2020学年初三数学第5章《二次函数》课时作业(四)

课时作业(四) [二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)的图像和性质]一、选择题1.[2019·衢州] 二次函数y=(x-1)2+3的图像的顶点坐标是()A.(1,3)B.(1,-3)C.(-1,3)D.(-1,-3)2.下列关于二次函数y=2(x-3)2-1的说法,正确的是()A.图像的对称轴是直线x=-3B.当x=3时,y有最小值是-1C.顶点坐标是(3,1)D.当x>3时,y随x的增大而减小3.[2019·南充] 已知点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线y=-(x+1)2+2上,则下列结论正确的是()A.2>y1>y2B.2>y2>y1C.y1>y2>2D.y2>y1>24.二次函数y=a(x-m)2-n的图像如图K-4-1,则一次函数y=mx+n的图像经过()A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限图K-4-15.[2020·绥化] 将抛物线y=2(x-3)2+2向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到的抛物线的表达式是()A.y=2(x-6)2B.y=2(x-6)2+4C.y=2x2D.y=2x2+46.[2020·贵阳模拟] 如图K-4-2,在平面直角坐标系中,有两条位置确定的抛物线,它们的对称轴相同,表达式中的h,k,m,n都是常数,则下列关系不正确的是()A.h<0,k>0B.m<0,n>0C.h=mD.k=n 图K-4-27.如图K-4-3,已知抛物线l1:y=(x-2)2-4与x轴分别交于O,A两点,将抛物线l1向上平移得到l2,过点A作AB⊥x轴交抛物线l2于点B,如果由抛物线l1,l2,直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为12,则抛物线l2的函数表达式为 ()图K-4-3A.y=(x-2)2-1B.y=(x-2)2+1C.y=(x-2)2-2D.y=(x-2)2+2二、填空题8.已知二次函数y=(x-2)2-3,当x时,y随x的增大而减小.9.写出一个以A(-2,5)为顶点且开口向下的抛物线的表达式:.10.[2019·凉山州] 将抛物线y=(x-3)2-2向左平移个单位长度后经过点A(2,2).11.已知点P(x,y)在二次函数y=2(x+1)2-3的图像上,当-2<x≤1时,y的取值范围是.12.[2020·株洲模拟] 已知二次函数y=(x-2a)2+(a-1)(a为常数),当a取不同的值时,其图像构成一个“抛物线系”.如图K-4-4分别是当a=-1,a=0,a=1,a=2时二次函数的图像,它们的顶点在一条直线上,这条直线的表达式是y=. 图K-4-4三、解答题13.[2020·南京秦淮区一模] 已知二次函数y=a(x-1)2-4的图像经过点(3,0).(1)求a的值;(2)若A(m,y1),B(m+n,y2)(n>0)是该函数图像上的两点,当y1=y2时,求m,n之间的数量关系. 14.如图K-4-5,在平面直角坐标系xOy中,边长为2的正方形OABC的顶点A,C分别在x轴正半轴、y轴的负半轴上,二次函数y=(x+h)2+k的图像经过B,C两点.(1)求该二次函数图像的顶点坐标;(2)结合函数的图像探索:当y>0时x的取值范围;(3)设m<,且P(m,y1),Q(m+1,y2)两点都在该函数图像上,试比较y1,y2的大小,并简要说明理由.图K-4-515.如图K-4-6,在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1:y=a x-2+h与x轴的一个交点为A(1,0),与y轴交于点B(0,-2),将线段AB绕点A逆时针旋转90°至AP.(1)求点P的坐标及抛物线C1的函数表达式;(2)将抛物线C1先向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到抛物线C2,请你判断点P是否在抛物线C2上,并说明理由.图K-4-6[数形结合、分类讨论思想] 已知二次函数y=(x-h)2+1(h为常数),在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,求h的值.教师详解详析[课堂达标]1.A2.[解析] B由二次函数y=2(x-3)2-1可知:图像开口向上,顶点坐标为(3,-1),当x=3时,有最小值是-1;对称轴为直线x=3,当x>3时,y随x的增大而增大,当x<3时,y随x的增大而减小,故A,C,D 错误,B正确.故选B.3.A4.[解析] A观察函数图像,可知m>0,n>0,∴一次函数y=mx+n的图像经过第一、二、三象限.故选A.5.[解析] C将抛物线y=2(x-3)2+2向左平移3个单位长度,所得抛物线的表达式为y=2(x-3+3)2+2,即y=2x2+2;再向下平移2个单位长度,所得抛物线的表达式为y=2x2+2-2,即y=2x2.故选C.6.[解析] D由图像可得h<0,k>0,m<0,n>0,m=h.因为点(h,k)在点(m,n)的下方,所以k=n不正确.故选D.7.[解析] A∵抛物线l1:y=(x-2)2-4与x轴分别交于O,A两点,∴当y=0时,得x1=0,x2=4,∴点O(0,0),点A(4,0),∴OA=4.∵由抛物线l1,l2,直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为12,如图,连接BC,则矩形OABC的面积为12.设OC=a,则4a=12,解得a=3,∴抛物线l2的函数表达式为y=(x-2)2-4+3,即y=(x-2)2-1.故选A.8.[答案] <2[解析] 在y=(x-2)2-3中,a=1>0,∴抛物线开口向上.∵抛物线的对称轴为直线x=2,∴当x<2时,y 随着x的增大而减小;当x>2时,y随着x的增大而增大.9.答案不唯一,如y=-(x+2)2+510.[答案] 3[解析] 设平移后所得抛物线的表达式为y=(x-3+a)2-2.∵将抛物线y=(x-3)2-2向左平移后经过点A(2,2),∴2=(2-3+a)2-2,解得a=3或a=-1(不合题意,舍去),故将抛物线y=(x-3)2-2向左平移3个单位长度后经过点A(2,2).故答案为:3.11.-3≤y≤512.[答案] y=x-1[解析] 由已知得抛物线的顶点坐标为(2a,a-1).设x=2a①,y=a-1②,①-②×2,消去a,得x-2y=2,即y=x-1.13.解:(1)将(3,0)代入y=a(x-1)2-4,得0=4a-4,解得a=1.(2)方法一:根据题意,得y1=(m-1)2-4,y2=(m+n-1)2-4.∵y1=y2,∴(m-1)2-4=(m+n-1)2-4,即(m-1)2=(m+n-1)2.∵n>0,∴m-1=-(m+n-1),化简,得2m+n=2.方法二:∵函数y=(x-1)2-4的图像的对称轴是经过点(1,-4),且平行于y轴的直线, ∴m+n-1=1-m,化简,得2m+n=2.14.解:(1)∵正方形OABC的边长为2,∴点B,C的坐标分别为(2,-2),(0,-2),∴此二次函数图像的对称轴为直线x=-h==1,∴h=-1.把C(0,-2)代入y=(x-1)2+k,解得k=-,∴此二次函数图像的顶点坐标为1,-.(2)由(1),得二次函数的表达式为y=(x-1)2-.当y=0时,(x-1)2-=0,解得x1=-1,x2=3. 由图像可知当y>0时,x<-1或x>3.(3)y1>y2.理由:∵m<,∴-m>-,∴1-m>,∴1-m>m,即1-m>m+1-1,∴点P到对称轴的距离比点Q到对称轴的距离远.∵图像开口向上,∴y1>y2. 15.解:(1)∵A(1,0),B(0,-2),∴OA=1,OB=2.过点P作PM⊥x轴于点M.由题意,得AB=AP,∠BAP=90°,∴∠OAB+∠PAM=∠ABO+∠OAB=90°,∴∠ABO=∠PAM.在△ABO与△PAM中,∴△ABO≌△PAM,∴AM=OB=2,PM=OA=1,∴P(3,-1).∵点A(1,0)和点B(0,-2)在抛物线C1:y=a x-2+h上,∴解得∴抛物线C1的函数表达式为y=-x-2+.(2)点P在抛物线C2上.理由:∵将抛物线C1先向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到抛物线C2,∴抛物线C2的函数表达式为y=-x-+22++1,即y=-x-2+.当x=3时,y=-3-2+=-1,∴点P在抛物线C2上.[素养提升][解析] 由表达式可知该函数在x=h时取得最小值1,当x>h时,y随x的增大而增大,当x<h 时,y随x的增大而减小.根据1≤x≤3时,函数的最小值为5,可分如下两种情况:①若h<1≤x≤3,则当x=1时,y取得最小值5;②若1≤x≤3<h,则当x=3时,y取得最小值5,分别列出关于h的方程求解即可.解:∵a=1>0,∴当x>h时,y随x的增大而增大,当x<h时,y随x的增大而减小.∴①若h<1≤x≤3,则当x=1时,y取得最小值5, 可得(1-h)2+1=5,解得h=-1或h=3(舍去);②若1≤x≤3<h,则当x=3时,y取得最小值5, 可得(3-h)2+1=5,解得h=5或h=1(舍去).综上,h的值为-1或5.。