高中数学A版一 逆变换与逆矩阵优秀课件
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高等数学逆矩阵ppt课件
268.
例7: 设方阵A满足矩阵方程 A2–A–2E = O, 证明: A, A+2E 都可逆, 并求它们的逆矩阵.
证明: 由 A2–A–2E=O, 得 A(A–E)=2E,
则
A
1
(
A
E
)
A1 E,
故A可逆, 且A-1 = 1 ( A E ).
2
2
又由 A2–A–2E=O, 得 (A+2E)(A–3E)+4E=O,
1 3
2, A12
2 3
1 3
3, A13
2 3
2 4
2,
同理可得 A21 6, A22 6, A23 2,
A31 4, A32 5, A33 2. 所以,
A
2 3
2
6 6
2
4 5
,
2
故
A1
|
1 A A|
1 3
1
2
3 3
1
5
122.
7
例3: 下列矩阵A,B是否可逆? 若可逆, 求其逆矩阵.
由伴随矩阵的性质: AA*= A*A = | A | E, 知
当| A | 0时,
A 1 A 1 A A E, | A| | A|
按逆矩阵的定义得, A1
1
A .
| A|
当| A | = 0 时, 称A为奇异矩阵, 否则称A为非奇异
矩阵.
4
由此可得, A是可逆矩阵的充分必要条件是A为非 奇异矩阵.
§2.3 逆 矩 阵
一、逆矩阵的概念和性质
在数的运算中, 当数 a 0 时, 有 aa-1 = a-1a = 1.
其中 a1 1 为a 的倒数, 或称a的逆(元). a
2014年人教A版选修4-2课件 1. 逆变换与逆矩阵
问题1. 在直角坐标系 xOy 平面内, 对任意向量 a 作旋转变换 R30, 你能否找到一个变换 s, 使 s · (R30a) =a, 或 R30· (s a)=a? y
a
x
3 1 3 -1 2 2 2 2 , 存在二阶矩阵 对于二阶矩阵 , 3 3 - 1 1 2 2 2 2 使得 3 1 3 -1 3 -1 3 1 2 2 2 2= 2 2 2 2 =E . 2 3 1 3 1 3 - 1 3 - 1 2 2 2 2 2 2 2 2 问题2. 从问题 1 中, 你得到一个什么结论? 从中 有什么猜想? 已知一个变换, 是否存在一个变换, 使它与已知 变换的复合变换是一个恒等变换? 已知一个矩阵, 是否存在一个矩阵, 使它与已知 矩阵的乘积是一个单位矩阵? 为解决以上问题, 下面再看一个例题.
如图, 向量 a 作 30 旋转变换 后得 a. 如果将 a 作 -30 旋转变换后 O 就又回到了向量 a. 即 3 1 3 -1 2 x 2 x 2 2 y = y . 1 3 3 - 1 2 2 2 2
R-30
问题1. 在直角坐标系 xOy 平面内, 对任意向量 a 作旋转变换 R30, 你能否找到一个变换 s, 使 s · (R30a) =a, 或 R30· (s a)=a? y
一般地, 设 是一个线性变换, 如果存在线性 变换 s, 使得 s· =· s =I, 则称变换 可逆, 并且 称 s 是 的逆变换. 用矩阵的语言叙述为: 设 A 是一个二阶矩阵, 如果存在二阶矩阵 B, 使得 BA=AB=E2, 则称矩阵 A 可逆, 或称矩阵 A 是可逆矩阵, 并且称 B是 A 的逆矩阵.y y O源自ax kya
2016_2017学年高中数学第三讲逆变换与逆矩阵3.3逆矩阵与二元一次方程组课件
-2
x =
-4
y
y 分析:先将方程组改写为齐次方程组的形式,再判断.
题型一
题型二
题型三
3 解:二元一次方程组 1 3x-2y 即为 x-4y = my mx
-2
x = ������
x , y
-4
y
3������-2������ = ������������, ,∴ ������-4������ = ������������, 3-m -2 x = 1 -(4 + m) y 0 0 .
1
2
3
2.定理 如果关于变量 x,y 的二元一次方程组(线性方程组) a b ������������ + ������������ = ������, 的系数矩阵A= 可逆, ������������ + ������������ = ������ c d x a b -1 e 那么该方程组有唯一解, y = .
三
逆矩阵与二元一次方程组
1.能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义. 2.会用系数矩阵的逆矩阵解方程组. 3.会通过具体的系数矩阵,从几何上说明线性方程组解的存在性 和唯一性.
1
2
3
1.二元一次方程组的矩阵形式 一般地,关于变量 x,y 的二元一次方程组 ������������ + ������������ = ������, 其中������, ������, ������, ������均为常数 的矩阵形式为 ������������ + ������������ = ������ x e a b a b = , 其中矩阵������ =
名师点拨常数项都为零的线性方程组为齐次线性方程组,显然 ������0 0 是其一个解,称为零解; 0 的一个非零解. ������0 (������0, ������0 不全为零)称为该方程组
1.逆矩阵与逆变换
逆变换与逆矩阵教学目标1.逆矩阵的概念；2.逆矩阵的性质。
教学重点及难点逆矩阵的概念与简单性质。
教学过程一、逆变换与逆矩阵1.逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在一个线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I，（I是恒等变换），则称变换ρ可逆，其中σ是ρ的逆变换。
2.逆矩阵：设Ａ是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使得BA=AB=E2,则称矩阵Ａ可逆，其中Ｂ为Ａ的逆矩阵。
符号、记法：1A-，读作Ａ的逆。
一般地，设A是一个二阶可逆矩阵，对应的线性变换为ρ，由矩阵与线性变换的对应关系可以看出，A的逆矩阵就是ρ的逆变换所对应的矩阵。
【应用】1.试寻找Ｒ30o的逆变换。
【应用】1.A＝3142⎛⎫⎪⎝⎭，问A是否可逆？若可逆，求其逆矩阵1A-。
2. A＝2142⎛⎫⎪⎝⎭，问A是否可逆？若可逆，求其逆矩阵1A-。
由以上两题，总结一般矩阵A＝a bc d⎛⎫⎪⎝⎭可逆的必要条件。
二、逆矩阵的性质1.二阶矩阵可逆的唯一性。
性质1：设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的。
性质2：.设A 、B 是二阶矩阵，如果A 、B 都可逆，则AB 也可逆，且111()AB B A ---=。
【练习：P 50】补充练习：1.下列变换不存在逆变换的是 （ ） A.沿x 轴方向，向y 轴作投影变换。
B.60o R 变换。
C.横坐标不变，纵坐标增加横坐标的两倍的切变变换。
D.以y 轴为反射变换2.下列矩阵不存在逆矩阵的是 （ ）A. 0110⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 0.5001⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 0110-⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 1010⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3.设A,B 可逆，下列式子不正确的是 （ ）A.111()AB A B ---=B. 111()AB B A ---=C.11()A A --= D. 2112()()A A --= 4.关于x 轴的反射变换对应矩阵的逆矩阵是5.变换ρ将（3，2）变成（1，0），设ρ的逆变换为ρ－1，则ρ－1将（1，0）变成点6.矩阵0111⎛⎫ ⎪⎝⎭的逆矩阵为7.设ρ：''x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1101-⎛⎫ ⎪⎝⎭x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点（－2，3）在ρ－1的作用下的点的坐标为8.A ＝1101-⎛⎫ ⎪⎝⎭12122⎛⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -= 答案：1.A 2.D 3.A 4. 1001⎛⎫ ⎪-⎝⎭ 5.（3，2） 6. 1110-⎛⎫ ⎪⎝⎭7.（1，3）8. 1122122⎛+ -- ⎝⎭。
逆矩阵PPT课件
学习目标：1、了解逆矩阵的概念及性质
2、掌握逆矩阵的求法
学习重点：会判别逆矩阵是否存在；如何求逆矩阵 学习难点：熟练运用公式求逆矩阵
一、概念的引入
当数 在数的运算中， 其中 为 时， 有
的倒数， （或称
的逆）；
在矩阵的运算中， 单位阵 相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵 ， 如果存在一个矩阵 , 使得
证明： 若设
可得 所以 的逆矩阵是唯一的,即
(2)、
(3)、
证明
例
设
目前只能利用定义，用待定系数法解决！
解 则 设 是 的逆矩阵,
又因为
所以
显然当阶数大时，很繁！深切渴望好 方法！！！
三、逆矩阵的求法
定理 矩阵 可逆的充要条件是 ，且
牢 记 这 个 定 理
注：
现在有两种方法：待定系数法（略）和公式法。 例1 求方阵 的逆矩阵.
逆矩阵的计算方法
思考题
思考题解答
答Leabharlann 则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆阵.
二、逆矩阵的概念和性质
1、 定义 对于 阶矩阵 ，如果有一个 阶矩阵 则说矩阵 是可逆的，并 ,使得 把矩阵 称为 的逆矩阵. 例 设
注意：
要同时成立！
现在要解决的问题：1. 方阵 满足什么条件时可逆? 2. 可逆时，逆阵怎样求？
2、性质 若 (1)、 是可逆矩阵，则 和 是 的逆矩阵是唯一的. 的可逆矩阵，则有
解
同理可得
用伴随阵求三阶以上 矩阵的逆阵计算量大
故
显然当阶数大时，还是有点很繁哦！继续 渴望好方法！！！
例2
解
用伴随阵求三阶以上矩阵的逆阵计算量大
例3
设
解
于是
2、掌握逆矩阵的求法
学习重点：会判别逆矩阵是否存在；如何求逆矩阵 学习难点：熟练运用公式求逆矩阵
一、概念的引入
当数 在数的运算中， 其中 为 时， 有
的倒数， （或称
的逆）；
在矩阵的运算中， 单位阵 相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵 ， 如果存在一个矩阵 , 使得
证明： 若设
可得 所以 的逆矩阵是唯一的,即
(2)、
(3)、
证明
例
设
目前只能利用定义，用待定系数法解决！
解 则 设 是 的逆矩阵,
又因为
所以
显然当阶数大时，很繁！深切渴望好 方法！！！
三、逆矩阵的求法
定理 矩阵 可逆的充要条件是 ，且
牢 记 这 个 定 理
注：
现在有两种方法：待定系数法（略）和公式法。 例1 求方阵 的逆矩阵.
逆矩阵的计算方法
思考题
思考题解答
答Leabharlann 则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆阵.
二、逆矩阵的概念和性质
1、 定义 对于 阶矩阵 ，如果有一个 阶矩阵 则说矩阵 是可逆的，并 ,使得 把矩阵 称为 的逆矩阵. 例 设
注意：
要同时成立！
现在要解决的问题：1. 方阵 满足什么条件时可逆? 2. 可逆时，逆阵怎样求？
2、性质 若 (1)、 是可逆矩阵，则 和 是 的逆矩阵是唯一的. 的可逆矩阵，则有
解
同理可得
用伴随阵求三阶以上 矩阵的逆阵计算量大
故
显然当阶数大时，还是有点很繁哦！继续 渴望好方法！！！
例2
解
用伴随阵求三阶以上矩阵的逆阵计算量大
例3
设
解
于是
逆矩阵ppt课件
例 5 利用逆矩阵求解线性方程组
32xx11x22
x2
x3 3, 5x3 2,
3x1 2x2 3x3 1.
解
2 2 1
令
Hale Waihona Puke A3 31 2
53 ,
x1 3
则
A
x2
2
.
x3 1
7 4 9
由例2知，A1
6
3
3
7
,
2 4
x1
3 7 4 9 3 4
则
A21 A22 A23
A31
A32
A33
M11 M21 M31 7 4 9
M12
M 22
M 32
6
3
7
M13 M23 M33 3 2 4 10
例3
设
P
2 0
2
1
,
B
1 0
1 1
，且 AP PB, 求 An.
解：因| P | = 2，，则 P 可逆，且
A1
ad
1
bc
d c
b
a
9
2 2 1
例2
求3阶方阵
A
3
1
5
的逆矩阵.
3 2 3
解：| A | = 1， M11 7, M12 6, M13 3, M21 4, M22 3, M23 2, M31 9, M32 7, M33 4,
则
A1
|
1 A|
A*
A*
A11 A12 A13
证明： A2 3A 5E 0 ( A E)( A 4E) 9E 所以A + E 可逆，且
( A E)1 1 ( A 4E) 9
人教A版高中数学选修4-2课件 3逆变换和逆矩阵课件
1
逆变换与逆矩阵
教育目标: 1.通过具体的图形变换,理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩 阵存在逆矩阵的条件,通过具体的投影变换,说明它所对应 矩阵的逆矩阵不存在. 2.会证明逆矩阵的惟一性和(AB)-1=B-1A-1等简单性质. 3.会从几何变换的角度求出AB的逆矩阵. 4.会用逆矩阵的知识解释二阶矩阵的乘法何时满足消去 率. 5.了解二阶行列式的定义,会用二阶行列式求逆矩阵和解 方程组.
11
5．矩阵ca
db的行列式为
a c
b d
ad
bc
,则如果
a c
b d
0
则矩阵 a b 存在逆矩阵.
cdLeabharlann 几何解释6.矩阵是否可逆的判断
代数解释
行列式 映射观点
逆变换与逆矩阵
几何变换方法
7.逆矩阵的求解
待定系数方法 公式法
行列式方法
d
b
8.矩阵ca
b
d
的逆矩阵为
．
ad
bc
c
ad
bc
a
ad bc ad bc
11.逆矩阵与二元一次方程组密切相关，用逆矩阵的知识 理解二元一次方程组的求解过程是为了让学生更好的认识 两者，理解它们间的相互为用、相辅相成.
逆变换与逆矩阵
12.
逆变换与逆矩阵
12. AX=B X= A-1B 13. AXC=B X= A-1BC-1
14.
逆变换与逆矩阵
15.用二阶矩阵和行列式研究二元一次方程组的解的情 况并不比消元法优越多少.但是,当方程组中的未知元很 多时,矩阵就变成了研究它的一个强有力的工具.
3．例1的设计起着承上启下的作用，所举的几个例子也是 学生熟知的，学生可以从几何变换的角度借助直观找到答 案．所以，例1的目的在于帮助学生从几何的角度理解逆 矩阵的意义，并为后续学习积累丰富的感性认识．
逆变换与逆矩阵
教育目标: 1.通过具体的图形变换,理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩 阵存在逆矩阵的条件,通过具体的投影变换,说明它所对应 矩阵的逆矩阵不存在. 2.会证明逆矩阵的惟一性和(AB)-1=B-1A-1等简单性质. 3.会从几何变换的角度求出AB的逆矩阵. 4.会用逆矩阵的知识解释二阶矩阵的乘法何时满足消去 率. 5.了解二阶行列式的定义,会用二阶行列式求逆矩阵和解 方程组.
11
5．矩阵ca
db的行列式为
a c
b d
ad
bc
,则如果
a c
b d
0
则矩阵 a b 存在逆矩阵.
cdLeabharlann 几何解释6.矩阵是否可逆的判断
代数解释
行列式 映射观点
逆变换与逆矩阵
几何变换方法
7.逆矩阵的求解
待定系数方法 公式法
行列式方法
d
b
8.矩阵ca
b
d
的逆矩阵为
．
ad
bc
c
ad
bc
a
ad bc ad bc
11.逆矩阵与二元一次方程组密切相关，用逆矩阵的知识 理解二元一次方程组的求解过程是为了让学生更好的认识 两者，理解它们间的相互为用、相辅相成.
逆变换与逆矩阵
12.
逆变换与逆矩阵
12. AX=B X= A-1B 13. AXC=B X= A-1BC-1
14.
逆变换与逆矩阵
15.用二阶矩阵和行列式研究二元一次方程组的解的情 况并不比消元法优越多少.但是,当方程组中的未知元很 多时,矩阵就变成了研究它的一个强有力的工具.
3．例1的设计起着承上启下的作用，所举的几个例子也是 学生熟知的，学生可以从几何变换的角度借助直观找到答 案．所以，例1的目的在于帮助学生从几何的角度理解逆 矩阵的意义，并为后续学习积累丰富的感性认识．
高中数学 第三讲 逆变换与逆矩阵 3.1 逆变换与逆矩阵课件 新人教A版选修42
123
10
名师点拨 1.有些矩阵是不可逆的,如二阶矩阵 A=
00 10
就找不到二阶矩阵B,使 BA=AB=E2 成立,即矩阵 A=
00 不可逆.
2.设 A 是一个二阶可逆矩阵,对应的线性变换为 ρ,由矩阵与线 性变换的对应关系可以看出,A 的逆矩阵就是 ρ 的逆变换所对应的 矩阵.
123
10
【做一做 2】 已知 A=
题型一 题型二 题型三 题型四
题型二
逆矩阵
【例 2】 从几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵,如 果存在,求出其逆矩阵.
1 -2
(1)A=
;
01
11
(2)B=
2 1
2 1
.
22
题型一 题型二 题型三 题型四
解:(1)矩阵 A 对应的是切变变换,它存在逆变换,所以矩阵 A 存
ab
在逆矩阵.设逆矩阵 A-1=
123
11
01
【做一做 3】 已知 A=
,B=
, 求(AB)-1.
11
解:∵AB=
10
20
01
21
=
,
10 20 ab
01
设(AB)-1=
,
cd
123
21 ab
2a + c 2b + d
则(AB)(AB)-1=
=
=
10
01 cd
c
d
,
01
2������ + ������ = 1,
∴
2������ + ������ ������ = 0,
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一
逆变换
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B1A=AB1=E2,B2A=AB2=E2. ∴B1=E2B1=(B2A)B1=B2(AB1）
=B2E2=B2. 即：B1=B2.
探究4
两个可逆变 换的复合变换仍 可逆么?
伸缩变换ρ:
x′= x , y′= 2 y
旋转变换R30°:
x′= 3 x－1 y , 22
y′= 1 x +
3 y
22
它们的逆矩阵分别为:
∴逆变换是唯一的. 4.设二阶矩阵A可逆,则A A－1 = A－1 A = E , 即：A－1 A = A A－1 = E .
∴ ( ) A－1可逆且 A－1 －1 = A.
5.设二阶矩阵A可逆,则A A－1 = A－1 A = E .
∴ ( ) A2 A－1 2 = A(AA－1) A－1 = AE A－1 = A A－1 = E , ∴( ) A－1 2 A2 = ( A－1 A－1 A)A = A－1 EA = A－1 A = E . ∴ A2 也可逆且( ) A2 －1 = ( ) A－1 2 .
对于一个二阶矩阵A,是否存在一个二阶 矩阵B,使得AB=BA=E?
例1 旋转变换
R30°：
x′= 3 x－1 y , 22
y′= 1 x +
3 y.
22
x′=
31 x + y,
R－30°：
2 y′=－1
x
+
2 3
y.
22
y α′ R30°
R－30°
30°
α
O
x
对于直角坐标系xOy 内的任意一个向量 α
1 0
2
01
01
（3） 0 0 不可逆 01
（4） cosθ －sinθ sinθ cosθ
cos θ 可逆,其逆矩阵为 －sinθ
sin θ cos θ
3.设线性变换ρ是可逆的，σ1，σ2 都是它的逆 矩阵,则ρ • σ1 = σ1 • ρ = I ,ρ • σ2 = σ2 • ρ = I .
∴σ1 = σ1 • I = σ1 • (ρ • σ2) = (σ1 • ρ) • σ2 = I • σ2 = σ2 .
σα = I（σα）=
= R－30°((R30°• σ
)(αR)－=30°RR－3300°°)(σIαα
)==RR－3－03°0(°Rα3.0°(σα
))
∴σ = R－30°,假设不成立. ∴逆变换是唯一的.
性质1
设A是一个二阶矩阵,若A是可逆的, 则A的逆矩阵是唯一的. 证明：设B1,B2都是A的逆矩阵,则
教材习题答案
1（. 1）伸缩变换ρ：
x′= y′=
x, ky
可逆,其逆变换为σ：
x′= x ,
y′= 1 y k
（2）关于x轴的反射变换ρ：
x′= x , y′=－y
可逆，
x′= x , 其逆变换为ρ： y′=－y.
2（. 1） 1 0 可逆,其逆矩阵为 1 0
21
－2 1
（2） 2 0
可逆,其逆矩阵为
类似：(R30°• ρ) •（ρ－1 R－30°）= I .
即：变换R30°• ρ可逆,
( ) 且
R30°• ρ －1
=
ρ－1 R－30°=
ρ－1
R －1 30°
.
性质2
设A , B是二阶矩阵,若A,B都可逆,则 AB 也பைடு நூலகம்逆,且(AB)－1=B－1A－1. 证明：∵(AB)(B－1A－1)
=A(BB－1)A－1=AE2A－1=AA－1=E2, (B－1A－1) (AB) = B－1( AA－1 )B= B－1E2B= B－1B=E2,
即:(AB)(B－1A－1) =(B－1A－1)(AB)=E2
∴AB可逆,且(AB)－1 = B－1A－1.
课堂小结
1. A是一个二阶矩阵,若存在二阶矩阵B,使 得AB=BA=E2,则称矩阵A可逆. 2.A是一个二阶矩阵,若A是可逆的,则A的逆 矩阵是唯一的. 3.A , B是二阶矩阵,若A ,B都可逆,则AB也可 逆,且(AB)－1=B－1A－1.
答案:不是. 如A= 2 1 00
探究3
1.若一个线性变换是可逆的,则它的逆 变换是唯一的么?
2.若一个二阶矩阵是可逆的,则它的逆 矩阵是唯一的么?
反证法
以例1中的两个旋转变换为例
证明: 假设不唯一,则存在变换R30°的任意一 个逆变换σ,使得σ R30° = R30° σ= I.
∴对平面上任意一个向量 α 有,
由图可得：α α′ α
有：（R 30 °·R －30 ° ）α = R30°（R－30° ）=α
α
∴ R30°·R－30°= I 同理可得：R－30°·R30°= I
31
对于二阶矩阵 2 －1 2
2 ,存在二阶矩阵 3 2
3 －1 2 2 ,使得 13 22
31
22 －1 3
22
3 －1 22 13
x′= x , ρ－1： y′= 1 y
2
R－30°:
x′=
31 x + y,
22
y′=－1 x +
3 y
22
任意一个平面向量: α=
x .
y
先经ρ·R30°的复合变换,再经R－30°·ρ－1,
最终仍得到 α
y
R30°
如图:
R－30°
ρ－1
ρ
α
O
x
∴（ρ－1 R－30°）• (R30°• ρ) = I；
用矩阵的语言表述:
设A是一个二阶矩阵,若存在二阶矩阵B, 使得AB=BA=E2,则称矩阵A可逆,或A是可逆 矩阵,并称B是A的逆矩阵.
设A是一个二阶可逆矩阵, 对于对应的线性变换为ρ,由矩 阵和变换的对应关系,得到A的 逆矩阵就是ρ逆变换对应的矩 阵.
思考
是否每一个二阶矩阵都可 逆?若能,请说明理由;若不能, 请举例说明.
22
= 3 －1 22
31 22
1 3 －1 3
22
22
= E2
思考
一般的旋转变 换Rψ,也有相似的结 论么?
探究2
对于切变变换、伸缩变 换、反射变换等线性变换,能 否找到一个线性变换,使得它 们的复合变换是恒等变换 I ?
同学们:我会了哦!你 们会了么?类比书本
看看答对了么?
定义
设ρ是一个线性变换,若存在线性变换 σ,使得σρ=ρσ= I ,则称变换ρ可逆,并称σ是ρ 的逆矩阵.
知识与能力 掌握逆矩阵的概念和简单性质
过程与方法 通过线性变换理解逆矩阵的性质
情感态度与价值观 培养学生提出问题,解决问题的 能力
重点：
逆矩阵的概念与简单性质.
难点：
逆矩阵的概念; 用线性变换的角度理解逆矩阵的 简单性质.
探究1
对于一个线性变换ρ,是否存在一个线性 变换σ,使得σ·ρ=ρ·σ= I ?
导入新课
除了我们已学过 的一些矩阵的性质之 外还有其他性质么?
知识回顾
矩阵乘法的运算性质
结合律 (ab)c=a(bc) 交换律 ab=ba 消去律 设a≠0,若ab=a,则b=c;若
ba=ca,则b=c.
实数的乘法运算中有一条重要的运
算性质：如果a
≠
0,则1 a
•
a
=
a
•
1 a
=
1.
类比
把恒等变换I 和单位矩阵 E作为数1的类比对象
=B2E2=B2. 即：B1=B2.
探究4
两个可逆变 换的复合变换仍 可逆么?
伸缩变换ρ:
x′= x , y′= 2 y
旋转变换R30°:
x′= 3 x－1 y , 22
y′= 1 x +
3 y
22
它们的逆矩阵分别为:
∴逆变换是唯一的. 4.设二阶矩阵A可逆,则A A－1 = A－1 A = E , 即：A－1 A = A A－1 = E .
∴ ( ) A－1可逆且 A－1 －1 = A.
5.设二阶矩阵A可逆,则A A－1 = A－1 A = E .
∴ ( ) A2 A－1 2 = A(AA－1) A－1 = AE A－1 = A A－1 = E , ∴( ) A－1 2 A2 = ( A－1 A－1 A)A = A－1 EA = A－1 A = E . ∴ A2 也可逆且( ) A2 －1 = ( ) A－1 2 .
对于一个二阶矩阵A,是否存在一个二阶 矩阵B,使得AB=BA=E?
例1 旋转变换
R30°：
x′= 3 x－1 y , 22
y′= 1 x +
3 y.
22
x′=
31 x + y,
R－30°：
2 y′=－1
x
+
2 3
y.
22
y α′ R30°
R－30°
30°
α
O
x
对于直角坐标系xOy 内的任意一个向量 α
1 0
2
01
01
（3） 0 0 不可逆 01
（4） cosθ －sinθ sinθ cosθ
cos θ 可逆,其逆矩阵为 －sinθ
sin θ cos θ
3.设线性变换ρ是可逆的，σ1，σ2 都是它的逆 矩阵,则ρ • σ1 = σ1 • ρ = I ,ρ • σ2 = σ2 • ρ = I .
∴σ1 = σ1 • I = σ1 • (ρ • σ2) = (σ1 • ρ) • σ2 = I • σ2 = σ2 .
σα = I（σα）=
= R－30°((R30°• σ
)(αR)－=30°RR－3300°°)(σIαα
)==RR－3－03°0(°Rα3.0°(σα
))
∴σ = R－30°,假设不成立. ∴逆变换是唯一的.
性质1
设A是一个二阶矩阵,若A是可逆的, 则A的逆矩阵是唯一的. 证明：设B1,B2都是A的逆矩阵,则
教材习题答案
1（. 1）伸缩变换ρ：
x′= y′=
x, ky
可逆,其逆变换为σ：
x′= x ,
y′= 1 y k
（2）关于x轴的反射变换ρ：
x′= x , y′=－y
可逆，
x′= x , 其逆变换为ρ： y′=－y.
2（. 1） 1 0 可逆,其逆矩阵为 1 0
21
－2 1
（2） 2 0
可逆,其逆矩阵为
类似：(R30°• ρ) •（ρ－1 R－30°）= I .
即：变换R30°• ρ可逆,
( ) 且
R30°• ρ －1
=
ρ－1 R－30°=
ρ－1
R －1 30°
.
性质2
设A , B是二阶矩阵,若A,B都可逆,则 AB 也பைடு நூலகம்逆,且(AB)－1=B－1A－1. 证明：∵(AB)(B－1A－1)
=A(BB－1)A－1=AE2A－1=AA－1=E2, (B－1A－1) (AB) = B－1( AA－1 )B= B－1E2B= B－1B=E2,
即:(AB)(B－1A－1) =(B－1A－1)(AB)=E2
∴AB可逆,且(AB)－1 = B－1A－1.
课堂小结
1. A是一个二阶矩阵,若存在二阶矩阵B,使 得AB=BA=E2,则称矩阵A可逆. 2.A是一个二阶矩阵,若A是可逆的,则A的逆 矩阵是唯一的. 3.A , B是二阶矩阵,若A ,B都可逆,则AB也可 逆,且(AB)－1=B－1A－1.
答案:不是. 如A= 2 1 00
探究3
1.若一个线性变换是可逆的,则它的逆 变换是唯一的么?
2.若一个二阶矩阵是可逆的,则它的逆 矩阵是唯一的么?
反证法
以例1中的两个旋转变换为例
证明: 假设不唯一,则存在变换R30°的任意一 个逆变换σ,使得σ R30° = R30° σ= I.
∴对平面上任意一个向量 α 有,
由图可得：α α′ α
有：（R 30 °·R －30 ° ）α = R30°（R－30° ）=α
α
∴ R30°·R－30°= I 同理可得：R－30°·R30°= I
31
对于二阶矩阵 2 －1 2
2 ,存在二阶矩阵 3 2
3 －1 2 2 ,使得 13 22
31
22 －1 3
22
3 －1 22 13
x′= x , ρ－1： y′= 1 y
2
R－30°:
x′=
31 x + y,
22
y′=－1 x +
3 y
22
任意一个平面向量: α=
x .
y
先经ρ·R30°的复合变换,再经R－30°·ρ－1,
最终仍得到 α
y
R30°
如图:
R－30°
ρ－1
ρ
α
O
x
∴（ρ－1 R－30°）• (R30°• ρ) = I；
用矩阵的语言表述:
设A是一个二阶矩阵,若存在二阶矩阵B, 使得AB=BA=E2,则称矩阵A可逆,或A是可逆 矩阵,并称B是A的逆矩阵.
设A是一个二阶可逆矩阵, 对于对应的线性变换为ρ,由矩 阵和变换的对应关系,得到A的 逆矩阵就是ρ逆变换对应的矩 阵.
思考
是否每一个二阶矩阵都可 逆?若能,请说明理由;若不能, 请举例说明.
22
= 3 －1 22
31 22
1 3 －1 3
22
22
= E2
思考
一般的旋转变 换Rψ,也有相似的结 论么?
探究2
对于切变变换、伸缩变 换、反射变换等线性变换,能 否找到一个线性变换,使得它 们的复合变换是恒等变换 I ?
同学们:我会了哦!你 们会了么?类比书本
看看答对了么?
定义
设ρ是一个线性变换,若存在线性变换 σ,使得σρ=ρσ= I ,则称变换ρ可逆,并称σ是ρ 的逆矩阵.
知识与能力 掌握逆矩阵的概念和简单性质
过程与方法 通过线性变换理解逆矩阵的性质
情感态度与价值观 培养学生提出问题,解决问题的 能力
重点：
逆矩阵的概念与简单性质.
难点：
逆矩阵的概念; 用线性变换的角度理解逆矩阵的 简单性质.
探究1
对于一个线性变换ρ,是否存在一个线性 变换σ,使得σ·ρ=ρ·σ= I ?
导入新课
除了我们已学过 的一些矩阵的性质之 外还有其他性质么?
知识回顾
矩阵乘法的运算性质
结合律 (ab)c=a(bc) 交换律 ab=ba 消去律 设a≠0,若ab=a,则b=c;若
ba=ca,则b=c.
实数的乘法运算中有一条重要的运
算性质：如果a
≠
0,则1 a
•
a
=
a
•
1 a
=
1.
类比
把恒等变换I 和单位矩阵 E作为数1的类比对象