§3.2定积分应用之简单旋转体的体积
浅析微积分中求旋转体体积的技巧
浅析微积分中求旋转体体积的技巧求旋转体的体积是微积分中的重要内容之一，主要应用于求解如圆锥体、圆柱体、圆盘等等的体积。
在微积分中，常用到的技巧有：用定积分进行求解、套用几何体的公式、使用截面积的方法、用旋转曲线的微元法等等。
一、用定积分进行求解当旋转体的截面是一个薄片，其面积可以表示为一个关于自变量x的函数A(x)，则可以通过定积分来求取旋转体的体积V。
假设旋转体是由曲线y=f(x)与x轴所围成，曲线在区间[a,b]上连续、非负并且可微。
则薄片的面积可以表示为：A(x) = π[f(x)]^2薄片的体积可以表示为：dV = A(x)dx = π[f(x)]^2dx整个旋转体的体积可以通过将所有薄片的体积相加求得：V = ∫[a,b]dV = ∫[a,b]π[f(x)]^2dx二、套用几何体的公式在求解旋转体体积的过程中，有时候可以直接套用几何体的公式，而不需要进行定积分求解。
当旋转曲线是一个直线y=kx时，旋转体是一个圆锥体。
圆锥体的体积公式为：V = 1/3 * 底面积 * 高= 1/3 * πr^2 * h底面积为πr^2，r为底面半径，h为高。
r为圆盘的半径，h为圆盘的厚度。
三、使用截面积的方法对于一些形状复杂的旋转体，可以使用截面积的方法来求解体积。
这种方法的基本思想是将旋转体划分为无数个截面，然后计算每个截面的面积，最后将它们累加起来。
当旋转曲线是一个较复杂的曲线y=f(x)时，可以通过将旋转体划分为无数个微小的扇形截面来计算体积。
将旋转曲线划分为一系列微小的线段，然后将每个微小线段旋转一周，形成一个微小的扇形截面。
根据扇形的面积公式A = 1/2 * θ * r^2，其中θ为扇形的弧度，r为扇形的半径，可以计算每个扇形截面的面积。
然后，将所有扇形截面的面积相加，即可得到旋转体的体积。
四、用旋转曲线的微元法当旋转曲线无法用常规的几何形状表示时，可以用旋转曲线的微元法来求解旋转体的体积。
三角函数的定积分计算与旋转体体积应用
三角函数的定积分计算与旋转体体积应用在数学中，三角函数的定积分计算以及与旋转体体积的应用是一项重要的内容。
通过对三角函数的定积分计算，我们可以求解曲线与坐标轴所围成的面积、弧长以及旋转体的体积，具有广泛的实际应用价值。
本文将围绕这一主题展开论述。
一、三角函数的定积分计算三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们在数学和物理等领域中的应用广泛。
在定积分计算中，我们常常需要求解三角函数的不定积分和定积分。
1. 不定积分对于三角函数的不定积分，我们可以运用一些基本的积分公式进行计算。
例如，正弦函数的不定积分公式为：∫sin(x)dx = -cos(x) + C其中，C为常数。
类似地，其他三角函数的不定积分公式可以通过类似的方法推导得到。
2. 定积分对于三角函数的定积分计算，我们常常需要根据具体的问题给出积分上下限，并利用一些定积分的性质进行计算。
以求解曲线 y = sin(x) 与 x 轴所围成的面积为例，我们可以将问题转化为计算以下定积分：∫[a,b]sin(x)dx其中，[a,b]表示积分的区间。
通过运用定积分的性质和三角函数的积分公式，我们可以求解出该定积分的值，从而得到曲线与坐标轴所围成的面积。
二、旋转体的体积应用三角函数的定积分计算不仅在求解曲线面积等几何问题中有应用，还可以用于解决旋转体体积的计算。
1. 单位圆的体积以单位圆为例，我们可以将其沿着 x 轴或 y 轴进行旋转，并通过计算旋转体的体积来求解单位圆的体积。
当单位圆沿 x 轴旋转时，我们可以将其看作是由曲线 y = sin(x) 与 x 轴所围成的旋转体。
对于曲线 y = sin(x) 与 x 轴所围成的旋转体，它的体积可以通过以下定积分进行计算：V = π∫[0,2π]sin^2(x)dx其中，[0,2π]表示旋转的区间。
通过对该定积分进行计算，我们可以得到单位圆的体积，进而应用于相关实际问题中。
2. 一般曲线的体积除了单位圆以外，我们还可以利用三角函数的定积分计算来求解其他曲线的旋转体体积。
积分与定积分的曲线长度与旋转体体积
积分与定积分的曲线长度与旋转体体积在微积分中，积分和定积分是两个重要的概念。
积分是求解函数在某个区间上的面积或曲线长度的方法，而定积分则是对函数在一个区间上进行求和的操作。
在本文中，我们将探讨积分和定积分对曲线长度和旋转体体积的影响。
一、曲线长度的计算对于曲线长度的计算，我们首先需要了解弧长的概念。
弧长是指曲线上两点之间的直线段的长度，可以近似地通过切线段的长度来计算。
在微积分的背景下，我们可以使用积分来准确地计算曲线的长度。
对于曲线y=f(x)在区间[a, b]上的长度L，可以使用下式计算：L = ∫[a,b] √(1 + (f'(x))^2) dx其中f'(x)表示函数f(x)的导数。
上述公式的推导可以通过利用微分的定义来证明，这超出了本文的范围。
举例而言，假设我们要计算曲线y=x^2在区间[0, 1]上的长度。
首先我们需要求解该函数的导数：f'(x) = 2x然后，我们可以应用上述公式进行计算：L = ∫[0,1] √(1 + (2x)^2) dx通过对上述积分进行计算，我们可以得到曲线y=x^2在区间[0, 1]上的长度。
二、旋转体体积的计算旋转体是指将曲线围绕某个轴线旋转而形成的立体图形。
对于给定的曲线和旋转轴，我们可以使用定积分来准确地计算旋转体的体积。
假设我们有一个曲线y=f(x)，我们将其绕x轴旋转一周，形成一个旋转体。
对于该旋转体的体积V，我们可以使用下式计算：V = π∫[a,b] (f(x))^2 dx其中π为圆周率，f(x)为曲线y=f(x)的函数表达式。
举例而言，假设我们要计算曲线y=x^2在区间[0, 1]上绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
根据上述公式，我们可以计算如下：V = π∫[0,1] (x^2)^2 dx通过对上述定积分进行计算，我们可以得到该旋转体的体积。
结论通过使用积分和定积分的方法，我们可以准确地计算曲线的长度和旋转体的体积。
§定积分应用之简单旋转体的体积
§定积分应⽤之简单旋转体的体积§3.2定积分应⽤之简单旋转体的体积【学习⽬标】1、利⽤定积分的意义和积分公式，求⼀些简单旋转⼏何体体积。
2、数学模型的建⽴及被积函数的确定。
【问题导学】1、复习求曲边梯形⾯积公式？定积分的⼏何意义？微积分基本定理？2、什么是旋转体？学过哪些旋转体？⼀个平⾯图形绕平⾯内的⼀条定直线旋转⼀周，所成的⽴体图形叫旋转体，这条定直线叫做旋转轴。
如：圆柱、圆锥、圆台、球体、球冠。
3、旋转体的体积（1）计算由区间[a 、b ]上的连续曲线y=f(x)、两直线x=a 与x=b及x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转⼀周所成的旋转体的体积：v=π()b2a f x dx （2）类似地可得，由区间[c,d]上的连续曲线 y=f(x),两直线y=c 与y=d 及y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转⼀周所成的旋转体的体积：()d2c v y dy π?=?[]【⾃学检测】1、给定直⾓边为1的等腰直⾓三⾓形，绕⼀条直⾓边旋转⼀周，得到⼀个圆锥体. 利⽤定积分的⽅法求它的体积2、⼀个半径为1的球可以看成由曲线y=1-x 2（半圆）与x 轴所围成的区域绕x 轴旋转⼀周得到的，利⽤定积分的⽅法求球的体积3、求曲线y=e x 、x=0、x=12与x 轴围成的平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所得旋转体体积【当堂训练】4、求 y = x 2 与 y 2 = x 所围图形绕 x 轴旋转所成的旋转体体积5、将第⼀象限内由x 轴和曲线y 2=6x 与直线x=6所围成的平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所得旋转体的体积等于6、求曲线x 轴、y 轴及直线x=1围成的平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所得旋转体体积7、求曲线y=1x、x=1、x=2 与x 轴围成的平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所得旋转体体积8、求曲线x=1与坐标轴围成的平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所得旋转体体积§3.2定积分应⽤之简单旋转体的体积1、3π2、43π3、(1)2e π-4、310π5、108π6、32π7、2π8、2π。
高数定积分旋转体体积
在高数中，旋转体是一种三维图形，可以用旋转某个二维图形围成。
旋转体的体积可以用定积分来求解。
具体来说，假设有一个二维图形 F，它位于平面 xy 上，其旋转轴为 y 轴。
如果将这个图形绕 y 轴旋转 360°得到的体积称为 V。
那么，V 可以表示为：
V = ∫F(x,y) dx
其中，F(x,y) 是围成旋转体的二维图形的面积函数。
举个例子，假设有一个圆柱体，其底面半径为 r，高为 h。
那么，这个圆柱体的体积 V 可以表示为：
V = ∫πr^2 dx = πr^2 ∫ dx
积分的上下界分别为 -h/2 和 h/2，因此：
V = πr^2 (h/2-(-h/2)) = πr^2 h
也就是说，圆柱体的体积等于底面积乘以高。
总之，旋转体的体积可以用定积分来求解，具体方法是将围成旋转体的二维图形的面积函数积分即可。
定积分的简单应用——求体积
2 2 2
V[ f (xi) xif (X2)X2L f (xn) Xn]
这个问题就是积分问题，则有：
b2b2
Vf (x)dx f (x)dx
aa
归纳:
设旋转体是由连续曲线y f(x)和直线x a,x b及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转
bo
而成，贝U所得到的几何体的体积为Vf2(x)dx
a
2.利用定积分形，它的边界曲线直接决定被积函数
(2)分清端点
(3)确定几何体的构造
(4)利用定积分进行体积计算
3.一个以y轴为中心轴的旋转体的体积
一一b o
若求绕y轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为y，其公式为vg2(y)dy
a
类型一：求简单几何体的体积
例1：给定一个边长为a的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积
思路：
由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定
积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。
解：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为x, y轴建立如图所示的平面直角坐标系,
定积分的简单应用
复习：
(1)求曲边梯形面积的方法是什么
(2)定积分的几何意义是什么
(3)微积分基本定理是什么
引入：
我们前面学习了定积分的简单应用一一求面积。求体积问题也是定积分的一个重要应用。
下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。
1.简单几何体的体积计算
问题：设由连续曲线y f(x)和直线x a，x b及x轴围成的平面图形(如图甲)绕x轴
旋转一周所得旋转体的体积为V，如何求V
在区间[a,b]内插入n1个分点，使a xo捲X2Lxn!xnb，把曲线
定积分求体积的四个公式
定积分求体积的四个公式定积分是微积分的一个重要概念，可以用来计算曲线与坐标轴之间的面积、质量、重心等各种物理量。
在三维空间中，定积分也可以用来计算体积。
以下是四个常用的定积分求体积的公式：1. 平面图形的旋转体体积公式：假设有一个平面图形，它绕着某个轴旋转一周形成一个立体图形，那么它的体积可以通过定积分计算得到。
设平面图形为函数 y=f(x)，则旋转体的体积 V 可以表示为：V = π∫[a, b] f(x)^2 dx其中，a和b是平面图形上的两个点，π是圆周率。
这个公式可以推广到三维空间中的任意轴。
2. 用截面积求体积公式：对于一个平面图形，若其在垂直于某个轴的截面上的面积为 A(x)，则体积可以通过定积分计算得到。
设截面积函数为 A(x)，则体积 V 可以表示为：V = ∫[a, b] A(x) dx这个公式适用于任意形状的截面。
3. 用截面面积与高度的乘积求体积公式：对于一个平面图形，若其在垂直于某个轴的截面上的面积为 A(x)，且高度为 h(x)，则体积可以通过定积分计算得到。
设截面面积函数为 A(x)，高度函数为 h(x)，则体积 V 可以表示为：V = ∫[a, b] A(x)h(x) dx这个公式适用于各种不规则形状的图形。
4. 旋转体绕轴的体积壳公式：对于一个平面图形，若其在垂直于某个轴的截面上的面积为 A(x)，且旋转轴到截面的距离为 r(x)，则体积可以通过定积分计算得到。
设截面面积函数为 A(x)，旋转轴到截面的距离函数为 r(x)，则体积 V 可以表示为：V = 2π∫[a, b] A(x)r(x) dx这个公式适用于各种不规则形状的图形。
以上四个公式是定积分求体积常用的方法，可以根据具体问题选择适合的公式进行计算。
3.2 简单几何体的体积
1 3 b 2 =2π 2 (a x- x ) 3 a
2
a 0
4 2 = π ab . 3
法二:V=π y dx
a a
2
b x x 2 =π (b - 2 )dx=b π (x- 2 ) 3a a
a a
2
2
2
3
a a
1 1 4 2 =b π (a- a+a- a)= π ab . 3 3 3
微积分的综合应用
【例 4】 已知曲线 y= x .求: (1)曲线过点(-1,0)的切线 l 的方程; (2)曲线、切线及 x 轴所围图形 D 的面积; (3)将 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 解:(1)由于点(-1,0)不在曲线 y= x 上,因此可设切 点为 A(x0,y0),由 y′=
1 2 x
,故可设切线 l 的方程为
1 y-y0= (x-x0). 2 x0
因为此切线经过点(-1,0),
1 故 0- x0 = 2 x0
(-1-x0),解得 x0=1,y0=1.
从而 A(1,1),故所求的切线方程为 x-2y+1=0. (2)如图所示,其中阴影部分即为所 求的图形 D.
1 x dx S= [ (x+1)]dx- 1 0 2
思路点拨:利用解析几何知识,建立数学模型,得到 有关函数,进而解决问题. 解:(1)如图所示,建立直角坐标系,设 抛物线的方程为 y=ax .
3 3 则由抛物线过点 B(1, ),得 a= . 2 2 3 2 于是抛物线方程为 y= x . 2
2
6 2 6 当 y=1 时,x=± ,由此,水面宽为 米. 3 3
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§3.2定积分应用之简单旋转体的体积
【学习目标】
1、利用定积分的意义和积分公式，求一些简单旋转几何体体积。
2、数学模型的建立及被积函数的确定。
【问题导学】
1、复习求曲边梯形面积公式？定积分的几何意义？微积分基本定理？
2、什么是旋转体？学过哪些旋转体？ 一个平面图形绕平面内的一条定直线旋转一周，所成的立体图形叫旋转体，这条定直线叫做旋转轴。
如：圆柱、圆锥、
圆台、球体、球冠。
3、旋转体的体积
（1）计算由区间[a 、b ]上的连续曲线y=f(x)、两直线x=a 与x=b
及x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积：
v=π()b
2
a f x dx ⎡⎤⎣⎦⎰ （2） 类似地可得，由区间[c,d]上的连续曲线 y=f(x),两直线
y=c 与y=d 及y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转一周所
成的旋转体的体积：
()d
2c v y dy πϕ=⎰[]
【自学检测】
1、给定直角边为1的等腰直角三角形，绕一条直角边旋转一周，得到一个圆锥体. 利用定积分的方法求它的体积
2、一个半径为1的球可以看成由曲线y=1-x 2
（半圆）与x 轴所围成的区域绕x 轴旋转一周得到的，利用定积分的方法求球的体积
3、求曲线y=e x 、x=0、x=12
与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积
【当堂训练】
4、求 y = x 2 与 y 2 = x 所围图形绕 x 轴旋转所成的旋转体体积
5、将第一象限内由x 轴和曲线y 2=6x 与直线x=6所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积等于
6、求曲线x 轴、y 轴及直线x=1围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积
7、求曲线y=
1x
、x=1、x=2 与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积
8、求曲线x=1与坐标轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积
§3.2定积分应用之简单旋转体的体积
1、3π
2、43π
3、(1)2e π-
4、310π
5、108π
6、32π
7、2π
8、2π。