简单的线性规划--含答案

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课时作业20 简单线性规划

时间：45分钟 满分：100分

课堂训练

1．若变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y ≤2，x ≥1，

y ≥0，

则z ＝2x ＋y 的最

大值和最小值分别为( )

A ．4和3

B ．4和2

C ．3和2

D ．2和0

【答案】 B

【解析】 画出可行域如图：

《

作l 0：2x ＋y ＝0.平移l 0到经过点A (或B )，

即当直线z ＝2x ＋y 过A (2,0)时z 最大，过B (1,0)时z 最小，z max

＝4，z min ＝2.

2．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，

x －my ＋1≥0，

且x ＋y 的最

大值为9，则实数m ＝( )

A ．－2

B ．－1

C ．1

D ．2

【答案】 C

【解析】 画出⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＋3y －3≥0，

2x －y －3≤0，

表示的平面区域如图，又x －

my ＋1＝0，

》

恒过(－1,0)点，当m <0时，x ＋y 无最大值，故选项A 、B 错误，因此m >0，又满足条件的可行域必须是一个三角形，联立

⎩⎪⎨⎪⎧

2x －y －3＝0，

x －my ＋1＝0，

解得A (3m ＋12m －1，52m －1)，∴3m ＋12m －1＋5

2m －1

＝9，解

得m ＝1.

3．(2013·北京文)设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x ≥0，2x －y ≤0，

x ＋y －3≤0

表示的平面

区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．

【答案】

25

5

【解析】 区域D 如图所示：

则(1,0)到区域D 的最小值即为(1,0)到直线y ＝2x 的距离：|2×1－0|5

＝25

5.

4．设z ＝2x ＋3y －6，式中x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧

2x ＋y ≥6，

x ＋2y ≥6，

x ≥0，

y ≥0.

求

z 的最小值．

）

【分析】 在平行直线系中先作过原点的直线，再将直线平移到

可行域中．

【解析】 不等式组所表示的平面区域如图所示(阴影部分)． 作直线l 0：2x ＋3y ＝0，把直线l 0向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M 且与原点距离最短，

此时z ＝2x ＋3y －6取得最小值．

解方程组⎩⎪⎨

⎪⎧

2x ＋y ＝6，

x ＋2y ＝6，

得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝2，

y ＝2.

即M (2,2)．

此时z min ＝2×2＋3×2－6＝4.

【规律方法】 利用可行域求最优解是解决线性规划问题中重要的一步．如果可行域是一个多边形及其内部，那么一般在其顶点处或边界处可使目标函数取得最大值或最小值．

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课后作业

一、选择题(每小题5分，共40分)

1．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

y ≤1，x ＋y ≥0，

x －y －2≤0，

则z ＝x －2y 的

最大值为( )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

【答案】 B

【解析】 画出可行域(如下图)，

~

由z ＝x －2y 得y ＝12x －z

2

，则当目标函数过C (1，－1)时取得最大

值，所以z max ＝1－2×(－1)＝3.

2．(2013·天津理)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，

则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )

A ．－7

B ．－4

C ．1

D ．2

【答案】 A

【解析】

由x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，

y －3≤0，

画出可

行域如图，容易求出A (2,0)，B (5,3)，C (1,3)，

可知z ＝y －2x 过点B (5,3)时，z 最小值为3－2×5＝－7.

:

3．已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y ≤4，y ≥x ，

x ≥1，

则

y

x ＋1

的取值范围是

( )

A ．[12，3

2]

B ．[1,3]

C ．[23，32]

D ．[2

3

，3]

【答案】 A

【解析】 画出可行域，如图中阴影部分，

y

x ＋1

表示可行域内点

(x ，y )与点(－1,0)连线的斜率，结合图形易求得12≤y x ＋1≤3

2

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