高考数学专题三 数列与极限
专题三数列与极限
【考点聚焦】
考点1：数列的有关概念，简单的递推公式给出的数列；
考点2：等差、等比数列的概念，等差、等比数列的通项公式，前n项和公式，并运用它们解决一些问题；
考点3：数列极限的意义，极限的四则运算，公比的绝对值小于1的无穷等比数列的前n 项和的极限；
考点4：数学归纳法
【自我检测】
1、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做数列。
3、无穷等比数列公比｜q|＜1，则各项和S＝＿＿＿＿＿＿。
4、求数列前n项和的方法：（1）直接法；（2）倒序相加法；（3）错位相减法；（4）
分组转化法；（5）裂项相消法.
【重点?难点?热点】
问题1：等差、等比数列的综合问题
“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果
例1：设等比数列{a n}的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lg a n}的前多少项和最大？(取lg2=03,lg3=04)
思路分析突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列S n是n的二次函数，也可由函数解析式求最值
解法一 设公比为q ,项数为2m ,m ∈N *,依题意有
???
?
?+=?--?=--?)(9)()(1)1(1)1(312131122121q a q a q a q a q q q a q q a m m ，化简得?????==?????+==+10831 , ),1(9114121
a q q q a q q 解得 设数列{lg a n }前n 项和为S n ,则
S n =lg a 1+lg （a 1q 2）+…+lg （a 1q n －1）=lg （a 1n ·q 1+2+…+(n －
1)）
=n lg a 1+
21n (n －1)·lg q =n (2lg2+lg3)－21
n (n －1)lg3 =(－23lg )·n 2+(2lg2+2
7lg3)·n
可见，当n =3lg 3lg 272lg 2+时，S n 最大 而4
.024.073.043lg 3
lg 272lg 2??+?=
+=5, 故{lg a n }的前5项和最大
解法二 接前，3
1,1081=
=q a ,于是lg a n =lg ［108(31)n －1］=lg108+(n －1)lg 31,
∴数列{lg a n }是以lg108为首项，以lg
3
1
为公差的等差数列， 令lg a n ≥0,得2lg2－(n －4)lg3≥0，
∴n ≤4
.04
.043.023lg 3lg 42lg 2?+?=+=5 5
由于n ∈N *,可见数列{lg a n }的前5项和最大
点评 本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力
演变1 等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它前3m 项的和为_______
点拨与提示：本题可以回到数列的基本量，列出关于d 1和a 的方程组，然后求解；或运用等差数列的性质求解. 问题2：函数与数列的综合题
数列是一特殊的函数，其定义域为正整数集，且是自变量从小到大变化时函数值的序列。注意深刻理解函数性质对数列的影响，分析题目特征，探寻解题切入点.
例2：已知函数f (x )=
4
12
-x (x <－2)
(1) 求f (x )的反函数f -－
1(x )； (2) 设a 1=1,
1
1+n a =－f
－-1
(a n )(n ∈N *),求a n ;
(3)设S n =a 12+a 22+…+a n 2,b n =S n +1－S n 是否存在最小正整数m ,使得对任意n ∈N *,有
b n <
25
m
成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由 思路分析 (2)问由式子
4112
1
+=
+n
n a a 得
2
2
1
11n
n a a -
+=4,构造等差数列{
2
1n
a },从而
求得a n ,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想
解 (1)设y =
4
12-x ,∵x <－2,∴x =－214y +
,即y =f －-1
(x )=－2
14y + (x >0)
(2)∵
411,1412
2
1
2
1
=-
∴+=++n
n n
n a a a a ，∴{
2
1n
a }是公差为4的等差数列，
∵a 1=1,
2
1
n
a =
2
1
1a +4(n －1)=4n －3,∵a n >0,∴a n
(3)b n =S n +1－S n =a n +12=
141+n ,由b n <25m ,得m >1
425
+n ,
设g (n )= 1425+n ,∵g (n )= 1
425
+n 在n ∈N *上是减函数，
∴g (n )的最大值是g (1)=5,
∴m >5,存在最小正整数m =6,使对任意n ∈N *有b n <25
m
成立
点评 本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题 着重考查学生的逻辑分析能力 本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，(2)问以
数列{
2
1n
a }为桥梁求a n ,不易突破
演变2：设x
x f +=
12
)(1，定义2)0(1)0()],([)(11+-==+n n n n n f f a x f f x f ，其中n ∈N*.
（1）求数列｛a n ｝的通项公式； （2）若,23223212n n
na a a a T ++++= ,
144422+++=n n n
n Q n ，其中n ∈N*，试比较9n
T 2与n Q 大小，并说明理由.
点拨与提示：（1）找出数列｛a n ｝的递推关第，进而判断数列的类型；（2）根据特征，找出求和的匹配方法。 问题3：数列与解析几何。
数列与解析几何综合题，是今后高考命题的重点内容之一，求解时要充分利用数列、解析几何的概念、性质，并结合图形求解. 例3．在直角坐标平面上有一点列 ),(,),(),,(222111n n n y x P y x P y x P ，对一切正整数
n ，点n P 位于函数4133+
=x y 的图象上，且n P 的横坐标构成以2
5
-为首项，1-为公差的等差数列{}n x .
⑴求点n P 的坐标；
⑵设抛物线列 ,,,,,321n c c c c 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴，第n 条抛物线
n c 的顶点为n P ，且过点)1,0(2+n D n ，记与抛物线n c 相切于n D 的直线的斜率为n k ，求：
n
n k k k k k k 13221111-+++ . 解：（1）23
)1()1(25--=-?-+-=n n x n
13535
33,(,3)4424
n n n y x n P n n ∴=?+=--∴----
（2）n c 的对称轴垂直于x 轴，且顶点为n P .∴设n c 的方程为：
,45
12)232(2+-++=n n x a y
把)1,0(2+n D n 代入上式，得1=a ，n c ∴的方程为：1)32(2
2++++=n x n x y 。
32|0'+===n y k x n ，)3
21
121(21)32)(12(111+-+=++=∴-n n n n k k n n
n n k k k k k k 13221111-+++∴ )]321121()9171()7151[(21+-+++-+-=n n =6
41101)32151(21+-
=+-n n 点评：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大。（1）、（2）两问运用几何知识算出n k .
演变3．已知抛物线2
4x y =，过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点1P ，又过点1P 作斜率为
12的直线交抛物线于点2P ，再过2P 作斜率为1
4
的直线交抛物线于点3P ，，如此继续，一般地，过点n P 作斜率为1
2
n 的直线交抛物线于点1n P +，设点
(,)n n n P x y ．
（Ⅰ）令2121n n n b x x +-=-，求证：数列{}n b 是等比数列． （Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，试比较314n S +与
1
310
n +的大小．
点拨与提示：（1）由抛物线的方程和斜率公式得到
221121111
422
n n n n n n n n x x x x x x ++-+-=?+=-，从而求出{}n b 的通项公式；
（2）用数学归纳法证明.
问题4、数列与不等式
数列与不等式相联系的综合题也是常考题型，要注意把数列的逆推性与不等式问题的思考方法结合起来，联系分析，寻求解题思路. 例4：已知数列｛a n ｝满足2
5
1=
a ，n n n a a a 221+=+
（1）求证：2＜a n <3；（2）求证：)2(4
121-<-+n n a a ；
（3）lim
n →∞ n a . 思路分析：（1）从n
n n a a a 221+=+递推式看，应该从数列归纳法入手；（2）可用证不等式的放缩法来求解. （1）①当n=1时，2
5
1=
a ，2＜a 1 <3； ②设n=k 时，2＜a k <3，那么n=k+1时，02)2(22
1>-=
-+k
k k a a a 即a k+1>2，又2＜a k <3，所以0＜a k －2＜1,0＜(a k －2)2＜1，而2a k ＞4， 故a k+1-2<1，即a k+1<3， 由①②知2＜a n <3
（2）由（1）知0＜a n －2＜1，2a n ＞4，∴)2(4
1
222)2(221-<-<-=
-+n n n n n n a a a a a a （3）∵02
21<-=
-+n n n n a a a a ，∴lim
n →∞ n a ＝x, )2
2(
lim lim 1n
n n n n a a a +=∞
→+∞
→ 则x=
x x 22+，又x>0，∴ x=2，即lim
n →∞ n a ＝2n n n n a a lim lim 1∞
→+∞→=. 点评：解决数列中的不等式问题，通常考虑用不等式的有关证明方法。（3）中应该注意到，若数列｛a n ｝的极限存在，则n n n n a a lim lim
1∞
→+∞
→=
演变4：已知函数)1(1
3
)(-≠++=
x x x x f ．设数列}{n a 满足11=a ，)(1n n a f a =+，数列}{n b 满足|3|-=n n a b ，++=21b b S n …)(*N n b n ∈+，
(Ⅰ)用数学归纳法证明12)13(--≤n n n b ；(Ⅱ)证明 3
3
2- 考查运用数学归纳法解决有关问题的能力. 专题小结 1、“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果 2、归纳——猜想——证明体现由具体到抽象，由特殊到一般，由有限到无限的辩证思想．学习这部分知识，对培养学生的逻辑思维能力，计算能力，熟悉归纳、演绎的论证方法，提高分析、综合、抽象、概括等思维能力，都有重大意义． 3、解答数列与函数的综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题． 4、数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分，先利用解析几何的知识以及数形结合得到数列的通项公式，然后再利用数列知识和方法求解． 【临阵磨枪】 一．选择题 1．已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是 （ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 2．已知数列{log 2(a n －1)}（n∈N *）为等差数列，且a 1＝3，a 2＝5，则 n n n a a a a a a -+ +-+-+∞ →12312lim 1 11( ）= （ ） A ．2 B ． 2 3 C ．1 D ． 2 1 3．已知数列}{n a 满足)(1 33,0*11N n a a a a n n n ∈+-= =+，则20a = （ ） A ．0 B ．3- C ．3 D ． 2 3 4 等比数列{a n }的首项a 1=－1，前n 项和为S n ,若 3231 510=S S ，则lim ∞ →n S n 等于( ) 3 2 B. 32A.- C 2 D －2 5．已知等差数列}{n a 中，1,16497==+a a a ，则12a 的值是（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 6．lim n →∞2 123n n ++++＝( ) (A) 2 (B) 4 (C) 21 (D)0 7．已知数列{}n x 满足212x x =，)(2 1 21--+=n n n x x x ， ,4,3=n ． 若2lim =∞→n x x ，则=1x A ．2 3 B ．3 C ．4 D ．5 8．用n 个不同的实数n a a a ,,,21 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵.对第i 行in i i a a a ,,,21 ，记 in n i i i i na a a a b )1(32321-++-+-=，!,,3,2,1n i =.例如：用1，2， 3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以， 2412312212621-=?-?+-=+++b b b ，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵 中，12021b b b +++ 等于（ ） A ．—3600 B ．1800 C ．—1080 D ．—720 二、填空题 9 已知a ,b ,a +b 成等差数列，a ,b ,ab 成等比数列，且0 10 等差数列{a n }共有2n +1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_________ 11．设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，则q 的值 为 . 12 设z n =( 2 1i -)n ，(n ∈N *)，记S n =｜z 2－z 1｜+｜z 3－z 2｜+…+｜z n +1－z n ｜，则lim ∞ →n S n =_________ 三、解答题： 13 已知正项数列{}n a ，其前n 项和n S 满足2 1056,n n n S a a =++且1215,,a a a 成等比数 列，求数列{}n a 的通项.n a 14 已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0,由{a n }中的部分项组成的数列 1231231231231231 2 3 a 1 b ,a 2b ,…,a n b ,…为等比数列，其中b 1=1,b 2=5,b 3=17 (1)求数列{b n }的通项公式； (2)记T n =C 1n b 1+C 2n b 2+C 3n b 3+…+C n n b n ,求n n n n b T +∞→4lim 15（ 全国卷I ）设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333 n n n S a += -?+，1,2,3,n = （Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2n n n T S =，1,2,3, n =，证明： 1 3 2n i i T =<∑ 16 设数列{a n }的首项a 1=1，前n 项和S n 满足关系式 3tS n －(2t +3)S n －1=3t (t ＞0,n =2,3,4…) (1)求证 数列{a n }是等比数列； (2)设数列{a n }的公比为f (t )，作数列{b n }，使b 1=1,b n =f (1 1-n b )(n =2,3,4…)，求数列{b n } 的通项b n ； (3)求和 b 1b 2－b 2b 3+b 3b 4－…+b 2n －1b 2n －b 2n b 2n +1 17．已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a 011 1,(4),.2 n n n a a a a n N +== -∈ （1）证明;,21N n a a n n ∈<<+（2）求数列}{n a 的通项公式a n . 18．设点n A (n x ，0)，1 (,2)n n n P x -和抛物线n C ：y ＝x 2＋a n x ＋b n (n ∈N *)，其中a n ＝－2 －4n － 1 1 2 n -，n x 由以下方法得到：x 1＝1，点P 2(x 2，2)在抛物线C 1：y ＝x 2＋a 1x ＋b 1上，点A 1(x 1，0)到P 2的距离是A 1到C 1上点的最短距离，…，点11(,2)n n n P x ++在抛物线n C ：y ＝x 2＋a n x ＋b n 上，点n A (n x ，0)到1n P +的距离是n A 到n C 上点的最短距离． (Ⅰ)求x 2及C 1的方程． (Ⅱ)证明{n x }是等差数列． 参考答案： 1．A 提示：由7916a a +=，得a 8=8，∴817844 d -==-，∴a 12=1+8×7 4=15. 2．C 提示：由题意得：d 2log log log 22 22242++=,求得d=1， 则n n a n =-+=-1)1(1)1(log 2，12,21-==-∴n n n n a a 即， 又由 n n n n n a a 2 1 221111=-=-++ 所以 n n n a a a a a a 212121*********+???++=-+???+-+-+=n n 2112 11) 211(21-=--? 所以.1)2 1 1(lim )111( lim 12312=-=-+???+-+-∞→+∞ →n n n n n a a a a a a 3．B 提示：由a 1=0,).(1 331++∈+-= N n a a a n n n 得a 2=-??????==,0,3,343a a 由此可知：数列{a n }是周期变化的,且三个一循环，所以可得:a 20=a 2=－.3故选B. 4 B 提示 3231510=S S ，而a 1=－1,故q ≠1,∴32 1 3232315510-=-=-S S S , 根据等比数列性质知：S 5，S 10－S 5，S 15－S 10,…,也成等比数列， 且它的公比为q 5,∴q 5=－321,即q =2 1 ∴.321lim 1-=-=∞→q a S n n 答案 B 5．A 提示：由7916a a +=,得a 8=8,∴817844 d -==-,∴a 12=1+8×7 4=15,选(A) 6．C 提示：2 221(1) 11212lim lim lim 22 n n n n n n n n n →∞→∞→∞++++???+===,选(C) 7．B 提示1：特殊值法，当31=x 时，32 63 ,1633,815,49,2365432= ====x x x x x 由此可推测2lim =∞ →n x x ，故选B ． 提示2：∵)(2121--+= n n n x x x ，∴)(2 1 211-----=-n n n n x x x x ， 令n n n x x b -=+1，则11111211)2 1 ()21(2)21)((x x x x q b b n n n n n -=-?-=--==--- +-+-+=)()(23121x x x x x x n …)(1--+n n x x 3)21(32) 2 1(1)21(12 111111x x x x n n ---+=--??????---+ = ∴2323)21(3 21111 lim lim ==???? ??-+=-∞→∞ →x x x x n x n x ，∴31=x ，故选B . 8．C 提示：在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数之和都是360， 1080360536043603360236012021-=?-?+?-?+-=+++b b b 9 (－∞,8) 提示 解出a 、b ,解对数不等式即可 答案 (－∞,8) 10 a 11=29 提示 利用S 奇/S 偶= n n 1 +得解 答案 第11项a 11=29 11．－2 提示：由题意可知q ≠1,∴可得2(1-q n )=(1-q n+1)+(1-q n+2),即q 2+q-2=0,解得q=-2 或q=1(不合题意,舍去),∴q=－2. 12．1+ 22 提示：,)2 2(|)21()21( |||111+++=---=-=n n n n n n i i z z c 设 2 2)22 (12 21])22(1[2121--= - -=+++=∴n n n n c c c S ，221222221lim +=+=-=∴∞→n n S 13 解 ∵10S n =a n 2+5a n +6, ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6,解之得a 1=2或a 1=3. 又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2),② 由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1),即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 , ∴a n －a n －1=5 (n ≥2). 当a 1=3时,a 3=13,a 15=73. a 1, a 3,a 15不成等比数列∴a 1≠3; 当a 1=2时, a 3=12, a 15=72, 有 a 32=a 1a 15 , ∴a 1=2, ∴a n =5n －3. 14 解 (1)由题意知a 52=a 1·a 17，即(a 1+4d )2=a 1(a 1+16d )?a 1d =2d 2, ∵d ≠0,∴a 1=2d ,数列{n b a }的公比q =1 1154a d a a a +==3, ∴n b a =a 1·3n － 1 ① 又n b a =a 1+(b n －1)d = 121 a b n + ② 由①②得a 1·3n －1=2 1+n b ·a 1 ∵a 1=2d ≠0,∴b n =2·3n － 1－1 (2)T n =C 1n b 1+C 2n b 2+…+C n n b n =C 1n (2·30－1)+C 2n ·(2·31 －1)+…+C n n (2·3 n － 1－1) = 32(C 1n +C 2n ·32+…+C n n ·3n )－(C 1n +C 2n +…+C n n ) =32［(1+3)n －1］－(2n －1)= 32·4n －2n +3 1, .3 2)4 1()43(211) 41(31)21(32lim 1324312432lim 4lim 11 =-?++-=-?++-?=+∴-∞→-∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n b T 15 解 （I ）2111412 2333a S a ==-?+ ，解得：12a = ()21111441 22333n n n n n n n a S S a a +++++=-=---()11242n n n n a a ++?+=+ 所以数列{} 2n n a +是公比为4的等比数列 所以： ()11 1224n n n a a -+=+? 得：42n n n a =- （其中n 为正整数） （II ）()()()1114124122 242221213333333n n n n n n n n S a +++=-?+=--?+=-- ()()112323112221212121n n n n n n n n T S ++??==?=?- ? ----?? 所以： 11 1 3113 22 1212n i n i T +=??=?-< ?--??∑ 16 解 (1)由S 1=a 1=1,S 2=1+a 2，得3t (1+a 2)－(2t +3)=3t ∴a 2= t t a a t t 33 2,33212+=+ 又3tS n －(2t +3)S n －1=3t ， ① 3tS n －1－(2t +3)S n －2=3t ② ①－②得3ta n －(2t +3)a n －1=0 ∴ t t a a n n 33 21+=-,n =2,3,4…, 所以{a n }是一个首项为1公比为t t 33 2+的等比数列； (2)由f (t )= t t 332+=t 1 32+,得b n =f (11-n b )=32+b n －1 可见{b n }是一个首项为1，公差为 32的等差数列 于是b n =1+32(n －1)=3 12+n ; (3)由b n =312+n ,可知{b 2n －1}和{b 2n }是首项分别为1和35，公差均为3 4 的等差数列， 于是b 2n = 3 1 4+n , ∴b 1b 2－b 2b 3+b 3b 4－b 4b 5+…+b 2n －1b 2n －b 2n b 2n +1 =b 2(b 1－b 3)+b 4(b 3－b 5)+…+b 2n (b 2n －1－b 2n +1) =－34 (b 2+b 4+…+b 2n )=－34·21n (35+314+n )=－9 4 (2n 2 +3n ) 17．【解】（1）用数学归纳法证明： 1°当n=1时，,2 3 )4(21,10010=-=