三阶逆矩阵的逆矩阵与原矩阵的关系
第三节 逆矩阵及其求法
6）其它的一些公式
AA A A A E
A A n1
A
A n2 A
AB B A
A A A1
A A
A
1
.
kA k n1 A A1 k n1 A
12
返回
1 0 1
例1
求方阵
A
2
1
0
的逆阵.
3 2 5
解:
101
| A | 2 1 0 =2 0 A可逆
A A E E 2
A A E 1 2
|A|0 A可逆, A1 1 ( A E)
2
A2A2E=0 A+2E=A2
A 2E A2 A 2 0
A+2E可逆
( A 2E)1 ( A2 )1 ( A1)2
1 2
(
A
E)
2
A2
AE 4
EA
E2
A 2E 2A E 3E A
An1
An2
Ann
[证] 设
a11 a12 a1n
A a21
a22
a2n
an1
an2
ann
A( 1 A* ) 1 AA* | A| | A|
a11 a12 1 a21 a22
| A| an1 an2
a1n A11
a2
n
A12
ann
A1n
A21 A22 A2n
An1
An2
Ann
行列式按行(列)展开法:
定理一 行列式等于它的任一行(列)的各元 素与它们对应的代数余子式乘积之和,即
D=ai1Ai1+ai2Ai2++ainAin (i=1,2,,n) 或 D=a1jA1j+a2jA2j++anjAnj (j=1,2,,n)
第四节、逆矩阵与转置矩阵
第四节、逆矩阵与转置矩阵⼀、关于逆元 （这⾥看不懂可以跳过） 在群论中有“逆元”这⼀概念。
提到逆元就要提到另⼀个概念：单位元（⼳元，Identity）。
我们依次来介绍，简单来说，设G是⼀个⾮空集合，@是它的⼆元运算，若存在e∈G ，对任意a∈G，有a@e=e@a=a，则称e为单位元 举个例⼦，在实数集合的乘法运算中，1就是单位元，因为任何实数乘上1都等于它⾃⼰。
什么是逆元呢？ 设a∈G，若存在b∈G，且ab=e，则称b是a的右逆元，若ba=e，则称b是a的左逆元，若ab=ba=e，则称b是a的逆元 举个例⼦：在实数集合的乘法运算中，1是单位元，任意实数a的逆元是1/a；在实数集合的加法运算中，0是单位元，任意实数a的逆元是-a。
接下来，我们来探讨⼀下矩阵中的逆元与单位元⼆、单位矩阵 我们现在看看矩阵的单位元（单位矩阵） 对于⼀个n阶⽅阵（⾏数等于列数的矩阵叫做⽅阵），若其主对⾓线上的元素都是1，其他地⽅的元素都为0，则称该矩阵为n阶单位矩阵，⽤I n或E n表⽰（有时也简写为I或E，在后⾯的⽂章中我们统⼀⽤I表⽰单位阵） 如图是⼀个三阶单位矩阵I3= 单位阵的性质是任何矩阵乘上它都等于原矩阵，即AI=A,IA=A。
三、逆矩阵 1.概念 设有⼀个⽅阵A，若存在⼀个⽅阵B，使得AB=I或BA=I，则称B是A的逆矩阵，⽤A-1表⽰（事实上若AB=I,则必有BA=I）。
注意：并不是所有矩阵都有逆矩阵。
2.求逆矩阵（⾼斯-若尔当消元法） 设⼀个⽅阵A，我们已经知道，若其存在逆矩阵A-1，则有A-1A=I。
那么，该如何求得A-1呢？ 先思考，之前我们提到过，在矩阵左边乘⼀个矩阵是对原矩阵作⾏变换，A-1A=I可以理解为A按照A-1进⾏变换变成了I，那么，如果I按照A-1进⾏变换，得到的是什么呢？ 我们写出两个等式： A-1A=I A-1I=A-1 发现什么了么？ 如果我们对I作与A相同的变换，那么我们得到的就是A-1 还记得之前学过的增⼴矩阵么？ 我们假设A=，然后我们把单位阵写在A右边构成增⼴矩阵 现在，我们对A进⾏消元（连带着变换I） 向下消元的步骤就不演⽰了，消元的结果是 经过向下消元我们得到了上三⾓矩阵，然后，我们再从下往上进⾏消元，⽬的是消去除对⾓线外的所有元素 在这⾥简单写⼀下步骤： 先将-1个第三⾏与第⼆⾏进⾏线性组合，再将-2个第三⾏与第⼀⾏线性组合，消去第三列多余元素，得到： 然后将-1个第⼆⾏与第⼀⾏线性组合消去第⼆列多余元素，得到 现在，我们已经将A变成了I，⽽右边的I此时就是A的逆A-1，读者可以⾃⾏验证⼀下。
矩阵求逆方法大全
矩阵求逆方法大全矩阵的逆在线性代数中是一个非常重要且常用的概念。
逆矩阵存在的前提是矩阵必须是方阵且可逆。
逆矩阵的定义可以简单地表述为：对于一个方阵A，如果存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，那么B就是A的逆矩阵，记作A^-1下面将介绍几种求解矩阵逆的方法。
1.初等变换法：初等变换法是一种最常用的求解矩阵逆的方法。
基本思想是通过一系列初等行变换将原矩阵A转化为单位矩阵I，同时对单位矩阵进行相同的初等变换，得到A的逆矩阵。
具体步骤为：(1)将原矩阵A与单位矩阵I进行横向拼接，形成增广矩阵[A，I]；(2)通过初等行变换将增广矩阵[A，I]变换为[I，B]，其中B即为矩阵A的逆矩阵。
这种方法比较直观，但计算量较大，特别是对于大型矩阵很不方便。
2.列主元消去法：列主元消去法是一种改进的初等变换法，其目的是选取主元的位置，使得计算量减少。
具体步骤为：(1)将原矩阵A与单位矩阵I进行横向拼接，形成增广矩阵[A，I]；(2)选取增广矩阵中当前列中绝对值最大的元素作为主元，通过交换行使主元出现在当前处理行的位置；(3)用主元所在行将其他行消元，使得主元所在列的其他元素都为0；(4)重复以上步骤，直到增广矩阵[A，I]经过一系列的行变换变为[I，B]，其中B即为矩阵A的逆矩阵。
列主元消去法相对于初等变换法来说，计算量会更小，但仍然对于大型矩阵的操作不够高效。
3.公式法：对于一个二阶方阵A，其逆矩阵可以通过以下公式求得：A^-1 = (1/，A，) * adj(A)，其中，A，为A的行列式，adj(A)为A的伴随矩阵。
对于更高阶的矩阵，也可以通过类似的公式求解，但行列式和伴随矩阵的计算相对较为复杂，不太适用于实际操作。
4.LU分解法：LU分解也是一种常用的矩阵求解方法，其将原矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
逆矩阵的计算可以通过LU分解来完成。
具体步骤为：(1)对原矩阵A进行LU分解，得到下三角矩阵L和上三角矩阵U；(2)分别求解方程LY=I和UX=Y，其中Y为未知矩阵；(3)得到Y后，再将方程UX=Y带入，求解方程UX=I，得到逆矩阵X。
3.3 逆矩阵
求矩阵X使满足 AXB C .
1 2 3
解 A 2 2 1 2 0, B
2 1 5 3
1 0,
3 4 3
A , B 都存在.
1
1
3 2 1 1 且 A 3 2 3 5 2 , 1 1 1
3 1 B , 5 2
1
【例3】设
解：
且
3 1 0 A 2 1 1 2 1 4 3 1 0 A 2 1 1 2 1 4 1 1 1 2 2 11 1 10 A11 ( 1) 5 A12 ( 1) 2 4 1 4
判断A是否可逆，若 可逆， 求其逆。 =5≠0 ，A可逆。
AB A B E 1 0
A 0, B 0
由定理2· 1知，A、B均可逆
A 1 得 在等式AB=E的两边左乘
A ( AB) A E ( AB) B1 EB1
1 1
B A1
B 1 得 在等式AB=E的两边右乘
A B 1
【例4】已知n阶方阵A满足A3 +A2-A-E=0, 证明 A可逆，并求A-1
由已知 2A(A-E) A 解：ห้องสมุดไป่ตู้
3 3
3
A E +2A( E A) E
3
( A E )(A2 A E) ( E A)(2 A) E
( E A)(A2 A E) E
E 由推论知： A 可逆，且 ( E A)1 A2 A E
5、若A、B是同阶可逆矩阵，则AB可逆。且
( AB)1 B1 A1
证明：
( AB)( B1 A1 ) A( BB1 ) A1 AEA1 AA1 E
逆矩阵的概念和性质
又由 AXB C A AXBB A CB E 1 1 X A CB . 于是 X A1CB 1
1
3 2 1 3 1 3 1 3 2 3 5 2 2 0 1 3 1 5 2 1 1
1
1/ 2 1 1/ 2 3 2 1 A 1 1 1 A1 0 1 1 1 0 1 1/ 2 1 1/ 2
推论 证明
或BA E , 则B A1 . 若AB E
A B E 1,
故 A 0,
因而A1存在, 于是
即信息的原文是 “DEC ”.
三. 实际应用
工行密码：19 10 1 11 5 3 农行密码： … 建行密码： 招行信用卡密码 ： …
加密： A﹡“明文”
解密： A1﹡“密文 ”
工行真实密码： 091221
0 2 19 11 A 9 2 10 5 1 1 1 3 19 11 0 2 A 10 5 9 2 1 3 1 1
A
A
O
O
A
, A
A A AA A A A E A A E , A A
按逆矩阵的定义得
A A . A
1
证毕
奇异矩阵与非奇异矩阵的定义
当 A 0时, A称为奇异矩阵,当 A 0时, A称为 非奇异矩阵.
1 A 2 E A 3 E 1, 故A 2 E可逆. 4 1 3E A 1 且 A 2E A 3E . 4 4
求矩阵X使满足 AXB C .
1 2 3
2.3逆矩阵
，
求(E B)
1
1
B ( E A) ( E A) ( E A ) B ( E A )( E A ) ( E A ) E A
1
( E A) B E A
B AB E A
(E B)
1
E A 2
A B AB E O
A AXBB
1 X 0 0
2.3
X A CB
0 3 1 5 0
2 1 0
1 1 2 0 1 1
2 2 3 1 2 1 5 2 1 0
16 6 1 4 11 2 3 1
0 0 1 0 2 3 例2：设 A 0 4 5 0 0 6
0 0 ，且 B ( E A ) 1 ( E A ) 0 7 用定理1的推论
运用推论1的证明方法。
将A-1+B-1表示成三个可逆矩阵相乘，运用逆矩阵的运算性质，不需求行列式。
2.3
本节求逆矩阵的解题方法（技巧）：
1、A=AE 2、E=AA-1
1与2一般一起使用
3、AB=E(BA=E)推出A=B-1或B=A-1（推论1）
4、逆矩阵运算性Βιβλιοθήκη 32.3 ( E B )( E A ) 2 E
(E B)
2.3
(E A) 2
E
1 1 0 0
0 2 2 0
0 0 3 3
0 0 0 4
自学P56例7与例8
例3：设矩阵A可逆，证明其伴随矩阵A*也可逆，且 (A*)-1=(A-1)*。 用定理1的推论 例4：设A为 3 3 矩阵，A*是A的伴随矩阵，若|A|=2， 求|A*|。 例5、设矩阵A、B、A+B都可逆，证明A-1+B-1也可逆， 并求其逆矩阵。
1-3逆矩阵
a11
(1)
a12 L a1 n a 22 L a 2 n a n 2 L a nn
1 −1 A ; k
5 o 若 A ， B 为同阶可逆阵，则 AB 也可逆，且 ( AB ) −1 = B −1 A −1 ;
若 A1 , L , A s 为同阶可逆阵 , 则 ( A1 A 2 L A s ) − 1 = A s L A 2 A1 ;
−1 −1 −1
例4 设A, B为同阶可逆方阵，化简 B ( A B) A
14 A = 14− 2
−1
4 1 答：A = . − 2 3
1 . 3
: 主换位, . 注1 : n = 2 时求A*的口诀 “ 主换位,副变号”
注2 : 用公式求逆注意三点： 1.不要混淆余子式与代数余子式; 2不要忘了“转置”； 3不要忘了除以 A .
例
求Байду номын сангаас阵
1 2 3 A = 2 2 1 的逆矩阵. 的逆矩阵. 3 4 3
的系数行列式不等于零， 的系数行列式不等于零，即D =
a 21 a n1
LLLLLLL
≠0
有解，并且解是唯一的， 那么线性方程组(1) 有解，并且解是唯一的，解 可以表为
Dn D1 D2 D2 x1 = , x2 = , x3 = ,L , x n = . D D D D
逆矩阵的求法及逆矩阵的应用
逆矩阵的几种求法及逆矩阵的应用摘要：在现代数学中，矩阵是一个非常有效而且应用广泛的工具，而逆矩阵则是矩阵理论中一个非常重要的概念。
关于逆矩阵的求法及逆矩阵的应用的探讨具有非常重要的意义。
目前，对于逆矩阵的求法及其应用领域的研究已比较成熟。
本文将对逆矩阵的定义、性质、判定方法及求法进行总结，并初步探讨矩阵的逆在编码、解码等方面的应用。
关键词：矩阵逆矩阵逆矩阵的求法逆矩阵的应用The methods for identifying inverse matrix and application of inverse matrix Abstract: In modern mathematics，matrix is an effective tool with extensive application，and inverse matrix is a significant concept in matrix theory. The disduss about the way to evaluating inverse matrix and its application is of an important meaning with mature development at present. This paper will summarize the definition and properties of inverse matrix and disscuss the methods evaluating inverse matrix.We will also talk about the application of inverse matrix, especially its application in encoding and decoding. Keywords: Matrix Inverse matrix The way to evaluating inverse matrix Application of inverse matrix一：引言在现代数学中，矩阵是一个有效而应用广泛的工具。
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三阶逆矩阵的逆矩阵与原矩阵的关系
1 三阶逆矩阵的定义
在线性代数中，逆矩阵是指对于一个矩阵A，存在一个矩阵B使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。
如果矩阵A有逆矩阵，那么它就是可逆矩阵。
对于三阶逆矩阵，它是一个三行三列的矩阵，满足以下条件：
对于三阶单位矩阵I，存在矩阵B，使得AB=BA=I。
2 三阶逆矩阵的求解方法
求解三阶逆矩阵的方法与二阶逆矩阵类似，可以使用高斯-约旦消元法或伴随矩阵法。
使用高斯-约旦消元法可以将原矩阵变为一个上三角矩阵，然后根据上三角矩阵的性质求出逆矩阵。
伴随矩阵法则是将原矩阵的伴随矩阵除以原矩阵的行列式即可得到逆矩阵。
3 三阶逆矩阵的逆矩阵与原矩阵的关系
在矩阵运算中，逆矩阵与原矩阵之间存在着一种互逆的关系。
也就是说，如果A有逆矩阵B，那么B也有逆矩阵A，并且A的逆矩阵也是B的逆矩阵。
这种关系适用于所有可逆矩阵，包括三阶逆矩阵。
具体来讲，如果A是一个三阶可逆矩阵，它的逆矩阵为B，那么B 的逆矩阵为A，也就是说(A的逆矩阵)的逆矩阵等于A本身，即(A^-1)^-1=A。
换句话说，如果A是一个三阶可逆矩阵，那么A和它的逆矩阵互为逆矩阵，总体上可以用以下式子来表示：
A*A^-1=A^-1*A=I
其中I是一个三阶单位矩阵。
4 三阶逆矩阵的应用举例
三阶逆矩阵在数学和工程领域有着广泛的应用。
例如，在控制理论中，逆矩阵可以用来计算系统的传递函数和反馈矩阵，从而实现系统控制。
在金融数据分析中，逆矩阵可以用来计算资产的风险和收益的关系。
举个例子，假设我们有一个三个变量的线性方程组：
x + 2y + 3z = 9
2x + 5y + 2z = −8
4x + 3y + z = −5
通过高斯-约旦消元法，我们可以将上述方程组转化为一个增广矩阵：
[1 2 3 | 9]
[2 5 2 | -8]
[4 3 1 | -5]
对这个增广矩阵进行一系列变换后，我们可以得到如下的上三角矩阵：
[1 2 3 | 9]
[0 1 -4 | 26]
[0 0 1 | -7]
通过这个上三角矩阵，我们可以很容易地得到该方程组的解为：x = 2, y = -4, z = -7
此外，我们也可以使用伴随矩阵法求出该方程组的逆矩阵。
具体来说，先求出原矩阵的行列式，然后求解其伴随矩阵，最后将伴随矩阵除以行列式即可得到逆矩阵。
5 总结
三阶逆矩阵是一个重要的数学工具，在科学和工程领域有着广泛的应用。
求解三阶逆矩阵的方法可以使用高斯-约旦消元法或伴随矩阵法。
逆矩阵与原矩阵之间存在着一种互逆的关系，也就是说，如果A 有逆矩阵B，那么B也有逆矩阵A，并且A的逆矩阵也是B的逆矩阵。