高中数学第八章平面解析几何知识汇总

第八章平面解析几何
1.曲线C上的点与方程F(x,y) 0之间的关系：
(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x, y) 0的解；
(2)以方程F(x, y) 0的解(x, y)为坐标的点都在曲线C上。

则曲线C叫做方程F(x, y) 0的曲线，方程F(x, y) 0叫做曲线C的方程。

2. 求曲线方程的方法及步骤
(1)设动点的坐标为(x, y)
(2)写出动点在曲线上的充要条件；
(3)用x, y的关系式表示这个条件列出的方程
(4)化简方程(不需要的全部约掉)
3.两曲线的交点：联立方程组求解即可。

4.直线
(1)倾斜角：一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角叫这条
直线的倾斜角。

其范围是［0,)
(2)斜率：①彳K斜角为900的直线没有斜率；②k tan (倾斜角
的正切)
注：当倾斜角增大时，斜率k也随着增大；当倾斜角减小时，斜率k也随着减小！
③已知直线l的方向向量为V(%,v2)，则k i v2
V1
④经过两点己(“，火)尸2仪2,丫2)的直线的斜率K 互上(x x2) x2x1
A
⑤直线Ax By C 0的斜率K -
B
(3)直线的方程
①两点式：J -
y2 y x2 X I
②斜截式：y kx b
D 点斜式：y y k(x X O)
k i
k 2
(5)两直线的夹角公式
① 定义：两直线相交有四个角，其中不大于 一的那个角。

2
③两平行线Ax By C i 0和Ax By C 2 0的距离：
1
A 2
B 2
④截距式：个1 i
a b a 为l 在x 轴上的截距，b 为l 在y 轴上的截距
D 一般式：Ax By C 0 其中直线l 的一个方向向量为(B,A) 注：(1)若直线l 方程为3x 4y 5 0,则与l 平行的直线可设为3x 4y C 0;
与l 垂直的直线可设为4x 3y C
(4)两条直线的位置关系
①斜截式:
l i : y k i x b i 与 l 2 : y k ?x b 2 l i l 2
k i k 2 且 b i b 2
l i 与l 2重合
k i
k 2
且 bi b 2
l i _L l 2
k
i
k
2
i,
l i 与l 2相交
l i
: A i
x B i x C i
0与 l 2
: Ax B 2
x
C
2
l i //12
2 B
A 2
B 2
C 2
C 2
l i 与l 2重合
A 2
B i
B 2
C 2
C 2
l i
± l 2
AA 2
B i
B 2
0 l i 与l 2相交
A 2
B
B 2
③斜截式：l i : y
k i
x b 与 l 2
: y k 2
x b 2
tan |
k i
k 2
i k 1
k 2
(可只记这个公式，如果是一般式方程可化成斜截式来解)
般式：l 1 ： A 〔 x B i x C i 0与 l 2：A 2x B 2x C 2 0
cos
B^I
A B 12
fA 2
B 22
(6)点到直线的距离
①点P( x o , y o )到直线Ax By C 0的距离：d
| Ax o By o C |
、A 2 B 2
5.圆的方程
(1)标准方程：(x a)2 (y b)2 r2 ( r 0)其中圆心(a,b),半径r。

(2) 一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0 ( D2E2 4F 0)
D E、业以D2 E2 4F
团心( —,一) 小径：r ---------------
2 2 2
°0 °x r cos a
⑶ 参数方程：(x a) (y b) r的参数方程为J [0,2 ))
y r cos b
(4)直线和圆的位置关系：主要用几何法，利用圆心到直线的距离d和半径r比较。

d r 相交；d r 相切；d r 相离
(6)圆。

1与圆。

2的位置关系：利用两圆心的距离d与两半径之和「「2及两半
径之差「1『2比较，再画个图像来判定。

(总共五种：相离、外切、内切、
相交、内含)
(7)圆的切线方程：
① 过圆x2 y2 1上一点P(x0, y°)的圆的切线方程：x°x y°y r2
②过圆(x a)2 (y b)2 r2外一点P(x°, y°)的圆的切线方程：肯定有两条, 设切线的
斜率为k,写出切线方程(点斜式)，再利用圆心到直线的距离等于半径列出方程
解出k0
6.圆锥曲线的定义：动点到定点(焦点)的距离和到定直线(准线)的距离之比为常数e (离心率)的点的轨迹。

当0 e 1时，为椭圆；当e 1时，为双曲线；当e 1时为抛物线。

a,b,c 的关系 a 2 b 2 c 2
注意：通常题目会隐藏这个条件
对称轴与对称中心 x 轴：长轴长2a ； y 轴：短轴长2b; 0（0,0） 顶点坐标 (a,0) (0, b) 焦点坐标 （c,0）焦距2c 注：要特别注意焦点在哪个轴上
准线方程
2
a
x —— c
离心率 e t
2
.b 2
.
1
2
1
a
曲线范围 a x a, b y b
渐近线
无 中心在（凡~0）的方程 / 、2
/
、2
J 0L (1_"
1 中心 O'(x 0,y °)
a b
8.双曲线
动点与两定点（焦点）的距离之差的绝对值等于常数 2a
几何定义
IIPF i l IPF 2II 2a
x 轴：实轴长2a ； y 轴：虚轴长
2b ； O （0,0） 顶点坐标
2
2
二二1 （焦点在x 轴上） a 2 b 2
标准方程
2 2
、与1 （焦点在y 轴上） 2
2
a b
图像
a,b,c 的关系 对称轴与对称中心
(a,0)
注意：通常题目会隐藏这个条件
b c
焦点坐标 (c,0)焦距2c 注：要特别注意焦点在哪个轴上
准线方程
2
a
x —— c
离心率
c b b 2 d
e [J 2
1
a V a
曲线范围 x a 和 x a , y R
渐近线
y -x (焦点在x 轴上)
y - x (焦点在y 轴上)
a
b
中心在(％,y 0)的方程
2
2
yk (2_" 1 中心 O'a.) a b
注：1.等轴双曲线：(1)实轴长和虚轴长相等 a b (2)离心率e 22 (3)
渐近线y x
2. (1)以y mx 为渐近线的双曲线方程可设为(y mx)(y mx) (
0)
2
2
(2)与双曲线 二、1有相同渐近线的双曲线可设为: a b
9.抛物线
少可到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹 定义| MF | d ( d 为抛物线上一点M 到准线的距离)
标准 2
y 2 px
2
y
2px
2
x
2py
2
x
2py
方程
(p 0) (p 0) (p 0) (p 0)
2
x
-2 a
2
匕
b 2
注：(1) p的几何意义表示焦点到准线的距离
(2) 掌握焦点在哪个轴上的判断方法
(3) AB是抛物线y2 3 2Px (p 0)的焦点弦，A(x,y i), B(x2, y2),则①弦
2
长1AB i x i x2 p ② x〔x2 —; ym p2
4。