概率论与数理统计复习题
[考研数学]概率论考试复习题
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概率论与数理统计练习1一、选择题：1、设随机事件A 与B 满足A B ⊃，则（ ）成立。
A.()()P A B P A +=B.()()P AB P A =C.()()P B A P B =D.()()()P B A P B P A -=-2、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，则目标被击中的概率为（ B ）。
A.0.5B.0.8C.0.55D.0.63、连续型随机变量X 的密度函数()f x 必满足条件（ D ）。
A.0()1f x ≤≤B.()f x 为偶函数C.()f x 单调不减D. ()1f x dx +∞-∞=⎰4、设12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ 的样本，则22μσ+的矩估计量是（ D ）。
A. 211()n i i X X n =-∑ B. 211()1n i i X X n =--∑ C. 221()n i i X n X =-∑ D. 211n i i X n =∑ 5、设总体(,1)X N μ ，123,,X X X 为总体X 的一个样本，若^1231123X X CX μ=++为未知参数μ的无偏估计量，则常数C =（ ） A.12 B. 13 C. 15 D. 16二、填空题：1、袋子中装有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率是 0.42、设A ，B 为两个随机事件，()0.6P A =，()0.2P A B -=，则()P AB = 0.63、已知二维随机向量(,)X Y 的联合分布为则= 0.34、设总体X 服从正态分布2(2,)N σ，1216,,,X X X 是来自总体X 的一个样本，且161116i i X X ==∑，则48X σ-服从 5、若(,)X Y 服从区域22{(,)4}G x y x y =+≤上的均匀分布，则(,)X Y 的联合密度函数为三、计算题：1、设A ，B 为随机事件，且()P A p =，()()P AB P A B =，求()P B 。
概率论与数理统计复习题目_徐雅静_河南理工大学
(θ + 1) x θ 27、设总体 X 的概率密度为 f ( x) = 0
其中， θ
0 < x <1 其他
> −1 是未知参数.
设X 1 ，X2，…，X n 是来自于总体X的简单随机
样本，试求出 θ 的极大似然估计量。 29、甲、乙、丙 3 人进行独立射击, 每人的命中率分别为 0.3, 0.4, 0.6, 设每人射 击一次, 试求 3 人命中总数之概率分布律及其分布函数。 30、设随机变量(X, Y)具有联合概率密度 1 | x | + | y |≤1 , f ( x, y) = 2 0 其他 试求(1) E(X),E(Y)； （2）Cov(X,Y) ，问 X 与 Y 是否不相关？(3)X 与 Y 是否 相互独立？ 33、设每门高射炮击中飞机的概率均为 0.6. 三门高射炮同时向一架入侵飞机射 击. 若飞机被一门炮击中，则飞机被击落的概率为 0.6. 若飞机被两门炮击中， 则飞机被击落的概率为 0.9. 若飞机被三门炮击中， 则飞机一定被击落. 求飞机 被击落的概率. 34、设随机变量 X 具有概率密度 x f X ( x) = 8 0 求随机变量 Y = 2 X + 8 的概率密度。 0< x<4 其他
{
}
≤ 0)= ____ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ______。
34、设 X～t（10） ，Y=1/ X 2 ，则 Y～_____________。 44、设总体X，均值E (X) =µ存在，样本（X 1 ，X 2 ，…，X n ） ，则样本均值 X = 是总体均值E (X) =µ的 估计。 5、设样本（X 1 ，X 2 ，…，X n ）来自于总体X~N（µ，σ2） ， X 是样本均值，S2是 (n − 1) s 2 X −µ 样本方差，则 ~ ， ~ σ2 σ/ n 35、正态总体X～ N ( µ , σ 2 ) （ σ 未知） ，X 1 ，X 2 ，…，X n 为来自总体X的简单随机 样本，对假设检验 H 0 :µ =µ0 ,H1:µ ≠ µ0 ,µ0为已知常数 ，当 σ 已知时应选取检验 统计量是 是 ；则当 σ 未知时应选取检验统计量 。
概率论与数理统计期末考试复习题
概率论与数理统计复习题一、 填空题1． 事件A 、B 、C 中至少有一个发生可用A 、B 、C 表示为C B A ⋃⋃ 2． 若事件A 、B 满足)()|(B P A B P =，则称A 、B __相互独立 3．X 则=)(X E 0.61.已知P （A)=0.8,P(A —B ）=0。
5，且A 与B 独立，则P(B)= 3/8 ；2.设A ，B 是两个随机事件，P （A)=0.8，P(AB ）=0.4，则P （A-B ）= 0.4 ；3. 设事件A 与B 相互独立，P （A)=0.4，P （B ）=0.5，则P(A ∪B)= 0。
7 ； 4。
事件A 与B 满足P(A ）=0。
5，P(B ）=0。
6, P （B|A)=0。
8，则P （A ∪B)= 0。
7 ; 5。
袋中有大小相同的红球4只，黑球3只，则此两球颜色不同的概率为 4/7 ; 6.某射手每次击中目标的概率为0。
28，今连续射击10次,其最可能击中的次数为 3 ; 8。
设随机变量X 服从［1，5]上的均匀分布，当5121<<<x x 时，=<<)(21x X x P 412-x10。
设随机变量X 的概率分布为 则=≥)1(2XP 0。
7 ;11。
设随机变量X 服从二项分布B(n ，p)，且E(X)=15,D(X ）=10,则n= 45 ;14。
设随机变量X ~N （1，4),,9332.0)5.1(,6915.0)5.0(==φφ则=>)2(X P 0。
3753 ；15.已知总体X ~N(0,1）,n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，则21nii X=∑~)(2n χ16. 已知总体X ~n X X X N ,,),,(212σμ是来自总体X 的样本,要检验,:2020σσ=H 则采用的统计量为22)1(σS n -；17。
设T 服从自由度为n 的t 分布,若,)(αλ=>T P 则=<)(λT P 21α-18。
《概率论与数理统计》分章复习题
第一章 随机事件与概率一、 选择题1、以A 表示甲种产品畅销，乙种产品滞销，则A 为( ).(A) 甲种产品滞销，乙种产品畅销 (B) 甲、乙产品均畅销(C) 甲种产品滞销 (D) 甲产品滞销或乙产品畅销2、设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 中至少有一个发生的事件可以表示为( ).(A)ABC (B) A B C ⋂⋂ (C) A B C ⋃⋃ (D) ABC3、已知事件B A ,满足A B =Ω(其中Ω是样本空间),则下列式( )是错的. (A) B A = （B ） Φ=B A (C) B A ⊂ （D ） A B ⊂4、设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 中至少有一个不发生的事件可以表示为( )。
(A)ABC （B ）ABC (C) A B C ⋃⋃ （D ） ABC5、假设事件,A B 满足(|)1P B A =，则( ).(A) A 是必然事件 (B) (|)0P B A = (C)A B ⊃ (D)A B ⊂6、设()0P AB =, 则有( ).(A) A 和B 不相容 (B) A 和B 独立 (C) P(A)=0或P(B)=0 (D) P(A-B)=P(A)7、设A 和B 是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（）. （A ）A 与B 不相容 （B ）A 与B 相容（C ）()()()P AB P A P B = （D ）()()P A B P A -=8、设A B ⊂，则下面正确的等式是( ). (A) )(1)(A P AB P -= (B) )()()(A P B P A B P -=-(C) )()|(B P A B P = (D) )()|(A P B A P =9、事件,A B 为对立事件，则下列式子不成立的是( ).(A)()0P AB = （B ）()0P AB = (C)()1P A B ⋃= （D ）()1P A B ⋃=10、对于任意两个事件,A B ，下列式子成立的是( ).(A) ()()()P A B P A P B -=- （B ） ()()()()P A B P A P B P AB -=-+(C) ()()()P A B P A P AB -=- （D ） ()()()P A B P A P AB -=+11、设事件B A ,满足1)(=B A P ， 则有（ ）.（A ）A 是必然事件 （B ）B 是必然事件（C ）A B φ⋂=(空集) （D ）)()(B P A P ≥ 12、设,A B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是（ ）.（A ）()()P A B P A ⋃=; （B ）()P(A);P AB =（C ）(|A)P(B);P B = （D ）(A)P B -=()P(A)P B -13、设,A B 为任意两个事件，0)(,>⊂B P B A ，则下式成立的为（ ）（A ）B)|()(A P A P < （B ）B)|()(A P A P ≤（C ）B)|()(A P A P > （D ）B)|()(A P A P ≥14、设A 和B 相互独立，()0.6P A =，()0.4P B =，则()P A B =（ ）（A ）0.4 （B ）0.6 （C ）0.24 （D ）0.515、设 (),(),(),P A c P B b P A B a ==⋃= 则 ()P AB 为 ( ).(A) a b - （B ） c b - (C) (1)a b - （D ） b a -16、设A ,B 互不相容，且()0,()0P A P B >>,则必有（ ）. (A) 0)(>A B P （B ）)()(A P B A P = (C) )()()(B P A P AB P = （D ） 0)(=B A P17、设,A B 相互独立，且()0.82P A B ⋃=,()0.3P B =，则()P A =（ ）。
《概率论与数理统计》复习题
《概率论与数理统计》复习题第一章：随机事件及其概率1．某射手向一目标射击两次，Ai表示事件“第i次射击命中目标”，i=1，2，B表示事件“仅第一次射击命中目标”，则B=（）A．A1AB．A1A2C．A1A2D．A1A22．设A，B为两个互不相容事件，则下列各式错误的是（）．．A．P(AB)=0C．P(AB)=P(A)P(B)B．P(A∪B)=P(A)+P(B)D．P(B-A)=P(B)13．设事件A，B相互独立，且P(A)=，P(B)>0，则P(A|B)=()3A．1141B．C．D．1551534．已知P(A)=0.4，P(B)=0.5，且AB，则P(A|B)=（）A．0B．0.4C．0.8D．15.一批产品中有5%不合格品，而合格品中一等品占60%，从这批产品中任取一件，则该件产品是一等品的概率为（）A．0.20B．0.30C．0.38D．0.573126.设A，B为两事件，已知P（A）=，P（A|B）=，P(B|A)，则P （B）=（）335A.1234B.C.D.55557.设随机事件A与B互不相容，且P(A)=0.2，P(A∪B)=0.6，则P(B)=________.8．设A，B为两个随机事件，且A与B相互独立，P(A)=0.3，P(B)=0.4，则P(AB)=__________.9.10件同类产品中有1件次品，现从中不放回地接连取2件产品，则在第一次取得正品的条件下，第二次取得次品的概率是________.10．某工厂一班组共有男工6人、女工4人，从中任选2名代表，则其中恰有1名女工的概率为________11．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为_________.12．一医生对某种疾病能正确确诊的概率为0.3，当诊断正确时，他能治愈的概率为0.8。
若未被确诊，病人能自然痊愈的概率为0.1。
①求病人能够痊愈的概率；②若某病人已经痊愈，问他是被医生确诊的概率是多少？第二章：随机变量及其分布1.下列函数中可作为某随机变量的概率密度的是（）100,某100,A．某2某1000,10,某0,B．某0,某0131，某,D．222其他0,1,0某2,C．0,其他2．设随机变量某在[-1，2]上服从均匀分布，则随机变量某的概率密度f(某)为()1,1某2;A．f(某)30,其他.1,1某2;C．f(某)0,其他.3,1某2;B．f(某)0,其他.1,1某2;D．f(某)30,其他.13．设随机变量某~B3,，则P{某1}=()3A．181926B．C．D．272727274.设随机变量某在区间[2，4]上服从均匀分布，则P{2C．P{2.55．设离散型随机变量某的分布律如右，B．P{1.5某-101则常数C=_________.P2C0.4CA某2,0某1;6．设随机变量某的概率密度f(某)则常数A=_________.其他,0,某1;0,0.2,1某0;7．设离散型随机变量某的分布函数为F(某)=0.3,0某1;0.6,1某2;某2,1,8.设连续型随机变量某的分布函数为则P{某>1}=_________.0，某0，ππF(某)in某，0某,其概率密度为f(某)，则f()=________.62π1,某,29.设随机变量某~N（2，22），则P{某≤0}=___________。
概率论与数理统计复习题
题型：一、单项选择题15道题每题2分共30分；二、填空题15题每题2分共30分；三、计算题2题每题8分共16分；四、综合题2题共16分；五、应用题1题共8分。
1.一名射手连续向某目标射击三次，事件i A 表示第i 次射击时击中目标(1,2,3)i =，则“三次射击中恰有两次命中目标”表示为： 。
(A) 321A A A (B) 321A A A (C) 321321321A A A A A A A A A (D) 123A A A[ ]2.一名射手连续向某目标射击三次，事件i A 表示第i 次射击时击中目标(1,2,3)i =，则“三次射击至少有一次命中目标”表示为 。
(A) 321A A A (B) 321A A A(C) 321321321A A A A A A A A A (D) 123A A A [ ]3.一名射手连续向某目标射击三次，事件i A 表示第i 次射击时击中目标(1,2,3)i =，则“三次射击都命中目标”可表示为：(A) 321A A A (B) 321A A A(C) 321321321A A A A A A A A A (D) 123A A A [ ]4.设随机事件A 与B 互不相容，且，）（，）（00>>B P A P 则 。
(A) ）（）（B P A P -=1 (B) ）（）（）（B P A P AB P = (C) 0=）（AB P (D) 1=）（B A P [ ]5.设随机事件A 与B 互不相容，且，）（，）（00>>B P A P 则 。
(A) ）（）（B P A P -=1 (B) ）（）（）（B P A P AB P =(C) 1=）（B A P (D) 1=）（AB P [ ]6.设随机事件A 与B 互不相容，且，）（，）（00>>B P A P 则 。
(A) ）（）（B P A P -=1 (B) ）（）（）（B P A P AB P =(C) ）（）（）（B P A P B A P += (D) 1=）（B A P [ ]7. 抛一枚不均匀硬币，正面朝上的概率为32，将此硬币连抛4次，则恰好1次正面朝上的概率是 。
概率论与数理统计复习题 带答案
;第一章 一、填空题1. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A －B)=（ 0.3 ）。
2. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求敌机被击中的概率为（ 0.94 ）。
3. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++ ）。
4. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（ 0.496 ）。
5. 某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为（ 0.3456 ）。
6. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ ABC ）。
7. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为（ ABAC BC ）； 8. 若事件A 与事件B 相互独立，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A|B)=（ 0.5 ）； 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（ 0.8 ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A -)=（ 0.5 ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ 0.864 ）。
12. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.3 ）; 13. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.5 ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ）15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为（ ABC ABC ABC ++ ）16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =0.1则(|)P AB A B =（ 0.2 ）17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ）18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概率为（110000）。
概率论与数理统计复习题
1
x1
8
1
x2
8
1
p j
6
1
5
[ 答案：
Y
X
y1 y2 y3 pi
1111 x1 24 8 12 4
1 31 3
x2
]
8844
111
p j
1 623
六、协差矩阵
记住以下公式： D(aX+bY )=a2DX+b2DY+2abcov(X,Y)
D(X±Y)=DX+DY±2cov(X,Y)
cov(Z,aX+bY)=acov(Z,X)+bcov(Z,Y)
；
³ ³ （3）P (X ,Y ) D
1
dx
33x
4 12e3x4 ydy
1 4e3
0
0
五、二维离散型随机向量
设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出了二维随机向量(X,Y)的联合
分布律及关于 X 和关于 Y 的边缘分布律中的部分数值,试将其他数值
填入表中的空白处。
Y
X
y1 y2 y3 pi
2y
7
七、最大似然估计
例：设总体 X 的概率密度为 f (x) ®(T 1)xT , 0 x 1
¯ 0 , 其他
其中未知参数T ! 1， X1, X 2 ," X n 是取自总体的简单随机样本，用极大似然估 计法求T 的估计量。
n
解：设似然函数 L(T )
(T 1)xiT ( 0 xi 1; i 1,2,", n)
练习：设随机变量 X 的概率分布为 P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,写出
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概率论与数理统计复习题九、最大似然估计例：设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧<<+=其他,010,)1()(x x x f θθ其中未知参数θ1->，n X X X ,,21是取自总体的简单随机样本，用极大似然估计法求θ的估计量。
解：设似然函数),,2,1;10()1()(1n i x x L i ni i =<<+=∏=θθθ 对此式取对数，即：∑=++=ni i x n L 1ln )1ln()(ln θθθ且∑=++=ni i x nd L d 1ln 1ln θθ令,0ln =θd L d 可得∑=--=ni ixn1ln 1ˆθ，此即θ的极大似然估计量。
例：设总体X 的概率密度为)0,0(,0,00,)(1>>⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--a x x e ax x f ax a λλλ据来自总体X 的简单随机样本),,,(21n X X X ，求未知参数λ的最大似然估计量。
（同步39页三、3）解：由⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--0,00,)(~1x x e ax x f X ax a λλ得总体X 的样本),,,(21n X X X 的似然函数 ∑∑∑=-=-=--==ni a i n i ai nx ni a in x x a eaxx x x L ai 1111121]exp[)(),,,,(λλλλλ再取对数得：∑∑==-+-=ni i ni a ix a xa n L 11)ln()1()ln(ln λλ再求L ln 对λ的导数：∑=-=n i ai x a an d L d 1ln λλ令0ln 1=-=∑=n i ai x a an d L d λλ，得∑==ni a ixn1λ所以未知参数λ的最大似然估计量为∑=ni a ixn1。
练习：设总体X 的密度函数为)0(010),(1⎩⎨⎧><<=-ααααothersx x x fX 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的一组样本，求参数α的最大似然估计（同步52页三、5）十、区间估计总体X 服从正态分布N (μ,σ2), X 1,X 2,…,X n 为X 的一个样本 1：σ2已知,求μ的置信度为1-α置信区间2：σ2未知,求μ的置信度为1-α置信区间3：求σ2置信度为1-α的置信区间例：设某校学生的身高服从正态分布，今从该校某班中随机抽查10名女生，测得数据经计算如下：43.18,67.1622==s x 。
求该校女生平均身高的95％的置信区间。
解： )1(~--=n t nSu X T ,由样本数据得05.0,43.18,67.162,102====αs x n查表得：t 0.05(?)=2.2622,故平均身高的95％的置信区间为(X u X u αα-+))1(,)1((nS n t X n S n t X -+--αα)S )1n (,S )1n (()1n (2122)1n (222-----ααχχ)74.165,60.159())9(,)9((05.005.0=+-ns t x ns t x例：从总体X 服从正态分布N(μ，σ2)中抽取容量为10的一个样本，样本方差S 2＝0.07,试求总体方差σ2的置信度为0.95的置信区间。
解：因为)1(~)1(222--n S n χσ,所以2σ的95%的置信区间为:))1()1(,)1()1((2122222-----n S n n S n ααχχ, 其中S 2＝0.07, 70.2)9()1(,023.19)9()1(2975.0212025.0222==-==--χχχχααn n ,所以))1()1(,)1()1((2122222-----n S n n S n ααχχ=)70.207.09,023.1907.09(⨯⨯=（0.033,0.233）例：已知某种材料的抗压强度),(~2σμN X , 现随机地抽取10个试件进行抗压试验, 测得数据如下: 482, 493, 457, 471, 510, 446, 435, 418, 394, 469.(1)求平均抗压强度μ的点估计值;(2)求平均抗压强度μ的95%的置信区间;(3)若已知σ=30, 求平均抗压强度μ的95%的置信区间; (4)求2σ的点估计值;(5)求2σ的95%的置信区间;解: (1)5.457ˆ==X u0 (2)因为~(1)X T t n =-, 故参数μ的置信度为0.95的置信区间是: )}1(),1({-+--n t nS X n t nS X αα, 经计算457.50x =,s = 35.276, n =10,查自由度为9的分位数表得, 0.05(9) 2.262t =,故{(1),(1)}X n X n αα--=}262.21022.3550.457,262.21022.3550.457{⨯+⨯-={432.30, 482.70}(3) 若已知σ=30, 则平均抗压强度μ的95%的置信区间为:22{,}X u X u αα=}96.1103050.457,96.1103050.457{⨯+⨯-={438.90,476.09}(4) 2ˆσ=S 2=1 240.28 (5) 因为)1(~)1(222--n S n χσ,所以2σ的95%的置信区间为:})1()1(,)1()1({2122222-----n S n n S n ααχχ,其中S 2=1 240.28,70.2)9()1(,023.19)9()1(2975.0212025.0222==-==--χχχχααn n ,所以})1()1(,)1()1({2122222-----n S n n S n ααχχ=}70.228.24019,023.1928.24019{⨯⨯={586.79,4134.27}十一、假设检验 1． 已知方差σ2,关于期望μ的假设检验2． 未知方差σ2,关于期望μ的假设检验3．未知期望μ,关于方差σ2的假设检验例：已知某铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.112),现在测定了9炉铁水，含碳量平均数445.4=x，样本方差S 2＝0.0169。
若总体方差没有变化，即σ2＝0.121，问总)()1,0(~/000为已知σσμN nX U -=)1(~/0--=n t nS X T μ)1(~)1(22022--=n S n χσχ体均值μ有无显著变化？（α＝0.05）（同步50页四、1） 解：原假设H 0：μ＝4.55 统计量9/11.055.4-=x U ，当H 0成立时，U 服从N （0，1）对于α＝0.05，U 0.025=1.9696.186.29/11.055.4445.4>=-=U故拒绝原假设，即认为总体均值μ有显著变化练习：某厂生产某种零件，在正常生产的情况下，这种零件的轴长服从正态分布，均值为0.13厘米。
若从某日生产的这种零件中任取10件，测量后得146.0=x厘米，S=0.016厘米。
问该日生产得零件得平均轴长是否与往日一样？（α＝0.05） （同步52页四、2）【 不一样 】例：设某厂生产的一种钢索, 其断裂强度X kg/cm 2服从正态分布)40,(2μN . 从中选取一个容量为9的样本, 得780=X kg/cm 2. 能否据此认为这批钢索的断裂强度为800 kg/cm 2 (05.0=α).解： H 0：u =800. 采用统计量U =nu X σ-其中σ=40, u 0=800, n =9,05.0=α，查标准正态分布表得2αU =1.96 |U |=5.1|940800780|=-,| U |<2αU , 应接受原假设,即可以认为这批钢索的断裂强度为800kg/cm 2.练习：某厂生产铜丝，生产一向稳定。
现从该厂产品中随机抽出10段检查其折断力，测后经计算：5.160)(,5.2872101=-=∑=i iX XX 。
假定铜丝折断力服从正态分布，问是否可相信该厂生产的铜丝的折断力方差为16？（α＝0.1） （同步46页四、2）【是】十二、证明题： 例：总体)2,(~θθU X , 其中0>θ是未知参数, 又n X X X ,,,21 为取自该总体的样本,X 为样本均值. 证明: X 32ˆ=θ是参数θ的无偏估计. （同步39页四、2） 证明: 因为23323232ˆθθ===EX X E E =θ, 故X 2ˆ=θ是参数θ的无偏估计.例：设θˆ是参数θ的无偏估计量,0)ˆ(>θD , 证明: 2ˆθ不是2θ的无偏估计量. 证明：因为θˆ是参数θ的无偏估计量，所以θθ=)ˆ(E ，=)ˆ(θD =-22)ˆ()ˆ(θθE E 0)ˆ(22>-θθE , 即22)ˆ(θθ>E , 故 2ˆθ不是2θ的无偏估计量. （同步39页四、3）其它证明题见同步练习46页五、50页五、十三、其它题目例：设随机变量X 在区间[2，5]上服从均匀分布，求对X 进行的三次独立观测中，至少有两次的观测值大于3的概率。
解：P(X ＞3)=⎰5331d x = 32, 则所求概率即为2720323132323223=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛C C九、（12分）已知某种白炽灯泡的寿命服从正态分布。
在一批该种灯泡中随机地抽取10只测得其寿命值（以小时记）为：999.17 993.05 1001.84 1005.36 989.8 1000.891003.741000.231001.261003.19试求未知参数μ，2σ及σ的置信度为0.95的置信区间。
(262.2)9(025.0=t ,023.19)9(2025.0=χ,7.2)9(2975.0=χ)解：（1）未知参数μ的置信度为0.95的置信区间为：[]0.025(1)999.853 2.262999.853 3.4678x n ⎡⎤⎡⎤-==±⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=[]996.3852,1003.321（2）未知参数2σ的置信度为0.95的置信区间：[]22220.0250.975(1)(1)211.5268211.5268,,11.1195,78.343319.023 2.7n s n s χχ⎡⎤--⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（3）未知参数σ的置信度为0.95的置信区间：[]3.3346,8.8512==六、设某种电子管的使用寿命服从正态分布。
从中随机抽取15个进行检验，算出平均使用寿命为1950小时，样本标准差s 为300小时，以95%的置信概率估计整批电子管平均使用寿命的置信区间。
(满分10分)解：已知样本均值1950x =, 样本标准差s =300, 自由度为15-1=14, 查t 分布表得t 0.025(14)=2.1448,算出0.025 2.1448300166.13.873t ⨯==, 因此平均使用寿命的置信区间为166.1x ±，即(1784, 2116)。