-概率与数理统计试题答案a

西安建筑科技大学考试试卷参考答案及评分标准(A 卷)
一．填空题（每空2分，共16分）
1．设C B A ,, 表示三个事件，利用C B A ,, 表达下列事件：
（1）A 出现，C B , 都不出现，表示为 C B A 。

（2）三个事件中至少有一个出现，表示为C B A ⋃⋃。

（3）三个事件都不出现，表示为C B A 。

2．设70=⋃40=.)(,.)(B A P A P ，若A 与B 互不相容，则=)(B P 0.3 ，若
A 与
B 相互独立，则=)(B P 0.5 。

3．设随机变量相互独立与的正态分布，均匀分布，Y X N Y U X )1,4(~)4,1(~，
则 =-)2(Y X E -11/2 ，=-)2(Y X D 19/4 。

4，设随机变量[]b a U X ,~的均匀分布，则X 的分布密度
⎪⎩
⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a a b x f 。

二．单项选择题（每小题3分，共15分）
1，设事件A,B 为互斥事件，则下列各式正确的是（ C ）
（A ）1=+)(B A P （B ）)()()(B P A P AB P =
（C ） )()()(B P A P B A P +=+
（D ）)()(A P B P -1=
（2）设总体为),(~21N X ，样本容量为10，则（ B ）
（A ）)2,0(~N X （B ）)2.0,1(~N X
（C ）)102,
1(~N X （D ）)1,0(~10
/21
N X - （3） 设 n X X X ,,,21 是来自正态总体 ),(~2σμN X 的一个样本 ，
样本均值为∑==n i i X n X 11，样本方差为∑=--=n i i X X n S 1
22
)(11，则服从自由度为 1-n 的2χ分布的随机变量是（ B ）
（A ）
2
2
σnS （B ）
2
2
)1(σ
S n -
（C ）
2
2
σS
（D ）2
2
)1(σ
-n S (4) 设随机变量X 与Y 相互独立且4=DX ，2=DY ，则=-)23(Y X D ( D )
(A) 8
(B) 16
(C) 28
(D) 44
(5). 下列函数中为随机变量的分布函数的是( B )
(A)⎩⎨⎧≥+<=-0,)1(0,
0)(1
2x x x x F (B)⎩⎨⎧-≥-<+=-1,
11,)1()(12x x x x F (C)⎩⎨⎧≥<=-0,e 0,
0)(x x x F x
(D)⎩
⎨⎧≥<+-=0,10
),1ln()(2x x x x F
三．（8分）设商场出售的某元件是由甲、乙、丙厂生产的，产量各占2.0,3.0,5.0，各厂生产的该元件在规定的时间内能正常工作的概率分别是7.0,8.0,9.0。

现从该商场买了这样一个元件，求该元件在规定的时间内能正常工作的概率。

解 用321,,A A A 分别表示买到的元件是由甲、乙、丙厂生产的，B 表示买到的元件在规定时间内能正常工作，则有
5.0)(1=A P ，
3.0)(2=A P ，
2.0)(3=A P ，
（2分） 9.0)|(1=A B P ， 8.0)|(2=A B P ， 7.0)|(3=A B P ，
（2分） 故有（1）∑==3
1
)|()()(n n n A B P A P B P
（2分） 83.07.02.08.03.09.05.0=⨯+⨯+⨯=
（2分）
四. （8分）设随机变量X 的分布函数为，
0,10.2,12()0.7,241,4x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪
=⎨
≤<⎪
⎪≥⎩
(1) 求)3(≤X P ,)32
1
(≤<X P 及)2(≥X P ;
解：（1）
(2) 求X 的分布律.
000()(0)(0)(1)0.200.2,(2)0.70.20.5,(4)10.70.3
2P X x F x F x P X P X P X ==+--=-=-===-===-=由于（分）
X 的分布律为:12
4~0.20.50.3X -⎛⎫ ⎪⎝⎭
(2分)
五．（8分）设),(Y X 的分布律为
（1）求X 及Y 的边缘分布律；
(3)(3)0.7(1P X F ≤==分）11
(3)(3)(0.70.20.5122
P X F F <≤=-=-=（分）(2)1(2)1(2)(2)1(2)(20)(20)10.70.50.82P X P X P X P X F F F ≥=-<=-≤+==-++--=-+=（分）
（2分）
六．(10分)
例：设总体X 服从参数为λ的指数分布，其中λ未知，)
,,,(2
1
n
X X X 为从总体抽取一个样本，),,,(21n x x x 为其样本观测值，试求参数λ的极大似然估计值和估计量.
解：总体X 服从参数为λ的指数分布，则有
所以似然函数为
取对数为
令
解得λ的极大似然估计值为)21
ˆ1
分（x
x
n
n
i i
=
=∑=λ
极大似然估计量为)21
ˆ1
分（X
X
n
n
i i
=
=∑=λ
⎪⎩
⎪
⎨
⎧≤>=-000);(x x e x f x λλλ)
2)(1
分（∑==-n
i i
x n e
L λ
λλ)
2ln )(ln 1
分（∑--=n
i i x n L λλλ)20)(ln 1
分（=-=∑=n
i i x n L d d λλλ
七．（10分）设随机变量),(Y X 的分布密度函数为
(34),0,0
(,)0,x y Ae x y f x y -+⎧>>=⎨⎩
其他
（1）求系数A ，
解： (34)0
1
1(,)12
x y f x y dxdy Ae dxdy A +∞+∞
+∞+∞
-+-∞-∞
==
=
⎰⎰
⎰⎰
（3分）
12A ∴= （2分）
（2）求：X 与Y 的边缘概率密度；并判断X 与Y 是否相互独立.
X 的边缘密度函数(34)
30123,0()0x y x X e
dy e x f x +∞
-+-⎧=>⎪=⎨⎪⎩
⎰其它 （2分）
同理Y 的边缘密度函数440
()0y y e y f y -⎧>=⎨⎩其它 （2分）
显然：)()(),(21y f x f y x f ∙=所以X 与Y 相互独立。

（1分）
八．（10分）已知某工厂生产的某种零件其长度
)06.0,(~μN X ,现从某日生产
的一批零件中随机抽取6只,测得直径的数据（单位:mm ）为 1.15,2.15,8.14,9.14,1.15,
6.14
试求：该批零件长度的置信度为0.95置信区间.（其中已知0.0250.51.96, 1.65U U ==）； 解：
/20.025/2/214.9521.96,214.95 1.9614.7514.95 1.9615.154x u u x x ααασ=======+
=经计算：。

（分）查表得（分）
经计算得：（分）
所求置信区间为：（14.75，15.15）（2分）
九（10分）已知某厂生产的导线电阻在正常情况下服从正态分布，其标准差为0050.（欧）
，今从某天生产的一批导线中抽出9根，测得0080=.S （欧），问在显著性水平05.0=α下这批导线电阻的方差是否正常。

解：设,005.0:2
2020==σσH 01:σσ≠H （2分）
μ未知，
用2
χ检验法，拒绝域)1()1(22
12
2
-≤--
n S n α
χ
σ
或
2
220
2
(1)(1)
(2)n S n αχσ
-≥-分
180.2)8()1(2
975.02
1==--
χχ
αn 535.17)8()1(2
025.022
==-χχαn （2分） 535.17)1(48.20005.0008.08)1(2
2
2
22
2
2
=->=⨯=-=
n S n αχσχ （2分） 故拒绝0H ,在05.0=α下认为这批导线的电阻方差不正常。

（2分）
十(5分)设X 与Y 相互独立，,0,0≠≠DY DX 证明X 与Y 互不相关。

证：因为X 与Y 相互独立，所以
0)(),(=-=-=EXEY EXEY EXEY XY E Y X Cov （2分） 即0),(==DY
DX Y X Cov XY
ρ （2分）
故X 与Y 互不相关。

（1分）。