概率与数理统计复习题及答案

★编号：重科院（ ）考字第（ ）号 第 7 页

复习题一

一、选择题

1．设随机变量X 的概率密度21

()0

1x x f x x θ-⎧>=⎨≤⎩，则θ=（ ）。

A ．1 Ｂ.

12 C. -1 Ｄ. 3

2

2．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现偶数点的条件下出现4点的概率为（ ）。

A ．12 Ｂ. 23 C. 16 Ｄ. 13

3．设)(~),(~22221221n n χχχχ，2

221,χχ独立，则~2221χχ+（ ）。

A ．)(~22221n χχχ+ Ｂ. ~2221χχ+)1(2

-n χ

C. 2212~()t n χχ+ Ｄ. ~2221χχ+)(212

n n +χ

4．若随机变量12Y X X =+，且12,X X 相互独立。~(0,1)i X N （1,2i =），则（ ）。

A ．~(0,1)Y N Ｂ. ~(0,2)Y N C. Y 不服从正态分布 Ｄ. ~(1,1)Y N

5．设)4,1(~N X ，则{0 1.6}P X <<=（ ）。

A ．0.3094 Ｂ. 0.1457 C. 0.3541 Ｄ. 0.2543 二、填空题

1．设有5个元件，其中有2件次品，今从中任取出1件为次品的概率为 2．设,A B 为互不相容的随机事件，()0.1,()0.7,P A P B ==则()P A B = 3．设()D X =5, ()D Y =8,,X Y 相互独立。则()D X Y +=

4．设随机变量X 的概率密度⎩⎨

⎧≤≤=其它

,

010,

1)(x x f 则{}0.2P X >=

三、计算题

1．设某种灯泡的寿命是随机变量X ，其概率密度函数为 5,0

()0,

0x Be x f x x -⎧>=⎨≤⎩

(1)确定常数B (2)求{0.2}P X > (3)求分布函数()F x 。

2．甲、乙、丙三个工厂生产同一种产品，每个厂的产量分别占总产量的40％，35％，

25％，这三个厂的次品率分别为0.02, 0.04，0.05。现从三个厂生产的一批产品中任取

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一件，求恰好取到次品的概率是多少？

3．设连续型随机变量X 的概率密度110()1010x x f x x x +-≤<⎧⎪

=-≤≤⎨⎪⎩

其它，求(),()E X D X 。

4．设二维随机变量(,)X Y 的联合分布密度26

,01

(,)0x y x x f x y ⎧<<<<=⎨

⎩其它

分别求随机变量X 和随机变量Y 的边缘密度函数。

四．证明题

设12345,,,,X X X X X 是来自正态总体的一个样本，总体均值为μ（μ为未知参数）。

证明：1234532

()()1313

T X X X X X =

++++是μ的无偏估计量。 一、选择题

（1）A （2）D （3）D （4）B （5）A 二、填空题

（1）0.4 （2）0.8 （3）13 （4）0.8

三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，总计60分） 1、(1)

050

1()0B B 15

x x dx dx e dx ϕ+∞

+∞

--∞

-∞

=+==⎰

⎰⎰

故B=5 。 (2)510.2

(0.2)50.3679.x P X e dx e +∞

-->=

=≈⎰

(3)当x<0时,F(x)=0;

当0≥x 时，x

x

x

x e dx e dx dx x x F 500

515)()(-∞

-∞

---=+==

⎰

⎰⎰ϕ

故⎩

⎨⎧<≥-=-0

0,,0

1)(5x x e

x F x

. 2、全概率公式

3

1

255354402()()()100100100100100100i i i P A P B P A B ===

⨯+⨯+⨯

∑

0.0345=

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3、⎰

⎰--++=

1

1

0)1()1(dx x x dx x x EX =0

⎰⎰--++=1

01

10

222)1()1(dx x x dx x x EX =

6

1

6

1

)(22=

-=EX EX DX 4、 ()(,)x f x f x y dy +∞

-∞

=

⎰

2266(),01

0x

x dy x x x ⎧=-≤≤⎪=⎨

⎪⎩

⎰其它 ()(,)y f y f x y dx +∞

-∞

=⎰

),010y dx y y ⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩

其它 四．证明题

证明：因为(),1,2,3,4,5i E X i μ==

所以1234532

()[

()()]1313

E T E X X X X X =++++ 1234532

[()()()][()()]1313

E X E X E X E X E X =++++ (5分)

μ=

复习题二 一、选择题

1．如（ ）成立，则事件A 与B 互为逆事件。（其中Ω为样本空间）

A ．A

B φ= Ｂ. A

B =Ω C. AB A B φ==Ω且 Ｄ. A 与B 互为对立事件

2．袋中有5个黑球，3个白球，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概

率为（ ）

A ．

38 Ｂ. 331()()88 C. 435

831()()88

C Ｄ. 485C

3．设随机变量X 的分布律为{},1,2,3,4,515k P X k k ==

=，则15

{}22

P X <<=（ ）

A ．3/5 Ｂ. 1/5 C. 2/5 Ｄ. 4/5

4．设随机变量(,)X Y 只取下列数组中的值：（0，0）、（-1，1）、（-1，1/3）、（2，0），