定积分的简单应用面积
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用定积分是数学中重要的概念，定积分可以用来计算函数在一定范围（定义域）内的积分值。
它是一种可以用来计算面积或计算曲线积分问题的一种技术。
在实际生活中，定积分用于求解平面图形面积的问题，广泛应用于水利、建筑、航空航天等各个领域。
首先，定积分可以用于求解椭圆面积的问题。
椭圆面积可以用定积分来计算，其计算公式为：S=[π/2*(a2-b2)]，其中a是椭圆的长轴，b是椭圆的短轴。
这个公式能够准确地计算出椭圆的面积，在水利等领域中，椭圆管道的运用非常广泛，可以用定积分计算出椭圆管道的面积，从而帮助水利设计者准确地计算水利结构的尺寸。
其次，定积分可以用于求解三角形面积的问题。
三角形的面积也可以通过定积分进行计算，其计算公式为：S=*a*b*sin（C），其中a 和b是三角形的底边，C是三角形的内角。
这个公式可以准确的计算出三角形的面积，在建筑设计等领域中，三角形结构的运用非常广泛，可以用定积分计算出三角形结构的面积，从而帮助设计者准确地计算建筑结构的尺寸。
此外，定积分还可以用于求解复杂图形的面积。
复杂图形的面积可以用定积分来计算，例如可以用定积分计算圆柱体的表面积、圆柱管的表面积以及球的表面积等。
在航空航天等领域中，复杂图形的运用也非常广泛，例如飞机机身的设计、航天器的设计等，可以用定积分计算出复杂图形的面积，从而帮助设计者准确地计算机构的尺寸。
综上所述，定积分在实际生活中极具价值，它可以用于求解椭圆
面积、三角形面积以及复杂图形的面积等问题，在水利、建筑、航空航天等各个领域都有很广泛的应用，其准确的计算方法可以为实际生活中的设计者提供帮助。
定积分求面积实际案例
定积分求面积实际案例
嘿，朋友们！今天咱就来讲讲定积分求面积的实际案例，绝对让你大开眼界！
比如说啊，咱想象一下有个大操场，你要知道这个操场的某个部分的面积。
就像你想知道足球场那一块有多大！这时候定积分就派上用场啦！咱可以沿着操场的边界来划分小部分，然后一点点加起来，这不就求出面积了嘛！
再举个例子，想象你喜欢吃披萨，那圆形的披萨，你怎么知道自己吃了多大一块呢？哈哈，用定积分呀！把披萨想象成被分成很多小块，每一块的面积都可以通过定积分算出来，厉害吧！
还有哦，假如你有一个奇奇怪怪形状的花园，不是那种规规矩矩的，那你怎么知道种满花需要多少土呢？定积分就可以帮你精确计算出那个不规则形状的面积呀！
有一次我和朋友就争论一个不规则图形的面积，大家都各执一词呢！我说用定积分能算出来，他还不信。
结果一算出来，他那惊讶的表情，我现在都记得！这不就证明定积分求面积真的超级有用嘛！
我觉得啊，定积分就像是一把神奇的钥匙，能打开计算各种形状面积的大门！它让我们能更准确地了解和处理现实生活中的各种情况。
无论是操场、披萨还是花园，定积分都能帮我们搞定面积问题，难道不是很棒吗？所以呀，大家一定要好好掌握定积分求面积这个强大的工具，让它为我们的生活服务，为我们的思考助力呀！。
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用定积分是一种在数学中用来计算平面图形面积的方法，在实际生活中具有重要意义，这里简要介绍它在实际生活中的应用情况。
首先，定积分可以用来估算台形的面积。
台形的底部被分割为一系列的小矩形，每个小矩形的面积是定值，相互之间相差一定的距离，而高度则是由上下两边的函数描述的，由此可以将台形的面积分解为一系列的矩形的面积的和，然后用定积分的方法可以计算出台形的面积。
其次，定积分可以用来计算曲线与直线之间的面积，以及曲线与坐标轴之间的面积。
例如，当一定区域内某曲线与X轴之间的面积可用定积分进行计算，具体来说，是将这定区域内某曲线与X轴之间分解为一系列的小矩形，每个小矩形的面积都是定值，然后用定积分的方法计算出这一系列矩形的面积的和，从而得出曲线与X轴之间的面积。
此外，定积分还可以用来计算三维图形的体积。
例如，当某三维图形在某个区域内时，可以用定积分该区域内某曲面与XOY面之间的面积进行计算，然后再分别用某直线与XOZ面之间的面积和某曲线与YOZ面之间的面积进行计算，最后把这三个面积的和相乘就可以得出三维图形的体积。
最后，定积分还可以用来计算容积问题。
例如，当求某容器的容积时，可以用某曲线与XOY面的面积来计算出容器的内曲面的面积，然后用某直线与XOZ面的面积来计算容器的内曲面到XOZ面的距离，
最后将这两个面积的乘积相加即可得出容器的容积。
以上就是定积分求取平面图形面积在实际生活中的应用情况。
定积分是一种重要的数学工具，广泛应用于实际生活中，对于理解和掌握定积分相关知识，可以帮助我们更好地、更有效地解决实际中的问题。
定积分的应用(面积)
x y
(t (t
) )
(a t b) 给出，
曲边梯形的面积为
n
n
b
A m y dx m (t) d[ (t)] a (t) (t)dt
Note: (1) 带绝对值； (2) 变量代换．
(3) 极坐标系下
①(3极) 点极在坐区标域系内下部 A 2 1 r 2 ( )d
设 rr()
（以 y 为积分变量还是以 x 为积分变量）
法 1 “横分”（以 y 为积分变量）
A
2 4
4
2
y
(
y
2
4)
dy
36 ．
法 2 区间分割，用“竖分”（以 x 为积分变量）
竖分：没有代表区间，左半部 抛—抛 例 2 求由曲线 y2 4 x右与半x部 2 y直线4 所—围抛图形的面积．
法 2 区间分割，用“竖分”（以 x 为积分变量）
积分 [xi , §x5i1]定 [x积i , 分xi 的x应i ] ,用Q : f (i )xi ,
微元
[x, x dx] , dQ : f (x)dx ．
b
a
n
f ( x)dx lim d 0 i1
f (i )xi Q
小区间上部分量的积累
“分割、取近似、求和、取极限”
“微元法”思想： 在[a, b] 上取代表小区间[x, x dx] 若 f (x)dx 为 Q 的线性主部（即 f ( x)dx dQ ）．则称
f (x)
则 Alim
f ( x)dx
o
b f ( x)dx ．
a x xdx b x
a
推广到一般
(1) 直角坐标系下
y y f (x)
定积分的简单应用__平面图形的面积
的面积。
y
y=x-2
解：阴影部分面积
2
S=S1+S2.
S1由y= x ，y= - x ， 1
x=1围成：
s1 s2
o 12
4
x
S2由y= x，y= x-2 ， -1
x=1围成：
-2 x=1
y2
x=
1
s1
[
0
x (
x )]dx,
4
s2
[
1
x (x 2)]dx,
1
4
s 0 2 xdx 1 ( x x 2)dx.
y x4
4
y 2x
2 S1
S2 y x 4
S1
8
2
S 2S1 S2 2 0
8
2xdx ( 2
2x x 4)dx
y2 2x
2
8
0 2 2xdx 2 ( 2x x 4)dx
42 3
3
x2
|02
(2 2 3
3
x2
1 2
x2
4x)
|82
16 3
64 3
26 3
18
例3.求曲线x= y2 和直线y=x-2所围成的图形
4
8
8
8
8
(0 2xdx 4 2xdx) 4 (x 4)dx 0 2xdx 4 (x 4)dx
2
2 3
3
x2
|80
( 1 2
x2
4x)
|84
40 3
练习1
练习2
练习 1（课本变式题）：
计算由曲线 y2 2x和直线 y x 4所围成的图形的面积.
解: 两曲线的交点
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用把复杂的积分问题求解出来就可以计算出平面图形的面积，在实际生活中也可以看到它的很多应用。
其中有一类是涉及设计的，比如建筑设计中的空间分配、土地开发等；另一类是分析的，比如海洋表面的波浪分析等。
1、建筑设计建筑设计中，定积分可以用来求解空间分配问题。
比如，在房屋设计中，它可以用来确定楼层、楼梯、墙壁、门窗等占用了多少面积。
此外，它还可以用来求解不规则房间布局时，室外墙体和室内墙体的面积分配。
同样，在土地开发中也可以看到定积分的应用，如计算出道路两端的封闭区域面积，以及计算建筑的总面积。
定积分也可以帮助规划者精确计算出规划区域的面积，从而更好地管理规划区域的开发。
2、海洋表面的波浪分析定积分也可以用来求解海洋表面的波浪。
水波的主要性质是在洋流中运动，它的变化符合泊松方程，这是一个带积分的方程，可以用定积分来求解。
这种波浪分析可以更好地解释海洋表面的复杂性，进而指导航管理者和建筑者采取更安全有效的导航措施。
此外，在海岸线上，可以使用定积分来计算海岸线内各子区域的面积，以及海岸线及其各个部分的面积，为海洋管理者提供有形的参考数据。
3、农业此外，定积分在农业中也有非常广泛的应用。
比如，在种植作物时，可以使用定积分来计算出作物地的面积，以及需要灌溉地区的面积；在研究农田开发时，可以利用定积分来计算出耕作面积。
通过计算出具体的面积数据，可以更好地规划农田的分布和种植规模，从而节约农业资源，提高农作物的产量。
总结定积分是一种有用的数学技术，可以把复杂的数学问题转化成计算机可计算的简单形式，在计算平面图形面积上表现出很强的优势。
它在实际生活中有很多应用，比如建筑设计、土地开发、海洋洋面波浪分析，以及农业规划等。
1定积分的简单面积应用
二、新课讲解
.几种典型的平面图形面积的计算：
类型2：由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线
x=a,x=b(a<b)所围成平面图形的面积S
y f ( x)
y g ( x)
y
y f ( x)
o
a
y g ( x)
b x
(2)
(1)
b b b
(1) S f ( x)dx g ( x)dx [ f ( x) g ( x)]dx
答 汽车在这1min 行驶的路程是 1350m.
变力所做的功
物体在变力Ｆ（x）的作用下做直线 运动，并且物体沿着与Ｆ（x）相同的方 向从x=a移动到x=b（a<b），那么变力Ｆ b （x）所作的功 W F ( x)dx
a
2 2 1
3
2
1
1
1
x x 8 ( x) ( x) 3 3 3 1 1
2
3
例2.计算由曲线 y 2 x 直线y=x-4以及x轴围成图形 的面积. 解: 作出y=x-4, y 2x 的图 象如图所示:
y 2x 解方程组：
得：直线y=x-4与 y 2 x 交点为 (8，4)直线y=x-4与x轴的交点为 (4，0) 因此，所求图形的面积为一 个曲边梯形与一三角形面积 之差： 8 8 40 本题还有其他解法吗？ S 2 x dx ( x 4)dx 0 4 3
x 0 x 1 y x 解方程组 或 2 y 0 y 1 y x
y yy x x
2
B
C
o D
y x2
即两曲线的交点为(0,0),(1,1)
S = S曲边梯形OABC - S曲边梯形OABD
定积分的应用
定积分的应用定积分是微积分中的重要内容之一，经常被应用于实际问题的解决中。
本文将从三个方面来论述定积分的应用。
一、定积分在几何中的应用首先，定积分可以用于求曲线下面的面积。
以 y=f(x) 为例，若f(x)>0，则曲线 y=f(x) 与 x 轴的两点 a、b 组成的图形的面积为S=∫baf(x)dx这时，可以将曲线 y=f(x) 分成许多小块，每块宽度为Δx，高度为 f(xi)，从而可以得到其面积为ΔS=f(xi)Δx因此，当Δx 趋于 0 时，所有小块的面积之和就等于图形的面积，即∑ΔS→S因此，用定积分就可以求出图形的面积。
其次，定积分还可以用于求旋转体的体积。
以曲线 y=f(x) 在 x 轴上旋转360°为例，其体积为V=π∫baf(x)^2dx这里，π为圆周率。
最后，定积分还可以用于求某些奇特图形的长、面积等等。
二、定积分在物理中的应用物理中也有许多问题可以通过定积分来解决。
比如，运动问题中的速度、加速度，可以通过位移的变化来求得。
若某运动物体的速度为 v(t)，则其位移 s(t) 为s(t)=∫v(t)dt同样，若某运动物体的加速度为 a(t)，速度为 v(t)，则其位移为s(t)=∫v(t)dt=∫a(t)dt最后，定积分还可以用于求密度、质量等物理量。
三、定积分在工程中的应用定积分在工程中的应用也非常广泛。
比如，在流体力学中，对于一条管道中的液体，可以通过惯性和重力等因素，求出其中液体的流量和压力。
而这些流量和压力可以通过定积分计算得出。
在电学中，电量、电荷、电流和电势等都可以通过定积分来求解。
在结构设计中，定积分也常常被用来计算约束力、杠杆比例等。
总之，定积分在几何、物理和工程等领域中都有着广泛应用。
熟练地掌握定积分的方法和应用，对于科学研究和实际问题的解决都有着非常积极的帮助。
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4
0）和（2，4）。
设所求图形的面积为S，根据图像可以看
出S等于直线y=2x，x=2以及x轴所围成
平面图形的面积（设为S1）减去抛物线
x y= 2 ，直线x=2以及x轴所围成的图形
的面积（设为S2）。
o
2
x
∵
s1
2 2xdx x2 | 2 22 02 4
0
0
s2
2 x2dx 1 x3 | 2 1 (23 03) 8
§3.1 定积分的简单应用
（一）复习回顾
定积分的几何意义
（1）当f(x) ≥0时，ab f (x)dx 表示的是y=f(x)
与x=a, x=b和x轴所围曲边梯形的面积。
（2）当f(x) ＜0时，y=f(x)与x=a, y=b和x轴
b
b
所围曲边梯形的面积为 | f (x)dx | f (x)dx
一般地，设由曲线y=f(x)，y=g(x)以及直线x=a，y=b所围成
的平面图形（如图1）的面积S，则
b
b
y
s f (x)dx g(x)dx.
a
y
a
y y=f(x)
s
y=g(x)
oa
bx
y=f(x)
oa
s bx
y=g(x)
y=f(x)
s o a y=g(x) b x
图1
图2
图3
想一想：上图中（2）、（3）满足上面的公式吗？
a
a
（二）例题分析
例1.求如图所示阴影部分图形的面积。
Байду номын сангаас
分析：图形中阴影部分的面积由两个部分组成； y
一部分是x轴上方的图形的面
积（记为s1）;
1
另一部分是x轴下方图形的面
-∏
积（记为s2）.
o
-1
∏x
根据图像的性质： s1 =s2.
s1
sin xdx cos x | (cos cos 0) 2.
说明：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并
且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x= b点，
则变力F(x) 所做的功为:
W＝
b
F ( x)dx
a
（四）总结
（1）利用定积分求所围平面图形的面积， 要利用数形结合的方法确定被积函数和积 分上、下限。
（2）当平面图形是由多条曲线围成时，要 合理分区域积分求面积。
（五）课后作业
课本P90习题4-3 第1、2、3、4题。
再见
0
3 03
3
s
s1
s2
4
8 3
4 3
小结：
求平面图形的面积的一般步骤 （1）根据题意画出图形； （2）找出范围，确定积分上、下限； （3）确定被积函数； （4）写出相应的定积分表达式； （5）用微积分基本定理计算定积分，求出结果。
思考：
求曲线y= x 2与直线x+y=2围成的图形的面积。
抽象概括：
[
1
x (x 2)]dx,
1
4
s 0 2 xdx 1 ( x x 2)dx.
9 2
（三）练习
1.求曲线y=1/x、直线x=1，x=2以及x轴所围成的平 面图形的面积。
2.求由曲线xy=1及直线x=y，y=3所围成的平面图
形的面积。 3.求曲线y=sinx(x∈[
4
，3
4
])和y=cosx(x ∈[
例3.求曲线x= y2 和直线y=x-2所围成的图形
的面积。
y
y=x-2
解：阴影部分面积
2
S=S1+S2.
S1由y= x ，y= - x ， 1
x=1围成：
s1 s2
o 12
4
x
S2由y= x，y= x-2 ， -1
x=1围成：
-2 x=1
y2
x=
1
s1
[
0
x (
x )]dx,
4
s2
，3
44
])
围成的平面图形的面积。
(2)变力沿直线所做的功
例4：如果1N能拉长弹簧1cm,为了将弹簧
拉长6cm,需做功（A）
A. 0.18J B. 0.26J C. 0.12J D. 0.28J
略解：设 F kx 则由题可得 。
k 100
所以做功就是求定积分
0.06
100xdx 0.18
0
0
0
所以，所求阴影部分的面积是4..
思考：
求如下图形中阴影部分面积
5
4
o
2
s
2
sin
xdx
(
5
4
sin
xdx)
4 2
2
例2.求抛物线y=x2 与直线y=2x所围成平面图 形的面积。
解:
x 画出抛物线y= 2 与直线y=2x所围成的平面图形，
y
如图所示。
x2
求出曲线y= 与直线y=2x的交点为（0，