§3.4.1-2定积分的应用(面积,体积)
图形称为曲边扇形 图形称为曲边扇形。 曲边扇形 [ 求曲边扇形的面积 A ，积分变量是θ ，θ∈ α, β] 。
为半径， [θ, θ + dθ]∈[α , β ] ， 以 θ 处的极径 r ( θ ) 为半径， 以 dθ 为圆心角的圆扇形的面积作为面积微元，即 为圆心角的圆扇形的面积作为面积微元 ，
x = ( t ), 表示， 若曲线是由参数方程 (α ≤ t ≤β ) 表示， y = f ( t ),
则弧长元素为
ds = (dx ) 2 + (dy ) 2 = [′( t )dt ]2 +[ f ′( t )dt ]2
′(t )]2 +[ f ′(t )]2 dt. 即 ds= [
S=∫
∫
∫
∫
S2
S1
t3 1 t3 2 3 = t 3 0 + 0+ t + t , 3 3 3
o
4 3 2 1 即S(t )= t t + , (0≤t ≤1). 3 3
′( t )= 4t 2 2t = 2t ( 2t 1) S
1 令 S ′( t ) = 0 ， 得 t = 0 ， t = 。 2
r =a(1+cosθ)
∫0
π
(1 + 2cos θ + cos 2 θ )d θ
o
x
1 = a ∫ ( + 2cosθ + cos2θ)dθ 0 2 2
2
π 3
1 π 3 2 = a ( θ + 2sinθ + sin2θ) = πa . 0 2 2 4
2 3
例 5.求由两条曲线 r = 3cosθ 和 r =1+ cosθ 所围成的
β α
[′(t )]2 +[ f ′(t )]2 dt
x = a ( t sin t ) 的长度。 例 2． 计算摆线 的一拱 0≤ t ≤ 2π 的长度 。 y = a (1 cost ) y
解： x′( t )= a(1 cost ) ，
y ′( t ) = asin t ，
dS = [a (1 cost )]2 +[asin t ]2 dt
解 ： y = R 2 x 2 ( x ≥ 0, y ≥ 0 ) ，
y
x2 + y2 =R2
y′ =
x R x
′2
2 2
,
R R2 x 2
R
o
R x
dS = 1+ y dx =
S=4
dx ,
R 0
∫0
R
R dx R2 x2
x = 4 R arcsin R
π = 4 R = 2πR. 2
三、参数方程情形
3.4.2 弧长
一 、 平面曲线弧长的概念
⌒ 曲线弧上的两个端点， 设 A, B 是 曲线弧上的两个端点，在弧 AB 上 任取分点
A= M , M 1 , M 2 ,, M i 1 , M i ,, M n1 , M n = B ，
并依次连接相邻的分点得一内接折线，此折线长为 并依次连接相邻的分点得一内接折线，
r =r(θ) θ
1 2 dA= [r(θ)] dθ 2 1 β A= ∫ [r(θ)]2dθ. 2 α
β dθ
o
αθ
r(θ) θ θ+dθ
x
例 4.求心形线 r = a (1+ cos θ )( a > 0) 所围成的图形的 面积 A 。
解： A = 2 ∫
=a
2
π
0
1 [ a (1 + cos θ )]2 dθ 2
t2
f (t )′(t )dt
t1
分别是曲边的起点与终点对应的参数值。 其中 t1 , t 2 分别是曲边的起点与终点对应的参数值 。
= 任一点， 例 3．设 y= x 2 定义在 [0, 1]上 ， t 为 [0, 1]上 任一点，问当
t 为 何值时 ，图中两阴影部分的面积之和 S1 + S 2 具有
y
y= f (x) =
dA
y= g(x) =
dA = [ f ( x ) g ( x )]dx
A = ∫ [ f ( x ) g ( x )]dx
b
oa
x x+dx +
b
x
a
上的连续函数， 3． ( y ) 、 ψ( y ) 是 [c ,d ] 上的连续函数，且 ( y )≥ ψ( y ) ， 求由直线 = 求由直线 y= c ， y= d 和曲线 x = ( y ) 、 x = ψ( y ) 所围 = 成的平面图形的 成的平面图形的 面积 A 。 平面
积分区间为[2 , 1) 2
x
dA
(2, 2)
1 1 2 dA 面积微元为： 面积微元为： = [( 1 y ) y ]dy , 2 2 1 1 1 2 9 面积 A= ∫ (1 y ) y dy = 。 2 2 2 4
2x+ y2=0
另解： 积分变量， 另解 ： 以 x 为 积分变量 ， 积分区间为[0 2]， [0， 积分区间为[0，2]，
S n = ∑ M i 1 M i ，
i =1
n
y
M1 A=M =
Mi1 Mi
其中 M i1 M i 表示 的长。 线段 M i 1 M i 的长。
B=Mn =
o
x
如果上述折线，当分点无限增加且最大线段长趋于零 如果上述折线，当分点无限增加且最大线段长趋于零 折线
⌒ 的弧长 时，折线 S n 有极限 S ，则称 S 为曲线弧 AB 的弧长，即
0
2
a
0
y
b
= 4ab ∫
0
π 2 sin 2 tdt
a
o
b
a
x
1 π = 4ab = πab. 2 2
x = ( t ) ( t1 ≤ t ≤ t 2 ) ， 当曲边梯形的曲边由参数方程 y = f (t )
给出时， 给出时，曲边梯形的面积为
A= ∫
t2
t1
f (t )d[(t )]= ∫
∴ ds = (dx )2 + (dy )2 = r 2 (θ ) + r ′ 2 (θ )dθ ,
′(θ)]2 dθ 弧长元素 dS = [r(θ)] +[r
2
弧长 S = ∫
β
α
′(θ)]2 dθ [r(θ)] +[r
2
θ 3.求极坐标系下曲线 的长。 例 3.求极坐标系下曲线 r = a sin (a > 0, 0≤ θ≤ 3π ) 的长。 3
3π
3．4．3 面积和体积
一、面积
（一）直角坐标系中的平面图形的面积
1．设函数 f ( x )∈C [a ,b] ，求由直线 x = a, x = b, y = 0 和 ． 曲线 y= f ( x ) 所围成的平面图形的 面积 A 。 =
（1） 若在 [a ,b] 上 f ( x )≥ 0 ，则 A= ∫ ）
dx
x
x+dx b x +
上可导， 定理： 连续， 定理：若函数 f ( x )在[a ,b] 上可导，且 f ′( x ) 连续， 可求长， = 则在 [a , b] 上的曲线 y= f ( x ) 可求长，且弧长
S=∫
b a
1 +[ f ′( x )]2 dx 。
的弧长。 例 1． 求圆 x 2 + y 2 = R 2 的弧长 。 ．
1 1 1 2 ∵ S (0)= ， S ( )= ， S (1)= ， 3 2 4 3
2 1 ∴ S ( t ) = S1 + S 2 的最大值 是 ， 最小值 是 。 3 4
(二)极坐标系中平面图形的面积
由曲线 r = r (θ) 及两条射线 θ = α ， θ = β (α < β ) 所围成的 θ
o
2πa
x
t = a (2 2 cos t ) dt = 2a sin dt 2
2
t t 2π ∴ S = ∫ 2asin dt = 2a[2cos ] = 8a 。 0 2 2 0
2π
四 、 极坐标方程情形
表示， 若曲线是由极坐标方程 r = r (θ) ， (α ≤ θ≤β ) 表示， θ x = r (θ ) cosθ ∵ y = r (θ ) sinθ
小切线段的长度
y
y= f (x) =
S
dS dy
(dx ) 2 + (dy ) 2 = 1+ y′ 2 dx ，
可以证明小切线段的长与 可以证明小切线段的长与 S 2 高阶的无穷小。 之差是关于 dx 高阶的无穷小。 b 弧长S =∫ 1+ y′2dx 。 oa
a
弧长元素dS = 1+ y′ dx ，
9 A= 2∫ 2 x dx + ∫ 1 ( 2 2 x + 2 x )dx = . 0 4 2
1 2
2
求平面图形面积的基本步骤： 求平面图形面积的基本步骤
（ 1 ） 作曲线图形、 确定积分变量 作曲线图形 、 及积分区间； 及积分区间 ； 求面积微元； （ 2 ） 求面积微元 ； 计算定积分。 （ 3 ） 计算定积分 。
阴影部分的面积。 阴影部分的面积。
作出它们的草图， 解：作出它们的草图，
r = 3cosθ 解方程组 ， r =1+ cosθ
3π A( , ) 23
r=3cosθ
r=1+cosθ
o
x
3 π 3 π 得交点 A( , ) ， B ( , ) 。 B( 3,π) 2 3 2 3 2 3
3.4 定积分的应用(体积、侧面积及一些物理量)
4
3.4.3-5 定积分的应用 定积分的应用——体积、侧面积和一些物理量 体积、 体积
在曲线上点 P ( x , f ( x )) 处的弧长微元
′ 2 ( x )dx ， 是 dL = 1 + f
则 dA = 2πf ( x )dL ，
y
y = f (x )
o
a
x x + dx b
故 A = 2π ∫ f ( x ) 1 + f ′ 2 ( x )dx .
a
b
x
[ 圆台的侧面积 π × 母线长 × (上底半径 + 下底半径 ) 。在极限 圆台的侧面积=
A = 2π ∫
a
−a
′ y1 1 + y1 dx + 2π ∫
2
a
0
a
−a
′ y2 1 + y2 2 dx
x = 8abπ arcsin a
= 4abπ 2 .
3.4.3-5 定积分的应用 定积分的应用——体积、侧面积和一些物理量 体积、 体积
三、 一些物理量的计算
1、质量
轴上的质杆。 例 1.有一放置在 x 轴上的质杆。若其上每一点的密度等于
P = pA = γ h ⋅ A ;
若一平板垂直放置，由于深度不同处的压强不相等 若一平板垂直放置，由于深度不同处的压强不相等, 故平板一侧所受的压力就不能如上计算，但可用微 故平板一侧所受的压力就不能如上计算，但可用微 元法化成定积分计算 化成定积分计算。 元法化成定积分计算。
定积分的应用面积,体积
dx
f (x)
类似地，由0c yd ， 0 x( y) 所围成的图形绕
x
轴
旋转所成的旋转体的体积为：Vx
d
2c
y(
y)dy
。
3．4．4 旋转体的侧面积
设 f ( x) 在[a,b ]上非负，且有连续的导数。求由直线 xa ， xb ， y0 和曲线 y f ( x) 围成的平面图形， 绕 x 轴 旋转一周所形成的旋转体的侧面积。
ytan
x
R
y
o
y
R
x
(二)旋转体的体积
1．设 f ( x) 在[a,b] 上连续，求由直线xa ，xb ，
y0 和曲线 y f ( x) 所围成的图形绕 x 轴旋转
而成的旋转体的体积。
y
dV A( x)dx[ f ( x)]2 dx ， y f (x)
Vx
b
[
f
(
x)]2dx
a
b y2dx.
a
o
a
x xdx b x
2. 设( y) 在[c,d ] 上连续，求由直线 yc ，yd ， x0 和曲线 x( y) 所围成图形绕 y 轴 旋转而成的
旋转体的体积。
y
dV [( y)]2dy 。
Vy
d
[(
y)]2dy
c
d x2dy
c
d
ydy
y
x( y)
c
o
x
例 2．求由 x2 y2 2 和 y x2 所围成的图形分别
设有一立 体 位于平面 xa, xb (ab) 之间，已知它被
过点 ( x, 0, 0) (a xb) 且垂直于 x 轴 的平面所截得的截面面
定积分的应用共29页
22.11.2019
12
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一、平面图形的面积
若函数 f (x) 、 g(x) 在[a,b] 上连续，且 f (x) g(x) ，
则由曲线 y f (x) 、 y g(x) 及直线 x a 、 x b 所围
成的平面图形的面积为 Aabf(x)g(x)dx
其中面积 A 的元素为 d A f (x) g(x)d x ．
a
c1
c2
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3
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一般地，由曲线 y f (x) ，直线 x a ， x b 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积 S 可表示为
S
b
|
f
(x) | dx
.
a
类似地，由曲线 x ( y) ，直线 y c ， y d 及
y 轴所围成的曲边梯形的面积 S (如图 5-13 所示)可
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二、定积分的元素法
1. 什么问题可以用定积分解决 ?
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的 一个整体量 ;
2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
表示为
定积分定义
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ax
bx
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特别 , 当考虑连续曲线段
轴旋转一周围成的立体体积时, 有 y
当考虑连续曲线段
oa x
x
y f (x)
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时, 有
定积分的应用(体积、旋转体的侧面积) ppt课件
因为2 y dx 不是薄片侧面积△S 的
的线性主部 . 若光滑曲线由参数方程
y y f (x)
oa x b x ds dx
给出, 则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的 侧面积为
S 2 (t) 2 (t) 2 (t) d t
例1. 求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解:
2
AdA0 a (1 cost) a (1 cost) d t
a2 2 (1 cos t)2 d t 0
y
4a2 2 sin4 t d t
0
2
8a2 sin4 u d u 0
16 a2 2 sin4 u d u 0
解：解方程组
x2 y x
y
2
2
2
y
y x2
得交点(1, 1) ，(1, 1) 。
1 o 1 x
Vx 1 (2 x2 )dx 1 x4dx
x2 y22
1
2
1
(2
x
2
1
x4 )dx
2(2 x
x3
x5
)
1
0
3 50
2(2 1 1) 44. 3 5 15
y b
o x ax
则 V 2 a y2 dx 0
(利用对称性)
2
b2 a2
a
(a
2
x2
)
dx
0
2
b2 a2
a2 x
1 3
x3
a 0
4 ab2
定积分的应用课件
液体静压力计算步骤
详细阐述液体静压力计算的步骤，包 括确定计算区域、选择坐标系、列出 被积函数等。
其他物理问题中定积分应用
引力计算
通过定积分求解质点系或连续体 之间的引力问题。
波动问题
将波动问题转化为定积分问题， 进而求解波动过程中的各种物理 量。
01
02
电场强度计算
利用定积分求解电荷分布连续体 所产生的电场强度。
消费者剩余和生产者剩余计算
消费者剩余计算
消费者剩余是消费者愿意支付的价格与实际支付价格之间的差额。在需求曲线和价格线之间的面积表示消费者 剩余，可以通过定积分计算。
生产者剩余计算
生产者剩余是生产者实际得到的价格与愿意接受的最低价格之间的差额。在供给曲线和价格线之间的面积表示 生产者剩余，同样可以通过定积分计算。
01
通过定积分求解绕x轴或y轴旋转一周所得旋转体的体积。
平行截面面积为已知的立体体积计算
02
利用定积分将立体划分为无数个平行截面，通过截面面积和高
度求解体积。
参数方程表示立体体积计算
03
将参数方程转化为普通函数形式，再利用定积分求解体积。
曲线弧长求解方法
1 2
直角坐标下曲线弧长计算
通过定积分求解曲线在直角坐标系下的弧长。
参数方程表示曲线弧长计算
将参数方程转化为普通函数形式，再利用定积分 求解弧长。
3
极坐标下曲线弧长计算
通过定积分求解曲线在极坐标系下的弧长。
03
定积分在物理学中应用
变力做功问题求解方法
微元法求解变力做功
通过将变力做功的过程划分为无数个微小的 元过程，每个元过程中力可视为恒力，从而 利用定积分求解变力做功。
3.4定积分的计算(二)、应用
简证： F ( x )是 f ( x )的一个原函数，则 设
b
a
f ( x )dx F (b) F (a )
又 F ( ( t )) f ( (t )) (t )
( t )dt F ( ( t )) F ( ( )) F ( ( )) f ( ( t ))
3,
1
令 若作如下运算： x t , 2xdx dt , dx
2
1 2 t
dt ,
于是
2
1
x dx 1
2
4
1 tdt 1 4 tdt t 3 2 t 2 1
2
3 4 2 1
7 . 3
这显然是错误的，原因在于 x t不是单值的.
3.4.3 定积分的分部积分法
a a
0 f ( x )dx a 2 0 f ( x )dx
当 f ( x ) 为奇函数 当 f ( x ) 为偶函数
例4 解
计算
I
2 x 2
2
4 x 2 dx.
x 2 2
2 2 2
4 x 2 dx
2 2
x 4 x dx 2
a
udv vdu
b b a a
b
a
udv uv vdu 分部积分公式
a a
b
b
例5 解
计算
2
1
x ln xdx .
2
1
1 2 x ln xdx ln xd ( x 2 ) 2 1
1 2 1 2 2 1 x ln x x dx 2 2 1 x 1
定积分的应用体积
定积分的应用体积
定积分是数学中的一种基本概念，用于计算曲线下的面积或曲线围成的体积。
其中，定积分的应用体积主要有以下几种情况：
1. 计算曲线围成的体积：假设有一个曲线，其方程为y=f(x)，要求曲线围成的体积，可以使用定积分来计算。
具体来说，曲线围成的体积可以表示为：
V =∫[a,b] f(x)dx
其中，a和b是曲线的两个端点，f(x)是曲线的方程。
通过对曲线围成的体积进行积分，可以得到曲线围成的体积。
2. 计算旋转体的体积：旋转体是指通过将一个平面曲线围绕一个轴旋转而得到的立体。
如果已知旋转体的旋转轴和曲线方程，可以使用定积分来计算旋转体的体积。
具体来说，旋转体的体积可以表示为：
V = ∫[a,b] r2 d A
其中，a和b是旋转轴上的两个点，r是曲线在该点处的半径，d A是曲线在该点处的微小面积。
通过对旋转体的体积进行积分，可以得到旋转体的体积。
3. 计算曲线下的面积：假设有一个曲线，其方程为y=f(x)，要求曲线下的面积，可以使用定积分来计算。
具体来说，曲线下的面积可以表示为：
A = ∫[a,b] f(x)dx
通过对曲线下的面积进行积分，可以得到曲线下的面积。
定积分在物理学、工程学、经济学等领域中有着广泛的应用。
它可以用于计算曲线下的面积、曲线围成的体积以及曲线在一定区间内的累积量等问题。
定积分的几何应用课件
电场中的电势
总结词
定积分可计算电场中的电势
详细描述
在静电场中，电势差与电场强度成正比。通过定积分可以计算出 某一点处的电势，即对电场强度进行积分。
公式表示
电势 = ∫E·dl
05
定积分的近似计算
方法
矩形法
总结词
矩形法是一种简单直观的定积分近似计算方法，通过将积分 区间划分为若干个小的矩形，然后求和来逼近定积分。
详细描述
辛普森法则是梯形法的一种改进，它考虑了函数在积分区间的整体变化趋势，将 积分区间分成若干个小的子区间，然后在每个子区间上应用梯形法来逼近定积分 。辛普森法则的精度比矩形法和梯形法更高，但计算量也相对较大。
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曲边三角形面积的近似计算
在无法直接计算定积分的情况下，可以使用近似 方法计算曲边三角形的面积，如矩形法、梯形法 等。
任意图形的面积
任意图形面积的计算
01
通过定积分计算任意图形的面积，首先需要找到图形的边界曲
线表达式，然后确定上下限，最后计算定积分。
任意图形面积的几何意义
02
任意图形面积表示的是边界曲线围成的平面区域面积。
详细描述
矩形法的基本思想是将积分区间分成若干个小的矩形，每个 矩形的宽度为小区间的宽度，高度为函数在相应小区间的平 均值。然后，将这些矩形的面积加起来，得到的就是定积分 的近似值。
梯形法
总结词
梯形法是一种基于几何直观的定积分近似计算方法，通过将积分区间划分为若干个小的梯形，然后求 和来逼近定积分。
围绕旋转轴旋转的平面图形被称为 旋转面。
旋转体的体积公式
圆柱的体积公式
V = πr²h，其中r是底面半径，h是高。
定积分的计算与应用于面积与体积的计算
定积分的计算与应用于面积与体积的计算定积分是微积分中的重要概念之一，它不仅可以用于计算函数的面积，还可以应用于计算物体的体积。
在本文中，我们将介绍定积分的计算方法，并探讨其在面积与体积计算中的应用。
一、定积分的计算方法定积分的计算方法可以通过数学积分公式进行求解。
它是对函数曲线下方某一区间的面积进行求和的过程。
计算定积分需要确定被积函数的上下限范围，并通过适当的数值方法进行近似求解。
以计算函数y=f(x)在区间[a, b]上的定积分为例，可以使用不同方法进行计算。
其中，常用的方法包括积分定义法、几何法和数字积分法。
积分定义法是定积分计算的基本方法，它通过将函数曲线下方的面积拆分为无穷多个小矩形的面积之和来进行求解。
具体求解过程可以通过Riemann和黎曼和来进行，这里不再赘述。
几何法是一种直观的计算方法，它通过将函数曲线下方的面积分割为几个几何形状（如矩形、三角形等）的面积之和来进行计算。
对于简单的几何形状，可以使用基本几何公式进行计算，对于复杂的几何形状，则需要进行适当的近似。
数字积分法是一种数值计算方法，它通过将区间[a, b]分成若干小区间，并在每个小区间内取函数值的平均来进行计算。
其中，较为常用的数值积分法有矩形法、梯形法和辛普森法等。
二、定积分在面积计算中的应用定积分在计算函数曲线下方的面积时发挥着重要作用。
它可以用于求解曲线与坐标轴所围成的面积，并可以通过变量变换等方法应用于不同形状的曲线。
例如，我们可以通过定积分计算圆的面积。
设函数y=f(x)为圆的上半部分，区间[a, b]为圆弧的长度，根据定积分的定义，圆的面积可表示为：S = ∫[a, b]f(x)dx其中，函数f(x)可以表示为圆的方程。
通过适当的变量变换和曲线的参数化，我们可以求解出圆的面积。
同样地，定积分可以用于计算其他几何形状的面积，如正方形、三角形、椭圆等。
只要能够将几何形状表示为函数曲线的形式，就可以利用定积分进行计算。
定积分的应用计算面积和体积
定积分的应用计算面积和体积定积分是微积分中的一个重要概念，它在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
其中，一项常见的应用就是用定积分来计算图形的面积和物体的体积。
本文将从定积分的基本概念入手，介绍如何利用定积分来计算面积和体积。
一、定积分的基本概念定积分是积分学中的一种，它可以将函数与坐标轴之间的面积联系起来。
对于一个函数f(x)，我们可以通过定积分来计算其在某个区间[a, b]上的面积。
定积分的公式如下：∫[a,b]f(x)dx其中，∫表示积分符号，a和b是积分的下界和上界，f(x)是被积函数，dx表示积分变量。
二、使用定积分计算面积使用定积分计算面积时，我们需要确定被积函数和积分区间。
一般来说，面积可以通过将函数所在的曲线图形与坐标轴所夹的区域进行分割，将其近似看作多个矩形或梯形，再对这些矩形或梯形的面积进行求和来逼近真实的面积。
例如，我们要计算函数y = f(x)在区间[a, b]上的面积，可以先将该区间分割成n个小区间，每个小区间的长度为Δx。
然后，在每个小区间上选择一个点(xi, yi)，用这些点构成的矩形或梯形的面积之和来近似曲线与坐标轴之间的面积。
将小区间个数无限增加，使Δx趋近于0，此时逼近的面积将趋向于真实的面积，即可利用定积分公式求得准确的面积值。
三、使用定积分计算体积定积分在计算物体的体积时同样具有重要的作用。
当一个平面图形绕某条直线旋转一周，形成一个立体图形时，我们可以使用定积分来计算该立体图形的体积。
对于一个平面图形，假设其边界可以由函数y = f(x)和y = g(x)所描述，其中f(x)表示上曲线，g(x)表示下曲线。
图形绕x轴旋转一周后，所形成的立体体积可以通过定积分进行计算。
首先，我们将x轴上的区间[a, b]进行分割，并在每个小区间上选择一个点(xi, yi)。
然后，计算曲线与x轴所形成的圆柱的体积，并对所有小区间的体积求和，即可逼近真实的体积。
当小区间数量趋近于无穷大时，利用定积分公式可以得到准确的体积值。