(完整版)定积分的简单应用(老师版)
定积分的简单应用——求体积
精心整理 4.2定积分的简单应用(二)
复习： （1） 求曲边梯形面积的方法是什么？ （2） 定积分的几何意义是什么？ （3） 微积分基本定理是什么？ 引入： 我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。求体积问题也是定积分的一个重要应用。下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。 1. 简单几何体的体积计算 问题：设由连续曲线()yfx和直线xa，xb及x轴围成的平面图形（如图甲）绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V，如何求V？ 分析： 在区间[,]ab内插入1n个分点，使0121nnaxxxxxb，把曲线
()yfx（axb）分割成n个垂直于x轴的“小长条”，如图甲所示。设第i个“小长条”
的宽是1iiixxx，1,2,,in。这个“小长条”绕x轴旋转一周就得到一个厚度是ix的
小圆片，如图乙所示。当ix很小时，第i个小圆片近似于底面半径为()iiyfx的小圆柱。
因此，第i个小圆台的体积iV近似为2()iiiVfxx
该几何体的体积V等于所有小圆柱的体积和： 这个问题就是积分问题，则有： 归纳： 设旋转体是由连续曲线()yfx和直线xa，xb及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转精心整理 而成，则所得到的几何体的体积为2()baVfxdx 2. 利用定积分求旋转体的体积 （1） 找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数 （2） 分清端点 （3） 确定几何体的构造 （4） 利用定积分进行体积计算 3. 一个以y轴为中心轴的旋转体的体积 若求绕y轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为y，其公式为2()baVgydy
类型一：求简单几何体的体积 例1：给定一个边长为a的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积 思路： 由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。 解：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为,xy轴建立如图所示的平面直角坐标系，如图:BCya。则该旋转体即为圆柱的体积为： 规律方法： 求旋转体的体积，应先建立平面直角坐标系，设旋转曲线函数为()fx。确定积分上、下限,ab，则体积2()baVfxdx
高中数学同步教学 第4章 §3 定积分的简单应用
0
0
＝π(12x2－15x5)|01＝π(12－15)＝π×130＝130π.
• 4．由曲线y＝x2,直线x＝1,x＝2与x轴所围成的平面图形绕x
31π 5
轴[解旋析转] 一设周所得所旋得转旋体的转体体积的为 体V，积为________.
则 V＝2π(x2)2dx＝2πx4dx＝5πx5|12＝315π.
1
1
互动探究学案
命题方向1 ⇨不分割型平面图形面积的求解
• 典例 1 曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形16 的面积 为____.
• [思路分析] 从图形上可以看出,所求图形的面积可以转化 为一个三角形与一个曲边三角形面积的差,进而可以用定积 分求出面积．为了确定出积分的上、下限,我们需要求出直 线[解和析抛] 物解线方程的组交yy点＝＝xx的，2，横坐标．
第四章 定积分
• 本章知识概述：本章的主要内容是定积分的概念,计算和简 单应用．
• 教科书通过曲边梯形面积问题,变速直线运动物体的路程问 题,变力做功等问题,充分演示了定积分概念产生的背景以 及定积分概念形成过程中的思路．微积分基本定理为我们 处理积分的计算问题提供了有力工具,教科书主要介绍了求 简单图形的面积和求简单旋转体的体积．
1．平面图形的面积 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒有 f(x)≥0，那么定积分b f(x)dx 表
a
示由__直__线__x_＝__a_,x_＝__b_(_a_≠_b_)_,y_＝__0_和__曲__线__y_＝__f_(_x)_______所围成的曲边梯形的面积． 2．简单几何体的体积
得 x1＝0，x2＝1. 故所求图形的面积为
S＝1xdx－1x2dx
0
0
§3定积分的简单应用18页PPT
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
定积分的简单应用 课件
求变力所做功的步骤 1．根据物理学的实际意义，求出变力 F(x)的表达式． 2．由功的物理意义知，物体在变力 F(x)的作用下，沿力的方向做直线运动， 使物体从 x＝a 移到 x＝b(a<b)，因此，求功之前应求出位移的起始位置与终止位 置． 3．根据变力做功公式 W＝bF(x)dx，求出变力 F(x)所做的功．
变力作功问题
探究 一物体在变力 F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与
F(x)成 60°方向做直线运动，则由 x＝1 m 运动到 x＝3 m 时 F(x)做的功为多少 J.
【提示】
W＝3F(x)cos
60°dx＝312F(x)dx
1
1
＝3112(5－x2)dx＝125x－13x3| 31＝23(J)．
【自主解答】 由 v(t)＝8t－2t2≥0，得 0≤t≤4，
即当 0≤t≤4 时，P 点向 x 轴正方向运动，
当 t>4 时，P 点向 x 轴负方向运动．
故 t＝6 时，点 P 离开原点的路程为
s＝4(8t－2t2)dt－6(8t－2t2)dt
0
4
＝4t2－23t340 －4t2－23t364 ＝1238.
a
[再练一题] 3．在弹性限度内，用力把弹簧从平衡位置拉长 10 cm 所用的力是 200 N， 求变力 F 做的功．
【解】 设弹簧所受到的拉力与弹簧伸长的函数关系式为 F(x)＝kx(k>0)，
当 x＝10 cm＝0.1 m 时，F(x)＝200 N，
即 0.1k＝200，得 k＝2 000，故 F(x)＝2 000x，
定积分在几何中的应用 定积分在物理中的应用
教材整理 1 定积分与平面图形面积的关系
定积分的简单应用PPT优秀课件(定积分在几何中的应用等3个)
x轴所围成的图形是什么？各顶点的坐标
是什么？
y
y＝x－4
4
y = 2x
(8,4)
(0,0)
O
4 8x
(4,0)
思考2：如何将该图形的面积转化为曲边
梯形的面积？ y
y＝x－4
4 C
y = 2x
B
A
O
D4 8 x
S＝S曲边梯形OABC－S三角形ABD.
思考3：该图形的面积用定积分怎样表
示？
y
y＝x－4
f(x)所围成的曲边梯形的面积为S，则.
b
S = ò | f(x)| dx a
y y＝|f(x)|
Oa
bx
y＝f(x)
作业： P58练习：（1），（2）. P60习题1.7B组：1，2，3.
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
DA
O
1
y2＝x x
蝌 1
S= xdx-
1x2dx
0
0
思考4：利用微积分基本定理计算，该图
形的面积等于多少？
y
y＝x2
y2＝x
Hale Waihona Puke 1C BDAO
1
x
S
=
2x23 3
|10
-
1x3 3
|10=
1 3
探究（二）：直线y＝x－4与曲线y = 2x 及x轴所围成图形的面积
1.7.2定积分的简单应用(共42张PPT)
4.3.1定积分的简单应用(一)利用定积分求平面图形的面积
b
a
f ( x)dx F ' ( x)dx F ( x) |b a F (b) F (a )
a
b
牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系． 2.利用牛顿－莱布尼茨公式求定积分的关键是
确定f ( x)的原函数F ( x)
基本初等函数的导数公式
' 1.若f(x)=c，则f(x)=0 ' n-1 2.若f(x)=x n，则f(x)=nx (n R) ' 3.若f(x)=sinx，则f(x)=cosx ' 4.若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx
4
2 xdx) ( x 4)dx
4
8
8
0
2 xdx ( x 4)dx
4
8
2 2 3 1 2 40 8 2 8 x |0 ( x 4 x) |4 3 2 3
练习 1（课本变式题） ：
2 y 计算由曲线 2 x 和直线 y x 4所围成的图形的面积.
y 2x
解:
两曲线的交点
y 2 x (0,0), (8, 4). y x 4
直线与x轴交点为(4,0)
S S1 S2
4 0
S1
S2
y x4
2 xdx [
8
8
4
2 xdx ( x 4)dx]
4
8
(
4
0
2 xdx
2ห้องสมุดไป่ตู้
o
2
x
y
4
o
2 2
2
x
2
∵ s1 0 2 xdx x | 0 2 0 4
定积分的简单应用 课件
0.4dt＝20－0.4t.
0
0
令 v＝0，得 t＝50(s)．
(2)设列车开始制动到停止所走过的路程为 s，则
S＝050v(t)dt＝050(20－0.4t)dt＝(20t－0.2t2)500 ＝1000－500＝500(m)
即：列车应在进站前 50s 和距离车站 500m 处开始制动．
规律技巧 加速度函数的定积分是速度，速度函数的定 积分是位移．
题型三 求变力所做的功 例3 设有一长为25cm的弹簧，若加以100N的力，则弹 簧伸长到30cm，求使弹簧由25cm伸长到40cm所做的功． 分析 因为弹簧的力是一个变力，所以不能用常规的方 法求解，需用定积分去求解．
解 设x表示弹簧伸长的长度，F(x)表示加在弹簧上的
力，则依题意，使弹簧伸长5cm，需加100N的力，即100＝
a＝－0.4m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远
开始制动．
分析 将速度转化为20m/s，设制动后ts内速度为0，路
程为t
v(t)dt且v(t)＝v0＋t
adt.
0
0
解 (1)a＝－0.4m/s2，v0(t)＝72km/h＝20m/s，设 ts 后的
速度为
v，则
v＝v0＋t
adt＝20－t
题型二 利用定积分解实际问题 例2 设A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B 站，电车开出ts后到达途中C点，这一段加速度为1.2m/s2， 到C点速度达24 m/s.从C点到B站前的D点以等速行驶，从D 点开始刹车，经过ts后，速度为(24－1.2t)m/s.在B点恰好停 车，试求： (1)A，C间的距离； (2)B，D间的距离； (3)电车从A站到B站所需的时间．
《定积分的简单应用》课件
通过令小区间的长度趋近于0，可以得 到更精确的面积计算结果。
不等式的应用
通过定积分可以推导出许多有用的不等式，如柯西不等式、黎曼和不等式等，从而解决数学中的各种问题。
定积分在物理学中的应用
1 速度与位移
定积分可以用于计算速度 与位移之间的关系，从而 描述物体的运动。
2 力与功
定积分可以计算力与功之 间的关系，用于描述物体 受力时的能量变化。
化学平衡
利用定积分可以计算化学反应平衡时不同物质 的浓度。
化学反应速率
定积分可以描述化学反应速率与反应进程的关 系，研究反应动力学。
电化学
通过定积分可以研究电化学反应中电荷传递和 离子浓度的变化。
定积分在工程学中的应用
工程学中广泛应用定积分，如在建筑设计中计算结构的受力情况、电力系统 中计算电能的变化等。
通过计算三角形的定积分，可以 得到三角形面积公式，即底乘高 除以2。
多边形的面积
对于规则多边形，可以通过计算 边长和高的定积分来得到多边形 的面积。
拆分区间求面积的方法
1
逼近面积
2
将每个小区间的面积逼近为矩形或梯形
的面积，再求和得到总面积。
3
区间拆分
通过将区间拆分成多个小区间，可以更 准确地计算曲线下的面积。
定积分的符号表示为∫f(x)dx，表示求函数f(x)在区间[a, b]上的定积分。它表示了函数f(x)所围成的曲线与x轴之 间的面积。
如何计算定积分
计算定积分可以通过求导数的逆运算——不定积分。利用不定积分的基本公 式和技巧，可以将定积分转化为更简单的求导数的问题。
定积分的性质及其应用
线性质
定积分具有线性性质，即对函数的和与差的定 积分等于对应的定积分的和与差。
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[学习目标] 1.理解定积分的几何意义，会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积.2.掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法.3.通过具体实例了解定积分在物理中的应用，会求变速直线运动的路程和变力做功的问题.
知识点一 定积分在求几何图形面积方面的应用 1.求由一条曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b(a＜b)及y＝0所围成的平面图形的面积S. (1)如图①，f(x)＞0，abf(x)dx＞0，所以S＝abf(x)dx.
(2)如图②，f(x)＜0，abf(x)dx＜0，所以S＝
a
bfxdx
＝－
a
bf(x)dx.
(3)如图③，当a≤x≤c时，f(x)≤0，acf(x)dx＜0；当c≤x≤b时，f(x)≥0，abf(x)dx＞0.所以S＝acfxdx＋cbf(x)dx＝－acf(x)dx＋
c
bf(x)dx.
2.求由两条曲线f(x)和g(x)(f(x)＞g(x))，直线x＝a，x＝b(a＜b)所围成平面图形的面积S. (1)如图④，当f(x)＞g(x)≥0时，S＝ab[f(x)－g(x)]dx.
(2)如图⑤，当f(x)＞0，g(x)＜0时，S＝abf(x)dx＋abgxdx＝ab[f(x)－g(x)]dx.
3.当g(x)＜f(x)≤0时，同理得S＝ab[f(x)－g(x)]dx. 思考 (1)怎样利用定积分求不分割型图形的面积？ (2)当f(x)<0时，f(x)与x轴所围图形的面积怎样表示？ 答案 (1)求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可. (2)如图，因为曲边梯形上边界函数为g(x)＝0，下边界函数为f(x)，所以 S＝ab(0－f(x))dx＝－abf(x)dx.
4.利用定积分求平面图形面积的步骤： (1)画出图形：在平面直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； (2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标(或纵坐标)，确定积分上、下限； (3)确定被积函数； (4)写出平面图形面积的定积分表达式； (5)利用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积，写出答案. 知识点二 定积分在物理中的应用 1.在变速直线运动中求路程、位移 路程是位移的绝对值之和，从时刻t＝a到时刻t＝b 所经过的路程s和位移s′分别为： (1)若v(t)≥0，则s＝abv(t)dt，s′＝
a
bv(t)dt.
(2)若v(t)≤0，则s＝－abv(t)dt，s′＝
a
bv(t)dt.
(3)若在区间[a，c]上v(t)≥0，在区间[c，b]上v(t)<0， 则s＝acv(t)dt－cbv(t)dt，s′＝
a
bv(t)dt.
2.定积分在物理中的应用 (1)做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝
a
b
v(t)dt. (2)一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s(单位：m)，则力F所做的功为W＝Fs；而若是变力所做的功W，等于其力函数F(x)在位移区间[a，b]上的定积分，即W＝
a
bF(x)dx.
思考 下列判断正确的是 . (1)路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念； (2)利用定积分求变速直线运动的路程和位移是同一个式子
t1
t2
v(t)dt；
(3)利用定积分求变速直线运动的路程和位移不是同一个式子
t1
t2
v(t)dt.
答案 (1)(3) 解析 (1)显然正确.对于(2)(3)两个判断，由于当v(t)≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用
t1
t2
v(t)dt求解；当v(t)<0
时，求某一时间段内的位移用
t1
t2
v(t)dt求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为
－
t1
t2
v(t)dt.所以(2)错(3)正确. 题型一 利用定积分求平面图形的面积问题 例1 求由抛物线y2＝x5，y2＝x－1所围成图形的面积. 解 在同一个平面直角坐标系上画出两个抛物线的大致图形，如图.
方法一 以x为积分变量. 由 y2＝x5，y2＝x－1，得两个抛物线的两个交点坐标分别为A54，12，B
54，－1
2.
设点P(1,0)，则所求面积S＝2054x5dx－154x－1dx ＝235532442002531152xx＝23.
方法二 以y为积分变量. 由 y2＝x5，y2＝x－1，可得两个抛物线的两个交点坐标分别为A54，12，B
54，－1
2.
设点P(1,0)，则所求面积S＝2012 (y2＋1－5y2)dy
＝2y－43y3 120＝23.
反思与感悟 若以x为积分变量，则被积函数的原函数不易确定，而且计算也比较麻烦；若以y为积分变量，则可以避免这种情况.选取积分变量有时对解题很关键.
跟踪训练1 在曲线y＝x2(x≥0)上的某一点A处作一切线，使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为112.试求：切点
A的坐标和过切点A的切线方程. 解 如图所示，设切点A(x0，y0)，由y′＝2x得过A点的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－x20.
令y＝0，得x＝x02即Cx02，0. 设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，则S＝S曲边△AOB－S△ABC. S曲边△AOB＝00xx2dx＝13x3 x00＝13x30， S△ABC＝12|BC|·|AB|＝12x0－x02·x20＝14x30， 即S＝13x30－14x30＝112x30＝112，所以x0＝1.
从而切点为A(1,1)，切线方程为y＝2x－1 题型二 运用定积分求解物理问题 例2 一点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)运动，求： (1)此点在t＝4 s时的位置； (2)此点在t＝4 s时运动的路程. 解 因为位置决定于位移，所以它是v(t)在[0,4]上的定积分，而路程是位移的绝对值之和，所以需要判断在[0,4]上哪些时间段的位移为负. (1)在t＝4 s时，该点的位移为
0
4(t2－4t＋3)dt＝13t3－2t2＋3t 40＝43(m).
即在t＝4 s时该点在距出发点43 m处.
(2)∵v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，
∴在区间[0,1]及[3,4]上，v(t)≥0， 在区间[1,3]上，v(t)≤0， ∴该点在t＝4 s时的路程为
S＝01(t2－4t＋3)dt＋13t2－4t＋3dt＋34(t2－4t＋3)dt
＝01(t2－4t＋3)dt－13(t2－4t＋3)dt＋34(t2－4t＋3)dt＝4(m). 反思与感悟 解决此类问题的一般步骤：(1)求出每一时间段上的速度函数；(2)根据定积分的物理意义，求出对应时间段上的定积分. 跟踪训练2 有一辆汽车以每小时36 km的速度沿平直的公路行驶，在B处需要减速停车.设汽车以2 m/s2的加速度刹车，问：从开始刹车到停车，汽车行驶了多远？ 解 设从开始刹车到停车，汽车经过了t s. v0＝36 km/h＝10 m/s，v(t)＝v0－at＝10－2t.
令v(t)＝0，解得t＝5.
所以从开始刹车到停车，汽车行驶的路程为s＝05(10－2t)dt＝(10t－t2) 50＝25(m). 故从开始刹车到停车，汽车行驶了25 m. 题型三 用定积分解决变力做功问题 例3 设有一个长为25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功. 解 设x表示弹簧伸长的长度，f(x)表示加在弹簧上的力，则f(x)＝kx(其中常数k为比例系数). 因为当f(x)＝100时，x＝5，所以k＝20. 所以f(x)＝20x. 弹簧由25 cm伸长到40 cm时，弹簧伸长的长度x从0 cm变化到15 cm，故所做的功
W＝01520xdx＝10x2
15
0＝2 250(N·cm)＝22.5(J).
反思与感悟 (1)根据物理学知识，求出变力f(x)的表达式；(2)由功的物理意义知，物体在变力f(x)的作用下，沿力的方向做直线运动，使物体由一个位置移到另一个位置，因此，求功之前应先求出位移的起始位置和终止位置；(3)根据变力做功的公式W＝
a
bf(x)dx求出变力所做的功.
跟踪训练3 如图所示，设气缸内活塞一侧存在一定量气体，气体做等温膨胀时推动活塞向右移动一段距离，若气体体积由V1变为V2，求气体压力所做的功.
解 由物理学知识知，气体膨胀为等温过程，所以气体压强为P＝CV(V表示气体体积，C为常数)，而活塞上的压力
为F＝PQ＝CQV＝CL(Q表示截面积，L表示活塞移动的距离，V＝LQ).
记L1，L2分别表示活塞的初始位置和终止位置，于是有W＝L1L2F(L)dL＝L1L2CLdL＝CV1V21VdV＝C(ln V) V2V1 ＝C(ln V2－ln V1).
所以气体体积由V1变为V2，气体压力所做的功为C(ln V2－ln V1).
用定积分求平面图形面积时，因对图形分割不当致误 例4 求由抛物线y2＝8x(y＞0)与直线x＋y－6＝0及y＝0所围成图形的面积. 错解 由题意，作出图形如图
由 y2＝8xy＞0，x＋y－6＝0得 x＝2，y＝4，所以抛物线y2＝8x(y＞0)与直线x＋y－6＝0的交点坐标为(2,4)， 所以所求面积为S＝
0
4(6－x－8x)dx
＝324201262223xxx