小学奥数专题精讲计数
小学奥数数论讲义 3-整数分拆之分类与计数强化篇
整数分拆之分类与计数整数的加法拆分加法拆分定义：把一个自然数拆分成两个或几个连续自然数的和（如3=1+2），或拆分成几个不相同的数的和，这类题目统称为整数的拆分。
加法拆分目的：拆分不是目的，目的是通过分类枚举进行拆分然后进行统计计数。
要求同学不但能够通过拆分解决相关的最大最小问题，同时也能通过拆分解决一些应用问题。
【例1】小兵和小军用玩具枪做打靶游戏，见下图所示。
他们每人打了两发子弹。
小兵共打中6环，小军共打中5环。
又知没有哪两发子弹打到同一环带内，并且弹无虚发。
你知道他俩打中的都是哪几环吗？例1图【巩固】强强和明明两人到游乐园玩射击游戏，如下图他们每人打了两发子弹，均击中了靶子(即无脱靶现象)。
强强两发共打了12环，明明两发共打了8环。
又已知没有哪两发子弹打在同一环中，请你推算一下他俩打中的是哪几环？巩固图【例2】有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？【巩固】将12拆分成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的拆分方式，请把它们一一列出。
【例3】有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？【巩固】按下面的要求，把自然数6进行拆分。
⑴把6拆成几个自然数相加的形式(0除外)，共有多少种不同的拆分方法？⑵把6拆成几个不完全相同的自然数相加的形式(0除外)，共有多少种不同的拆分方法？⑶把6拆成几个完全不相同的自然数相加的形式(0除外)，共有多少种不同的拆分方法？【例4】按下面的要求，把15进行拆分。
⑴将15拆分成不大于9的三个不同的自然数之和，有多少种不同拆分方式，请一一列出。
⑵将15拆分成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的拆分方式，请一一列出。
【巩固】将15拆分成四个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的拆分方式，请把它们一一列出。
【例5】有七个盘子，每个盘子中分别装有1个、2个、3个、5个、6个、7个和9个梨。
要从这些盘子中取出15个梨，但要求每个盘子中的梨要么都拿，要么都不拿。
小学奥数计数之标数法经典例题讲解【三篇】
小学奥数计数之标数法经典例题讲解【三篇】
解答：蜜蜂“每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行”
这意味着它只能从小号码的蜂房爬进相邻的大号码的蜂房。
明确了行
走路径的方向，就可使用标数法实行计算。
如图所示，小蜜蜂从A出发到B处共有89种不同的回家方法。
【第二篇】
例1．按图中箭头所指的方向行走，从A到I共有多少条不同的路线？
解答：
第1步：在起点A处标1。
再观察点B，要想到达点B，只有一个入口A，所以在B点也标1。
第2步：再观察点C，要想到达点C,它有两个入口A和B，所以在点
C处标1＋1＝2。
同理重复点F，点D，点E，点G，点H，点I
【第三篇】
分析：既然要走最短路线,自然是不能回头走,所以从A地到B地
的过程中只能向右或向下走.
我们首先来确认一件事,如下图
从A地到P点有m种走法,到Q点有n种走法,那么从A地到B地有多少种走法呢?
就是用加法原理,一共有m+n种走法.
这个问题明白了之后,我们就能够来解决这道例题了：
首先因为只能向右或向下走,那么最上面一行和最左边一列的每一个点都只能有一种走法,(因为不能够走回头路).
我们就在这些交点的旁边标记上一个数字,代表走到这个位置有多少种方法.。
奥数讲义计数专题：4 包含与排除
华杯赛计数专题：4包含与排除基础知识：1.包含与排除的思想，是为了解决计数分类的过程中，出现重复计数的情况.2.基本的想法：减去重复计算的，多算了几次，就减几次，常用工具文氏图.3.两个对象及三个对象的容斥原理，利用文氏图帮助理解.4.容斥原理中的最值问题，可以利用线段图.引子：从7本不同的数学书和8本不同的语文书中，选出6本书，不能全是同一种的书，那么有多少种不同的选法？用前面学的知识能解决吗？还有别的方法吗？总结：当正面计数比较繁琐、困难时，可以从反面考虑，即从总的数量减去不符合要求的数量.例1.学生要从八门课中选学三门，如果数学课与钢琴课时间冲突，不能同时学，那么共有几种选课的方法？【答案】50（种）【解答】所有的选课方法一共有种，数学课和钢琴课都选学的方法有种，其中代表数学课和钢琴课都选学，其中代表从剩余的课程中再选学1门.所以符合题意的选课方法一共有种.例2.从4台不同型号的TCL电视机和5台不同型号的Haier电视机中任意取出3台,其中至少要有TCL与Haier电视机各1台，不同的取法共有多少种?【答案】70（种）【解答】9台不同的电视，随意选取3台，一共有种方法.其中包括只选取Haier的方法一共种，还包括只选取TCL的方法一共种.所以符合题意的方法一共有84-10-4=70种.例3.7个同学站成一排，要求其中的甲不排头，乙不排尾，有多少种排法?思考：答案是吗？为什么【答案】3720（种）【解答】7个同学随意排列，共有种排法，若甲排在头，则剩下的6个同学全排列，一共有种排法，同理，若乙排在尾，一共有种排法，若同时满足甲在排头、乙在排尾，共有种排法，根据容斥原理，符合题意的排法共有种.例4.板报组有10名同学，每个人至少擅长绘画或写文章中的一种，已知其中7个人擅长绘画，5个人擅长写文章，要从中选出两个人担任组长，要求其中既有擅长绘画的也有擅长写文章的，那么有多少种选组长的方法？如果要从中选出两名同学去参赛，分别参加绘画比赛和作文比赛，那么有多少种参赛方法？【答案】32（种）【解答】因为10名同学中7个人擅长绘画，5个人擅长写文章，所以既擅长绘画又擅长写文章的有5＋7－10=2个人，所以只擅长绘画的有5个人，只擅长写文章的有3个人, 选组长可以分为三类：第一类：先从擅长绘画的人中选1个，再从剩下的人中选1个，共有5×5=25种选法；第二类：从既擅长绘画又擅长写文章的2个人选1个，再从擅长写文章的3个人中选1个，共有2×3=6种选法；第三类：选2个既擅长绘画又擅长写文章的，共有1种选法；综合共有25＋6＋+1=32种.例5.一次考试共有A、B、C三道题，一共有100个人参加了这次考试.其中，答对A 题的有50人，答对B题的有60人，答对C题的有20人.已知答对C题的人在A、B两道题中至少还答对了一道题，且只答对A题的有24人，只答对A题和B题的有10人，还有10个人A、B均未答对.那么有________个人只答对了B题.【答案】36（人）【解答】因为100人中有10人A、B两题均未答对，所以有90人至少答对A，B中的一道.又因为50人答对A题，60人答对B题，所以至少答对A、B两题的有50＋60－90=20人.即答对AB两题或答对ABC三题的人合起来有20个.而只答对AB两题的人有10个，所以ABC三个题全答对的人有20－10=10个.由于有24人只答对A题，所以还有50－24=26人答对A题和至少另外一道题.这26人答对的题目只有3种可能：AB、AC和ABC.由上面的结论知只答对AC两题的应该有26－20=6个人.由于答对C的人在A、B两题中至少答对一道，所以答对C的20个人答对的题目也只有三种可能：AC、BC和ABC.那么只答对BC两题的有20－6－10=4人.现在已知答对AB两题的有10人，答对BC两题的有4人，答对ABC的有10人，而至少答对B一个题目的一共有60人，所以只答对B一个题的有60－10－4－10=36人.例6.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有种.【答案】14（种）【解答】6个人中选4个，共有种选法，选4个男生，共有种选法，所以符合题意的选法共有种.例7.从6双手套中取出4只，则至少取出一双的方法有种.【答案】255（只）【解答】有6双手套，即12只，从12只中任选4只，共有种，若选出的4只均不同双，则分步进行，第一步，从6双中选出4双，共有种；第二步，在选出的4双中分别选出左手或右手，共有，根据乘法原理：若选出的4只均不同双的选法共有种，所以符合题意的选法共有种.例8.在4×4的方格表里写上两个A和两个B（每个方格里至多写一个字母），那么相同字母既不同行也不同列的写法有多少种？【答案】3960（种）【解答】写入两个A既不同行也不同列的写法共有种，同理写入两个B既不同行也不同列的写法共有种，依次写入A、B，共有种写法.若A、B写入同一个方格中，可以分为两类考虑，第一类：A、B有两个格子均重合，共有72种写法；第二类，A、B中有一个格子重合，共有种写法；所以若A、B写入同一个方格中共有种写法，综上符合题意的共有种写法。
小学奥数关于计数问题的例题解析
小学奥数关于计数问题的例题解析概率初步约翰与汤姆掷硬币，约翰掷两次，汤姆掷两次，约翰掷两次，……，这样轮流掷下去.若约翰连续两次掷得的结果相同，则记 1 分，否则记0 分. 若汤姆连续两次掷得的结果中至少有1次硬币的正面向上，则记 1 分，否则记0分. 谁先记满10 分谁就赢（）赢的可能性较大（请填汤姆或约翰）.解答：连续扔两次硬币可能出现的情况有（正，正）;（正，反）;（反，正）;（反，反）共四种情况。
约翰扔的话，两种情况记 1 分，两种情况记0 分;汤姆扔的话三种情况记 1 分，一种情况记0 分。
所以汤姆赢得的可能性大。
【篇二】递推方法的概述及解题技巧在很多计数问题中，要很快求出结果是比较困难的，有时可先从简单情况入手，然后从某一种特殊情况逐渐推出与以后比较复杂情况之间的关系，找出规律逐步解决问题，这样的方法叫递推方法。
线段AB上共有10个点（包括两个端点），那么这条线段上一共有多少条不同的线段?分析与解答：从简单情况研究起：AB上共有2个点，有线段：1条AB上共有3个点，有线段：1+2=3（条）AB上共有4个点，有线段：1+2+3=6（条）AB上共有5个点，有线段：1+2+3+4=10（条）AB上共有10个点，有线段：1+2+3+4+…+9=45（条）一般地，AB上共有n个点，有线段：1+2+3+4+…+（n -1）二n x （n-1）宁2即:线段数二点数X（点数-1）+2【篇三】在一道减法算式中，被减数加减数再加差的和是674，又知减数比差的 3 倍多17，求减数。
答案解析：根据题中条件，被减数+减数+差=674.能够推出：减数+差=674+2=337（因为被减数=减数+差）。
又知，减数比差的3倍多17,就是说，减数=差乂3+17,将其代入：减数+差=337，得出：差x 3+17+差=337差x 4=320差=80于是，减数=80x 3+17=257。
小学六年级奥数 第6讲计数方法之标数法、递推法
【例6】(★★★) 如下图，一只蜜蜂从A处出发，回到家里B处，每次只能从一个蜂 房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？
A
B
【例7】(★★★) 一个楼梯共有12级台阶，规定每步可以迈1级台阶或2级台阶，最 多可以迈3级台阶，从地面到最上面1级台阶，一共可以有多少种 不同的走法？
【例8】(★★★) 在平面上画8个圆，最多可以把平面分成_______部分。
计数方法之标数法、递推法
【例1】(★★) 如图所示，科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“Einstein”，按 图中箭头所示方向有______种不同的方法拼出英文单词 “Einstein”。
【例2】(★★) 如图，为一幅街道图，从A出发经过十字路口B，但 不经过C走到D的不同的最短路线有多少条？
【例3】(★★★★) 在下图中，左下角有1枚棋子，每次可以向上，向右，或沿对角 线的方向向右上走任意多步，但不能不走。那么走到右上角一共 有多少种方法？
ห้องสมุดไป่ตู้
【例4】(★★★★★)
池塘中10片莲叶如右图排列．青蛙在莲叶间跳跃，每次只能从一
片莲叶跳到相邻的另一片莲叶．一只青蛙盘算着从其中一片莲叶
上起跳，连跳4步，那么它有
种不同的跳法．
○
1
【例5】(★★★★★) 游乐园门票1元1张，每人限购1张.现有10个小朋友排队购买，其 中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票， 售票员没有零钱。10个小朋友排队，不同的排队方法总共有10！ ＝3628800种，问其中有______种排队方法，售票员总能找的开 零钱。
【例9】(★★★★) 一个长方形把平面分成两部分，那么10个长方形最多把平面分成 _______部分.
六年级下册数学讲义-小学奥数精讲精练： 第六讲 几何图形的计数趣谈
第六讲几何图形的计数趣谈一、常用的几个简单几何图形的计数公式1．数线段、三角形、（锐）角的公式数出图 6－1 中各条线段上线段的总条数.图 6－1(a)中只有两个点 A、B、只有一条线段.图6－1(b)中有A、B、C 三个点，这三个点将线段 AC 分割成AB、BC 两条小线段，这两条小线段连起来组成一条新线段 AC，所以图 6－1(b)中有三条线段算式为 2＋1＝3.图6－1(c)中有A、B、C、D 四个点，这四个点将线段 AD 分割成AB、BC、CD 三条小线段；把相邻的两条小线段连起来组成两条新线段 AC、BD，然后相邻的三条小线段连起来组成一条新线段 AD，所以图 6－1(c)中共有 6 条线段，算式为 3 ＋2＋1＝6.图6－1(d)中在有A、B、C、D、E 五个点，这五个点将线段 AE 分割成AB、BC、CD、DE 四条小线段；把相邻的两条小线段连起来组成三条新线段 AC、BD、CE；再将相邻的三条小线段连起来又组成两条新线段 AD、BE；最后相邻的四条小线段连起来又组成一条新线段 AE.所以图6－1(d)中共有 10 条线段.算式为4＋3＋2＋1＝10.图6－1(e)中有A、B、C、D、E、F 六个点，这六个点将线段分割成 AB、BC、CD、DE、EF 五条小线段；这五条小线段中的任意相邻两条小线段连起来又组成四条新线段AC、BD、CE、DF；然后将相邻三条小线段连在一起又组成三条新线段 AD、BE、CF；再将相邻四条小线段连起来又组成两条新线段 AE、BF；最后五条相邻小线段连起来又组成一条新线段 AF.所以图6－1（e）中共有15 条线段.算式为5＋4＋3＋2＋1＝15.将上述几种情况一般化，如果某条线段上共有 n 个点（包括两个端点），那么这 n 个点将线段分割成 n－1 条小线段，这 n－1 条小线段中，任意相邻两条小线段连起来又都可以组成一条新线段，这样的新线段共有 n－2 条.另外，这n－1 条小线段中，任意三条相邻小线段连起来又都可以组成一条新线段，这样的新线段共有 n－3 条.依此类推，可得：任意相邻四条小线段连起来组成的新线段共有 n－4 条.任意相邻五条小线段连起来组成的新线段共有n－5 条.……任意相邻 n－2 条小线段连起来组成的新线段，共有（n－（n－2）＝）2 条.最后相邻的 n－1 条小线段连起来组成 1（＝n－（n－1））条新线段.此时，线段的总条数为（n－1）＋（n－2）＋……＋2＋1这样便得到如何数类似图 6－1 中线段总条数的公式：当一条线段上共 n 个点（包括两个端点）时，这条线段上线段总条数为： 1＋2＋…＋（n－1）①即线段总条数为从 1 开始的（n－1）个连续自然数的和.把图6－1 稍加变化，可得图6－2.图6－2 各图中的三角形有下面两个特点：一是所有三角形有一个共公的顶点，二是所有三角形的底边都在同一条直线上.图6－2(a)、(b)、(c)中三角形的个数与底边的个数一样多.即图 6－2(a) 中三角形的个数有 6 个（6＝1＋2＋3），图6－2(b)中三角形的个数有 10 个（1＋2＋3＋4＝10）.图 6－2(c)中三角形的个数有 15 个（1＋2＋3＋4＋5＝15）.这说明公式①还可以用来数类似于图 6－2 中三角形的总个数.另外公式①还可以用来数如图 6－3 中锐角的总个数，即从锐角AOB 的顶点O，在其内部引 n－1 条射线，此时图中锐角的总个数也是：1＋2＋…＋（n－1）＋n2．数长方形的公式先看图6－4 中有多少个长方形（图中ABCD 是一个长方形，长方形内每条竖线都平行于BC，每一条横线都平行于 AB）.这个问题与数线段有十分密切的关系.由公式知道：AB 边上共有（1＋2＋3 ＋4＋5＝）15 条线段；AD 边上共有（1＋2＋3＝）6 条线段.把 AB 边上的每一条线段作为长，AD 边上的每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形（包括正方形），所以图 6－4 中长方形的总数为（1＋2＋3＋4＋5）×（1＋2＋3）一般情况下，如果有类似于图 6－4 的任一长方形，一边上有 n＋1 个点，其相邻一边上有m＋1 个点（m、n 是自然数）；相邻两点间的距离可以相等，也可以不相等.过这些点分别做对边的平行线，与另一边相交，这些平行线将原长方形分割成许多长方形，此时图中长方形的总数为：（1＋2＋…＋n）×（1＋2＋…m）②利用公式②还可以计算图 6－5(a)、(b)中平行四边形和梯形的总数.3．数正方形的公式分别数出图 6－6 中各图内的所有正方形的个数（图中每个小格都是正方形）.为方便起见，我们假定每个小方格的边长为 1 个长度单位.图6－6（a）中大正方形边长为 2 个长度单位，其中边长为 1 个长度单位的正方形有（2×2）＝4 个，边长为2 个长度单位的正方形有 1 个.所以，正方形总数为1×1＋2×2＝5（个）图6－6（b）中大正方形边长为 3 个长度单位，其中边长为 1 个长度单位的正方形有（3×3＝）9 个，边长为2 个长度单位的正方形有（2×2＝）4 个，边长为3 个长度单位的正方形有 1 个.所以，正方形的总数为1×1＋2×2＋3×3＝14（个）图6－6（c）中大正方形边长为 4 个长度单位，其中边长为 1 个长度单位的正方形有（4×4＝）16 个，边长为2 个长度单位的正方形有（3×3＝）9 个，边长为3 个长度单位的正方形有（2×2＝）4 个，边长为 4 个长度单位的正方形有 1 个.所以，正方形的总数为1×1＋2×2＋3×3＋4×4＝30（个）图6－6（d）中大正方形边长为 5 个长度单位.其中边长为 1 个长度单位的正方形有（5×5＝）25 个，边长为 2 个长度单位的正方形有（4×4＝）16 个，边长为3 个长度单位的正方形有（3×3＝）9 个，边长为4 个长度单位的正方形有（2×2＝）4 个，边长为 5 个长度单位的正方形有 1 个.所以，正方形的总数为1×1＋2×2＋3×3＋4×4＋5×5＝55（个）一般而言，如果类似图 6－6 中大正方形边长为n 个长度单位，那么其中边长为1 个长度单位的正方形有（n×n＝）n2 个，边长为2 个长度单位的正方形有（n－1）×（n－1＝）即（n－1）2 个，…，边长为 n－2 个长度单位的正方形有（3 ×3＝）9 个，边长为n－1 个长度单位的正方形有（2×2＝）4 个，边长为n 个长度单位的正方形有1 个.所以，如果类似图 6－6 的大正方形各边上都有 n 个彼此相等的小格，那么图中正方形的总数为12＋22＋32＋…＋n2 ③二、常用的几个简单图形计数公式的一些应用例1 图 6－7 中共有多少个三角形？分析与解：将图 6－7 旋转一下，应添上字母得图 6－8.在图6－8 中，线段AB 将整个图形分为上、下两部分，利用前面的分式①，马上可求出上、下两部分中三角形的个数都是：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28（个）.仔细观察便可发现，除了上面那 56 个三角形外，还有下列三角形，它们是三角形ACD、ECD、FCD、HCD、ICD、JCD、BCD，共七个.这一来，图中三角形的总个数为（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7）×2＋7＝63（个）注意：在计数时，千万不要把三角形 ACD 等给遗漏了，这是数图形中一个很重要的问题或原则，简称为“不漏”.例2 图6－9 中有多少个正方形（图中所有小格子都是形状与面积一样的正方形）？分析与解：为方便起见，我们可以把图形分为正中间、上下、左右三部分.先看正中间部分.中间部分是每边有六个相等小格的正方形，按前面提到公式③计算，共有（12＋22＋32＋42＋52＋62＝）91 个正方形.再看上下部分.因为图形上、下部分是对称的，所以可只看上部分，上部分除了两个小正方形外，还有由四个小正方形拼成的一个较大的正方形，一共有 3 个正方形，上下部分合起来应添（（2＋1）×2＝）6 个正方形.最后再看左、右部分，因为图形左右也是对称的，所以可只看左边那部分.左边那部分除了 6 个小正方形外，还有4 个由四个小正方形拼成的较大的正方形，2个由九个小正方形拼成的较大的正方形，1个由十六个小正方形拼成的较大的正方形.左、右部分合起来应再添（（6＋4＋2＋1）×2＝）26 个正方形.把上述三部分正方形的个数加起来，就得到了问题的答案.图 6－9 中共有正方形.91＋6＋26＝123（个）例3 图6－10 中有多少个长方形（图中所有横线彼此平行，所有竖线彼此平行，且外面的四边形是个长方形）？分析与解：为方便起见，把图 6－10 各顶点和交点标上字母，得图 6－11.把图6－11 先分成内外两层.按前面提到的公式②，长方形 ABCD 与A1B1C1D1 中各有（（1＋2＋3＋4）×（1＋2＋3）＝）60 个长方形.再看上面，夹在长方形 ABCD 与A1B1C1D1 之间的长方形 GG1H1H、H1I1IH、GG1I1I 不包含在上面那些长方形中，另外还有长方形 GN1M1H、HM1L1I、GN1L1I 也不包含在上面已提到的那些长方形中，同样下面也有长方形N1NMM1、MM1L1L、NN1L1L、NG1H1M、M1H1I1L、NG1I1L 也不包含上面已提到的那些长方形中，所以应在内外两层（60×2＝）120 个长方形外，再添加刚才提到的（6×2＝）12 个长方形.再看左边，和刚才讨论上面情况一样，应加上长方形 EFF1E1、EFJ1R1.同样右边也应添上长方形 JKK1J1、KE1F1L.所以应在刚才所提及的长方形外，再添加刚才提到的（2×2＝）4 个长方形.另外中间的长方形 PQQ1P1、QQ1R1R1、PRR1P1，在计算长方形 ABCD 与A1B1C1D 中的个数时，这三个长方形都计算了一次，因此重复了，故在计算总数时，应减去这重复的三个长方形.把上面三种情况所得出的长方形个数相加，然后减去重复的那 3 个长方形，便是题目的结果.故图 6－10 中长方形的总数为60×2＋6×2＋2×2－3＝133（个）做此题时，有人常常忘记了从总数中减去重复计算过两次的三个长方形，所以在数图形个数时，不但要避免遗漏也要避免重复，这也是数图形中一个很重要的问题或原则，简称“不重”.为了避免犯这两个错误，以后在数简单图形个数时，一定要记住“不重不漏”的原则.习题六1．图6－12 的各图中各有多少条线段？2．图 6－13 的各图中各有多少个三角形？3．图 6－14 的各图中各有多少个锐角？4．数一数图 6－15 中有多少个三角形？5．图6－16 的各图中各有多少个长方形（图（a）和图（b）最外边的四边形都是一个长方形，另外，两图中所有横线段彼此平行，所有竖线段彼此平行）6．图6－17 的各图中有多少个正方形（图中每个小格四边形是形状、面积都一样的正方形）？7．数一数图6－18 中有多少个平行四边形（图中最外边的四边形是平行四边形，另外横线段彼此平行，斜线段也彼此平行）？8．数一数图6－19 中有多少个梯形（图中最外层的四边形是梯形，另外的所有横线段彼此平行，斜线段彼此都不平行）？9．数一数图6－20中有多少个长方形（图中最外层的四边形是长方形，另外，所有横线段彼此平行所有竖线段彼此平行）？10．在线段 AB 上添一点C，便得到AB、BC、AB 三条线段；在线段AB 上添两点C 和D，便可得到 AC、CD、DB、AD、CB、AB 六条线段.问要在线段 AB 上添几个点，才能得到 36 条线段？。
六年级下册数学讲义-小学奥数精讲精练： 第十三讲 两个计数原理
第十三讲两个计数原理在日常生活和生产实践中要经常遇到排队、分组的有关计数问题.例如，有4 名学生与 1 位老师排成一排照相，如果老师必须站在中间，问有多少种排法？某条航线上共有 6 个航空站，这条航线上共有多少种不同的飞机票？如果不同的两站间票价都不同，那么有多少种不同的票价？这种计数问题都涉及到两个基本原理：乘法原理和加法原理.下面我们就来讨论这两个基本原理.1．乘法原理先看一个例子.例1 从甲地到乙地有 2 条路可走，乙地到丙地又有 3 条路可走.问从甲地经乙地到丙地，可以有多少种不同的走法？分析与解：如果用 a1，a2 表示从甲地到乙地的两条路，用 b1，b2，b3 表示从乙地到丙地的三条路（图13－1）.从图中可以看出，从甲地经乙地到丙地共有以下 6 种走法：解这个问题可以分成两个步骤来考虑：第一步，先从由甲地到乙地的两条路中任意选一条（有2 种选法；第二步，再从乙地到丙地的三条路中任意选一条（有3 种选法），相互搭配后，共有六种不同走法，正好是每一步骤的选法种数（2 与3）的乘积.这个具体问题的解法，给了我们一个重要的启示：如果撇开这里所说的“从甲地到乙地”，“从乙地到丙地”这些具体内容，而把它们一般地看成要完成一件事的两个步骤，并且把这里所说的“有 2 条路”，“有3 条路”一般地说成“有m1 种方法”，有 m2 种方法”.这样，就可以得到如下结论：如果做一件事需要分两个步骤进行，做第一步有 m1 种不同方法，第二步有m2 种不同方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2 种不同的方法.更一般地，还可得出这样的结论：如果做一件事需要分 n 个步骤进行，做第一步有m1 种不同方法，做第二步有m2 种不同方法，……，做第 n 步有 mn 种不同方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn 种不同方法.我们把上面这个结论叫做乘法原理.例2 一天中午，某学生食堂供应 4 种主食、6 种副食.小李到食堂吃饭，主、副食各选一种，问他有多少种不同的选法？分析与解：我们把一种主食与一种副食的搭配看成一种选法.完成这件事可分两步进行：第一步选主食，有 4 种方法：第二步选副食，有 6 种方法，根据乘法原理，小李共有4×6＝24 种不同的选法.例 3 用 1，2，3，4 这四个数字（l）可以组成多少个两位数？（2）可以组成多少个没有重复数字的两位数？分析与解：（1）我们把组成 1 个两位数看成是在排好顺序的两个位置上分别填上两个数字.第一步可以从 1，2，3，4 这四个数中任选一个填在十位上，有4 种不同的方法；第二步同样可以从 1，2，3，4 中任选一个填在个位上（数字允许重复，例如，22 也是符合条件的两位数），也有 4 种不同的方法.根据乘法原理，用 1，2，3，4 这四个数字可以组成4×4＝16个两位数.它们是11，12，13，1421，22，23，24，31，32，33，34，41，42，43，44.（2）采用与例 3（1）相同的分析方法，第一步可以从 1，2，3，4 这四个数字中任选一个填在十位上，有4 种不同方法；第二步.由于数字不能重复，所以只能从剩下的三个数字中任选一个填在个位上，有 3 种不同方法.根据乘法原理，用 1，2，3，4 这四个数字可以组成4×3＝12个没有重复数字的两位数.2．加法原理例4 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘轮船，还可以乘飞机.在一天中，从甲地到乙地有 4 班火车，2 班轮船，1 班飞机.那么在一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？分析与解：我们把乘坐不同班次的火车、轮船或飞机称为不同的走法.因此，从甲地到乙地乘火车有 4 种走法，乘轮船有 2 种走法，乘飞机有1 种走法.由于每一种走法都能从甲地到达乙地，所以一天中从甲地到乙地共有4＋2＋l＝7种不同的走法.同样，我们可以从这个问题的解答中得到启示，作出如下的一般结论：如果完成一件事有 n 类办法，只在选择任何一类办法中的一种方法，这件事就可以完成.又已知在第一类办法中有 m1 种不同方法，在第二类办法中有 m2 种不同方法，……，在第n 类办法中有mn 种不同方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法.我们称这一结论为加法原理.例 5 书架上有 6 本故事书，5 本画报，7 本科普读物，（l）小芳从书架上任取一本，有多少种不同取法？（2）小芳从这三种书籍中各取一本，有多少种不同取法？分析与解：（l）小芳从书架上任取一本书有三类办法，第一类办法是从故事书中任取一本，可以有 6 种不同取法；第二类办法是从画报中任取一本，可以有 5 种不同方法；第三类办法是从科普读物中任取一本，可以有 7 种不同方法.根据加法原理，小芳任取一本共有6＋5＋7＝18种不同取法.（2）小芳要取三本不同种类的书，完成这件事可以分三步进行.第一步，取一本故事书，有 6 种方法；第二步，取一本画报，有 5 种方法；第三步，取一本科普读物，有 7 种方法.根据乘法原理，完成这件事共有3406×5×7＝210种不同的方法.例5 说明，在这类计数问题中，要注意区分运用乘法原理与加法原理的不同条件.在有些问题中，这两个基本原理还要结合起来使用.例 6 如图 13－2，从甲地到乙地有 4 条不同的道路，从乙地到丙地有两条不同的道路，从甲地到丙地有 3 条不同的道路，问从甲地到丙地共有多少种不同走法？分析与解：完成从甲地到丙地这件事，有两类办法.第一类办法是从甲地经乙地到达丙地，这类办法可以分两步进行：第一步从甲地到乙地，有 4 种走法；第二步从乙地到丙地，有两种走法.根据乘法原理，这类办法共有4×2＝8 种不同方法.第二类办法是从甲地直接到达丙地，有3 种不同走法.再根据加法原理，从甲地到达丙地共有4×2＋3＝11种不同走法.3．例题分析例 7 （1）有 5 个人排成一排照相，有多少种排法？341（2）5 个人排成一排照相，如果某人必须站在中间，有多少种排法？分析与解：（1）5 个人排成一排，从左到右共 5 个位置.第一个位置可从 5 个人中任选 1 人，有5 种选法；第二个位置只能从剩下的 4 人中任选1 人，有4 种选法.同理，第三、第四、第五个位置分别有 3 种、2 种、1 种选法.每个位置上站了一人就是一种排法.根据乘法原理，共有5×4×3×2×1＝120种排法.（2）这里，限定某人必须站在中间，他的位置固定了，而其余 4 人可以任意站位.仿照（1）中的分析可知共有4×3×2×1＝24种排法.说明：自然数 1 到n 的连乘积叫做n 的阶乘，用n！表示.例如5！＝1×2×3×4×5，4！＝1×2×3×4.于是，例 7 中的两个式子可简写作 5！＝120，4！＝24.例8 某条航线上共有 8 个航空站，这条航线上共有多少种不同的飞机票？如果不同的两站间票价都不同，那么有多少种不同的票价？分析与解：每一种飞机票可看作起点在前、终点在后两城市间的顺序排列.第一步，确定起点城市，有 8 种选法；第二步确定终点城市，当起点选定后，终点只有 7 种选法.根据乘法原理，共有342种不同的排列方法.因此，这条航线上需要准备 56 种不同的飞机票.由于两个城市按照起点在前、终点在后的顺序排列有 2 种，所以有两种飞机票.而它们的票价是一样的.因此，这条航线上应有56÷2＝28 种不同的票价.说明：从 n 个不同的元素中，任取 m（m≤n）个不同元素，按照一定的顺序排成一排，叫做从 n 个不同的元素中取 m 个不同的元素的一个排列.所有排列的种数叫做排列数.例 8 中求飞机票种数问题，就是求从 8 个不同元素中，任取两个不同的元素的排列种数问题，一般可以运用乘法原理来求排列数.例 9 用 0，l，2，3 这四个数，可以组成多少个没有重复数字的四位数？解法一：一个四位数可以看作是四个数字的一个排列.由于“0”不能作千位数，所以千位数只能从 1，2，3，这三个数中任取一个，有 3 种选法.再考虑到没有重复数字这一条件，百位、十位、个位三个位置分别有 3 种、2 种、1 种选法.根据乘法原理，可以组成3×3×2×1＝18个没有重复数字的四位数.解法二：如果把数字 0，1，2，3 全部取出来排列，根据乘法原理，共有4×3×2×1＝24种不同的排列.其中“0”在千位上的排列（这种排列不能看成四位数）有343种.所以符合条件的四位数就是24－6＝18（个）例 10 现有红、黄、蓝三种颜色的小旗各一面，用它们挂在旗杆上作信号（顺序不同时表示的信号也不同），总共可以作出多少种不同信号？分析与解：作出的信号可以按照挂出的小旗面数分成三类：（l）只有一面小旗作信号，这样作出的信号有 3 种；（2）用二面小旗作信号，由乘法原理，作出的信号有3×2＝6 种；（3）用三面小旗作信号，由乘法原理，作出的信号有3×2×1＝6 种.根据加法原理，总共可以作出3＋6＋6＝15 种不同的信号.习题十三1．有 6 名同学参加象棋决赛，得冠军和亚军的名单有几种可能的情况？2．一个口袋装有 6 个小球，另一个口袋装有 5 个小球，所有小球的颜色都不相同.（1）从两个口袋中任取一个小球，有多少种不同的取法？344（2）从两个口袋中各取一个小球，有多少种不同的取法？3．某市电话号码是五位数，每一数位上的数码可以是 0，l，2，…8，9 中的任意一个（数字可以重复出现，如 00000 也算一个电话号码）那么这个城市最多有多少个电话号码？4．在“希望杯”足球赛中，共有 27 支小足球队参赛.（l）如果这27 个队进行单循环赛（两队间只比赛一次，称作一场），需要比赛多少场？（2）如果这 27 个队进行淘汰赛，最后决出冠军，共需比赛多少场？5．如上图，从 A 地到B 地有两条路；从B 地到D 地有两条路；从 A 地到C 地只有一条路；从 C 地到D 地有3 条路.那么从A 地到D 地有多少种不同走法？6．5 件不同的商品陈列在橱窗内，排成一排.（1）如果某件商品不放在中间，有几种不同排法？（2）如果某件商品不能放在两端，有几种不同排法？7．有四封不同的信，随意投入三个信筒里，有多少种不同投法？3458．下图中共有4×4＝16 个小方格，要把A，B，C，D 四个不同的棋子放在方格里，每行和每列只能出现一个棋子，共有多少种放法？。
小学奥数教程-计数之对应法（含答案）
前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用．将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．模块一、图形中的对应关系【例 1】 在8×8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L ”形（如图），一共有多少种不同的方法？ 【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】3星 【题型】解答【解析】 注意：数“不规则几何图形”的个数时，常用对应法．第1步：找对应图形 每一种取法，有一个点与之对应，这就是图中的A 点，它是棋盘上横线与竖线的交点，且不在棋盘边上．第2步：明确对应关系 从下图可以看出，棋盘内的每一个点对应着4个不同的取法（“L ”形的“角”在2×2正方形的不同“角”上）．第3步：计算对应图形个数 由于在 8×8的棋盘上，内部有7×7=49（个）交叉点， 第4步：按照对应关系，给出答案故不同的取法共有49×4=196（种）．评注:通过上面两个范例我们知道,当直接去求一个集合元素的个数较为困难的时候,可考虑采用相等的原则,把问题转化成求另一个集合的元素个数．【答案】196【例 2】 在8×8的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】3星 【题型】解答【解析】 首先可以知道题中所讲的13⨯长方形中间的那个小主格为黑色，这是因为两个白格不相邻，所以不能在中间．显然，位于棋盘角上的黑色方格不可能被包含在这样的长方形中．下面分两种情况来分析：第一种情况，一个位于棋盘内部的黑色方格对应着两个这样的13⨯长方形(一横一竖)；第二种情例题精讲教学目标7-6-3计数之对应法况，位于边上的黑色方格只能对应一个13⨯长方形．由于在棋盘上的32个黑色方格中，位于棋盘内部的18个，位于边上的有12个，位于角上的有2个，所以共有1821248⨯+=个这样的长方形．本题也可以这样来考虑：事实上，每一行都有6个13⨯长方形，所以棋盘上横、竖共有13⨯长方形68296⨯⨯=个．由于棋盘上的染色具有对称性，因此包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形正好与包含两个黑色小方格与一个白色小方格的长方形具有一一对应关系，这说明它们各占一半，因此所求的长方形个数为96248÷=个．【答案】48【巩固】 用一张如图所示的纸片盖住66⨯方格表中的四个小方格，共有多少种不同的放置方法？ 【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】3星 【题型】解答方格表中的位置．易见它不能位于四个角上；若黑格位于方格表中间如图浅色阴影所示的44⨯正方形内的某格时，纸片有4种不同的放法，共计44464⨯⨯=种；若黑格位于方格表边上如图深色阴影所示的方格中时，纸片的位置随之确定，即只有1种放法，此类放法有4416⨯=种． 所以，纸片共有641680+=种不同的放置方法．【答案】80种【例 3】 图中可数出的三角形的个数为 ．【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】4星 【题型】填空【解析】 这个图不像我们以前数三角形那样规则，粗看似乎看不出其中的规律，不妨我们取出其中的一个三角形，发现它的三条边必然落在这个图形中的三条大线段上，而每三条大线段也正好能构成一个三角形，因此三角形的个数和三条大线段的取法是一一对应的关系，图中一共有8条大线段，因此有3856C =个三角形．【答案】56个三角形【例 4】 如图所示，在直线AB 上有7个点，直线CD 上有9个点．以AB 上的点为一个端点、CD 上的点为另一个端点的所有线段中，任意3条线段都不相交于同一个点，求所有这些线段在AB 与CD 之间的交点数．【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答CDBA【解析】 常规的思路是这样的：直线AB 上的7个点，每个点可以与直线CD 上的9个点连9根线段，然后再分析这些线段相交的情况．如右图所示，如果注意到下面这个事实：对于直线AB 上的任意两点M 、N 与直线CD 上的任意两点P 、Q 都可以构成一个四边形MNQP ，而这个四边形的两条对角线MQ 、NP 的交点恰好是我们要计数的点，同时，对于任意四点(AB 与CD 上任意两点)都可以产生一个这样的交点，所以图中两条线段的交点与四边形有一一对应的关系．这说明，为了计数出有多少个交点，我们只需要求出在直线AB 与CD 中有多少个满足条件的四边形MNQP 就可以了！从而把问题转化为：在直线AB 上有7个点，直线CD 上有9个点．四边形MNQP 有多少个？其中点M 、N 位于直线AB 上，点P 、Q 位于直线CD 上．这是一个常规的组合计数问题，可以用乘法原理进行计算：由于线段MN 有2721C =种选择方式，线段PQ 有2936C =种选择方式，根据乘法原理，共可产生2136756⨯=个四边形．因此在直线AB 与CD 之间共有756个交点．【答案】756个交点模块二、数字问题中的对应关系【例 5】 有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大，千位数字比百位大，百位数字比十位数字大？ 【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 由于四位数的四个数位上的数的大小关系已经非常明确，而对于从0～9中任意选取的4个数字，它们的大小关系也是明确的，那么由这4个数字只能组成1个符合条件的四位数(题目中要求千位比百位大，所以千位不能为0，本身已符合四位数的首位不能为0的要求，所以进行选择时可以把0包含在内)，也就是说满足条件的四位数的个数与从0～9中选取4个数字的选法是一一对应的关系，那么满足条件的四位数有410109872104321C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯个．【答案】210个【巩固】 三位数中，百位数比十位数大，十位数比个位数大的数有多少个？ 【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 相当于在10个数字中选出3个数字，然后按从大到小排列.共有10×9×8÷（3×2×1）=120种．实际上，前铺中每一种划法都对应着一个数．【答案】120种【例 6】 数3可以用4种方法表示为一个或几个正整数的和，如3，12+，21+，111++．问：1999表示为一个或几个正整数的和的方法有多少种？【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 我们将1999个1写成一行，它们之间留有1998个空隙，在这些空隙处，或者什么都不填，或者填上“＋”号．例如对于数3，上述4种和的表达方法对应：1 1 1，1+1 1，1 1+1，1+1+1．可见，将1999表示成和的形式与填写1998个空隙处的方式之间是一一对应的关系，而每一个空隙处都有填“＋”号和不填“＋”号2种可能，因此1999可以表示为正整数之和的不同方法有1998199822222⨯⨯⨯=个相乘种．【答案】19982种【例 7】 请问至少出现一个数码3，并且是3的倍数的五位数共有多少个？ 【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】小学数学竞赛 【解析】 五位数共有90000个，其中3的倍数有30000个．可以采用排除法，首先考虑有多少个五位数是3的倍数但不含有数码3.首位数码有8种选择，第二、三、四位数码都有9种选择．当前四位的数码确定后，如果它们的和除以余数为0，则第五位数码可以为0、6、9；如果余数为1，则第五位数码可以为2、5、8；如果余数为2，则第五位数码可以为1、4、7.可见只要前四位数码确定了，第五位数码都有3种选择，所以五位数中是3的倍数但不含有数码3的数共有8999317496⨯⨯⨯⨯=个． 所以满足条件的五位数共有300001749612504-=个．【答案】12504个模块三、对应与阶梯型标数法【例 8】 游乐园的门票1元1张，每人限购1张．现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票，售票员没有准备零钱．问有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？【考点】计数之对应与阶梯型标数法 【难度】5星 【题型】解答【解析】 与类似题目找对应关系．要保证售票员总能找得开零钱，必须保证每一位拿2元钱的小朋友前面的若干小朋友中，拿1元的要比拿2元的人数多，先将拿1元钱的小朋友看成是相同的，将拿2元钱的小朋友看成是相同的，可以利用斜直角三角模型．在下图中，每条小横线段代表1元钱的小朋友，每条小竖线段代表2元钱的小朋友，因为从A 点沿格线走到B 点，每次只能向右或向上走，无论到途中哪一点，只要不超过斜线，那么经过的小横线段都不少于小竖线段，所以本题相当于求下图中从A 到B 有多少种不同走法．使用标数法，可求出从A 到B 有42种走法．AB424228145141494553221111111但是由于10个小朋友互不相同，必须将他们排队，可以分成两步，第一步排拿2元的小朋友，5个人共有5120=！种排法；第二步排拿到1元的小朋友，也有120种排法，所以共有5514400⨯=！！种排队方法．这样，使售票员能找得开零钱的排队方法共有4214400604800⨯=(种)．【答案】604800种【例 9】 学学和思思一起洗5个互不相同的碗（顺序固定），思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有 种不同的摞法．【考点】计数之对应与阶梯型标数法 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】学而思杯，5年级，第7题 【解析】 方法一：如下所示，共有42种不同的摞法：54321----，45321----，35421----，53421----，34521----，54231----，45231----，25431----，52431----，24531----，52341----，25341----，23541----，23451----，54312----，45312----，53412----，35412----，34512----，54132----，45132----，15432----，51432----，14532----，51342----，15342----，13542----，13452----，54123----，45123----，15423----，51423----，14523----，12543----，51243----，15243----，12453----，12354----，12534----，15234----，51234----，12345----。
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目录第 1 讲枚举法和加乘原理 (2)第 2 讲排列组合 (12)第 3 讲计数综合提高 (22)第一讲枚举法和加乘原理知识总结归纳一.枚举法：（1）顺序：按照一定的规律和顺序去分析问题的数学思想。
（2）分类：把一个复杂问题拆分成几个简单问题的思想。
（3）树形图：记录分类和顺序思考过程的工具。
（4）“有顺序”和“无顺序”问题：例如把10个相同的小球分成3堆和把10个相同的小球分给甲、乙、丙三个人，这是两个不同的问题。
二.加法原理：如果完成一件事情可以分成几类方法，每一类又包含若干种不同方法，那么将所有类中的方法数累加就是完成这件事的所有方法数．三.加法原理的关键：（1）分类的思想；（2）分类的原则：不重复不遗漏四.乘法原理：如果完成一件事情可以分成几个步骤，每一步又包含若干种不同方法，那么将所有步骤中的方法数连乘就是完成这件事的所有方法数．五.乘法原理的关键：（1）分步的思想（2）分步的原则：前不影响后。
前面采取什么样的步骤，不会影响到后面的方法数。
每层的分叉数必须一样多。
（3）对于染色问题、排数字问题、排队问题等较复杂的乘法原理问题，在分步的时候要优先考虑选择情况少的步骤，必须让前面步骤的结果不影响后面步骤选择的方法数。
六.标数法：（1）标数法是加法原理和乘法原理的综合应用（2）主要用于解决路径问题和某些图形计数问题。
枚举法例题111个相同的小球分成第1堆、第2堆、第3堆，有多少种不同的分法？例题211个相同的小球分成3堆，有多少种不同的分法？例题3商店里有12种不同的签字笔，价格分别是1，2，3，4，5，，11，12元．琪琪准备买3支不同价格的签字笔，并且希望恰好花掉15元．请问：小悦一共有多少种不同的买法？例题4小梦买了一些大福娃和小福娃，一共不到10个，且两种福娃的个数不一样多．请问：两种福娃的个数可能有多少种不同的情况？例题5一个三位数，百位比十位小，十位比个位小，个位不大于5，那么这样的三位数一共有几个？例题6甲、乙、丙三个人传球．第一次传球是由甲开始，将球传给乙或丙，……，经过4次传球后，球正好回到甲手中．那么一共有多少种不同的传球方式？加乘原理例题7（1）大雄一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机．经过网上查询，出发的那一天中火车有4班，汽车有3班，飞机有2班．任意选择其中一个班次，有多少种选择方法？（2）大雄一家人外出旅游，需要先做火车，再乘汽车，最后坐飞机．经过网上查询，途中的火车有4班，汽车有3班，飞机有2班．每种交通工具任意选择其中一个班次，有多少种选择方法？例题8（1）每个数位可以是1~4中的一个数字（可以重复），这样的三位数有多少个？（2）每个数位可以是0~4中的一个数字（可以重复），这样的三位数有多少个？（3）每个数位可以是0~4中的一个数字（可以重复），这样的三位偶数有多少个？例题9（1）用1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复数字的三位数？（2）用0、1、2、3、4可以组成多少个没有重复数字的三位数？（3）用0、1、2、3、4可以组成多少个没有重复数字的三位奇数？例题10“IMO”是“国际数学奥林匹克”的缩写，要求把这三个字母涂上不同的颜色，且每个字母只能涂一种颜色．现有五种不同颜色的笔，按要求能有多少种不同的涂色方法？如果要求相邻字母不能同色，有多少种方法？综合提高例题11商店里有三类笔，铅笔、钢笔和圆珠笔．铅笔有4种颜色，钢笔有3种颜色，圆珠笔有2种颜色．（1）要买任意一支笔，有多少种买法？（2）要从三类笔中各买一支，有多少种买法？（3）要买两支不同类的笔，有多少种买法？例题12如右图所示，要用红、黄、蓝三色给这个图形的5个区域进行染色，每个区域染一种颜色，那么共有多少种不同的染色方法？如果相邻区域不得同色，那么共有多少种不同的染色方法？例题13某省的地图如图，共有A、B、C、D、E、F、G七个区县，用5种颜色给地图染色，要求相邻区县的颜色不能相同，共有多少种不同的染色方法？例题14 下图是一个阶梯形方格表，在方格中放入五枚相同的棋子，使得每行、每列中都只有一枚棋子，这样的放法共有多少种？例题15 （1）如图，在一个4行4列的方格表内放入4枚相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，每行也至多有1枚棋子，那么一共有多少种不同的放法？ （2）同上图，在这个4行4列的方格表内放入4枚相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，每行不作限制，那么一共有多少种不同的放法？（3）同上图，在这个4行4列的方格表内放入4枚互不相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，每行也至多有1枚棋子，那么一共有多少种不同的放法？（4）同上图，在这个4行4列的方格表内放入4枚互不相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，每行不作限制，那么一共有多少种不同的放法？标数法例题16 按右图中箭头所示的方向行走，从A 点走到B 点有多少条不同的路线？例题17 如右图，从A 地沿网格线走到B 地，规定只能朝右或朝上走．（1）如果每次只能走一步共有多少种不同的走法？（2）如果每次只能走一步且不能通过黑点，共有多少种不同的走法？ （3）如果每次可以走一步或两步（不能转弯），共有多少种不同的走法？思维飞跃例题18 如图，在一个34 的方格表内放入4枚相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，一共有多少种不同的放法？如果放入4枚互不相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，一共有多少种不同的放B BA BABA法？例题19如图，一只蚂蚁从A点出发，沿着八面体的棱行进，要求恰好经过每个顶点各一次，一共有多少种不同的走法？E作业1. 妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止．如果天数不限，可能的吃法一共有多少种？2. 用0、1、2、3、4、5可以组成_______个没有重复数字的四位数．3. 把1分、2分、5分、1角的硬币各一枚排成一排，其中1分硬币不在两边，共有_______种排硬币的方法．4. 如图，把A、B、C、D、E这五部分用4种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色．那么共有________种不同的染色方法．ABCDE5. 在右图的道路上按照箭头所示的方向行进，从甲地到乙地共有_______条不同的路线．6. 在5×5的方格纸中放入两枚相同的棋子，要求这两枚棋子既不同行也不同列，不考虑旋转，一共有_______种放法．7. 如图，用红、蓝两种颜色来给图中的小圆圈染色，每个小圆圈只能染一种颜色．请问：（1）如果每个小圆圈可以随意染色，一共有多少种不同的染法？（2）如果要求关于中间那条竖线左右对称，一共有多少种不同的染法？8. 王老师家装修新房，需要2个木匠和2个电工．现有木匠3人、电工3人，另有1人既能做木匠也能做电工．要从这7人中挑选出4人完成这项工作，共有多少种不同的选法？第二讲 排列组合知识总结归纳一. 排列的概念：从n 个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，记作m n A ．排列数的计算公式如下：二. 组合的概念：从n 个不同的元素中取出m 个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的组合数，记作m n C ．组合数的计算公式如下：[(1)(1)][(1)1]m m m n n m C A A n n n m m m =÷=⨯-⨯⨯-+÷⨯-⨯⨯…………例如：333553543(321)10C A A =÷=⨯⨯÷⨯⨯=三. 组合重要公式：n m m nm -=C C四. 排列、组合以及和乘法原理的联系：1. 排列是乘法原理的延续，是乘法原理在特殊情况下的应用。
2. 组合和排列的对应关系：排列+除法原理=组合五. 遇到比较复杂的计数问题时，可能需要综合运用分步思想、分类思想以及排列组合公式。
解题可以按照如下步骤1. 首先这个计数问题看成某一个要完成的事情，仔细思考这个事情如何去完成，弄清是先分类还是先分步；2. 每一步或每一类再根据加乘原理或者排列组合公式计算。
有可能这些问题还需要继续拆成几个更简单的问题。
3. 最后根据前面的步骤列出总的算式计算.m n A n =基础训练例题1 计算：（1）24A ； （2）37A ； （3）2646A A -例题2 有5面不同颜色的小旗，任取3面排成一行表示一种信号，用这5面小旗一共可以表示出多少种不同的信号？例题3 用1，2，3，4，5这五个数码可以组成多少个没有重复数字的四位数？将这些四位数从小到大排列起来，4125是第几个？例题4 计算：（1）39C ； （2）210310C 2C ⨯-； （3）1545C C ，； （4）310710C C ，．例题5学校十佳歌手大赛的10名获奖选手中，每3人都要照一张合影．问：需要拍多少张照片？例题6如图所示，在一个圆周上有8个点，以这些点为顶点或端点，一共可以画出多少条线段？多少个三角形？多少个四边形？例题7有13个队参加篮球比赛，比赛分两个组，第一组七个队，第二组六个队．各组先进行单循环赛（即每队都要与组内其它各队比赛一场），然后由各组的前两名共四个队再进行单循环赛决定冠亚军．问：共需比赛多少场？综合提高例题8周末大扫除，老师要从第一组的10名男生和10名女生中选出5人留下打扫卫生．请问：（1）如果老师随意选择，一共有多少种选择方法？（2）如果老师决定选出2名男生和3名女生，一共有多少种选择方法？例题9（1）用两个1，三个2可以组成多少个五位数？（2）用两个1，三个2，4个3可以组成多少个九位数？（3）用两个0，三个2，4个3可以组成多少个九位数？（4）用三个1和0、2、3、4各一个，可以组成多少个七位数？例题10从1、3、5、7中任取两个数字，再从2、4、6、8中任取两个数字，共可组成多少个没有重复数字的四位数？例题11从1、3、5、7中任取两个数字，再从0、2、4、6、8中任取两个数字，共可组成多少个没有重复数字的四位数？捆绑法和插空法例题12学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生．某次比赛后他们站成一排照相，请问：（1）如果要求男生不能相邻，一共有多少种不同的站法？（2）如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法？例题133名男生、2名女生和2名教练排成一排照相，请问：（1）如果要求教练员站在一起，一共有多少种站法？（2）如果要求教练员不能站在一起，那么又有多少种照法？（3）如果要求任意两名男生都不能相互站在一起，那又有多少种照法？思维飞跃例题14四年级三班举行六一儿童节联欢活动．整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成．请问：（1）如果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种不同的出场顺序？（2）如果第一个和最后一个节目不能是小品，那么共有多少种不同的出场顺序？例题15篮球队共有8人，其中有2个中锋、3个后卫和3个前锋，排成一排准备照合影：若中锋必须彼此相邻，前锋两两不相邻，一共有多少种排法？例题16用1，2，3，4这四个数字组成四位数，至多允许有1个数字重复两次．例如1234，1233和2414是满足条件的，而1212，3334和3333都不满足条件．请问：一共能组成多少个满足条件的四位数？作业1. 用5，6，7，8，9这五个数码可以组成多少个没有重复数字的四位数？将这些四位数从小到大排列起来，7598是第几个2. 如图所示，从端点O 出发的射线共有7条，图中一共有多少个锐角？3. 在新学期的班会上，大家要从11名候选人中选出班干部．请问：（1）选出三人组成班委会，一共有多少种选法？（2）从剩下的候选人中，选出三人分别担任语文、数学、英语的课代表，一共有多少种选法？4. 从1、3、5、7中任取一个数字，再从0、2、4、6、8中任取两个数字，共可组成多少个没有重复数字的三位数？5. （1）用1个1，2个2，3个3可以组成几个六位数？ P 1 P 7 P 2P 5P 6 P 3P 4O（2）用1个0，2个2，3个3可以组成几个六位数？（3）用2个0，2个1，3个2可以组成几个七位数？6.现有3名女生和5名男生，请问：（1）如果要求女生不能相邻，一共有多少种不同的站法？（2）如果要求5名男生必须站在一起，一共有多少种不同的站法？7.8个人站队，小慧和大智不能相邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？第三讲计数综合提高知识总结归纳一.和分类相关的计数方法：（1）正面分类.（2）反面排除.（3）容斥原理.二.对应计数思想：把某个看起来比较复杂的计数问题转化成一个简单的计数问题；分类和排除例题1如图，在半圆弧及其直径上共有9个点，以这些点为顶点可画出多少个三角形？例题2从10个人中挑出5人，求满足下列条件的选法有多少种．（1） A和B至少有一个人入选；（2） A、B、C至少有一个人入选．例题3甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，四人每人随便拿了一本．问：（1）甲拿到自己作业本的拿法有多少种？（2）至少有一人没拿到自己作业本的拿法有多少种？例题4张华、李明等七个同学照相，分别求出在下列条件下有多少种站法：（1）七个人排成一排；（2）七个人排成一排，张华必须站在中间；（3）七个人排成一排，张华、李明必须有一人站在中间；（4）七个人排成一排，张华、李明必须站在两边；（5）七个人排成一排，张华、李明必须有一人站在中间，一人站在边上；（6）七个人排成一排，张华、李明都没有站在边上；（7）七个人排成两排，前排三人，后排四人；（8）七个人排成两排，前排三人，后排四人，张华、李明不在同一排；（9）七个人排成两排，前排三人，后排四人，张华、李明在同一排．例题5利用数字0、1、2、3能拼出多少个无重复数字的自然数？例题6数字0、2、4、6、8称为偶数数码，数字1、3、5、7、9称为奇数数码．在有些四位数的各位数字中，奇数数码的个数比偶数数码的个数多，例如1370、3591等．那么这样的四位数共有多少个？例题7不含数字3的四位数有多少个？例题8把一根圆木棍分成等长的5节，每节用红、黄、蓝三中颜色的一种来涂，共有_____种不同的涂法。