高考数学专题三 数列与极限
《高数》数列极限课件PPT
定义与其他概念的关系
极限与连续性的关系
函数的连续性是指在某一点处的极限 值等于该点的函数值，因此，函数的 连续性可以看作是极限的一种特殊情 况。
极限与可导性的关系
极限与积分的关系
积分是研究面积和体积的重要工具， 而积分的计算需要用到极限的概念。
可导性是指函数在某一点处的切线斜 率存在，而这个切线斜率可以通过函 数在该点的极限值来定义。
数列极限与其他数学概念的关系
数列极限与函数极限的关 系
函数极限是数列极限的一个特例，即当自变 量n趋于无穷大时，函数值趋于一个常数， 这个常数就是函数的极限值。函数极限和数 列极限有许多共同的性质和定理，如单侧极 限、连续性等。
数列极限与微积分学
微积分学中的许多概念都与数列极限有关， 如导数、定积分等。通过数列极限，我们可 以更好地理解这些概念的本质和性质。同时 ，微积分学中的许多问题也需要借助数列极
04
数列极限的应用
在数学分析中的应用
极限是数学分析的基本概念之一，数列极限在数学分析中有 着广泛的应用。通过研究数列极限，可以更好地理解函数的 变化趋势、导数和积分的定义和性质等。
数列极限在证明一些数学定理和推导数学公式中也有着重要 的作用。例如，利用数列极限可以证明实数的完备性定理、 级数收敛的判别法等。
数列极限的几何解释
数列极限的几何解释是通过图形直观 地理解数列收敛和发散的概念。在平 面坐标系中，我们可以绘制数列的图 像，通过观察图像的变化趋势来理解 数列的收敛性和发散性。
收敛数列的图像会趋近于一个固定的 点，而发散数列的图像则会远离这个 点。通过比较不同数列的图像，我们 可以更好地理解数列极限的性质和特 点。
闭区间套定理
总结词
闭区间套定理是数列极限存在的一个充分条件，它表明如果一个数列的项构成一个闭区 间套，则该数列收敛。
高中数学数列与数列极限的性质及定理总结
高中数学数列与数列极限的性质及定理总结数列是高中数学中的重要概念之一，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成的。
数列的研究对于理解数学的发展和应用具有重要意义。
本文将总结数列的性质及定理，并通过具体题目的分析，说明其考点和解题技巧，以帮助高中学生和家长更好地理解和应用数列。
一、数列的性质1. 有界性：数列可以是有界的，也可以是无界的。
有界数列是指其所有项都在某个范围内，无界数列则相反。
例如，数列{1, 2, 3, ...}是无界的，而数列{(-1)^n}是有界的，其项的取值范围在-1和1之间。
2. 单调性：数列可以是单调递增的，也可以是单调递减的。
单调递增数列是指其后一项大于或等于前一项，单调递减数列则相反。
例如，数列{1, 2, 3, ...}是单调递增的，而数列{3, 2, 1, ...}是单调递减的。
3. 有界单调性：数列既有界又单调，即既满足有界性，又满足单调性。
例如，数列{(-1)^n/n}既是有界的，其项的取值范围在-1和1之间，又是单调递减的。
二、数列极限的性质及定理1. 数列极限的定义：数列{a_n}的极限是指当n趋向于无穷大时，数列的项a_n趋向于某个常数L。
用数学符号表示为lim(a_n) = L。
例如，数列{1/n}的极限是0，即lim(1/n) = 0。
2. 数列极限的唯一性：如果数列{a_n}的极限存在，那么它是唯一的。
即数列的极限不依赖于数列的前几项，只与数列的性质有关。
例如，数列{(-1)^n/n}的极限是0，无论数列的前几项是多少。
3. 夹逼定理：夹逼定理是数列极限的重要定理之一，它用于求解一些复杂的极限问题。
夹逼定理的核心思想是通过夹逼数列来确定数列的极限。
例如，对于数列{1/n^2}，我们可以通过夹逼定理得出其极限为0。
4. 递推数列的极限：递推数列是指通过前一项或前几项来确定后一项的数列。
递推数列的极限可以通过求解递推关系式来确定。
例如，对于数列{a_n = a_(n-1) +1/n}，我们可以通过求解递推关系式得出其极限为无穷大。
高等数学中的数列与极限
高等数学中的数列与极限引言：数列与极限是高等数学中的重要概念，它们在数学分析、微积分等学科中起着至关重要的作用。
本教案将从数列的定义开始，逐步介绍数列的性质、收敛与发散的判定方法，以及极限的概念及其性质。
通过本教案的学习，学生将能够深入理解数列与极限的概念与性质，为后续的数学学习打下坚实的基础。
一、数列的定义与性质数列是按照一定规律排列的一组数的有序集合。
数列的定义包括了数列的通项公式和数列的项数范围。
数列的性质包括有界性、单调性和有限项和等。
1.1 有界性数列的有界性是指数列的所有项都在某个范围内，即存在上界和下界。
上界是指数列中的所有项都小于等于某个数，下界是指数列中的所有项都大于等于某个数。
有界数列在数学分析中具有重要的性质和应用。
1.2 单调性数列的单调性是指数列的项随着项数的增加而单调递增或单调递减。
单调递增数列是指数列的后一项大于等于前一项，单调递减数列是指数列的后一项小于等于前一项。
单调性是数列性质中的重要概念，对于数列的收敛与发散的判定有着重要的影响。
1.3 有限项和有限项和是指数列中前n项的和，记作S(n)。
对于某些数列，当n趋向于无穷大时，有限项和也会趋向于某个数。
这个数就是数列的极限。
二、收敛与发散的判定方法数列的收敛与发散是数列理论中的重要概念，它们对于理解数列的性质和应用有着重要的作用。
本小节将介绍数列收敛与发散的判定方法。
2.1 收敛数列的定义数列收敛是指数列的项随着项数的增加逐渐趋近于某个数，这个数称为数列的极限。
数列收敛的定义可以用极限的ε-N语言来描述，即对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n大于等于N时，数列的项与极限的差的绝对值小于ε。
2.2 发散数列的定义数列发散是指数列的项随着项数的增加没有趋近于某个数的性质。
发散数列可以分为无穷大和无穷小两类。
2.3 收敛与发散的判定方法判定数列是否收敛或发散的方法有多种。
其中，夹逼定理、单调有界数列的性质以及数列极限的四则运算法则是常用的判定方法。
《高数》数列极限》课件
详细描述
几何级数是每一项都等于前一项乘以一个固 定比例的数列。数列极限的概念用于计算几 何级数的和，帮助我们了解这种数列的增长
趋势和规律。
05
数列极限的扩展知识
无穷级数的概念
要点一
无穷级数定义
无穷级数是无穷多个数按照一定顺序排列的数列，可以表 示为$sum_{n=0}^{infty} a_n$，其中$a_n$是级数的项。
《高数》数列极限》ppt课件
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质与定理 • 数列极限的运算 • 数列极限的应用 • 数列极限的扩展知识
01
数列极限的定义
定义及性质
定义
数列的极限是指当项数n无限增大时 ，数列的项无限趋近的数值。
性质
极限具有唯一性、有界性、局部保序 性等性质。
收敛与发散
收敛
如果数列的极限存在，则称该数列收敛。
单调有界定理
如果数列单调递增且有上界或单调递减且有下界，则 该数列收敛。
反例
举出一些不满足单调有界定理的数列，如无界且无周 期的数列等。
应用
单调有界定理在证明某些数学问题时具有重要应用， 如求函数的极值点等。
柯西收敛准则
柯西收敛准则
数列收敛的充要条件是对于任意 给定的正数$varepsilon$，存在 正整数$N$，使得当$n,m>N$时 ，有$|a_n - a_m|<varepsilon$ 。
幂级数求极限
幂级数求极限的方法
介绍如何利用幂级数的方法求极限，包 括将函数展开为幂级数，并利用幂级数 的性质求极限。
VS
举例说明
通过具体例子演示如何运用幂级数求极限 ，如求lim(x->0) (1+x)^1/x的极限值。
高考高等数学备考指南数列极限计算
高考高等数学备考指南数列极限计算在高考高等数学中，数列极限计算是一个重要且具有一定难度的考点。
掌握好数列极限的计算方法，对于在高考中取得优异的数学成绩至关重要。
本文将为大家详细介绍数列极限计算的相关知识和备考策略。
一、数列极限的基本概念首先，我们需要明确数列极限的定义。
对于数列{aₙ}，如果当 n 无限增大时，aₙ 无限趋近于一个常数 A，那么我们就说数列{aₙ}的极限是 A，记作lim(n→∞） aₙ ＝ A。
理解数列极限的概念是进行计算的基础。
要注意，数列极限反映的是数列的变化趋势，而不是数列的某一项的值。
二、常见数列极限的类型1、常数数列如果数列{aₙ}的每一项都等于常数 C，那么lim(n→∞） aₙ ＝ C。
2、等差数列对于等差数列{aₙ}，其通项公式为 aₙ ＝ a₁＋（n 1)d，当 d ＝ 0 时，数列是常数列，极限为 a₁；当d ≠ 0 时，数列的极限不存在。
3、等比数列对于等比数列{aₙ}，其通项公式为 aₙ ＝ a₁qⁿ⁻¹。
当|q| ＜ 1 时，lim(n→∞） aₙ ＝ 0；当 q ＝ 1 时，数列是常数列，极限为 a₁；当|q| ＞ 1 时，数列的极限不存在。
三、数列极限的计算方法1、利用定义计算直接根据数列极限的定义，通过分析数列的变化趋势来确定极限。
但这种方法往往比较复杂，在实际解题中不常用。
2、利用四则运算法则如果lim(n→∞） aₙ ＝ A，lim(n→∞） bₙ ＝ B，那么：（1）lim(n→∞）（aₙ ± bₙ) ＝ A ± B（2）lim(n→∞）（aₙ × bₙ) ＝ A × B（3）lim(n→∞）（aₙ ／ bₙ) ＝ A ／ B （B ≠ 0）在使用四则运算法则时，要注意先判断极限是否存在。
3、利用重要极限（1）lim(n→∞）（1 ＋1/n)ⁿ ＝ e（2）lim(n→∞）（1 ＋x/n)ⁿ ＝eˣ （x 为常数）这些重要极限在解题中经常会用到，需要牢记。
高三数学高等数学极限部分数列极限PPT课件
xn
(a , a ) 内， 而此区间外至多只有有限
个点即
x1 , x2 ,
, xN 1, xN .
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例 设 | q | 1, 证明: lim qn 0 . n
分析 对于 0, 要使 qn 0 ,
即要使 qn q n , n ln q ln ,
即：n ln , (先设q不为零) 取 0 1, 使得
定义
(数列极限的
N 数量化定义)
设
{
x } 为一数列， n
若存在定数 a,
0, N Z , 使得 n N,
恒有 xn a , 则称 a 为数列
的极限，
{ x } 或称数列
收敛于 a, 并记为
n
{ xn }
lim
n
xn
a,
或记为
xn a，(n ).
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若不存在这样的定数 a,
12
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如
an 1
1 1 2n
1
1 2n
1 10
只要项号 n 满足
n4
要使
an
1
1 2n
1 100
只要项号 n 满足
n7
就有
1 27
1 128
1 100
而要使
an 1
1 2n
1 10000
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( 1)
( N1)
( 2)
( N2)
( 3)
2n 10000 n lg 2 lg10000
ln q
ln 1,
ln q
于是只要取
N
ln
ln | q
高三数学数列极限试题答案及解析
高三数学数列极限试题答案及解析1.已知数列是公差为2的等差数列，是的前n项和，则= ．【答案】【解析】由题意得：，因此【考点】数列极限2.．【答案】【解析】．【考点】数列的极限．3.计算：．【答案】1【解析】这是“”型极限问题，求极限的方法是转化，分子分母同时除以化为一般的极限问题，．【考点】“”型极限.4.已知点列在直线上，P1为直线轴的交点，等差数列的公差为1 。
（1）求、的通项公式；；（2）若，试证数列为等比数列，并求的通项公式。
（3）．【答案】（1）（2）是以2为公比，4为首项的等比数列．（3）1【解析】（1）在直线∵P1为直线l与y轴的交点，∴P1（0，1），又数列的公差为1（2）是以2为公比，4为首项的等比数列．（3）【考点】本题考查了数列的通项及前n项和点评：等差数列的通项公式及应用是数列的重点内容，数列的大题对逻辑推理能力有较高的要求，在数列中突出考查学生的理性思维，这是近几年新课标高考对数列考查的一个亮点，也是一种趋势．随着新课标实施的深入，高考关注的重点为等差、等比数列的通项公式，错位相减法、裂项相消法等求数列的前n项的和等等5.设,,则等于( ).A．B．C．或D．不存在【答案】B【解析】即.6.… =_______________【答案】【解析】,所以.7.数列中，则数列的极限值（）A．等于B．等于C．等于或D．不存在【答案】B【解析】解：因为数列中，，可知数列有规律，那么利用极限概念可知其项的值趋近于1，选B.8.计算．【答案】【解析】略9.数列{an}中，a1=，an+an+1=，则（a1+a2+…+an） = （）A．B．C．D．【答案】B【解析】本题考查数列求和技巧及无穷等比数列各项和知识。
由an+an+1=（a1+a2+…+an） =10.数列的通项公式为，则A．1B．C．1或D．不存在【答案】B【解析】由数列的极限的定义可知，数列的极限与该数列的前有限项的值无关，所以故选择B11.设正数满足，则【答案】【解析】略12.。
高中数学中的数列极限知识点总结
高中数学中的数列极限知识点总结数列是高中数学中的重要概念，而数列的极限是数学分析的核心内容之一。
我们在学习数列时，需要理解和掌握数列极限的相关概念和性质，以提升数学思维和解题能力。
本文将对高中数学中的数列极限知识点进行总结，并提供一些例题进行讲解。
1. 数列与数列极限的基本概念数列是由一列数按照一定规律排列而成的，可以用数学公式表示为 {an}，其中n表示序号，an表示第n项。
对于数列来说，我们常常关注的是数列的极限。
数列极限是指数列在无限项情况下逐渐接近的数值，可以用极限符号lim表示。
当数列的极限存在时，我们可以通过计算极限值来求解相关问题。
2. 数列极限的性质数列极限具有以下性质：(1) 唯一性：数列的极限值唯一，即一个数列只有唯一一个极限值。
(2) 有界性：如果数列有极限，那么它一定是有界的，即数列的项在某一范围内。
(3) 保号性：如果数列的极限值大于0（或小于0），那么数列的部分项也大于0（或小于0），反之亦然。
(4) 夹逼性：如果数列的每一项都被两个趋于相同极限的数列夹逼，那么它们的极限也相同。
3. 数列极限的计算方法在实际运用中，我们常常需要计算数列的极限。
对于一些简单的数列，我们可以通过常用的计算方法求解。
(1) 常数数列的极限等于该数列的常数项。
例如：数列 {an} = {2, 2, 2, ...} 的极限等于2。
(2) 等差数列的极限等于首项（a1）。
例如：数列 {an} = {1, 3, 5, ...} 的极限等于1。
(3) 等比数列的极限在一定条件下存在，存在时等于首项乘以公比（ |r| < 1）。
例如：数列 {an} = {2, 1, 0.5, ...} 的极限等于0。
4. 数列极限的收敛与发散数列极限可以分为收敛和发散两种情况。
(1) 收敛：如果数列的极限存在，我们称数列是收敛的。
(2) 发散：如果数列的极限不存在，我们称数列是发散的。
例如：数列 {an} = {1, -1, 1, -1, ...} 是发散的，因为其极限不存在。
高中数学知识点归纳数列与函数的极限
高中数学知识点归纳数列与函数的极限高中数学知识点归纳：数列与函数的极限数列与函数的极限是高中数学中的重要部分，它们涉及到数学分析和数学推理的重要思想。
本文将对数列和函数的极限理论进行归纳总结，以帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
一、数列的极限数列是由一系列实数按照一定规律排列而成的序列。
在数学中，数列的极限是指随着自变量无限接近某个值时，函数值的变化趋势。
下面将分别介绍数列的极限的两个重要概念。
1.1 数列的收敛对于数列{an}，如果存在实数a，使得对于任意给定的正数ε（无论多么小），都存在一个正整数N，使得当n>N时，满足|an - a| < ε，那么称数列{an}收敛于a，记为lim（n→∞）an = a。
简单来说，数列的极限是指数列中的元素随着序号的增大无限接近一个固定的值。
1.2 数列的发散如果不存在实数a，使得对于任意给定的正数ε，都存在一个正整数N，当n>N时，满足|an - a| < ε，那么称数列{an}发散。
换句话说，发散的数列没有随着序号的增大趋于一个确定的数。
二、函数的极限函数是一种关系：对于给定的自变量值，通过某种规则可以确定唯一的函数值。
函数的极限是指当自变量无线贴近某个值时，函数值的变化趋势。
下面将介绍函数的极限的概念。
2.1 函数在无穷远处的极限对于定义在区间(a, +∞)上的函数f(x)，如果存在实数L，对于任意给定的正数ε，存在实数M，当x>M时，满足|f(x) - L| < ε，那么称函数f(x)在无穷远处的极限为L，记为lim（x→+∞）f(x) = L。
2.2 函数在有限点的极限对于定义在区间(a, b)上的函数f(x)，如果存在实数L，对于任意给定的正数ε，存在一个实数δ，当0 < |x - x0| < δ时，满足|f(x) - L| < ε，那么称函数f(x)在点x0处的极限为L，记为lim（x→x0）f(x) = L。
高中数学中的数列与数列极限递推关系与极限定理的应用技巧
高中数学中的数列与数列极限递推关系与极限定理的应用技巧数列是数学中的一种重要概念，它是按照一定规律排列的数的集合。
而数列极限则是数列的重要性质之一，它描述了当数列中的项趋于无穷时整个数列的性质。
本文将介绍数列与数列极限的概念以及它们在高中数学中的应用技巧。
一、数列与数列极限的概念及性质1. 数列的定义和表示方法数列是按照一定规律排列的数的集合，通常用字母表示。
比如，我们可以用$a_1, a_2, a_3, \ldots$表示一个数列，其中$a_n$表示数列中的第n项。
数列也可以用函数的形式来表示，如$f(n)$表示数列中的第n 项。
2. 数列的递推关系数列中的每一项可以通过前一项或前几项推导得到，这种关系被称为数列的递推关系。
比如，斐波那契数列就是一个典型的递推数列，它的递推关系是$a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$。
3. 数列极限的概念数列极限描述了当数列中的项趋于无穷时，整个数列的性质。
若存在一个常数L，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N 时，$|a_n - L| < ε$成立，则称数列存在极限L，记作$a_n \to L$。
4. 数列极限的性质（1）数列极限存在唯一性：如果数列的极限存在，则极限是唯一的。
（2）数列极限与递推关系的关系：如果一个数列存在极限L，并且数列的递推关系是$a_{n+1} = f(a_n)$，则当n趋于无穷时，$a_{n+1}$也趋于L。
（3）数列极限的保序性：如果数列$a_n$和$b_n$满足$a_n \leqb_n$，且它们都收敛于L，则L满足$a \leq L \leq b$。
二、数列极限在数列求和中的应用1. 数列和的定义和性质数列和表示数列中一定项数的元素相加的值，通常用$S_n$表示。
比如，数列$a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$的前n项和可以表示为$S_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n$。
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专题三数列与极限【考点聚焦】考点1：数列的有关概念，简单的递推公式给出的数列；考点2：等差、等比数列的概念，等差、等比数列的通项公式，前n项和公式，并运用它们解决一些问题；考点3：数列极限的意义，极限的四则运算，公比的绝对值小于1的无穷等比数列的前n 项和的极限；考点4：数学归纳法【自我检测】1、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做数列。
3、无穷等比数列公比｜q|＜1，则各项和S＝＿＿＿＿＿＿。
4、求数列前n项和的方法：（1）直接法；（2）倒序相加法；（3）错位相减法；（4）分组转化法；（5）裂项相消法.【重点•难点•热点】问题1：等差、等比数列的综合问题“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果例1：设等比数列{a n}的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lg a n}的前多少项和最大？(取lg2=03,lg3=04)思路分析突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列S n是n的二次函数，也可由函数解析式求最值解法一 设公比为q ,项数为2m ,m ∈N *,依题意有⎪⎩⎪⎨⎧+=⋅--⋅=--⋅)(9)()(1)1(1)1(312131122121q a q a q a q a q q q a q q a m m ，化简得⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧+==+10831 , ),1(9114121a q q q a q q 解得 设数列{lg a n }前n 项和为S n ,则S n =lg a 1+lg （a 1q 2）+…+lg （a 1q n －1）=lg （a 1n ·q 1+2+…+(n －1)）=n lg a 1+21n (n －1)·lg q =n (2lg2+lg3)－21n (n －1)lg3 =(－23lg )·n 2+(2lg2+27lg3)·n可见，当n =3lg 3lg 272lg 2+时，S n 最大 而4.024.073.043lg 3lg 272lg 2⨯⨯+⨯=+=5, 故{lg a n }的前5项和最大解法二 接前，31,1081==q a ,于是lg a n =lg ［108(31)n －1］=lg108+(n －1)lg 31,∴数列{lg a n }是以lg108为首项，以lg31为公差的等差数列， 令lg a n ≥0,得2lg2－(n －4)lg3≥0，∴n ≤4.04.043.023lg 3lg 42lg 2⨯+⨯=+=5 5由于n ∈N *,可见数列{lg a n }的前5项和最大点评 本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力演变1 等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它前3m 项的和为_______点拨与提示：本题可以回到数列的基本量，列出关于d 1和a 的方程组，然后求解；或运用等差数列的性质求解. 问题2：函数与数列的综合题数列是一特殊的函数，其定义域为正整数集，且是自变量从小到大变化时函数值的序列。
注意深刻理解函数性质对数列的影响，分析题目特征，探寻解题切入点.例2：已知函数f (x )=412-x (x <－2)(1) 求f (x )的反函数f -－1(x )； (2) 设a 1=1,11+n a =－f－-1(a n )(n ∈N *),求a n ;(3)设S n =a 12+a 22+…+a n 2,b n =S n +1－S n 是否存在最小正整数m ,使得对任意n ∈N *,有b n <25m成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由 思路分析 (2)问由式子41121+=+nn a a 得22111nn a a -+=4,构造等差数列{21na },从而求得a n ,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想解 (1)设y =412-x ,∵x <－2,∴x =－214y +,即y =f －-1(x )=－214y + (x >0)(2)∵411,14122121=-∴+=++nn nn a a a a ，∴{21na }是公差为4的等差数列，∵a 1=1,21na =211a +4(n －1)=4n －3,∵a n >0,∴a n(3)b n =S n +1－S n =a n +12=141+n ,由b n <25m ,得m >1425+n ,设g (n )= 1425+n ,∵g (n )= 1425+n 在n ∈N *上是减函数，∴g (n )的最大值是g (1)=5,∴m >5,存在最小正整数m =6,使对任意n ∈N *有b n <25m成立点评 本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题 着重考查学生的逻辑分析能力 本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，(2)问以数列{21na }为桥梁求a n ,不易突破演变2：设xx f +=12)(1，定义2)0(1)0()],([)(11+-==+n n n n n f f a x f f x f ，其中n ∈N*.（1）求数列｛a n ｝的通项公式； （2）若,23223212n nna a a a T ++++= ,144422+++=n n nn Q n ，其中n ∈N*，试比较9nT 2与n Q 大小，并说明理由.点拨与提示：（1）找出数列｛a n ｝的递推关第，进而判断数列的类型；（2）根据特征，找出求和的匹配方法。
问题3：数列与解析几何。
数列与解析几何综合题，是今后高考命题的重点内容之一，求解时要充分利用数列、解析几何的概念、性质，并结合图形求解. 例3．在直角坐标平面上有一点列 ),(,),(),,(222111n n n y x P y x P y x P ，对一切正整数n ，点n P 位于函数4133+=x y 的图象上，且n P 的横坐标构成以25-为首项，1-为公差的等差数列{}n x .⑴求点n P 的坐标；⑵设抛物线列 ,,,,,321n c c c c 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴，第n 条抛物线n c 的顶点为n P ，且过点)1,0(2+n D n ，记与抛物线n c 相切于n D 的直线的斜率为n k ，求：nn k k k k k k 13221111-+++ . 解：（1）23)1()1(25--=-⨯-+-=n n x n1353533,(,3)4424n n n y x n P n n ∴=⋅+=--∴----（2）n c 的对称轴垂直于x 轴，且顶点为n P .∴设n c 的方程为：,4512)232(2+-++=n n x a y把)1,0(2+n D n 代入上式，得1=a ，n c ∴的方程为：1)32(22++++=n x n x y 。
32|0'+===n y k x n ，)321121(21)32)(12(111+-+=++=∴-n n n n k k n nn n k k k k k k 13221111-+++∴ )]321121()9171()7151[(21+-+++-+-=n n =641101)32151(21+-=+-n n 点评：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大。
（1）、（2）两问运用几何知识算出n k .演变3．已知抛物线24x y =，过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点1P ，又过点1P 作斜率为12的直线交抛物线于点2P ，再过2P 作斜率为14的直线交抛物线于点3P ，，如此继续，一般地，过点n P 作斜率为12n 的直线交抛物线于点1n P +，设点(,)n n n P x y ．（Ⅰ）令2121n n n b x x +-=-，求证：数列{}n b 是等比数列． （Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，试比较314n S +与1310n +的大小．点拨与提示：（1）由抛物线的方程和斜率公式得到221121111422n n n n n n n n x x x x x x ++-+-=⇒+=-，从而求出{}n b 的通项公式；（2）用数学归纳法证明.问题4、数列与不等式数列与不等式相联系的综合题也是常考题型，要注意把数列的逆推性与不等式问题的思考方法结合起来，联系分析，寻求解题思路. 例4：已知数列｛a n ｝满足251=a ，n n n a a a 221+=+（1）求证：2＜a n <3；（2）求证：)2(4121-<-+n n a a ；（3）limn →∞ n a . 思路分析：（1）从nn n a a a 221+=+递推式看，应该从数列归纳法入手；（2）可用证不等式的放缩法来求解. （1）①当n=1时，251=a ，2＜a 1 <3； ②设n=k 时，2＜a k <3，那么n=k+1时，02)2(221>-=-+kk k a a a 即a k+1>2，又2＜a k <3，所以0＜a k －2＜1,0＜(a k －2)2＜1，而2a k ＞4， 故a k+1-2<1，即a k+1<3， 由①②知2＜a n <3（2）由（1）知0＜a n －2＜1，2a n ＞4，∴)2(41222)2(221-<-<-=-+n n n n n n a a a a a a （3）∵0221<-=-+n n n n a a a a ，∴limn →∞ n a ＝x, )22(lim lim 1nn n n n a a a +=∞→+∞→ 则x=x x 22+，又x>0，∴ x=2，即limn →∞ n a ＝2n n n n a a lim lim 1∞→+∞→=. 点评：解决数列中的不等式问题，通常考虑用不等式的有关证明方法。
（3）中应该注意到，若数列｛a n ｝的极限存在，则n n n n a a lim lim1∞→+∞→=演变4：已知函数)1(13)(-≠++=x x x x f ．设数列}{n a 满足11=a ，)(1n n a f a =+，数列}{n b 满足|3|-=n n a b ，++=21b b S n …)(*N n b n ∈+，(Ⅰ)用数学归纳法证明12)13(--≤n n n b ；(Ⅱ)证明 332-<n S ．考查运用数学归纳法解决有关问题的能力.专题小结1、“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果2、归纳——猜想——证明体现由具体到抽象，由特殊到一般，由有限到无限的辩证思想．学习这部分知识，对培养学生的逻辑思维能力，计算能力，熟悉归纳、演绎的论证方法，提高分析、综合、抽象、概括等思维能力，都有重大意义．3、解答数列与函数的综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题．4、数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分，先利用解析几何的知识以及数形结合得到数列的通项公式，然后再利用数列知识和方法求解．【临阵磨枪】一．选择题1．已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是（ ）A ．15B ．30C ．31D ．64 2．已知数列{log 2(a n －1)}（n∈N *）为等差数列，且a 1＝3，a 2＝5，则nn n a a a a a a -++-+-+∞→12312lim 111(）= （ ）A ．2B ．23C ．1D ．21 3．已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a = （ ）A ．0B ．3-C ．3D ．23 4 等比数列{a n }的首项a 1=－1，前n 项和为S n ,若3231510=S S ，则lim ∞→n S n 等于( ) 32 B. 32A.- C 2D －25．已知等差数列}{n a 中，1,16497==+a a a ，则12a 的值是（ ）A ．15B ．30C ．31D ．646．limn →∞2123nn ++++＝( )(A) 2 (B) 4 (C)21(D)0 7．已知数列{}n x 满足212x x =，)(2121--+=n n n x x x ， ,4,3=n ．若2lim =∞→n x x ，则=1x A ．23B ．3C ．4D ．58．用n 个不同的实数n a a a ,,,21 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵.对第i 行in i i a a a ,,,21 ，记in n i i i i na a a a b )1(32321-++-+-=，!,,3,2,1n i =.例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，2412312212621-=⨯-⨯+-=+++b b b ，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，12021b b b +++ 等于（ ）A ．—3600B ．1800C ．—1080D ．—720二、填空题9 已知a ,b ,a +b 成等差数列，a ,b ,ab 成等比数列，且0<log m (ab )<1,则m 的取值范围是_________10 等差数列{a n }共有2n +1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_________11．设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为 . 12 设z n =(21i -)n，(n ∈N *)，记S n =｜z 2－z 1｜+｜z 3－z 2｜+…+｜z n +1－z n ｜，则lim ∞→n S n =_________三、解答题：13 已知正项数列{}n a ，其前n 项和n S 满足21056,n n n S a a =++且1215,,a a a 成等比数列，求数列{}n a 的通项.n a14 已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0,由{a n }中的部分项组成的数列123123123123123123a 1b ,a 2b ,…,a n b ,…为等比数列，其中b 1=1,b 2=5,b 3=17(1)求数列{b n }的通项公式；(2)记T n =C 1n b 1+C 2n b 2+C 3n b 3+…+C nn b n ,求nn nn bT +∞→4lim15（ 全国卷I ）设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2nn nT S =，1,2,3,n =，证明：132ni i T =<∑16 设数列{a n }的首项a 1=1，前n 项和S n 满足关系式 3tS n －(2t +3)S n －1=3t (t ＞0,n =2,3,4…)(1)求证 数列{a n }是等比数列；(2)设数列{a n }的公比为f (t )，作数列{b n }，使b 1=1,b n =f (11-n b )(n =2,3,4…)，求数列{b n }的通项b n ；(3)求和 b 1b 2－b 2b 3+b 3b 4－…+b 2n －1b 2n －b 2n b 2n +117．已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a 0111,(4),.2n n n a a a a n N +==-∈ （1）证明;,21N n a a n n ∈<<+（2）求数列}{n a 的通项公式a n . 18．设点n A (n x ，0)，1(,2)n n n P x -和抛物线n C ：y ＝x 2＋a n x ＋b n (n ∈N *)，其中a n ＝－2－4n －112n -，n x 由以下方法得到：x 1＝1，点P 2(x 2，2)在抛物线C 1：y ＝x 2＋a 1x ＋b 1上，点A 1(x 1，0)到P 2的距离是A 1到C 1上点的最短距离，…，点11(,2)nn n P x ++在抛物线n C ：y＝x 2＋a n x ＋b n 上，点n A (n x ，0)到1n P +的距离是n A 到n C 上点的最短距离． (Ⅰ)求x 2及C 1的方程． (Ⅱ)证明{n x }是等差数列． 参考答案：1．A 提示：由7916a a +=，得a 8=8，∴817844d -==-，∴a 12=1+8×74=15.2．C 提示：由题意得：d 2log log log 2222242++=,求得d=1，则n n a n =-+=-1)1(1)1(log 2，12,21-==-∴nn n n a a 即，又由n n n n n a a 21221111=-=-++所以n n n a a a a a a 212121*********+⋅⋅⋅++=-+⋅⋅⋅+-+-+=n n 211211)211(21-=--⋅所以.1)211(lim )111(lim 12312=-=-+⋅⋅⋅+-+-∞→+∞→n n n n n a a a a a a3．B 提示：由a 1=0,).(1331++∈+-=N n a a a n n n 得a 2=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅==,0,3,343a a由此可知：数列{a n }是周期变化的,且三个一循环，所以可得:a 20=a 2=－.3故选B. 4 B 提示3231510=S S ，而a 1=－1,故q ≠1,∴3213232315510-=-=-S S S ,根据等比数列性质知：S 5，S 10－S 5，S 15－S 10,…,也成等比数列，且它的公比为q 5,∴q 5=－321,即q =21∴.321lim 1-=-=∞→q a S n n 答案 B5．A 提示：由7916a a +=,得a 8=8,∴817844d -==-,∴a 12=1+8×74=15,选(A)6．C 提示：2221(1)11212lim lim lim 22n n n n n n n n n →∞→∞→∞++++⋅⋅⋅+===,选(C) 7．B 提示1：特殊值法，当31=x 时，3263,1633,815,49,2365432=====x x x x x 由此可推测2lim =∞→n x x ，故选B ．提示2：∵)(2121--+=n n n x x x ，∴)(21211-----=-n n n n x x x x ， 令n n n x x b -=+1，则11111211)21()21(2)21)((x x x x q b b n n n n n -=-⋅-=--==---+-+-+=)()(23121x x x x x x n …)(1--+n n x x3)21(32)21(1)21(12111111x x x x n n ---+=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+=∴2323)21(321111lim lim ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-∞→∞→x x x x n x n x ，∴31=x ，故选B .8．C 提示：在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数之和都是360，1080360536043603360236012021-=⨯-⨯+⨯-⨯+-=+++b b b9 (－∞,8) 提示 解出a 、b ,解对数不等式即可 答案 (－∞,8)10 a 11=29 提示 利用S 奇/S 偶=nn 1+得解 答案 第11项a 11=29 11．－2 提示：由题意可知q ≠1,∴可得2(1-q n )=(1-q n+1)+(1-q n+2),即q 2+q-2=0,解得q=-2或q=1(不合题意,舍去),∴q=－2.12．1+22提示：,)22(|)21()21(|||111+++=---=-=n n n n n n i i z z c 设 22)22(1221])22(1[2121--=--=+++=∴nn n n c c c S ，221222221lim +=+=-=∴∞→n n S 13 解 ∵10S n =a n 2+5a n +6, ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6,解之得a 1=2或a 1=3. 又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2),②由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1),即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 , ∴a n －a n －1=5 (n ≥2).当a 1=3时,a 3=13,a 15=73. a 1, a 3,a 15不成等比数列∴a 1≠3;当a 1=2时, a 3=12, a 15=72, 有 a 32=a 1a 15 , ∴a 1=2, ∴a n =5n －3.14 解 (1)由题意知a 52=a 1·a 17，即(a 1+4d )2=a 1(a 1+16d )⇒a 1d =2d 2,∵d ≠0,∴a 1=2d ,数列{n b a }的公比q =11154a d a a a +==3, ∴n b a =a 1·3n －1 ① 又n b a =a 1+(b n －1)d =121a b n +② 由①②得a 1·3n －1=21+n b ·a 1 ∵a 1=2d ≠0,∴b n =2·3n －1－1(2)T n =C 1n b 1+C 2n b 2+…+C n n b n =C 1n (2·30－1)+C 2n ·(2·31－1)+…+C n n (2·3n －1－1)=32(C 1n +C 2n ·32+…+C n n ·3n )－(C 1n +C 2n +…+C n n ) =32［(1+3)n －1］－(2n －1)= 32·4n －2n +31, .32)41()43(211)41(31)21(32lim 1324312432lim 4lim 11=-⋅++-=-⋅++-⋅=+∴-∞→-∞→∞→n n nn n n n n n n n n n n b T 15 解 （I ）21114122333a S a ==-⨯+，解得：12a = ()2111144122333n n n n n n n a S S a a +++++=-=---()11242n n n n a a ++⇒+=+所以数列{}2nn a +是公比为4的等比数列所以：()111224n n n a a -+=+⨯得：42n nn a =- （其中n 为正整数）（II ）()()()1114124122242221213333333n n n n n n n n S a +++=-⨯+=--⨯+=-- ()()112323112221212121n n n n n n n n T S ++⎛⎫==⨯=⨯- ⎪----⎝⎭所以：1113113221212ni n i T +=⎛⎫=⨯-<⎪--⎝⎭∑16 解 (1)由S 1=a 1=1,S 2=1+a 2，得3t (1+a 2)－(2t +3)=3t ∴a 2=tt a a t t 332,33212+=+ 又3tS n －(2t +3)S n －1=3t ， ① 3tS n －1－(2t +3)S n －2=3t②①－②得3ta n －(2t +3)a n －1=0 ∴tt a a n n 3321+=-,n =2,3,4…, 所以{a n }是一个首项为1公比为tt 332+的等比数列； (2)由f (t )=tt 332+=t 132+,得b n =f (11-n b )=32+b n －1可见{b n }是一个首项为1，公差为32的等差数列 于是b n =1+32(n －1)=312+n ; (3)由b n =312+n ,可知{b 2n －1}和{b 2n }是首项分别为1和35，公差均为34的等差数列，于是b 2n =314+n , ∴b 1b 2－b 2b 3+b 3b 4－b 4b 5+…+b 2n －1b 2n －b 2n b 2n +1 =b 2(b 1－b 3)+b 4(b 3－b 5)+…+b 2n (b 2n －1－b 2n +1)=－34 (b 2+b 4+…+b 2n )=－34·21n (35+314+n )=－94 (2n 2+3n )17．【解】（1）用数学归纳法证明：1°当n=1时，,23)4(21,10010=-==a a a a ∴210<<a a ，命题正确. 2°假设n =k 时有.21<<-k k a a则)4(21)4(21,1111k k k k k k a a a a a a k n ---=-+=--+时 ).4)((21))((21)(211111k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a ---=+---=-----而.0,04.0111<-∴>--<----k k k k k k a a a a a a又.2])2(4[21)4(2121<--=-=+k k k k a a a a ∴1+=k n 时命题正确.由1°、2°知，对一切n ∈N 时有.21<<+n n a a （2）下面来求数列的通项：],4)2([21)4(2121+--=-=+n n n n a a a a 所以21)2()2(2--=-+n n a ann n n n n n n n b b b b b a b 22212122222112)21()21(21)21(2121,2-+++----==⋅-=--=-=-= 则令, 又b n =－1，所以1212)21(22,)21(---=+=-=n n n n n b a b 即.18．解：(Ⅰ)由题意,得A(1,0),C 1：y=x 2-7x+b 1.设点P(x,y)是C 1上任意一点,则|A 1222221(1)(1)(7).x y x x x b -+=-+-+ 令f(x)=(x-1)2+(x 2-7x+b 1)2,则21()2(1)2(7)(27).f x x x x b x '=-+-+-由题意得,2()0f x '=,即2222122(1)2(7)(27)0.x x x b x -+-+-=又P 2(x 2,0)在C 1上,∴2=x 22 -7x 2+b 1解得x 2=3,b 1=14.故C 1方程为y=x 2-7x+14.(Ⅱ)设P(x,y)是C 1上任意一点,则|A n P|==令g(x)=(x-x n )2+(x 2+a n x+bn)2,则2()2()2()(2)n n n n g x x x x a x b x a '=-++++,由题意得,1()0n g x +'=,即211112()2()(2)n n n n n n n n x x x a x b x a ++++-++++=0, 又∵2112n n n n n x a x b ++=++,∴(x n+1-x n )+2n (2x n+1+a n )=0(n ≥1),即(1+2n+1)x n+1-x n +2n a n =0, (*) 下面用数学归纳法证明x n =2n-1. ① 当n=1时,x 1=1,等式成立.② 假设当n=k 时,等式成立,即x k =2k-1.则当n=k+1时,由(*)知(1+2k+1)x k+1-x k +2k a k =0, (*)又a k =-2-4k-112k +,∴1122112k k k k k x a x k ++-==++. 即当n=k+1,时等式成立.由①②知,等式对n ∈N +成立,∴{x n }是等差数列.【挑战自我】已知f(x)=(x-1)2，g(x)=4(x-1)，数列｛a n ｝满足a 1=2，(a n+1-a n )g(a n )+f(a n )=0。