§3.2定积分应用之简单旋转体的体积

§3.2定积分应用之简单旋转体的体积

【学习目标】

1、利用定积分的意义和积分公式，求一些简单旋转几何体体积。

2、数学模型的建立及被积函数的确定。

【问题导学】

1、复习求曲边梯形面积公式？定积分的几何意义？微积分基本定理？

2、什么是旋转体？学过哪些旋转体？ 一个平面图形绕平面内的一条定直线旋转一周，所成的立体图形叫旋转体，这条定直线叫做旋转轴。如：圆柱、圆锥、

圆台、球体、球冠。

3、旋转体的体积

（1）计算由区间[a 、b ]上的连续曲线y=f(x)、两直线x=a 与x=b

及x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积：

v=π()b

2

a f x dx ⎡⎤⎣⎦⎰ （2） 类似地可得，由区间[c,d]上的连续曲线 y=f(x),两直线

y=c 与y=d 及y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转一周所

成的旋转体的体积：

()d

2c v y dy πϕ=⎰[]

【自学检测】

1、给定直角边为1的等腰直角三角形，绕一条直角边旋转一周，得到一个圆锥体. 利用定积分的方法求它的体积

2、一个半径为1的球可以看成由曲线y=1-x 2

（半圆）与x 轴所围成的区域绕x 轴旋转一周得到的，利用定积分的方法求球的体积

3、求曲线y=e x 、x=0、x=12

与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积

【当堂训练】

4、求 y = x 2 与 y 2 = x 所围图形绕 x 轴旋转所成的旋转体体积

5、将第一象限内由x 轴和曲线y 2=6x 与直线x=6所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积等于

6、求曲线x 轴、y 轴及直线x=1围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积

7、求曲线y=

1x

、x=1、x=2 与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积

8、求曲线x=1与坐标轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积

§3.2定积分应用之简单旋转体的体积

1、3π

2、43π

3、(1)2e π-

4、310π

5、108π

6、32π

7、2π

8、2π