高考数学 极限单元测试卷

极限单元测试卷(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下面四个命题中，不正确．．．的是( ) A ．若函数f (x )在x ＝x 0处连续，则lim x →x ＋0f (x )＝lim x →x －0f (x )B ．函数f (x )＝x ＋2x 2－4的不连续点是x ＝2和x ＝－2C ．若函数f (x )、g (x )满足lim x →∞[f (x )－g (x )]＝0，则lim x →∞f (x )＝lim x →∞g (x ) D.lim x →1x －1x －1＝12答案：C 解析：A 中由连续的定义知函数f (x )在x ＝x 0处连续，一定有lim n →x ＋0f (x )＝lim x →x －0f (x )，且还满足lim x →x ＋0f (x )＝lim x →x －0f (x )＝f (x 0)，故A 对．B 中函数f (x )＝x ＋2x 2－4在x ＝2和x ＝－2无定义，故不连续，B 对．C 中只有lim x →∞f (x )，lim x →∞g (x )存在时，才有lim x →∞f (x )＝lim x →∞g (x )，否则不成立． D 中lim x →1x －1x －1＝lim x →1 1x ＋1＝12，故D 对．故选C. 2．下列命题中：①如果f (x )＝13x ，那么lim x →∞f (x )＝0 ②如果f (x )＝1x，那么lim x →∞f (x )＝0 ③如果f (x )＝x 2＋3xx ＋3，那么lim x →－3f (x )不存在 ④如果f (x )＝⎩⎨⎧x (x ≥0)x ＋2 (x <0)，那么lim x →0f (x )＝0 其中错误命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：D解析：②中x →－∞时无意义； ③中lim x →－3f (x )＝lim x →－3x ＝－3； ④中左、右极限不相等．故选D.3．(2009·阳泉模拟)lim n →∞ 1＋2＋3＋…＋nn 2等于( ) A ．2 B ．1 C.12D ．0答案：C解析：lim n →∞ 1＋2＋3＋…＋n n 2＝lim n →∞ n ＋12n ＝lim n →∞ 1＋1n 2＝12.故选C. 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3x －1 (x >1)ax ＋1 (x ≤1)在点x ＝1处连续，则a 的值是( )A ．2B ．－2C ．3D ．－4 答案：C解析：∵lim x →1＋f (x )＝lim x →1＋ x 2＋2x －3x －1＝lim x →1＋(x ＋3)＝4， 又lim x →1－f (x )＝lim x →1－ (ax ＋1)＝a ＋1，f (1)＝a ＋1. ∴要使f (x )在x ＝1处连续， 需lim x →1＋f (x )＝lim x →1－f (x )＝f (1)． 即a ＋1＝4，∴a ＝3.故选C.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1 (x ≤0)ax ＋b (x >0)在x ＝0处连续且可导，则a 、b 的值依次为( )A ．1,1B ．2,1C ．1,2D ．2,2答案：B解析：由连续性知b ＝1；由可导性知a ＝2.选B.6．(2009·天津六县区联考)lim n →∞ C 02n ＋C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2n2n1－4n等于( ) A ．－1 B ．－12C ．－14D ．0答案：B解析：∵C 02n ＋C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2n 2n＝12×22n ＝12×4n ， ∴lim n →∞ C 02n ＋C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2n2n 1－4n ＝lim n →∞12×4n 1－4n＝lim n →∞ 12(14)n －1＝－12.故选B. 7．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )A.13n ＋2B.13n ＋13n ＋1C.13n ＋1＋13n ＋2D.13n ＋13n ＋1＋13n ＋2答案：D解析：∵f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1∴f (n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n －1＋13n ＋13n ＋1＋13n ＋2∴f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋13n ＋1＋13n ＋2.故选D.8.lim n →∞ (1n ＋1－2n ＋1＋3n ＋1－…＋2n －1n ＋1－2n n ＋1)的值为( ) A ．－1 B ．0C.12D ．1答案：A解析：原式＝lim n →∞(－1)×nn ＋1＝－1.故选A. 9．设正数a ，b 满足lim x →2 (x 2＋ax －b )＝4，则lim n →∞ a n ＋1＋ab n －1a n －1＋2b n等于( ) A ．0 B.14C.12D ．1 答案：B解析：由lim x →2(x 2＋ax －b )＝4，即22＋2a －b ＝4，得2a ＝b ，∴lim n →∞ a n ＋1＋a ·b n －1a n －1＋2·b n＝lim n →∞a n ＋1＋2n －1·a na n －1＋2n ＋1·a n＝lim n →∞ 12n ＋1＋14·1a 12n ＋1·1a 2＋1a ＝14.故选B. 10．数列{a n }中a 1＝2，且a n ＝12(a n －1＋3a n －1)(n ≥2)，若lim n →∞a n 存在，则lim n →∞a n 等于( ) A. 3 B ．－ 3 C ．±3 D. 6答案：A解析：∵a 1＝2，a n ＝12(a n －1＋3a n －1)，则a n >0，∴lim n →∞a n ≥0，又lim n →∞a n ＝lim n →∞a n －1∴lim n →∞a n ＝12(lim n →∞a n －1＋3lim n →∞a n －1)， 解得：lim n →∞a n ＝ 3. 11．若(1＋5x 2)n 的展开式中各项系数之和是a n ，(2x 3＋5)n 的展开式中各项的二项式系数之和为b n ，则lim n →∞ a n －2b n3a n ＋4b n的值为( ) A ．－23 B ．－12C.12D.13 答案：D解析：令x ＝1，得各项系数之和为a n ＝6n ，(2x 3＋5)n 的展开式中各项的二项式系数之和为b n ＝2n ，∴lim n →∞a n －2b n 3a n ＋4b n ＝lim n →∞ 6n－2×2n3×6n ＋4×2n ＝lim n →∞ 1－2×(13)n3＋4×(13)n ＝13. 12．数列{a n }中，有lim n →∞[(5n ＋2)a n ]＝2，并有lim n →∞a n 存在，则lim n →∞ (na n )的值为( ) A ．0B ．2C.25D ．不存在答案：C解析：因为lim n →∞a n 存在，可设lim n →∞a n ＝a ， 又有lim n →∞[(5n ＋2)a n ]＝2，且lim n →∞ 1n＝0， ∴lim n →∞ 1n(5n ＋2)a n ＝0×2＝0. 又lim n →∞ 1n (5n ＋2)a n ＝lim n →∞ (5a n＋2a nn) ＝5lim n →∞a n＋2lim n →∞ a nn ＝5a ＋0＝0， ∴a ＝lim n →∞a n ＝0. ∴lim n →∞[(5n ＋2)a n ]＝lim n →∞ (5na n ＋2a n ) ＝lim n →∞5na n ＋lim n →∞2a n ＝5lim n →∞na n ＋0＝2. ∴lim n →∞ (na n)＝25. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在数列{a n }中，a 1＝9，且对任意大于1的正整数n ，点(a n ，a n －1)在直线x －y －3＝0上，则lim n →∞ a n(n ＋1)2＝________. 答案：9解析：由题意，得a n －a n －1＝3，∴{a n }是等差数列． ∴a n ＝a 1＋(n －1)×3＝3n . ∴a n ＝9n 2.∴lim n →∞a n (n ＋1)2＝lim n →∞ 9n 2(n ＋1)2＝lim n →∞ 9(1＋1n )2＝9.14.lim x →π (x －π)cos xx －π＝________.答案：－2π 解析：lim x →π(x －π)cos xx －π＝lim x →π (x ＋π)cos x ＝(x ＋π)cos π＝－2π. 15.如右图，连结△ABC 的各边中点得到一个新的△A 1B 1C 1，又连结△A 1B 1C 1的各边中点得到△A 2B 2C 2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC 、△A 1B 1C 1、△A 2B 2C 2、…，这一系列三角形趋向于一个点M ，已知A (0,0)，B (3,0)，C (2,2)，则点M 的坐标是 .答案：(53，23)解析：由条件结合图象可知，三角形的顶点都在△ABC 的三条中线上，由极限知识知M点的坐标是△ABC 的重心，∴(53，23)即为所求．16．将杨辉三角中的每一个数C r n 都换成分数1(n ＋1)C r n，就得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．从莱布尼茨三角形可看出1(n ＋1)C r n ＋1(n ＋1)C x n ＝1nC r n －1，其中x ＝________.令a n ＝13＋112＋130＋160＋…＋1nC 2n －1＋1(n ＋1)C 2n，则lim n →∞a n ＝________. 11 12 12 13 16 13 14 112 112 14 15 120 130 120 15 16 130 160 160 130 16 17 142 1105 1140 1105 142 17答案：r ＋1，12解析：令n ＝3，14C r 3＋14C x 3＝13C r 2.当r ＝1时，14×3＋14C x 3＝13×2，14C x 3＝16－112＝112，∴C x 3＝3.∴x ＝1,2.当r ＝2时，14C 23＋14C x 3＝13.∴14C x 3＝13－112＝312＝14. ∴C x 3＝1.∴x ＝3.归纳x ＝r ＋1. 利用裂项求和求极限求出lim x →∞a n 的值． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)已知f (x )＝a ·b x (a 、b 为常数)的图象经过点P (1，18)和Q (4,8)．(1)求f (x )的解析式；(2)记a n ＝log 2f (n )，n ∈N *，S n 是数列{a n }的前n 项和，求lim n →∞ S n3n 2＋1. 解：(1)∵f (x )的图象经过点P (1，18)和Q (4,8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝18，ab 4＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，b ＝4.∴f (x )＝132×4x ＝4x －52＝22x －5.(2)a n ＝log 2f (n )＝log 222n －5＝2n －5. ∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－5－(2n －5)＝2， ∴{a n }是以－3为首项，公差为2的等差数列． ∴S n ＝n (－3＋2n －5)2＝n 2－4n .∴lim n →∞ S n3n 2＋1＝lim n →∞n 2－4n 3n 2＋1＝13. 18．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ＝S n n (2n －1)且a 1＝13.(1)求a 2、a 3；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法加以证明； (3)求lim n →∞S n . 解：(1)由a 2＝13＋a 22×3，得a 2＝13×5，由a 1＝11×3，a 2＝13×5，得a 3＝13＋13×5＋a 33×5，得a 3＝15×7.(2)猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1).证明：①当n ＝1时，显然成立．②假设n ＝k 时，猜想成立，即a k ＝1(2k －1)(2k ＋1)，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1(k ＋1)(2k ＋1)，得S k ＋1＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1，同时S k ＝k (2k －1)a k ＝k2k ＋1.两式相减，得a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1－k 2k ＋1，即k (2k ＋3)a k ＋1＝k2k ＋1.∴a k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋3)，即n ＝k ＋1时，猜想成立．综上，a n ＝1(2n －1)(2n ＋1)(3)lim n →∞S n＝lim n →∞[11×3＋13×5＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)] ＝lim n →∞ 12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1) ＝lim n →∞ 12(1－12n ＋1)＝12. 19．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，且有lim n →∞ (a 12＋q －q n)＝14，求首项a 1的取值范围．解：∵lim n →∞ (a 12＋q －q n)＝14， ∴0<|q |<1或q ＝1.当0<|q |<1时，即有0<|4a 1－2|<1.解之，得14<a 1<34，a 1≠12；当q ＝1时，lim n →∞ (a 13－1)＝14， 即a 13－1＝14，得a 1＝154. 故a 1的取值范围为14<a 1<34且a 1≠12或a 1＝154.20．(本小题满分12分)在边长为l 的等边△ABC 中 ，⊙O 1为△ABC 的内切圆，⊙O 2与⊙O 1外切，且与AB 、BC 相切，…，⊙O n ＋1与⊙O n 外切，且与AB 、BC 相切，如此无限继续下去，记⊙O n 的面积为a n (n ∈N *)．(1)证明{an }是等比数列； (2)求lim n →∞(a 1+a 2+…+an )的值． (1)证明：记r n 为⊙O n 的半径，则r 1＝l 2·tan30°＝36l ，r n －1－r n r n －1＋r n＝sin30°＝12，∴r n ＝13r n －1(n ≥2)．于是a 1＝πr 21＝πl 212，a n a n －1＝(r n r n －1)2＝19，故{a n }成等比数列． (2)解：∵a n ＝(19)n －1a 1，∴lim n →∞ (a 1＋a 2＋…＋a n )＝a 11－19＝3πl 232. 21．(本小题满分12分)已知公比为q (0<q <1)的无穷等比数列{a n }各项的和为9，无穷等比数列{a 2n }各项的和为815. (1)求数列{a n }的首项a 1和公比q ；(2)对给定的k (k ＝1,2，…，n )，设T (k )是首项为a k ，公差为2a k －1的等差数列，求数列T (2)的前10项之和；(3)设b i 为数列T (i )的第i 项，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求S n ，并求正整数m (m >1)，使得lim n →∞ S nn m存在且不等于零． (注：无穷等比数列各项的和即当n →∞时该无穷等比数列前n 项和的极限)解：(1)依题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧a 11－q＝9a 211－q 2＝815⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝23.(2)由(1)，知a n ＝3×(23)n －1，所以数列T (2)的首项为t 1＝a 2＝2，公差d ＝2a 2－1＝3，S 10＝10×2＋12×10×9×3＝155，即数列T (2)的前10项之和为155， (3)b i ＝a i ＋(i －1)(2a i －1) ＝(2i －1)a i －(i －1)＝3(2i －1)(23)i －1－(i －1)S n ＝45－(18n ＋45)(23)n －n (n －1)2，lim n →∞S n n m ＝lim n →∞ (45n m －18n ＋45n m (23)n －n (n －1)2n m)． 当m ＝2时，lim n →∞ S n n m ＝－12， 当m >2时，lim n →∞ S nn m ＝0，所以m ＝2. 22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的首项a 1＝5，前n 项和为S n ，且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5(n ∈N *)．(1)证明数列{a n ＋1}是等比数列；(2)令f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，求函数f (x )在点x ＝1处的导数f ′(1)，并比较2f ′(1)与23n 2－13n 的大小．(1)证明：由已知S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，∴n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ＋4.两式相减，得S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即a n ＋1＝2a n ＋1. 从而a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)． 当n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5， ∴a 1＋a 2＝2a 1＋6. 又a 1＝5，∴a 2＝11. 从而a 2＋1＝2(a 1＋1)．故总有a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，n ∈N *. 又∵a 1＝5，∴a n ＋1≠0. 从而a n ＋1＋1a n ＋1＝2，即{a n ＋1}是以a 1＋1＝6为首项，2为公比的等比数列． (2)解：由(1)知a n ＝3×2n －1. ∵f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ， ∴f ′(x )＝a 1＋2a 2x ＋…＋na n x n －1， 从而f ′(1)＝a 1＋2a 2＋…＋na n＝(3×2－1)＋2(3×22－1)＋…＋n (3×2n －1) ＝3(2＋2×22＋…＋n ×2n )－(1＋2＋…＋n ) ＝3[n ×2n ＋1－(2＋…＋2n )]－n (n ＋1)2＝3(n ×2n ＋1－2n ＋1＋2)－n (n ＋1)2＝3(n －1)·2n ＋1－n (n ＋1)2＋6.由上，知2f ′(1)－(23n 2－13n ) ＝12(n －1)·2n －12(2n 2－n －1) ＝12(n －1)·2n －12(n －1)(2n ＋1) ＝12(n －1)[2n －(2n ＋1)]．(*) 当n ＝1时，(*)式＝0， ∴2f ′(1)＝23n 2－13n ； 当n ＝2时，(*)式＝－12<0， ∴2f ′(1)<23n 2－13n ； 当n ≥3时，n －1>0，又2n ＝(1＋1)n ＝C 0n ＋C 1n ＋…＋C n －1n ＋C n n ≥2n ＋2>2n ＋1，∴(n －1)[2n －(2n ＋1)]>0，即(*)>0，从而2f ′(1)>23n 2－13n . 〔或用数学归纳法：n ≥3时，猜想2f ′(1)>23n 2－13n . 由于n －1>0，只要证明2n >2n ＋1.事实上， ①当n ＝3时，23>2×3＋1.不等式成立． ②设n ＝k 时(k ≥3)，有2k >2k ＋1， 则2k ＋1>2(2k ＋1)＝4k ＋2 ＝2(k ＋1)＋1＋(2k －1)． ∵k ≥3，∴2k －1<0.从而，2k ＋1>2(k ＋1)＋1＋(2k －1)>2(k ＋1)＋1，即n ＝k ＋1时，亦有2n >2n ＋1. 综合①②，知2n >2n ＋1对n ≥3，n ∈N *都成立．∴n ≥3时，有2f ′(1)>23n 2－13n .〕 综上，n ＝1时，2f ′(1)＝23n 2－13n ； n ＝2时，2f ′(1)<23n 2－13n ； n ≥3时，2f ′(1)>23n 2－13n .。