定积分的简单应用求体积
定积分的简单应用求体
积
Document number：BGCG-0857-BTDO-0089-2022
定积分的简单应用(二)
复习：
（1） 求曲边梯形面积的方法是什么
（2） 定积分的几何意义是什么
（3） 微积分基本定理是什么
引入：
我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。求体积问题也是定积分的一个重要应用。下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。
1. 简单几何体的体积计算
问题：设由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的平面图形（如图甲）
绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为V ，如何求V
分析：
在区间[,]a b 内插入1n -个分点，使0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，把曲线()y f x =（a x b ≤≤）分割成n 个垂直于x 轴的“小长条”，如图甲所示。设第i 个“小长条”的宽是1i i i x x x -?=-，1,2,,i n =。这个“小长条”绕x 轴旋转一周就得到一个厚度是i x ?的小圆片，如图乙所示。当i x ?很小时，第i 个小圆片近似于底面半径为()i i y f x =的小圆柱。因此，第i 个小圆台的体积i V 近似为2()i i i V f x x π=?
该几何体的体积V 等于所有小圆柱的体积和：
2221122[()()()]n n V f x x f x x f x x π≈?+?+
+?
这个问题就是积分问题，则有： 22()()b b
a a V f x dx f x dx ππ==?? 归纳：
设旋转体是由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成，则所得到的几何体的体积为2()b
a V f x dx π=? 2. 利用定积分求旋转体的体积
（1） 找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数
（2） 分清端点
（3） 确定几何体的构造
（4） 利用定积分进行体积计算
3. 一个以y 轴为中心轴的旋转体的体积
若求绕y 轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为y ，其公式为
2()b
a V g y dy π=? 类型一：求简单几何体的体积
例1：给定一个边长为a 的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积
思路：
由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。
解：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为,x y 轴建立如图所示的平面直角
坐标系，如图:BC y a =。则该旋转体即为圆柱的体积为：
22300|a
a V a dx a x a πππ=?==?
规律方法： 求旋转体的体积，应先建立平面直角坐标系，设旋转曲线函数为()f x 。确定积分上、下限,a b ，则体积2()b
a V f x dx π=? 练习1：如图所示，给定直角边为a 的等腰直角三角形，绕y 轴旋转一周，求形成的
几何体的体积。
解：形成的几何体的体积为一圆柱的体积减去一圆锥的体积。
22333001
2|33
a
a V a a y dy a y a πππππ∴=-=-=? 类型二：求组合型几何体的体积
例2：如图，求由抛物线28(0)y x y =>与直线60x y +-=及0y =所围成的图形绕x
轴旋转一周所得几何体的体积。
思路：
解答本题可先由解析式求出交点坐标。
再把组合体分开来求体积。
解：解方程组28(0)60
y x y x y ?=>?+-=? 得：24x y =??=? 28y x ∴=与直线60x y +-=的交点坐标为(2,4)
所求几何体的体积为：
26220264112(8)(6)1633
V x dx x dx πππππ=+-=+=?? 规律方法：
解决组合体的体积问题，关键是对其构造进行剖析，分解成几个简单几何体体积的和或差，然后，分别利用定积分求其体积。
练习2：求由直线2y x =，直线1x =与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转
体的体积。
解：旋转体的体积：
1
204(2)3V x dx ππ==? 类型三：有关体积的综合问题：
例3：求由曲线212
y x =
与2y x =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。
思路：解题的关键是把所求旋转体体积看作两个旋转体体积之差。
画出草图→确定被积函数的边界→确定积分上、下限 →用定积分表示体积→求定积分
解：曲线212
y x =与2y x =所围成的平面图形如图所示： 设所求旋转体的体积为V
根据图像可以看出V 等于曲线2y x =，直线2x =与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积（设为1V ）减去曲线212
y x =直线2x =与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积（设为2V ）
2222210001(2)22|42
V x dx xdx x ππππ====?? 2
2224522000118|24455V x dx x dx x ππππ??===?= ????? 12812455
V V V πππ=-=-= 反思：
结合图形正确地把求旋转体体积问题转化为求定积分问题是解决此类问题的一般方法。 练习3：求由1y x =+，229y x =
以及y 轴围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。
解：由2129y x y x ?=+??=??
得：32x y =??=? 33400451(1)8110
V x dx x dx πππ=+-=??
误区警示：忽略了对变量的讨论而致错
例：已知曲线2y x =，1y x
=和直线0y =，(0)x a a =>。试用a 表示该四条曲线围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体积。
思路：掌握对定积分的几何意义，不要忽视了对变量a 的讨论。
解：由2
1y x y x ?=??=??
得11x y =??=? 由示意图可知：要对a 与1的关系进行讨论：
①① 当01a <≤时，224500()5a a V x dx x dx a πππ=
==?? ②② 当1a >时，2
1220116()5a V x dx dx x a ππππ??=+=- ????? ∴所得旋转体的体积为5
(01)56(1)5a a V a a
πππ?<≤??∴=??->??
追本溯源：
利用定积分求旋转体的体积问题的关键在于：
（1）找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数（2）分清端点
（3）确定几何体的构造
（4）利用定积分进行体积计算
定积分的简单应用求体积
定积分的简单应用求体 积 Document number：BGCG-0857-BTDO-0089-2022
定积分的简单应用(二) 复习： （1） 求曲边梯形面积的方法是什么 （2） 定积分的几何意义是什么 （3） 微积分基本定理是什么 引入： 我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。求体积问题也是定积分的一个重要应用。下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。 1. 简单几何体的体积计算 问题：设由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的平面图形（如图甲） 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为V ，如何求V 分析： 在区间[,]a b 内插入1n -个分点，使0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，把曲线()y f x =（a x b ≤≤）分割成n 个垂直于x 轴的“小长条”，如图甲所示。设第i 个“小长条”的宽是1i i i x x x -?=-，1,2,,i n =。这个“小长条”绕x 轴旋转一周就得到一个厚度是i x ?的小圆片，如图乙所示。当i x ?很小时，第i 个小圆片近似于底面半径为()i i y f x =的小圆柱。因此，第i 个小圆台的体积i V 近似为2()i i i V f x x π=? 该几何体的体积V 等于所有小圆柱的体积和：
2221122[()()()]n n V f x x f x x f x x π≈?+?+ +? 这个问题就是积分问题，则有： 22()()b b a a V f x dx f x dx ππ==?? 归纳： 设旋转体是由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成，则所得到的几何体的体积为2()b a V f x dx π=? 2. 利用定积分求旋转体的体积 （1） 找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数 （2） 分清端点 （3） 确定几何体的构造 （4） 利用定积分进行体积计算 3. 一个以y 轴为中心轴的旋转体的体积 若求绕y 轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为y ，其公式为 2()b a V g y dy π=? 类型一：求简单几何体的体积 例1：给定一个边长为a 的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积 思路： 由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。 解：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为,x y 轴建立如图所示的平面直角 坐标系，如图:BC y a =。则该旋转体即为圆柱的体积为： 22300|a a V a dx a x a πππ=?==?
《定积分》教学设计与反思
《定积分》教学设计与反思 学习目标 1、通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分． 2、通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法． 教学重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分． 教学难点：了解微积分基本定理的含义． 一、自主学习： 1．定积分的定义：， 2．定积分记号： 思想与步骤 几何意义． 3．用微积分基本定理求定积分 二、新知探究 新知1：微积分基本定理： 背景：我们讲过用定积分定义计算定积分,但如果要计算，其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 探究问题1：变速直线运动中位置函数S(t)与速度函数v(t)之间的联系 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位移为S(t),速度为v(t)（）， 则物体在时间间隔内经过的位移记为，则 一方面：用速度函数v(t)在时间间隔求积分，可把位移= 另一方面：通过位移函数S（t）在的图像看这段位移还可以表示为 探究问题2： 位移函数S(t)与某一时刻速度函数v(t)之间的关系式为 上述两个方面中所得的位移可表达为 上面的过程给了我们启示 上式给我们的启示：我们找到了用的原函数（即满足）的数值差来计算在上的定积分的方法。 定理如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法。 例1．计算下列定积分： 新知2：用定积分几何意义求下列各式定积分： 若求 新知3：用定积分求平面图形的面积 1、计算函数在区间的积分 2、计算函数在区间的积分 3、求与在区间围成的图形的面积 通过此题的计算你发现了什么？ 教学反思 本课的教学设计，是在新课程标准理念指导下，根据本班学生实际情况进行设计的。从实施情况来看，整堂课学生情绪高涨、兴趣盎然。在教学中，教师一改往日应用题教学的枯燥、抽象之面貌，而是借用学生已有的知识经验和生活实际，有效地理解了微积分的基本定理，具体反思如下： 1、改变定理的表述形式，丰富信息的呈现方式。 根据高中学生的认知特点，我在教学过程中，出示例题、习题时，呈现形式力求多样、新颖，让学生多种感官一起参与，以吸引学生的注意力，培养对数学的兴趣。本课的教学中，我大胆地改变了教材中实例分析顺序，重组和创设了这样一个情境，从而引入速度关于时间的定积分背景，即切合学生的生活实际，又让学生发现了定理的实际意义，理解了定理的本质，激发了学生学习的兴趣。并更好地为下一环节的自主探索、主动发展作好充分的准备。 2、突出数学应用价值，培养学生的应用意识和创新能力 《数学课程标准》中指出，要让学生能够“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识。”本课的设计充分体现了这一理念，例题中涉及路程和速度，让学生感受到数学与生活的密切联系，通过自己的探究，运用数学的思维方式解决问题，又能运用掌握的知识去研究解决生活的其它数学问题，，培养了学生的应用意识。
§1.7定积分的简单应用
定积分的简单应用 一：教学目标 知识与技能目标 1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法； 2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 4、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。 过程与方法 情感态度与价值观 二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三：教学过程： 1、复习 1、求曲边梯形的思想方法是什么？ 2、定积分的几何意义是什么？ 3、微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 解：2 01y x x x y x ?=??==? =??及，所以两曲线的交点为 （0，0）、（1，1），面积S=1 1 20 xdx x dx = -? ?，所以 ?1 2 0S =(x -x )dx 321 3 023 3x x ??=-????=13 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。 2 x y =y x A B C D O
巩固练习 计算由曲线36y x x =-和2 y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x = 以及x 轴所围图形的面积S. 分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯 形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4y x =-与曲线2y x =的交点的横坐标， 直线4y x =-与 x 轴的交点． 解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的 面积． 解方程组2, 4 y x y x ?=?? =-?? 得直线4y x =-与曲线2y x = 的交点的坐标为（8,4) . 直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2 4 8 8 4 4 2[2(4)]xdx xdx x dx =+--? ? ? 334 82822044 2222140||(4)|23 x x x =+-=. 由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图， 再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限． 例3.求曲线], [sin 320π∈=x x y 与直线,,3 20π==x x x 轴所围成的图形面积。
定积分的简单应用——求体积
4.2定积分的简单应用(二) 复习： （1） 求曲边梯形面积的方法是什么？ （2） 定积分的几何意义是什么？ （3） 微积分基本定理是什么？ 引入： 我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。求体积问题也是定积分的一个重要应用。下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。 1. 简单几何体的体积计算 问题：设由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的平面图形（如图甲）绕x 轴 旋转一周所得旋转体的体积为V ，如何求V ？ 分析： 在区间[,]a b 内插入1n -个分点，使0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，把曲线 ()y f x =（a x b ≤≤）分割成n 个垂直于x 轴的“小长条”，如图甲所示。设第i 个“小长条”的宽是1i i i x x x -?=-，1,2,,i n =。这个“小长条”绕x 轴旋转一周就得到一个厚度是i x ?的小圆片，如图乙所示。当i x ?很小时，第i 个小圆片近似于底面半径为()i i y f x =的小圆柱。因此，第i 个小圆台的体积i V 近似为2()i i i V f x x π=? 该几何体的体积V 等于所有小圆柱的体积和： 2221122[()()()]n n V f x x f x x f x x π≈?+?+ +? 这个问题就是积分问题，则有：
22()()b b a a V f x dx f x dx ππ==?? 归纳： 设旋转体是由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转 而成，则所得到的几何体的体积为2()b a V f x dx π =? 2. 利用定积分求旋转体的体积 （1） 找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数 （2） 分清端点 （3） 确定几何体的构造 （4） 利用定积分进行体积计算 3. 一个以y 轴为中心轴的旋转体的体积 若求绕y 轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为y ，其公式为2()b a V g y dy π =? 类型一：求简单几何体的体积 例1：给定一个边长为a 的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积 思路： 由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定 积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。 解：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为,x y 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 如图:BC y a =。则该旋转体即为圆柱的体积为： 22300|a a V a dx a x a πππ=?==? 规律方法： 求旋转体的体积，应先建立平面直角坐标系，设旋转曲线函数为()f x 。确定积分上、下限,a b ，则体积2()b a V f x dx π=? 练习1：如图所示，给定直角边为a 的等腰直角三角形，绕y 轴旋转一周，求形成的几何体的 体积。 解：形成的几何体的体积为一圆柱的体积减去一圆锥的体积。
定积分教学设计
定积分的简单应用 一、教学目标 1、 知识与技能目标： （1）应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程问题； （2）学会将实际问题化归为定积分的问题。 2、 过程与方法目标： 通过体验解决问题的过程，体现定积分的使用价值，加强观察能力和归纳能力，强化数形结合和化归思想的思维意识，达到将数学和其他学科进行转化融合的目的。 3、 情感态度与价值观目标： 通过教学过程中的观察、思考、总结，养成自主学习的良好学习习惯，培养数学知识运用于生活的意识。 二、 教学重点与难点 1、重点：应用定积分解决平面图形的面积和变速直线运动的路程问题，在解决问题的过程中体验定积分的价值。 2、难点：将实际问题化归为定积分的问题，正确计算。 三、教学过程 （一）创设问题情境： 复习 1、求曲边梯形的思想方法是什么？ 2、定积分的几何意义是什么？ 3、微积分基本定理是什么？ 引入：．计算 dx x ? --2 2 2 4 2．计算 ?-22 sin π πdx x 思考：用定积分表示阴影部分面积 选择X 为积分变量，曲边梯形面积为 （二）研究开发新结论 1计算由抛物线2 y x =在[]0,1上与X 轴在第一象限围成图形的面积S. 2计算由抛物线2 y x =在[]0,1上与X 轴在第一象限围成的图形的面积S. 总结解题步骤：1找到图形----画图得到曲边形. 2曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线. dx x f dx x f s b a b a ??-=)()(21
3定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数. 4计算定积分. （三）巩固应用结论 例1．计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积. 分析：两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得 到。 解：2 01y x x y x ?=??==?=??及，所以两曲线的交点为（0，0）、 （1，1），面积 S=1 20 x dx = -? ? ，所以 ?1 20S =x )dx 32 1 3023 3x x ??=-????=13 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象； 2.求交点； 3.用定积分表示所求的面积； 4.微积分基本定理求定积分。 巩固练习 计算由曲线36y x x =-和2y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =- ，曲线y =x 轴所围图形的面积S. 分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4y x =- 与曲线y =的横坐标，直线4y x =-与 x 轴的交点． 解：作出直线4y x =-，曲线y = 的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的面积． 解方程组4 y y x ?=?? =-?? 得直线4y x =-与曲线y =8,4) . 直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 28 4 4 [(4)]x dx = +--? ? ? -1
定积分的简单应用(6)
§1.7 定积分的简单应用（一） 一：教学目标 1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法； 2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 4、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。 二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三：教学过程： 定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 解：201y x x x y x ?=??==?=??及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积 S=1 1 20 xdx x dx = -? ?，所以 ?1 20S =(x -x )dx 32 1 3023 3x x ??=-????=13 例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S. 解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为图阴影部分的面积． 解方程组2, 4 y x y x ?=?? =-?? 得直线4y x =-与曲线2y x = 的交点的坐标为（8,4) . 直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2 4 8 8 4 4 2[2(4)]xdx xdx x dx =+--? ? ? 33482822044 2222140||(4)|3323 x x x =+-=. 例3.求曲线],[sin 3 20π ∈=x x y 与直线,,3 20π ==x x x 轴所围成的图形面积。 答案： 2 33 2320 = -=? ππo x xdx S |cos sin ＝ 练习 1、求直线32+=x y 与抛物线2x y =所围成的图形面积。 答案：3 32 33323132 23 1= -+=--? |))x x x dx x x S （－＋（＝ 2、求由抛物线342-+-=x x y 及其在点M （0，－3） 2 x y =y x = A B C D O
N0.14《定积分的概念》导学案
N0.14《定积分的概念》导学案 目标展示： 1、掌握求曲边梯形面积的步骤。 2、了解定积分的定义和几何意义。 课程导读（阅读教材P38—P49后完成下列问题） 化很大 C ．f (x )的值不变化 D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小 2．在求由x ＝a ，x ＝b (a 当n →+∞时，无限趋近于一个常数A ，则A 可用定积分表示为 （ ） A ．dx x ?101 B ．dx x p ?10 C ．dx x p ?1 0)1( D ．dx n x p ?10)( 4．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间????i －1n ，i n 上的值能够用下列哪个值近似代替( )． A ．f ????1n B ．f ????2n C ．f ??? ?i n D ．f (0) 5.求由抛物线y ＝2x 2与直线x ＝0，x ＝t (t >0)，y ＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t ]等分成n 个小区间，则第i －1个区间为( ) A.????i －1n ，i n B.????i n ，i ＋1n C.????t (i －1)n ，ti n D.????t (i －2)n ，t (i －1)n 6．由直线x ＝1，y ＝0，x ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形 面积的近似值(取每个区间的右端点)是( ) A.119 B.111256 C.110270 D.2564 7．在等分区间的情况下，f (x )＝ 11＋x 2(x ∈[0,2])及x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式准确的是( ) A.lim n →∞∑i ＝1n [1 1＋????i n 2·2n ] B.lim n →∞∑i ＝1n [11＋????2i n 2·2n ] C.lim n →∞∑i ＝1n ????11＋i 2·1n D.lim n →∞∑i ＝1n [11＋????i n 2·n ] 8．已知??13f (x )d x ＝56，则( ) A.??12f (x )d x ＝28 B.??2 3f (x )d x ＝28 C.??122f (x )d x ＝56 D.??12f (x )d x ＋??2 3f (x )d x ＝56 9．下列等式成立的是( ) A a b xdx b a -=? B. 5.0=?xdx b a
高中数学选修2-2优质学案：§1.5 定积分的概念
[学习目标] 1.了解定积分的概念.2.理解定积分的几何意义.3.通过求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程，了解“以直代曲”“以不变代变”的思想.4.能用定积分的定义求简单的定积分． 知识点一曲边梯形的面积和汽车行驶的路程 1．曲边梯形的面积 (1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线________所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)． (2)求曲边梯形面积的方法 把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些________，对每个__________“以直代曲”，即用__________的面积近似代替__________的面积，得到每个小曲边梯形面积的________，对这些近似值______，就得到曲边梯形面积的________(如图②所示)． (3)求曲边梯形面积的步骤：①________，②________，③________，④________. 2．求变速直线运动的(位移)路程 如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，那么也可以采用________，________，________，________的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s. 思考(1)如何计算下列两图形的面积？
(2)求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？ 知识点二 定积分的概念 如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0 定积分的应用 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 浅谈定积分的应用 **** **** （天津商业大学经济学院，中国天津 300134) 摘要：定积分在我们日常生活和学习中有很多的用处，本文阐述了定积分的定义和几何意义，并通过举例分析了定积分在高等数学、物理学、经济学等领域的应用条件及其应用场合，通过分析可以看出利用定积分求解一些实际问题是非常方便及其准确的。 关键词 定积分 定积分的应用 求旋转体体积 变力做功 The Application of Definite Integral **** **** (Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134，China) Abstract:Definite integral in our daily life and learning have a lot of use, this paper expounds the definition of defi nite integral and geometric meaning, and through the example analysis of the definite integral in the higher mathe matics, physics, economics, and other fields of application condition and its applications, through the analysis can be seen that the use of definite integral to solve some practical problems is very convenient and accurate. Keywords: definite integral, the application of definite integral, strives for the body of revolution, volume change forces work 0、前言 众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。一元函数情况下，求微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数，所以，微分与积分互为逆运算。在我们日常生活当中，定积分的应用是十分广泛的。定积分作为人类智慧最伟大的成就之一，既可以作为基础学科来研究，也可以作为一个解决问题的方法来使用。 微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分渗透到我们生活中的方方面面，推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展[1-5] 。本文将举例介绍定积分在 的我们日常学习和生活当中的应用。 1定积分的基本定理和几何意义 1.1、定积分的定义 定积分就是求函数)(x f 在区间[]b a ,中图线下包围的面积。即由0=y ，a x =， b x =,()x f y =所围成图形的面积。 定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是： 如果)(x f 是[]b a ,上的连续函数，并且有())(' x f X F =，那么 ()()()1)(Λa F b F dx x f b a -=? 1．5.3 定积分的概念 预习课本P45～47，思考并完成下列问题 (1)定积分的概念是什么？几何意义又是什么？ (2)定积分的计算有哪些性质？ [新知初探] 1．定积分的概念与几何意义 (1)定积分的概念：一般地，设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0 中的阴影部分的面积)． [点睛] 利用定积分的几何意义求定积分的关注点． (1)当f (x )≥0时，??a b f (x )d x 等于由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0与曲线y ＝f (x )围成曲边梯形的面积，这是定积分的几何意义． (2)计算??a b f (x )d x 时，先明确积分区间[a ，b ]，从而确定曲边梯形的三条直边x ＝a ，x ＝b ，y ＝0，再明确被积函数f (x )，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求曲边梯形的面积S 而得到定积分的值： 当f (x )≥0时，??a b f (x )d x ＝S ；当f (x )<0时， ??a b f (x )d x ＝－S . 2．定积分的性质 (1)??a b kf (x )d x ＝k ??a b f (x )d x (k 为常数)． (2)??a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝??a b f 1(x )d x ±??a b f 2(x )d x . (3)??a b f (x )d x ＝??a c f (x )d x ＋??c b f (x )d x (其中a 定积分的简单应用 【学习目标】 1.会用定积分求平面图形的面积。 2.会用定积分求变速直线运动的路程 3.会用定积分求变力作功问题。 【要点梳理】 要点一、应用定积分求曲边梯形的面积 1. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x =(()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积： ()[()()]b b a a S f x dx f x g x dx ==-?? 2.如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线 ()y f x =(0)(≤x f )围成的曲边梯形的面积： ()()[()()]b b b a a a S f x dx f x dx g x f x dx = =-=-? ?? 3．由三条直线,(),x a x b a c b x ==<<轴及一条曲线()y f x =（不妨设在区间[,]a c 上 ()0f x ≤，在区间[,]c b 上()0f x ≥）围成的图形的面积： ()c a S f x dx = + ? ()b c f x dx ? ＝()c a f x dx -?＋()b c f x dx ?. 4. 如图，由曲线11()y f x =22()y f x =12()()f x f x ≥及直线x a =，x b =()a b <围 成图形的面积： 1212[()()]()()b b b a a a S f x f x dx f x dx f x dx =-=-??? 要点诠释： 研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义： ① 当平面图形的曲边在x 轴上方时，容易转化为定积分求其面积； ② 当平面图形的一部分在x 轴下方时，其在x 轴下的部分对应的定积分为负值，应取其相反数（或绝对值）； 要点二、求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 （1）画出图形； （2）确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限； （3）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置； （4）写出平面图形面积的定积分表达式； （5）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。 要点三、定积分在物理中的应用 ① 速直线运动的路程 作变速直线运动的物体所经过的路程S ，等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间 [,]a b 上的定积分，即()b a S v t dt =?. ②变力作功 物体在变力()F x 的作用下做直线运动，并且物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到x b =()a b <，那么变力()F x 所作的功W = ()b a F x dx ? . 要点诠释： 1. 利用定积分解决运动路程问题，分清运动过程中的变化情 况是解决问题的关键。应注意的是加速度的定积分是速度，速度的定积分是路程。 2. 求变力作功问题，要注意找准积分变量与积分区间。 【典型例题】 类型一、求平面图形的面积 【高清课堂：定积分的简单应用 385155 例1】 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【思路点拨】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 定积分的简单应用 海口实验中学陈晓玲 一、教材分析 “定积分的简单应用”是人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修2－2第一章1.7的内容。从题目中可以看出，这一节教学的要求就是让学生在充分认识导数与积分的概念，计算，几何意义的基础上，掌握用积分手段解决实际问题的基本思想和方法，在学习过程中了解导数与积分的工具性作用，从而进一步认识到数学知识的实用价值以及数学在实际应用中的强大生命力。在整个高中数学体系中，这部分内容也是学生在高等学校进一步学习数学的基础。 二、教学目标（以教材为背景，根据课标要求，设计了本节课的教学目标） 1、知识与技能目标： （1）应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程问题； （2）学会将实际问题化归为定积分的问题。 2、过程与方法目标： 通过体验解决问题的过程，体现定积分的使用价值，加强观察能力和归纳能力，强化数形结合和化归思想的思维意识，达到将数学和其他学科进行转化融合的目的。 3、情感态度与价值观目标： 通过教学过程中的观察、思考、总结，养成自主学习的良好学习习惯，培养数学知识运用于生活的意识。 三、教学重点与难点 1、重点：应用定积分解决平面图形的面积和变速直线运动的路程问题，在解决问题的过程中体验定积分的价值。 2、难点：将实际问题化归为定积分的问题。 四、教学用具：多媒体 五、教学设计 教学环节教学设计师生 互动 设计意图 一、 创设情境 引出新课1、生活实例： 实例1：国家大剧院的主题构造 类似半球的构造，如何计算建造时中间玻璃段的使用面积？ 边缘的玻璃形状属于曲边梯形，要计算使用面积可以通过计算 曲边梯形的面积实现。 实例2：一辆做变速直线运动的汽车，我们如何计算它行驶的 路程？ 2、复习回顾： 如何计算曲边梯形的面积？ 3、引入课题： 定积分的简单应用 学生:观 察。 教师：启 发，引导 学生：思 考，回 忆。 学生：疑 惑，思 考，感 受。 教师：启 发，引 导。 学生：复 习，回忆 老师：引 入课题 数学源于生活，又服 务于生活。 通过对国家大剧院的 观察，创设问题情境，体 验数学在现实生活中的 无处不在，激发学生的学 习热情，引导他们积极主 动的参与到学习中来。 启发学生把物理问题 与数学知识联系起来，训 练学生对学科间的思维 转换和综合思维能力。 学生感受定积分的工 具性作用与应用价值。 在生活实例的启发 下，引导学生把所学知识 与实际问题联系起来，回 忆如何计算曲边梯形面 积。 这是这节课的知识基 础。 引入本节课的课题。 哎呀，里程表坏了，你 能帮我算算我走了多 少路程吗? x y o y f(x) = a b A ?=b a dx x f A) ( [对应学生用书P44] 一、定积分 1．定积分的概念： ??a b f (x )d x 叫函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分． 2．定积分的几何意义： 当f (x )≥0时，??a b f (x )d x 表示的是 y ＝f (x )与直线x ＝a ，x ＝b 和x 轴所围成的曲边梯形的面积． 3．定积分的性质： (1)∫b a 1d x ＝b －a . (2)??a b kf (x )d x ＝k ??a b f (x )d x . (3)??a b [f (x )±g (x )]d x ＝??a b f (x )d x ±??a b g (x )d x . (4)??a b f (x )d x ＝??a c f (x )d x ＋??c b f (x )d x . 定积分的几何意义和性质相结合求定积分是常见类型，多用于被积函数的原函数不易求，且被积函数是熟知的图形． 二、微积分基本定理 1．如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则??a b f (x )d x ＝F (x )| b a ＝F (b )－F (a )． 2．利用微积分基本定理求定积分，其关键是找出被积函数的一个原函数．求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，因此，应熟练掌握一些常见函数的导数公式． 三、定积分的简单应用 定积分的应用在于求平面图形的面积及简单旋转几何体的体积，解题步骤为： ①画出图形．②确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限．③确定被积函数．④写出平面图形面积或旋转体体积的定积分表达式．⑤运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积或旋转几何体的体积． 1.7.1定积分在几何中的应用 教材分析 这一节的教学要求是让学生在充分认识导数与积分的概念、计算、几何意义的基础上，掌握用积分解决实际问题的基本思想和方法.在学习过程中，理解导数与积分的工具性作用，从而进一步认识到数学知识的使用价值以及数学在实际应用中的强大作用.在整个高中数学体系中，这部分内容也是进一步学习高 等数学的基础.教学方法是“问题诱导一一启发讨论一一探索结果”、“直观观察一一抽象归纳一一总结规 律”的一种研究性教与学的方法，过程中注重“诱、思、探、练”的结合，从而引导学生转变学习方式采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究地学习，形成师生互动的教学氛围.探究式的学习方法能 够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；探究过程中对学生进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学生自主探究. 课时分配 本课时是定积分应用部分的第一课时，主要解决的是平面图形的面积问题 教学目标 重点：应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值. 难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数 知识点：应用定积分解决平面图形的面积. 能力点：通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法. 教育点：在解决问题的过程中体会定积分的价值 自主探究点：探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法. 考试点：应用定积分解决平面图形的面积. 易错易混点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数 拓展点：链接咼考. 教具准备实物投影机和粉笔. 课堂模式基于问题驱动的诱思探究. 一、创设情境 1、求曲边梯形的思想方法是什么？（以直代曲，无限逼近） 2、定积分的几何意义是什么？ o - - cos 二-(-cosO) =2 , 若f(x)^O则表示面积 sin xdx = -cosx =f "sin xdx=—cosx ?=—cos2x —(—cosn) =-2，若f (x)兰0则表示面积相反数 定积分的简单应用 【学习目标】 1.会用定积分求平面图形的面积。 2.会用定积分求变速直线运动的路程 3.会用定积分求变力作功问题。 【要点梳理】 要点一、应用定积分求曲边梯形的面积 1. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x =(()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积： ()[()()]b b a a S f x dx f x g x dx ==-?? 2.如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线 ()y f x =(0)(≤x f )围成的曲边梯形的面积： ()()[()()]b b b a a a S f x dx f x dx g x f x dx = =-=-? ?? 3．由三条直线,(),x a x b a c b x ==<<轴及一条曲线()y f x =（不妨设在区间[,]a c 上 ()0f x ≤，在区间[,]c b 上()0f x ≥）围成的图形的面积： ()c a S f x dx = + ? ()b c f x dx ? ＝()c a f x dx -?＋()b c f x dx ?. 4. 如图，由曲线11()y f x =22()y f x =12()()f x f x ≥及直线x a =，x b =()a b <围成图形的面积： 1212[()()]()()b b b a a a S f x f x dx f x dx f x dx =-=-??? 要点诠释： 研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义： ① 当平面图形的曲边在x 轴上方时，容易转化为定积分求其面积； ② 当平面图形的一部分在x 轴下方时，其在x 轴下的部分对应的定积分为负值，应取其相反数（或绝对值）； 要点二、求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 （1）画出图形； （2）确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限； （3）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置； （4）写出平面图形面积的定积分表达式； （5）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。 要点三、定积分在物理中的应用 ① 速直线运动的路程 作变速直线运动的物体所经过的路程S ，等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间 [,]a b 上的定积分，即()b a S v t dt =?. ②变力作功 物体在变力()F x 的作用下做直线运动，并且物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到x b =()a b <，那么变力()F x 所作的功W = ()b a F x dx ? . 要点诠释： 1. 利用定积分解决运动路程问题，分清运动过程中的变化情 况是解决问题的关键。应注意的是加速度的定积分是速度，速度的定积分是路程。 2. 求变力作功问题，要注意找准积分变量与积分区间。 【典型例题】 类型一、求平面图形的面积 【高清课堂：定积分的简单应用 385155 例1】 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积.定积分的应用
人教A版选修2-2 1.5.3 定积分的概念 学案 (1)
知识讲解_定积分的简单应用(基础)
定积分的简单应用
2017-2018学年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案：第四章 章末小结 知识整合与阶段检测
21-17定积分的简单应用
定积分的简单应用 说课稿 教案 教学设计