2020年高考数学课时53简单的线性规划单元滚动精准测试卷文
2020届高考理科数学总复习单元滚动测试卷含答案(21套)
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2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列一（含答案解析）
2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列一（含答案解析）2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测一第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{x ∈R |y ＝lg(2－x )}，N ＝{y ∈R |y ＝2x －1}，则( )A ．M ＝NB ．M ∩N ＝?C ．M ?ND ．M ∪N ＝R 2．函数f (x )＝11－x＋lg(1＋x )的定义域是( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 3．已知命题p ：△ABC 中，AB →·AC→<0，命题q ：△ABC 是钝角三角形，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．命题“?x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0>2”的否定是( )A ．?x ∈[π2，π]，sin x －cos x <2B ．?x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0≤2C ．?x ∈[π2，π]，sin x －cos x ≤2D ．?x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0<25．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 等于( )A ．6B ．－6C ．0D ．126．已知函数f (x )＝0，x ≤0，e x ，x >0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，0]∪(1，＋∞)D ．(－∞，1]∪(2，＋∞) 7．对于非空集合A ，B ，定义运算：A B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ?A ∩B }，已知M ＝{x |a <=""A ．(a ，d )∪(b ，c )B ．(c ，a ]∪[b ，d )C ．(a ，c ]∪[d ，b )D ．(c ，a )∪(d ，b )8．已知函数f (x )＝?－x 2－2x ＋a ，x <0，－x 2＋1＋a ，x ≥0，且函数y ＝f (x )－x 恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[－1,0)C ．[－1，＋∞)D ．[－2，＋∞)第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上)9．已知命题p ：－40，若綈p 是綈q 的充分条件，则实数a 的取值范围是______________．10．若函数f (x )＝log 0.5(3x 2－ax ＋5)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是__________．11．已知函数f (x )＝2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝________. 12．若函数f (x )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝ x (1－x )，0≤x≤1，sin πx ，1<=""> 则f (294)＋f (416)＝________. 13．已知m ≠0，函数f (x )＝?3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x >2，若f (2－m )＝f (2＋m )，则实数m 的值为________．14．设函数f (x )＝2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是_____________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(13分)已知集合A ＝{x ||x －a |≤2}，B ＝{x |lg(x 2＋6x ＋9)>0}．(1)求集合A 和?R B ；(2)若A ?B ，求实数a 的取值范围．16．(13分)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(其中a ≠0)，q ：实数x 满足x －3x －2<0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．17.(13分)已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．(1)求函数g(x)的定义域；(2)若f(x)是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g(x)≤0的解集．18．(13分)设集合A为函数y＝ln(－x2－2x＋8)的定义域，集合B为函数y＝x＋1 x＋1的值域，集合C为不等式(ax－1a)·(x＋4)≤0的解集．(1)求A∩B；(2)若C??R A，求a的取值范围．19．(14分)经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，旅游人数f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系近似地满足f(t)＝4＋1t，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似地满足g(t)＝115－|t－15|.(1)求该城市的旅游日收益ω(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N)的函数关系式；(2)求该城市的旅游日收益的最小值．20．(14分)已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋2是奇函数．(1)求b的值；(2)判断函数f(x)的单调性并证明；(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．。
2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列五(含答案解析)
2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测五第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设全集U＝R，集合A＝{x|x(x－2)＜0}，B＝{x|x＜a}，若A与B的关系如图所示，则实数a的取值范围是()A．[0，＋∞)B．(0，＋∞)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)2．若命题p：函数y＝lg(1－x)的值域为R；命题q：函数y＝2cos x是偶函数，且是R上的周期函数，则下列命题中为真命题的是()A．p∧q B．(綈p)∨(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)3．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a2＋b2＝2 016c2，则2tan A ·tan Btan C (tan A ＋tan B )的值为( )A ．0B ．2 014C ．2 015D ．2 0164．《张邱建算经》有一道题：今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布( ) A ．110尺 B ．90尺 C ．60尺D ．30尺5．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )＞f (x )g ′(x )，且f (x )＝a x g (x )(a ＞0，且a ≠1)，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52.若数列{f (n )g (n )}的前n 项和大于62，则n的最小值为( ) A ．6B ．7C ．8D ．96．在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，D 为侧棱PC 上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是( )A ．AD ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为83 B ．BD ⊥平面P AC 且三棱锥D －ABC 的体积为83 C ．AD ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为163 D ．BD ⊥平面P AC 且三棱锥D －ABC 的体积为1637．已知点G 为△ABC 的重心，∠A ＝120°，A B →·A C →＝－2，则|A G →|的最小值是( ) A.33 B.22 C.23D.348．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8，则lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为( ) A ．[0,1－2lg 2] B ．[1，52] C ．[12，lg 2] D ．[－lg 2,1－2lg 2]第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上) 9．如图，一栋建筑物的高为(30－103)m ，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD ，在它们之间的地面点M (B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别为15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为________m.10．若tt 2＋9≤a ≤t ＋2t 2在t ∈(0,2]上恒成立，则a 的取值范围是________．11．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 是面对角线A 1C 1上的两个不同动点，给出以下判断：①存在P ，Q 两点，使BP ⊥DQ ；②存在P ，Q 两点，使BP ∥DQ ；③若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 的体积一定是定值； ④若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 的表面积是定值；⑤若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值． 其中真命题是________．(将正确命题的序号全填上)12．已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若P A ⊥平面AC ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是________．13．设a >1，若曲线y ＝1x 与直线y ＝0，x ＝1，x ＝a 所围成封闭图形的面积为2，则a ＝________.14．已知M 是△ABC 内的一点(不含边界)，且A B →·A C →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△BMA 和△MAC 的面积分别为x ，y ，z ，记f (x ，y ，z )＝1x ＋4y ＋9z ，则f (x ，y ，z )的最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x ∈R )的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈[－π，－π6]时，求f (x )的取值范围．16.(13分)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n 是S n 和1的等差中项，等差数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝S 3.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1b n b n ＋1，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：13≤T n ＜12.17．(13分)如图，已知点P 在圆柱OO 1的底面圆O 上，AB 、A 1B 1分别为圆O 、圆 O 1的直径且AA 1⊥平面P AB . (1)求证：BP ⊥A 1P ；(2)若圆柱OO 1的体积V ＝12π，OA ＝2，∠AOP ＝120°，求三棱锥A 1－APB 的体积．18．(13分)已知函数f(x)＝ln x＋ax－a2x2(a≥0)．(1) 若x＝1是函数y＝f(x)的极植点，求a的值；(2)若f(x)＜0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．19．(14分)如图，P－AD－C是直二面角，四边形ABCD是∠BAD＝120°的菱形，AB＝2，P A⊥AD，E是CD的中点，设PC与平面ABCD所成的角为45°.(1)求证：平面P AE⊥平面PCD；(2)试问在线段AB(不包括端点)上是否存在一点F，使得二面角A－PF－D的大小为45°？若存在，请求出AF的长，若不存在，请说明理由．20．(14分)已知△ABC 的三边长|AB |＝13，|BC |＝4，|AC |＝1，动点M 满足CM →＝λCA→＋μCB →，且λμ＝14. (1)求|CM →|最小值，并指出此时CM →与C A →，C B →的夹角；(2)是否存在两定点F 1，F 2，使||MF 1→|－|MF 2→||恒为常数k ？，若存在，指出常数k的值，若不存在，说明理由．答案解析1.C2.A3.C4.B5.A6.C7．C [设BC 的中点为M ，则A G →＝23AM →. 又M 为BC 的中点，∴AM →＝12(A B →＋A C →)，∴A G →＝23AM →＝13(A B →＋A C →)， ∴|A G →|＝13 A B →2＋A C →2＋2A B →·A C →＝13A B →2＋A C →2－4.又∵A B →·A C →＝－2，∠A ＝120°， ∴|A B →||A C →|＝4. ∵|A G →|＝13AB→2＋AC →2－4≥132|A B →||A C →|－4＝23，当且仅当|A B →|＝|A C →|＝2时取“＝”，∴|A G →|的最小值为23，故选C.]8．A[如图所示，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8确定的可行域． 因为lg(y ＋1)－lg x ＝lg y ＋1x ，设t ＝y ＋1x ，显然，t 的几何意义是可行域内的点P (x ，y )与定点E (0，－1)连线的斜率． 由图可知，点P 在点B 处时，t 取得最小值； 点P 在点C 处时，t 取得最大值． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，2x ＋y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2， 即B (3,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －2，2x ＋y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4， 即C (2,4)．故t 的最小值为k BE ＝2－(－1)3＝1，t 的最大值为k CE ＝4－(－1)2＝52，所以t ∈[1，52]．又函数y ＝lg x 为(0，＋∞)上的增函数，所以lg t ∈[0，lg 52]，即lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为[0，lg 52]． 而lg 52＝lg 5－lg 2＝1－2lg 2，所以lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为[0,1－2lg 2]． 故选A.] 9．60解析 如图，在Rt △ABM 中，AM ＝ABsin ∠AMB ＝30－103sin 15°＝30－103sin (45°－30°)＝30－1036－24＝20 6 m.又易知∠MAN ＝∠AMB ＝15°， 所以∠MAC ＝30°＋15°＝45°， 又∠AMC ＝180°－15°－60°＝105°， 从而∠ACM ＝30°.在△AMC 中，由正弦定理得MC sin 45°＝206sin 30°， 解得MC ＝40 3 m.在Rt △CMD 中，CD ＝403×sin 60°＝60 m ， 故通信塔CD 的高为60 m. 10．[213，1]解析 t t 2＋9＝1t ＋9t，而u ＝t ＋9t 在(0,2]上单调递减，故t ＋9t ≥2＋92＝132，t t 2＋9＝1t ＋9t ≤213(当且仅当t ＝2时，等号成立)，t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2(1t ＋14)2－18， 因为1t ≥12，所以t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2(1t ＋14)2－18≥1(当且仅当t ＝2时等号成立)， 故a 的取值范围是[213，1.] 11．①③⑤解析 当P 与A 1点重合，Q 与C 1点重合时，BP ⊥DQ ， 故①正确；BP 与DQ 异面，故②错误；设平面A 1B 1C 1D 1两条对角线交点为O ，则易得PQ ⊥平面OBD ，平面OBD 可将四面体BDPQ 分成两个底面均为平面OBD ，高之和为PQ 的棱锥，故四面体BDPQ 的体积一定是定值， 故③正确；若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 的表面积不是定值， 故④错误；四面体BDPQ 在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度分别为1和2的四边形，其面积为定值，四面体BDPQ 在四个侧面上的投影， 均为上底为22，下底和高均为1的梯形，其面积为定值， 故四面体BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值，故⑤正确．12．a >6解析 以A 点为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z轴，如图所示．则D (0，a,0)，设P (0,0，b )，E (3，x,0)，PE→＝(3，x ，－b )， DE→＝(3，x －a,0)， ∵PE ⊥DE ，∴PE →·DE→＝0， ∴9＋x (x －a )＝0，即x 2－ax ＋9＝0，由题意可知方程有两个不同根，∴Δ>0，即a 2－4×9>0，又a >0，∴a >6.13．e 2解析 ∵a >1，曲线y ＝1x 与直线y ＝0，x ＝1，x ＝a 所围成封闭图形的面积为2，∴ʃa 11xd x ＝2，∴ |ln x a 1＝2，ln a ＝2，∴a ＝e 2. 14．36解析 由题意得A B →·A C →＝|A B →|·|A C →|cos ∠BAC＝23，则|A B →|·|A C →|＝4，∴△ABC 的面积为12|A B →|·|A C →|·sin ∠BAC ＝1，x ＋y ＋z ＝1，∴f (x ，y ，z )＝1x ＋4y ＋9z ＝x ＋y ＋z x ＋4(x ＋y ＋z )y ＋9(x ＋y ＋z )z ＝14＋(y x ＋4x y )＋(9x z ＋z x )＋(4z y ＋9y z )≥14＋4＋6＋12＝36(当且仅当x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立)．15．解 (1)由图象得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1，将(π6，1)代入得1＝sin(π6＋φ)，而－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3，因此函数f (x )＝sin(x ＋π3)．(2)由于x ∈[－π，－π6]，－2π3≤x ＋π3≤π6，所以－1≤sin(x ＋π3)≤12，所以f (x )的取值范围是[－1，12]．16．(1)解 ∵a n 是S n 和1的等差中项，∴S n ＝2a n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)＝2a n －2a n －1.∴a n ＝2a n －1，即a n a n －1＝2， ∴数列{a n }是以a 1＝1为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n －1，S n ＝2n －1.设{b n }的公差为d ，b 1＝a 1＝1，b 4＝1＋3d ＝7，∴d ＝2，∴b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)证明 c n ＝1b n b n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)． ∴T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n2n ＋1，∵n ∈N *，∴T n ＝12(1－12n ＋1)＜12， T n －T n －1＝n 2n ＋1－n －12n －1＝1(2n ＋1)(2n －1)＞0，∴数列{T n }是一个递增数列，∴T n ≥T 1＝13，综上所述，13≤T n ＜12.17．(1)证明 易知AP ⊥BP ，由AA 1⊥平面P AB ，得AA 1⊥BP ，且AP ∩AA 1＝A ，所以BP ⊥平面P AA 1，又A 1P ⊂平面P AA 1，故BP ⊥A 1P .(2)解 由题意得V ＝π·OA 2·AA 1＝4π·AA 1＝12π，解得AA 1＝3.由OA ＝2，∠AOP ＝120°，得∠BAP ＝30°，BP ＝2，AP ＝23，∴S △P AB ＝12×2×23＝23，∴三棱锥A 1－APB 的体积V ＝13S △P AB ·AA 1＝13×23×3＝2 3.18．解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－2a 2x 2＋ax ＋1x. 因为x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，所以f ′(1)＝1＋a －2a 2＝0，解得a ＝－12(舍去)或a ＝1，经检验，当a ＝1时，x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，所以a ＝1.(2)当a ＝0时，f (x )＝ln x ，显然在定义域内不满足f (x )＜0恒成立；当a ＞0时，令f ′(x )＝(2ax ＋1)(－ax ＋1)x＝0 得，x 1＝－12a (舍去)，x 2＝1a ，所以当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x(0，1a ) 1a (1a ，＋∞) f ′(x )＋ 0 － f (x ) 极大值所以f (x )max ＝f (1a )＝ln 1a ＜0，所以a ＞1.综上可得a 的取值范围是(1，＋∞)．19.(1)证明 因为P A ⊥AD ，二面角P －AD －C 是直二面角，所以P A ⊥平面ABCD ，因为DC ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，连接AC ，因为ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，所以∠CAD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以△ADC 是等边三角形．因为E 是CD 的中点，所以AE ⊥CD ，因为P A ∩AE ＝A ，所以CD ⊥平面P AE ，而CD ⊂平面PCD ，所以平面P AE ⊥平面PCD .(2)解 以A 为坐标原点，AB ，AE ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．因为P A ⊥平面ABCD ，所以∠PCA 是PC 与平面ABCD 所成角，所以∠PCA ＝45°，所以P A ＝AC ＝AB ＝2，于是P (0,0,2)，D (－1，3，0)，PD →＝(－1，3，－2)．设AF ＝λ，则0<λ<2，F (λ，0,0)，所以PF →＝(λ，0，－2)．设平面PFD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则有n 1·PD →＝0，n 1·PF →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋3y －2z ＝0，λx －2z ＝0，令x ＝1，则z ＝λ2，y ＝λ＋13，所以平面PFD 的法向量为n 1＝(1，λ＋13，λ2)．而平面APF 的法向量为n 2＝(0,1,0)．所以|cos 〈n 1，n 2〉|＝2|λ＋1|7λ2＋8λ＋16＝22，整理得λ2＋8λ－8＝0，解得λ＝26－4(或λ＝－26－4舍去)， 因为0<26－4<2，所以在AB 上存在一点F ，使得二面角A －PF －D 的大小为45°，此时AF ＝26－4.20．解 (1)由余弦定理知cos ∠ACB ＝12＋42－132×1×4＝12⇒∠ACB ＝π3，因为|CM →|2＝CM →2＝(λC A →＋μC B →)2＝λ2＋16μ2＋2λμC A →·C B →＝λ2＋1λ2＋1≥3，所以|CM →|≥3，当且仅当λ＝±1时，“＝”成立，故|CM →|的最小值是3，此时〈CM →，C A →〉＝〈CM →，C B →〉＝π6或5π6.(2)以C 为坐标原点，∠ACB 的平分线所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系(如图)，所以A (32，12)，B (23，－2)，设动点M (x ，y )，因为CM →＝λC A →＋μC B →，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32λ＋23μ，y ＝12λ－2μ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 23＝(λ2＋2μ)2，y 2＝(λ2－2μ)2，再由λμ＝14知x 23－y 2＝1，所以动点M 的轨迹是以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点，实轴长为23的双曲线，即||MF 1→|－|MF 2→||恒为常数23，即存在k ＝2 3.。
2020届高考文科数学总复习单元滚动测试卷含答案(21套)
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2020届高考总复习单元滚动测试卷文科数学答案
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(红对勾)2020届高考一轮数学(理数)课时作业本：53 含答案解析
课时作业53 椭圆1．已知三点P (5,2)，F 1(－6,0)，F 2(6,0)，那么以F 1，F 2为焦点且经过点P 的椭圆的短轴长为( B )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：因为点P (5,2)在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 2|＝5，|PF 1|＝55，所以2a ＝65，即a ＝35，c ＝6，则b ＝3，故椭圆的短轴长为6，故选B.2．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( B )A.514 B ．513 C.49D ．59 解析：由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2. 设线段PF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2， ∵OM ⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2， ∴|PF 2|＝b 2a ＝53.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133， ∴|PF 2||PF 1|＝53×313＝513，故选B.3．已知点P 是椭圆x 24＋y 23＝1上一点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为△PF 1F 2的内心，若S △MPF 1＝λS △MF 1F 2－S △MPF 2成立，则λ的值为( D )A.32 B ．12 C.22D ．2解析：设内切圆的半径为r ，因为S △MPF 1＝λS △MF 1F 2－S △MPF 2， 所以S △MPF 1＋S △MPF 2＝λS △MF 1F 2； 由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ， 所以ar ＝λcr ，c ＝a 2－b 2， 所以λ＝aa 2－b2＝2.4．(2019·安徽宣城一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若NM →·NF →＝0，则椭圆的离心率为( D )A.32 B ．2－12 C.3－12D ．5－12解析：由题意知，M (－a,0)，N (0，b )，F (c,0)， ∴NM →＝(－a ，－b )，NF →＝(c ，－b )． ∵NM →·NF →＝0，∴－ac ＋b 2＝0，即b 2＝ac . 又知b 2＝a 2－c 2，∴a 2－c 2＝ac . ∴e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或e ＝－5－12(舍)． ∴椭圆的离心率为5－12，故选D.5．(2019·湖北重点中学联考)已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2且垂直于长轴的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 1内切圆的半径为( D )A.43 B ．1 C.45D ．34解析：法一：不妨设A 点在B 点上方，由题意知，F 2(1,0)，将F 2的横坐标代入椭圆方程x 24＋y 23＝1中， 可得A 点纵坐标为32，故|AB |＝3，所以内切圆半径r ＝2S C ＝68＝34(其中S 为△ABF 1的面积，C 为△ABF 1的周长)，故选D.法二：由椭圆的通径公式得|AB |＝2b 2a ＝3，则S △ABF 1＝12×2×3＝3，又易得△ABF 1的周长C ＝4a ＝8，则由S △ABF 1＝12C ·r 可得r ＝34.故选D.6．(2019·豫南九校联考)已知两定点A (－1,0)和B (1,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( A )A.55 B ．105 C.255D ．2105解析：不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a ＞1)，与直线l 的方程联立得⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，y ＝x ＋3，消去y 得(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋10a 2－a 4＝0，由题意易知Δ＝36a 4－4(2a 2－1)(10a 2－a 4)≥0，解得a ≥5， 所以e ＝c a ＝1a ≤55， 所以e 的最大值为55.故选A.7．(2019·河北衡水中学模拟)设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |－|PF 1|的最小值为 －5 .解析：由椭圆的方程可知F 2(3,0)， 由椭圆的定义可得|PF 1|＝2a －|PF 2|，∴|PM |－|PF 1|＝|PM |－(2a －|PF 2|)＝|PM |＋|PF 2|－2a ≥|MF 2|－2a ， 当且仅当M ，P ，F 2三点共线时取得等号， 又|MF 2|＝(6－3)2＋(4－0)2＝5,2a ＝10， ∴|PM |－|PF 1|≥5－10＝－5， 即|PM |－|PF 1|的最小值为－5.8．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于22 .解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，① x 22a 2＋y 22b2＝1.② ①、②两式相减并整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.结合已知条件得，－12＝－b 2a 2×22， ∴b 2a 2＝12，故椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝22.9．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝33，则b ＝ 3 .解析：由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 又∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos60°＝|F 1F 2|2， 所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|＝4c 2， 所以3|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2， 所以|PF 1||PF 2|＝43b 2，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin60°＝12×43b 2×32＝33b 2＝33，所以b ＝3. 10．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆M 上任一点，且|PF 1|·|PF 2|的最大值的取值范围是[2b 2,3b 2]，椭圆M 的离心率为e ，则e －1e 的最小值是 －22 .解析：由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2， ∴2b 2≤a 2≤3b 2，即2a 2－2c 2≤a 2≤3a 2－3c 2， ∴12≤c 2a 2≤23，即22≤e ≤63. 令f (x )＝x －1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，63上是增函数， ∴当e ＝22时，e －1e 取得最小值22－2＝－22.11．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解：(1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1 得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)＞0，即k 2＞34时， x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1.从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1， 所以△OPQ 的面积 S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t ＞0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2， 即k ＝±72时等号成立，且满足Δ＞0， 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为 y ＝72x －2或y ＝－72x －2.12．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B两点，求椭圆E 的方程．解：(1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c2＝bca ， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2， 可得离心率c a ＝32. (2)解法一：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k 2，x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4，解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝10(b 2－2).由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1. 解法二：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2. ②依题意，点A ，B 关于圆心M (－2,1)对称，且|AB |＝10. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0. 易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12. 因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0. 所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝ 52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2). 由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.13．设F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，P 是C 上的点，圆x 2＋y 2＝a 29与线段PF 交于A ，B 两点，若A ，B 是线段PF 的两个三等分点，则椭圆C 的离心率为( D )A.33 B ．53 C.104D ．175解析：如图所示，设线段AB 的中点为D ，连接OD ，OA ，设椭圆C 的左、右焦点分别为F ，F 1， 连接PF 1.设|OD |＝t ，因为点A ，B 是线段PF 的两个三等分点， 所以点D 为线段PF 的中点，所以OD ∥PF 1，且|PF 1|＝2t ，PF 1⊥PF . 因为|PF |＝3|AB |＝6|AD |＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32－t 2， 根据椭圆的定义，得|PF |＋|PF 1|＝2a ， ∴6⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32－t 2＋2t ＝2a ， 解得t ＝a5或t ＝0(舍去)． 所以|PF |＝8a 5，|PF 1|＝2a5.在Rt △PFF 1中，|PF |2＋|PF 1|2＝|FF 1|2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 52＝(2c )2，得c 2a 2＝1725， 所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝175.14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c ，则该椭圆离心率的取值范围为( D )A ．(0，2－1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1C.⎝⎛⎭⎪⎫0，22D ．(2－1,1)解析：在△MF 1F 2中，|MF 2|sin ∠MF 1F 2＝|MF 1|sin ∠MF 2F 1，而sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c ， ∴|MF 2||MF 1|＝sin ∠MF 1F 2sin ∠MF 2F 1＝a c .①又M 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝2a .②由①②得，|MF 1|＝2ac a ＋c ，|MF 2|＝2a 2a ＋c .显然|MF 2|＞|MF 1|， ∴a －c ＜|MF 2|＜a ＋c ， 即a －c ＜2a 2a ＋c＜a ＋c ，整理得c 2＋2ac －a 2＞0，∴e 2＋2e －1＞0， 又0＜e ＜1，∴2－1＜e ＜1，故选D.15．过椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的动点M 作圆x 2＋y 2＝b22的两条切线，切点分别为P 和Q ，直线PQ 与x 轴和y 轴的交点分别为E 和F ，则△EOF 面积的最小值是 b 34a .解析：设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则直线MP 和MQ 的方程分别为x 1x ＋y 1y ＝b 22，x 2x ＋y 2y ＝b 22.因为点M 在MP 和MQ 上，所以有x 1x 0＋y 1y 0＝b 22，x 2x 0＋y 2y 0＝b 22，则P ，Q 两点的坐标满足方程x 0x ＋y 0y ＝b 22，所以直线PQ 的方程为x 0x ＋y 0y ＝b 22， 可得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22x 0，0和F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 22y 0，所以S △EOF ＝12·|OE ||OF |＝b 48|x 0y 0|， 因为b 2y 20＋a 2x 20＝a 2b 2，b 2y 20＋a 2x 20≥2ab |x 0y 0|，所以|x 0y 0|≤ab 2，所以S △EOF ＝b 48|x 0y 0|≥b 34a ， 当且仅当b 2y 20＝a 2x 20＝a 2b 22时取“＝”，故△EOF 面积的最小值为b 34a .16．(2019·山东济宁一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a ＞2)，直线l ：y ＝kx ＋1(k ≠0)与椭圆C 相交于A ，B 两点，点D 为AB 的中点．(1)若直线l 与直线OD (O 为坐标原点)的斜率之积为－12，求椭圆C 的方程；(2)在(1)的条件下，y 轴上是否存在定点M ，使得当k 变化时，总有∠AMO ＝∠BMO (O 为坐标原点)？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由⎩⎨⎧x 2a 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1(k ≠0)得(4＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx －3a 2＝0，显然Δ＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－2a 2k 4＋a 2k 2，x 1x 2＝－3a 24＋a 2k 2， ∴x 0＝－a 2k 4＋a 2k 2，y 0＝－a 2k 24＋a 2k 2＋1＝44＋a 2k 2， ∴k ·y 0x 0＝k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a 2k ＝－12， ∴a 2＝8.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)假设存在定点M 符合题意，且设M (0，m )，由∠AMO ＝∠BMO 得k AM ＋k BM ＝0.∴y 1－m x 1＋y 2－m x 2＝0.即y 1x 2＋y 2x 1－m (x 1＋x 2)＝0，∴2kx 1x 2＋x 1＋x 2－m (x 1＋x 2)＝0.由(1)知x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－61＋2k 2， ∴－12k 1＋2k 2－4k 1＋2k 2＋4mk 1＋2k 2＝0， ∴－16k ＋4mk 1＋2k 2＝0，即4k (－4＋m )1＋2k 2＝0， ∵k ≠0，∴－4＋m ＝0，∴m ＝4. ∴存在定点M (0,4)，使得∠AMO ＝∠BMO .。
2020届高考数学一轮复习滚动检测五(1_8章)(规范卷)文(含解析)新人教A版
滚动检测五(1～8章)(规范卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |x 2>x ，x ∈R }，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<x <2，x ∈R ，则∁R (A ∩B )等于( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<x <2C.{}x |x ≤1或x ≥2D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤12或x ≥1答案 C解析 ∵A ＝{}x |x 2>x ，x ∈R ＝{}x |x <0或x >1，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2，x ∈R ，∴A ∩B ＝{x |1<x <2，x ∈R }， 则∁R (A ∩B )＝{x |x ≤1或x ≥2}．2．若z 1＝(1－i)2，z 2＝1＋i ，则z 1z 2等于( ) A ．1＋iB ．－1＋iC ．1－iD ．－1－i 答案 D解析 ∵z 1＝(1－i)2＝－2i ，z 2＝1＋i ，∴(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－2－2i2＝－1－i. 3．设向量a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)，则“a ⊥b ”是“x ＝2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由a ⊥b ⇏x ＝2， 由x ＝2⇒a ⊥b ，故选B.4．实数x ，y ，k 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤k ，z ＝x 2＋y 2，若z 的最大值为13，则k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 作出满足约束条件的平面区域如图阴影部分所示，z ＝x 2＋y 2的最大值为13，即|OA |2＝13，而A (k ，k ＋1)，所以k 2＋(k ＋1)2＝13，解得k ＝2或k ＝－3(舍去)．5．某几何体的三视图如图所示，数量单位为cm ，它的体积是( )A.2732cm 3B.92cm 3C.932cm 3D.272cm 3答案 C解析 如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，V ＝13Sh ＝13×12×(2＋4)×3×323＝923(cm 3)． 6．设a ＝20.1，b ＝ln 52，c ＝log 3910，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a答案 A解析 a ＝20.1>20＝1，b ＝ln 52<lne ＝1，即0<b <1，c ＝log 3910<log 31＝0，∴c <b <a .7．若a >0，b >0，ab ＝a ＋b ＋1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．32＋3 B ．32－3 C ．3＋13 D ．7 答案 D解析 当b ＝1时，代入等式a ＝a ＋2不成立，因而b ≠1， 所以ab －a ＝b ＋1.a ＝b ＋1b －1＝1＋2b －1，所以a ＋2b ＝1＋2b －1＋2b ＝3＋2b －1＋2(b －1)≥3＋22b －1×2(b －1)＝3＋2×2＝7，当且仅当b ＝2时，取等号， 即最小值为7.8．设D 为△ABC 中BC 边上的中点，且O 为AD 边上靠近点A 的三等分点，则( ) A.BO →＝－56AB →＋16AC →B.BO →＝16AB →－12AC →C.BO →＝56AB →－16AC →D.BO →＝－16AB →＋12AC →答案 A解析 由平面向量基本定理可得，BO →＝AO →－AB →＝13AD →－AB →＝16(AB →＋AC →)－AB → ＝－56AB →＋16AC →，故选A.9.如图，三棱锥A －BCD 的棱长全相等，点E 为棱AD 的中点，则直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )A.36B.32C.336D.12答案 A解析 方法一 取AB 中点G ，连接EG ，CG .∵E 为AD 的中点，∴EG ∥BD .∴∠GEC 为CE 与BD 所成的角．设AB ＝1， 则EG ＝12BD ＝12，CE ＝CG ＝32，∴cos∠GEC ＝EG 2＋EC 2－GC 22×EG ×EC＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫3222×12×32＝36. 方法二 设AB ＝1，则CE →·BD →＝(AE →－AC →)·(AD →－AB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD →－AC →·(AD →－AB →)＝12AD →2－12AD →·AB →－AC →·AD →＋AC →·AB →＝12－12cos60°－cos60°＋cos60°＝14. ∴cos〈CE →，BD →〉＝CE →·BD →|CE →||BD →|＝1432＝36，故选A.10．已知函数f (x )＝3sin2x －cos2x 的图象在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，4π3上均单调递增，则正数a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π12，2π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3 答案 B解析 f (x )＝3sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，因为函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，4π3上均单调递增，⎩⎪⎨⎪⎧a 3≤π3，5π6≤2a <4π3，解得5π12≤a <2π3.11.如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则下列命题错误的是( )A ．异面直线C 1P 和CB 1所成的角为定值 B ．直线CD 和平面BPC 1平行 C ．三棱锥D －BPC 1的体积为定值 D ．直线CP 和平面ABC 1D 1所成的角为定值 答案 D解析 选项A ：∵在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，易得CB 1⊥平面ABC 1D 1，∵C 1P ⊂平面ABC 1D 1，∴CB 1⊥C 1P ，故这两个异面直线所成的角为定值90°，故A 正确；选项B ：直线CD 和平面ABC 1D 1平行，∴直线CD 和平面BPC 1平行，故B 正确；选项C ：三棱锥D －BPC 1的体积等于三棱锥P －DBC 1的体积，而平面DBC 1为固定平面且大小一定，∵P ∈AD 1，而AD 1∥平面BDC 1，∴点A 到平面DBC 1的距离即为点P 到该平面的距离，∴三棱锥的体积为定值，故C 正确；选项D ：由线面夹角的定义，令BC 1与B 1C 的交点为O ，可得∠CPO 即为直线CP 和平面ABC 1D 1所成的角，当P 移动时这个角是变化的，故D 错误．12．若曲线y ＝12e x 2与曲线y ＝a ln x 在它们的公共点P ()s ，t 处具有公共切线，则实数a 等于( )A ．1B.12C ．－1D ．2答案 A解析 曲线y ＝12e x 2的导数为y ′＝x e ，在P (s ，t )处的切线斜率为k 1＝se .曲线y ＝a ln x 的导数为y ′＝ax ，在P (s ，t )处的切线斜率为k 2＝a s.由曲线y ＝12ex 2与曲线y ＝a ln x 在它们的公共点P (s ，t )处具有公共切线，可得s e ＝a s ，并且t ＝12es 2，t ＝a ln s ，即⎩⎪⎨⎪⎧s e ＝a s，12e s 2＝a ln s ，∴ln s ＝12，∴s 2＝e.可得a ＝s 2e ＝ee＝1.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，∠A ＝2π3，则∠B ＝__________________.答案π4解析 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，即33 2＝6sin B，所以sin B ＝22， 又因为b <a ，所以B <A ，所以∠B ＝π4.14．完成下面的三段论：大前提：两个共轭复数的乘积是实数．小前提：x ＋y i 与x －y i(x ，y ∈R )互为共轭复数．结论：________________________________________________________________________. 答案 (x ＋y i)·(x －y i)(x ，y ∈R )是实数解析 “三段论”可表示为①大前提：M 是P ；②小前提：S 是M ；③结论：所以S 是P ，故该题结论可表示为(x ＋y i)·(x －y i)(x ，y ∈R )是实数．15．甲乙两地相距500km ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度v 不能超过120km/h.已知汽车每小时运输成本为⎝⎛⎭⎪⎫9250v 2＋360元，则全程运输成本与速度的函数关系是y ＝__________________，当汽车的行驶速度为________km/h 时，全程运输成本最小． 答案 18v ＋180000v(0<v ≤120) 100解析 ∵甲乙两地相距500 km ，故汽车从甲地匀速行驶到乙地的时间为500v小时，又由汽车每小时运输成本为⎝⎛⎭⎪⎫9250v 2＋360元，则全程运输成本与速度的函数关系是y ＝500v ·⎝ ⎛⎭⎪⎫9250v 2＋360＝18v ＋180 000v (0<v ≤120)，由基本不等式得18v ＋180 000v≥218v ·180 000v＝3 600,当且仅当18v ＝180 000v，即v ＝100时等号成立．16．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下列结论正确的是________．(填序号) ①a ∥b ；②a ⊥b ；③|a |＝|b |；④a ＋b ＝a －b . 答案 ②解析 根据向量加法、减法的几何意义可知，|a ＋b |与|a －b |分别为以向量a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a ＋b |＝|a －b |，所以该平行四边形为矩形，所以a ⊥b . 三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)设f (x )是定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝－x ＋1；当x >1时，f (x )＝log 2x .(1)在平面直角坐标系中直接画出函数y ＝f (x )在R 上的草图； (2)当x ∈(－∞，－1)时，求满足方程f (x )＋log4(－x )＝6的x 的值； (3)求y ＝f (x )在[0，t ](t >0)上的值域．解 (1)(2)当x ∈(－∞，－1)时，f (x )＝log 2(－x )，∴f (x )＋log 4(－x )＝log 2(－x )＋log 2(－x )log24＝32log 2(－x )＝6，即log 2(－x )＝4，即－x ＝24，得x ＝－16. (3)当0<t ≤1时，值域为[－t ＋1,1]； 当1<t ≤2时，值域为[0,1]， 当t >2时，值域为[0，log 2t ]．18．(12分)如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 边上的动点(含端点)，记∠BAD ＝α，∠ADC ＝β.(1)求2cos α－cos β的最大值；(2)若BD ＝1，cos β＝17，求△ABD 的面积．解 (1)由△ABC 是等边三角形，得β＝α＋π3，0≤α≤π3，故2cos α－cos β＝2cos α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3 ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3，故当α＝π6，即D 为BC 中点时，原式取最大值 3.(2)由cos β＝17，得sin β＝437，故sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝sin βcos π3－cos βsin π3＝3314，由正弦定理得AB sin∠ADB ＝BDsin∠BAD ，故AB ＝sin βsin α·BD ＝4373314×1＝83，故S △ABD ＝12AB ·BD ·sin B ＝12×83×1×32＝233.19．(12分)已知数列{an }的前n 项和为S n ，且a n ＋1＝1＋S n 对一切正整数n 恒成立． (1)试求当a 1为何值时，数列{a n }是等比数列，并求出它的通项公式；(2)在(1)的条件下，当n 为何值时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 400an 的前n 项和T n 取得最大值？解 (1)由a n ＋1＝1＋S n 得，当n ≥2时，a n ＝1＋S n －1， 两式相减得，a n ＋1＝2a n ，因为数列{a n }是等比数列，所以a 2＝2a 1， 又因为a 2＝1＋S 1＝1＋a 1，所以a 1＝1， 所以a n ＝2n －1.(2)由于y ＝2n －1在R 上是一个增函数，可得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 4002n －1是一个递减数列，所以lg 40020>lg 40021>lg 40022>…>lg 40028>0>lg 40029>…，由此可知当n ＝9时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 400an 的前n 项和Tn 取最大值．20．(12分)设函数f (x )＝x 2－3x .(1)若不等式f (x )≥m 对任意x ∈[0,1]恒成立，求实数m 的取值范围；(2)在(1)的条件下，当m 取最大值时，设x >0，y >0且2x ＋4y ＋m ＝0，求1x ＋1y的最小值．解 (1)因为函数f (x )＝x 2－3x 的对称轴为x ＝32，且开口向上，所以f (x )＝x 2－3x 在x ∈[0,1]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (1)＝1－3＝－2， 所以m ≤－2.(2)根据题意，由(1)可得m ＝－2， 即2x ＋4y －2＝0.所以x ＋2y ＝1. 因为x >0，y >0，则1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y (x ＋2y )＝3＋2y x ＋x y≥3＋2x y ·2yx＝3＋22， 当且仅当2y x ＝x y ，即x ＝2－1，y ＝1－22时，等号成立．所以1x ＋1y的最小值为3＋2 2.21．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD ，AB ＝2DC ＝23，且△PAD 与△ABD 均为正三角形，E 为AD 的中点，G 为△PAD 的重心．(1)求证：GF ∥平面PDC ； (2)求三棱锥G —PCD 的体积．(1)证明 方法一 连接AG 并延长交PD 于点H ，连接CH .由梯形ABCD 中AB ∥CD 且AB ＝2DC 知，AF FC ＝21.又E 为AD 的中点，G 为△PAD 的重心，∴AG GH ＝21.在△AHC 中，AG GH ＝AF FC ＝21，故GF ∥HC .又HC ⊂平面PCD ，GF ⊄平面PCD ， ∴GF ∥平面PDC .方法二 过G 作GN ∥AD 交PD 于N ，过F 作FM ∥AD 交CD 于M ，连接MN ，∵G 为△PAD 的重心，∴GN ED ＝PG PE ＝23， ∴GN ＝23ED ＝233.又ABCD 为梯形，AB ∥CD ，CD AB ＝12，∴CF AF ＝12， ∴MF AD ＝13，∴MF ＝233，∴GN ＝FM . 又由所作GN ∥AD ，FM ∥AD ，得GN ∥FM ， ∴四边形GNMF 为平行四边形．∴GF ∥MN ，又∵GF ⊄平面PCD ，MN ⊂平面PCD ， ∴GF ∥平面PDC .方法三 过G 作GK ∥PD 交AD 于K ，连接KF ，由△PAD 为正三角形，E 为AD 的中点，G 为△PAD 的重心，得DK ＝23DE ，∴DK ＝13AD ，又由梯形ABCD 中AB ∥CD ，且AB ＝2DC ，知AF FC ＝21，即FC ＝13AC ， ∴在△ADC 中，KF ∥CD ， 又∵GK ∩KF ＝K ，PD ∩CD ＝D ， ∴平面GKF ∥平面PDC ，又GF ⊂平面GKF ，∴GF ∥平面PDC .(2)解 方法一 由平面PAD ⊥平面ABCD ，△PAD 与△ABD 均为正三角形，E 为AD 的中点，知PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，又∵平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PE ⊂平面PAD ， ∴PE ⊥平面ABCD ，且PE ＝3， 由(1)知GF ∥平面PDC ，∴—G PCD V 三棱锥＝—F PCD V 三棱锥＝—P CDF V 三棱锥 ＝13×PE ×CDF S V . 又由梯形ABCD 中AB ∥CD ，且AB ＝2DC ＝23， 知DF ＝13BD ＝233，又△ABD 为正三角形，得∠CDF ＝∠ABD ＝60°， ∴S △CDF ＝12×CD ×DF ×sin∠CDF ＝32，得—P CDF V 三棱锥＝13×PE ×S △CDF ＝32，∴三棱锥G —PCD 的体积为32. 方法二 由平面PAD ⊥平面ABCD ，△PAD 与△ABD 均为正三角形，E 为AD 的中点，知PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，又∵平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PE ⊂平面PAD ， ∴PE ⊥平面ABCD ，且PE ＝3， 连接CE ，∵PG ＝23PE ，∴V 三棱锥G —PCD ＝23V 三棱锥E —PC D ＝23V 三棱锥P —CDE＝23×13×PE ×S △CDE ， 又△ABD 为正三角形，得∠EDC ＝120°， 得S △CDE ＝12×CD ×DE ×sin∠EDC ＝334.∴V 三棱锥G —PCD ＝23×13×PE ×S △CDE＝23×13×3×334＝32， ∴三棱锥G —PCD 的体积为32. 22．(12分)已知函数f (x )＝ax ＋1－x ln x 的图象在x ＝1处的切线与直线x －y ＝0平行． (1)求函数f (x )的极值； (2)若∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>m (x 1＋x 2)，求实数m 的取值范围．解 (1)f (x )＝ax ＋1－x ln x 的导数为f ′(x )＝a －1－ln x ， 可得f (x )的图象在A (1，f (1))处的切线斜率为a －1， 由切线与直线x －y ＝0平行，可得a －1＝1， 即a ＝2，f (x )＝2x ＋1－x ln x ，f ′(x )＝1－ln x ，由f ′(x )>0，可得0<x <e ，由f ′(x )<0，可得x >e ， 则f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减， 可得f (x )在x ＝e 处取得极大值，且为e ＋1，无极小值． (2)可设x 1>x 2，若∀x 1，x 2∈(0，＋∞)， 由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>m (x 1＋x 2)，可得f (x 1)－f (x 2)>mx 21－mx 22， 即有f (x 1)－mx 21>f (x 2)－mx 22恒成立， 设g (x )＝f (x )－mx 2在(0，＋∞)为增函数，即有g ′(x )＝1－ln x －2mx ≥0在(0，＋∞)上恒成立， 可得2m ≤1－ln xx 在(0，＋∞)上恒成立，设h (x )＝1－ln x x，则h ′(x )＝ln x －2x2， 令h ′(x )＝0，可得x ＝e 2，h (x )在(0，e 2)上单调递减，在(e 2，＋∞)上单调递增，即有h (x )在x ＝e 2处取得极小值－1e 2，且为最小值，可得2m ≤－1e 2，解得m ≤－12e2. 则实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12e 2.。
2020版高考数学理科(人教B版)一轮复习课时规范练53用样本估计总体Word版含解析
课时标准练 53用样本估计总体根底稳固组1.(2021福建龙岩 4 月模拟 ,4)党的十八大以来,脱贫攻坚取得显著成绩.2021 年至 2021 年 4 年间 ,累计脱贫 5 564 万人 ,2021 年各地根据实际进行创新,精准、高效地完成了脱贫任务.某地区对当地 3 000户家庭的2021 年所有的年收入情况调查统计,年收入的频率分布直方图如下图,数据 (单位 :千元 )的分组依次为 [20,40),[40,60),[60,80),[80,100], 那么年收入不超过 6 万的家庭大约为()A.900 户B.600 户C.300 户D.150 户2.(2021湖南长郡中学一模,7)某赛季甲、乙两名篮球运发动各13 场比赛得分情况用茎叶图表示如图.根据上图 ,对这两名运发动的成绩进行比拟,以下四个结论中,不正确的选项是 ()A. 甲运发动得分的极差大于乙运发动得分的极差B.甲运发动得分的中位数大于乙运发动得分的中位数C.甲运发动的得分平均值大于乙运发动的得分平均值D.甲运发动的成绩比乙运发动的成绩稳定3.(2021四川成都考前模拟,3)某教育局为了解“跑团〞每月跑步的平均里程,收集并整理了至 2021 年 11 月期间“跑团〞每月跑步的平均里程(单位 :公里 )的数据 ,绘制了下面的折线图2021 年.1 月根据折线图 ,以下结论正确的选项是()A. 月跑步平均里程的中位数为 6 月份对应的里程数B.月跑步平均里程逐月增加C.月跑步平均里程顶峰期大致在8、9 月D.1 月至 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月 ,波动性更小 ,变化比拟平稳4.(2021山东、湖北冲刺二,3)当 5 个正整数从小到大排列时,其中位数为4,假设这6,那么这 5 个数的均值不可能为 ()5 个数的唯一众数为A.3 .65.(2021内蒙古呼和浩特一模,8)如图为某班35 名学生的投篮成绩面局部数据破损导致数据不完全.该班学生投篮成绩的中位数是哪一选项中的数值()(每人投一次 )的条形统计图,其中上5,那么根据统计图,无法确定以下A.3 球以下 (含 3 球 )的人数B.4 球以下 (含 4 球 )的人数C.5 球以下 (含 5 球 )的人数D.6 球以下 (含 6 球 )的人数6.(2021四省名校大三,6)某校李老本学期任高一 A 班、 B 班两个班数学教学,两个班都有50 名学生 ,下反映的是两个班在本学期 5 次数学中的班平均分比,根据表信息,以下不正确的是()A. A 班的数学成平均水平好于 B 班B.B班的数学成没有 A 班定C.下次 B 班的数学平均分高于 A 班D.在第一次考中 ,A、 B 两个班平均分78 分7.(2021四川达州四模,10)数据x1,x2,⋯,x10,2的平均2,方差1,数据x1,x2,⋯,x10相于原数据() A. 一定 B. 得比定C.得比不定D.定性不可以判断8.(2021江西景德盟校考二,4)某7个数的平均数4,方差 2,参加一个新数据4,此8 个数的平均数2,方差 s , ()A. = 4,s2= 2B. = 4,s2> 2C. = 4,s2 <2D. > 4,s2< 29.(2021山春季高考,24)在一批棉花中随机抽了500 根棉花的度并制了如所示的率分布直方,由可知 ,本中棉花的度大于是.(精确到 1 mm) 作本225 mm 的数,10.(2021广莞考前冲刺,13)本x1,x2,x3,⋯ ,x n的方差 s2= 2,本2x1 + 1,2x2+ 1,2x3+ 1,⋯ ,2x n+ 1 的方差.11.(2021河南天一大考三,15)一本数据按从小到大的序排列: -1,0,4,x,y,14,数据的平均数与中位数均 5,其方差.12.(2021北大附中五模,18)春市局某公司月收入在1 000~4000 元内的工行一次,并根据所得数据画出本的率分布直方 (每个分包括左端点 ,不包括右端点 ,如第一表示工月收入在区[1 000,1 500) 内 ,位 : 元 ).(1)估公司的工月收入在[1 000,2 000) 内的概率 ;(2)根据率分布直方估本数据的中位数和平均数.综合提升组13.(2021宁夏川一中三模,4)甲、乙两数据如茎叶所示,假设它的中位数相同,平均数也相同 ,中的 m,n 的比 =()A. B.14.(2021湖南衡阳二模,4)本x1,x2,⋯,x n的平均数x;本 y1,y2,⋯ ,y m的平均数 y(x≠y),假设本x1,x2,⋯ ,x n,y1,y2,⋯ ,y m的平均数 z=ax+ (1-a)y,其中 0<a<, n,m(n,m∈N* )的大小关系()A. n=mB. n≥ mC.n<mD.n>m15.(2021安徽太和中学一模,16)本数据a1,a2,a3,a4,a5的方差 s2=-20),本数据2a1+ 1,2a2+ 1,2a3+ 1,2a4+ 1,2a5+ 1 的平均数.16.(2021新疆吾自治区二模,19)某市有甲、乙两位航模运参加了国家集,分从他在集期参加的假设干次成中随机抽取8 次 ,如下 :甲:8281797895889384乙:9295807583809085(1)画出甲、乙两位学生成的茎叶,指出学生乙成的中位数;(2)要从中派一人参加国比,从平均成和方差的角度考,你派哪位学生参加适宜?明理由 .创新应用组17.(2021云南昆明二模,4)“搜索指数〞是网民通搜索引擎,以每天搜索关的次数基所得到的指 .“搜索指数〞越大 ,表示网民关的搜索次数越多,关相关的信息关注度也越高 .下是 2021 年 9 月到 2021 年 2 月半年中 ,某个关的搜索指数化的走.根据走 ,以下正确的选项是()A. 半年中 ,网民关相关的信息关注度呈周期性化B.半年中 ,网民关相关的信息关注度不断减弱C.从网民关的搜索指数来看,去年 10 月份的方差小于11 月份的方差D.从网民关的搜索指数来看,去年 12 月份的平均大于今年 1 月份的平均18.(2021河北衡水模三,19)“日行一万步 ,健康你一生〞的养生念已深入人心,由于研究性学的需要 ,某大学生收集了“微信运〞中特定甲、乙两个班n 名成一天行走的步数,然后采用分抽的方法按照[20,30),[30,40),[40,50),[50,60) 分抽取了20 名成的步数,并制了如下尚不完整的茎叶(位 :千步 ):甲、乙两班行走步数的平均都是44千步 .(1) 求 x,y 的 ;(2) ①假设 n= 100,求甲、乙两个班②假设估中一天行走步数少于100 名成中行走步数在40 千步的人数比于[20,30),[30,40),[40,50),[50,60) 各的人数[40,50) 千步的人数少12 人 ,求 n 的 .;课时标准练 53 用样本估计总体1.A 由 率分布直方 可得年收入不超 6 万的家庭的概率 (0.005+ 0.01)×20= 0.3,所以年收入不 超 6 万的家庭数大 3 000×0.3= 900( ),故 A .2.D 由茎叶 知甲的极差 47-18=29,乙的极差是33-17=16,A 正确 ;甲中位数是 30,乙中位数是26,B 正确 ;甲均 29 ,乙均 25,C 正确 ;只有 D 不正确 ,甲的方差大于乙的方差 , 是乙成定 ,故 D.3.D 由折 知 ,月跑步平均里程的中位数 5 月份 的里程数 ;月跑步平均里程不是逐月增加的;月跑步平均里程顶峰期大致在9、 10 月份 ,故 A,B,C ,故 D. 4.A 五个数从小到大 a 1,a 2,a 3,a 4,a 5 ,依 意得 a 3= 4,a 4=a 5= 6,a 1 ,a 2 是 1,2,3 中两个不同的数 ,符合 意的五个数可能有三种情形:“1,2,4,6,6〞,“1,3,4,6,6〞,“2,3,4,6,6〞,其平均数分 3.8,4,4.2.均 不可 能 3.6,故 A . 5.C 因 共有 35 人,而中位数 是第 18 个数 ,所以第 18 个数是 5,从 中看出第四个柱状 的 范 在 6 以上 ,所以投 4 个球的有 7 人.可得 3 球以下 (含 3 球 )的人数 10 人 ,4 球以下 (含 4 球 )的人数10+ 7= 17(人 ),6 球以下 (含 6 球 )的人数 35-1= 34(人 ).故只有 5 球以下 (含 5 球 )的人数无法确定 ,故 C.6.C A 班的 5 次数学 平均分分 81,78,81,80,85,5 次的平均分(81+78+ 81+ 80+ 85)= 81,B班的 5 次数学 平均分分 75,80,76,85,80,5 次的平均分(75+ 80+ 76+ 85+ 80)= 79.2,A 班的数学平均分好于 B 班 ,A 正确 ;由于 A 班的成 都在 80 分附近 ,而 B 班的平均分 化很大 ,所以A 班成 定些 ,B 正确 ; 下次考 A,B 班的平均分不能 料 ,所以 C;在第一次考 中 ,平均分=78分,D 正确 .故 C.7.C由 可得 :⋯ = 2,所以 x 1+x 2 + ⋯ +x 10= 20,所以平均2,由- - ⋯---- ⋯ -= 1 得= 1.1>1,所以 得不 定 ,故 C.8.C根据 意有2-< 2,故 C.= 4,而 s =9.235 因 度大于225 mm 的 率 (0.004 4+ 0.005 0)×50= 0.47,所以 度大于 225 mm 的 数是 ×500= 235.10.82由 意 , 本数据 x 1,x 2,x 3,⋯,x n 的方差 s 2= 2, 本 2x 1+ 1,2x 2 +1,2x 3+ 1,⋯,2x n + 1 的方差 , = 2 22×s = 2 ×2= 8. -11∵-1,0,4,x,y,14 的中位数 5, = 5, ∴ ∴ = 5,即 y= 7,x= 6, 数据的平均数是 可得 数据的方差是 (36+ 25+ 1+ 1+ 4+ 81)= ,故答案12.解 (1) 工月收入在 [1 000,2 000) 内的概率 (0.000 2+ 0.000 4)×500= 0.3.(2)根据条件可知 ,从左至右小矩形的面 分 是 0.1,0.2,0.25,0.25,0.15,0.05,因此 ,中位数的估2 000+ = 2 400;平均数的估 1 250×0.1+ 1 750×0.2+ 2 250×0.25+2 750×0.25+3250×0.15+ 3 750×0.05= 2 400.上可知 ,中位数和平均数的估 都是2 400.13.A由 意得 ,甲 数据 :24,29,30 +m,42;乙 数据 :25,20+n ,31,33,42,∴甲、乙两 数据的中位数分、 31,且甲、乙两 数的平均数分甲乙由 意得解得,故 A.14.C由 意得z=(nx+my )=x+1-y,∴a=∵0<a< ,∴0< ,∴n<m.故 C.15.5 或 -3 本数据的平均数a, 方差s2=--2aa i+a 2)=- 2a a i+ 5a2) =-2a×5a+ 5a2)=-5a2).结合 s2=-20)可得 5a2= 20,∴a= ±2,即样本数据2 或 -2,那么样本数据2a1+ 1,2a2+ 1,2a3+ 1,2a4+ 1,2a5+1 的平均数为2×2+ 1= 5 或16.解(1)茎叶图如下:a1,a2 ,a3,a4,a5的平均数为2×(- 2)+1=- 3.∴学生乙成绩的中位数为84.(2)派甲参加比拟适宜,理由如下 :甲(70×2+ 80×4+ 90×2+ 9+ 8+ 8+ 4+ 2+ 1+ 5+ 3)= 85,乙(70×1+ 80×4+ 90×3+ 5+ 3+ 5+ 2+ 5)=85,甲[(78 -85)2+ (79- 85)2+ (81-85)2+ (82-85)2+ (84-85)2+ (88-85)2+ (95-85)2 + (93-85) 2]= 35.5,乙[(75 -85)2+ (80- 85)2+ (80-85)2+ (83-85)2+ (85-85)2+ (90-85)2+ (92-85)2 + (95-85) 2]= 41,因为甲乙甲乙 ,∴甲的成绩比拟稳定 ,派甲参加比拟适宜 .17.D根据走势图可知,这半年中,网民对该关键词相关的信息关注度不呈周期性变化,A 错;这半年中 ,网民对该关键词相关的信息关注度增减不确定,B 错 ;从网民对该关键词的搜索指数来看,去年 10 月份的搜索指数的稳定性小于11 月份的搜索指数的稳定性,所以去年 10 月份的方差大于11 月份的方差,C 错 ;从网民对该关键词的搜索指数来看,去年 12 月份的平均值大于今年 1 月份的平均值 ,D 正确 .应选 D.18.解(1)因为甲班的平均值为44,所以甲(26+ 32+ 42+ 40+x+ 45+ 46+ 48+ 50+ 52+ 53)= 44,解得 x=6.同理 ,因为乙班平均值为44,所以乙(26+ 34+ 30+y+ 41+ 42+ 46+ 50+ 52+ 57+ 58)= 44,解得 y=4.(2)①因为抽样比为,且抽取的20 名成员中行走步数在 [20,30),[30,40),[40,50),[50,60) 各层的人数依次为2,3,8,7,所以甲、乙两个班级100 名成员中行走步数在 [20,30),[30,40),[40,50),[50,60) 各层的人数依次为10,15,40,35.②该团队中一天行走步数少于40 千步的频率为,处于 [40,50) 千步的频率为,那么估计该团队中一天行走步数少于40 千步的人数与处于 [40,50) 千步的人数的频率之差为又因为该团队中一天行走步数少于40 千步的人数比处于 [40,50) 千步的人数少 12 人 ,所以 n= 12,解得 n= 80.。
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课时53简单的线性规划
模拟训练（分值：60分 建议用 时：30分钟）
1. （2020 •浙江衢州质量检测,5分）不等式（x — 2y + 1）（ x + y — 3） < 0在坐标平面内表示 【答案】C
【解析】S+F — 3UQ
fjr- 1WQ 』
应十厂3 wo i 卄尹fa
结合图形可知选：
2. （ 2020 •北京崇文一模,5分）6. （2020年山东潍坊一模）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每 吨甲产品要用 A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用 A 原料1吨、B 原料3吨•销售每吨甲产品可 获得利润1万元，每吨乙产品可获得利润
3万元，该 企业在某个生产周期内甲
产品至少生产1吨，乙产品
至少生产2吨，消耗A 原料不超过13吨，消耗B 原料不超过18吨，那么该企业在这个生产周期内获得最 大利润时甲产品的产量应是 （
）
A. 1吨
B . 2吨
11
C. 3吨
D.—吨
3
【答案】A
【解析】设该企业在这个生产周期内生产 x 吨甲产品，生产 y 吨乙产品，x 、y 满足的条件为
3x + y w 13, 2x + 3y w 18,
x > 1,
所获得的利润z = x + 3y ,作出如图所示的可行域:
16
A （1 , 3）时所获利润最大，此时甲产品的产
作直线I 。
： x + 3y = 0,平移直线I 。
，显然，当直线经过点 的区域（用阴影部分表示
量为1吨.
x —y+ 5>0
3. (2020 •宁波二模,5分)不等式组y > a
0W x<3
表示的平面区域是一个二角形，则a的范围是
A. a<5 C. 5w a v 8 B . a>8
D . a v 5 或a>8
【答案】C
阖斤】如朋示的交助（心
的交点为〔3£儿衣&
x —K 0,
4. ( 2020 •金华模拟,5分)2.已知点P(x, y)满足2x+ 3y —5<0,
4x+ 3y —1 > 0,
2
点Qx, y)在圆(x + 2) +
（y+ 2）2= 1上，则| PQ的最大值与最小值为（）
A. 6,3
C. 5,3
【答案】B
【解析】可行域如图阴影部分，设|PQ = d,则由图中圆心q —2, —2）到直线4x + 3y— 1 = 0的距离最小，则到点A距离最大.
2x+ 3y —5= 0,
由4x+ 3y —1= 0,得风—2'3).
二d max= | CA + 1 = 5+ 1 = 6 ,
y + 2x <4
的最大值的变化范围是（
）
B. [7,15] D. [7,8]
【答案】D
【解析】当40总时约朿荼件表示的区域为> + 2-=-与工轴2轴在第一象限團成的三角形区域,
当3^s<4 atj 直线x=3x+ 2J ri y+ x — S 与F 十2工=电的交点.时最大，此时亍=4 £取最小值.
x + 2y — 3< 0,
6. （2020 •深圳调研,5分）知变量x , y 满足约束条件 x + 3y — 3>0, 若目标函数z = ax +y （其
y — 1 < 0.
中a > 0）仅在点（3,0）处取得最大值，则 a 的取值范围为 ___________ .
1 【答案】a >2
7.（2020 •浙江宁波
“十校联考” ，5分）已知点（x , y ）在如图所示平面区域内运动
（包含边界），
目
标函数z = kx — y .当且仅当x = |, y = ?时，目标函数z 取最小值，则实数 k 的取值范围是 ______________ .
d min = | — 8 — 6- 1|
_5_
1 = 2.
5.（ 2020 •泸州二诊,5分）在约束条件
y > 0, y
+ x < s ,
下，当3W s <5时，目标函数z = 3x + 2y
A. [6,15] C. [6,8] 二直线左=3卄2尸过5,4〉点P 寸裁晨大…■虫
S'
>4-jr=3 Lr+2^=4
1 1
要使仅在点（3,0）处取最大值，则—a v — 2，二a >
12 3
【答案】-了，-诃
[鯉析】+池^_=[_訥养—和
厂0
【解析】由x + y 有最大值可知n >0,画出可行域如图. 目标函数z = x + y ，即y = — x + z .
3m^ 1 5 3m+1
作出直线y = — x ，平移得A (2m —1, 2m —1)为最优解，所以当x = 2m —1, 亦
3m^ 1 5 ”口
9
，即 2m r l + 2m r 1= 9，解得作 1.
9. (2020 •上海黄浦区二模,10分)某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划 搭载新产品 A 、B,要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排, 通过调查，有关数据如表：
&( 2020 •上海徐汇月考诊断
值为9，则实数m ^ ___________
,5分
)
若实数x , y 满足不等式组
x + 3y — 3> 0,
2x — y — 3<0,
且x +y 的最大
x — m 什 1 > 0,
5
y = 2m-i 时，x + y 取最大值
产品A 件）
产品B （件）
研制成本与塔载 费用之和（万元/件） 20
30
计划最大资
金额300万元 产品重量（千克/件） 10 5
最大拾载
重量110千克
预计收益（万元/件）
80
60
试问少?
【解析】谩搭戟产品丿龙件‘产品目胡牛， 预计总耳文益君
则TQ 卄5pW114 作出可彳刃虬如團,
严EH 』
解得鼻値曲.
所臥孟—80X9 + 60X4二鋪0（万元）・
答：搭载产£-4 9件，产品恥件a 可使得总预计收益最大，为960万元.
x >0
10. （2020 •吉林模拟,5分）若a >0, b >0,且当 y >0
时，恒有ax + by w 1,求以a , b 为坐
x + y wi
标的点P （a , b ）所形成的平面区域的面积.
作出直线h ： 4*知=0并平移'由图象亀 当直线经过“点时三能取得最大直
|2j+3y=30
L?JT 十
w=22
x >0
【解析】作出线性约束条件 y >0
，对应的 可行域如图所示，在此条件下，要使
ax + by wi 恒
x + y wi
成立，只要ax + by 的最大值不超过1即可.
令石=好十by f 刚尸—上黑十
D D
因为3^0；启
则—时F 且1
b
或-:W- 1时…
此时对应的可行1敕口團j
所以以和&为坐标的h £所形成的面积为L
(分值：10分 建议用时：10分钟) 对于使f (x ) < M 恒成立的所有常数
* x > 1,
12. (5分)已知x , y € Z , n € N ,设f (n )是不等式组
表示的平面区域内可行解的个
0< y w — x + n 数，由此可推出 f (1) = 1 , f (2) = 3,…，贝U f (10)=(
)
A. 45 B . 55 C . 60 D . 100
【答案】B
【解析】 由可行域解的个数罗列可知 f (1) = 1, f (2) = 1 + 2, f (3) = 1 + 2+ 3,…，f (10) = 1 + 2 + 3
+ …+ 10 = 55.
［新题训练］
M 中，我们把 M 的最小值叫做f (x )的上确界.若a >0,
b >0 且 a + b = 1, 1 2
则-2T b 的上确界为
9 A .2 C.
【答案】 【解析】
2a b
- 2
=-(a
+ b) 2a + b =
b 2a 1 2+ 2+ 2a + b — 2 + 2+2。