则()31d f x x ⎰＝ .【参考答案】1/2【参考解析】()()()()()()()()()()()()()32311221121121102111211d =d d =d 2d 2=d 2d =d d =d d d =d d d 1.2f x x f x x f x xf x x f t t x t f x x f x xf x x f x x x f x x f x x x xf x x x xx x+++=+++++⎡⎤⎣⎦+++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰令15．已知向量12311010111,,,10111111-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααβ，γ＝k 1α1＋k 2α2＋k 3α3，若γT αi ＝βT αi （i ＝1，2，3），则k 12＋k 22＋k 33＝ .【参考答案】11/9【参考解析】γT α1＝βT α1＝1⇒ k 1α1T α1＋k 2α2T α2＋k 3α3T α3＝1⇒ k 1·3＋k 2·0＋k 3·0＝1⇒k 1＝1/3. 同理k 2＝－1，k 3＝－1/3. 所以，k 12＋k 22＋k 33＝11/9.16．设随机变量X 与Y 相互独立，且X ～B （1，1/3），Y ～B （2，1/2）则P{X ＝Y}＝ . 【参考答案】1/3【参考解析】因为X ～B （1，1/3），所以X ＝0，1；Y ～B （2，1/2），所以Y ＝0，1，2. 又因为X 与Y 相互独立，所以{}{}{}{}{}{}{}2201220,01,100112111132323P X Y P X Y P X Y P X P Y P X P Y C C ====+=====+==⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、解答题：17～22小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。