定积分的应用(面积)
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用定积分是数学中重要的概念，定积分可以用来计算函数在一定范围（定义域）内的积分值。
它是一种可以用来计算面积或计算曲线积分问题的一种技术。
在实际生活中，定积分用于求解平面图形面积的问题，广泛应用于水利、建筑、航空航天等各个领域。
首先，定积分可以用于求解椭圆面积的问题。
椭圆面积可以用定积分来计算，其计算公式为：S=[π/2*(a2-b2)]，其中a是椭圆的长轴，b是椭圆的短轴。
这个公式能够准确地计算出椭圆的面积，在水利等领域中，椭圆管道的运用非常广泛，可以用定积分计算出椭圆管道的面积，从而帮助水利设计者准确地计算水利结构的尺寸。
其次，定积分可以用于求解三角形面积的问题。
三角形的面积也可以通过定积分进行计算，其计算公式为：S=*a*b*sin（C），其中a 和b是三角形的底边，C是三角形的内角。
这个公式可以准确的计算出三角形的面积，在建筑设计等领域中，三角形结构的运用非常广泛，可以用定积分计算出三角形结构的面积，从而帮助设计者准确地计算建筑结构的尺寸。
此外，定积分还可以用于求解复杂图形的面积。
复杂图形的面积可以用定积分来计算，例如可以用定积分计算圆柱体的表面积、圆柱管的表面积以及球的表面积等。
在航空航天等领域中，复杂图形的运用也非常广泛，例如飞机机身的设计、航天器的设计等，可以用定积分计算出复杂图形的面积，从而帮助设计者准确地计算机构的尺寸。
综上所述，定积分在实际生活中极具价值，它可以用于求解椭圆
面积、三角形面积以及复杂图形的面积等问题，在水利、建筑、航空航天等各个领域都有很广泛的应用，其准确的计算方法可以为实际生活中的设计者提供帮助。
定积分的应用面积,体积
dx
f (x)
类似地，由0c yd ， 0 x( y) 所围成的图形绕
x
轴
旋转所成的旋转体的体积为：Vx
d
2c
y(
y)dy
。
3．4．4 旋转体的侧面积
设 f ( x) 在[a,b ]上非负，且有连续的导数。求由直线 xa ， xb ， y0 和曲线 y f ( x) 围成的平面图形， 绕 x 轴 旋转一周所形成的旋转体的侧面积。
ytan
x
R
y
o
y
R
x
(二)旋转体的体积
1．设 f ( x) 在[a,b] 上连续，求由直线xa ，xb ，
y0 和曲线 y f ( x) 所围成的图形绕 x 轴旋转
而成的旋转体的体积。
y
dV A( x)dx[ f ( x)]2 dx ， y f (x)
Vx
b
[
f
(
x)]2dx
a
b y2dx.
a
o
a
x xdx b x
2. 设( y) 在[c,d ] 上连续，求由直线 yc ，yd ， x0 和曲线 x( y) 所围成图形绕 y 轴 旋转而成的
旋转体的体积。
y
dV [( y)]2dy 。
Vy
d
[(
y)]2dy
c
d x2dy
c
d
ydy
y
x( y)
c
o
x
例 2．求由 x2 y2 2 和 y x2 所围成的图形分别
设有一立 体 位于平面 xa, xb (ab) 之间，已知它被
过点 ( x, 0, 0) (a xb) 且垂直于 x 轴 的平面所截得的截面面
定积分应用(平面图形面积)例题及习题解答.docx
定积分应用1、直角坐标系下平面图形面积的计算①连续】11|线y = f(x)(f(x)>O)Rx = a J x = h及兀轴所围成的平而图形而积为^f(x)dx②设平而图形山上下两条曲线)=广上⑴与)=f心)及左右两条肓线与x=b所|韦|成，则血•积元素为[f f r(x)]dx,于是平而图形的而积为：S = W-.A F(x)]dx .③连续曲线兀=久刃(0(y)» 0)及y = c, y = d及V轴所围成的平iM图形面积为A= [ 0(y)〃y④由方程X = 01 (y)与X = 02(歹)以及y = y = d所围成的平面图形面积为A=f”(y)—0(y)〕dy 翎>©)例1计算两条抛物线y = 0与兀=y2所围成的而积.解求解而积问题，一般需要先画一草图(图3),我们要求的是阴影部分的而积.需y = x2x = y2要先找出交点处标以便确定积分限，为此解方程组:得交点(0,0)和(1,1).选取兀为积分变量，则积分区间为[0,1],根据公式(1),所求的面积为3 lo 3—•般地，求解而积问题的步骤为：(1)作草图，求曲线的交点，确定积分变最和积分限.(2)写出积分公式.(3)计算定积分.例2计算抛物线r=2v与直线)=x-4所围成的图形的面积.解(1)画图.(2)确定在y轴上的投影区间：L-2,4J.(3)确定左右曲线:0左(刃=如2, 0右(y) = y+4.⑷计算积分s =匸。
+4-号y2）dy 二母y2+4）一”,3］役=］8.例3求在区间［丄，2 ］上连续|11|线y=ln x , x轴及二直线x =-，与x二2所围成平面区2 2域（如图2）的面积o解：已知在［$2］上，in淀°;在区间［1 , 2 ］上，In x $0，则此区域的面积为:Ji |ln x^/x =21二-(x \n x - x) i + T4ln2-1•29例4 求抛物线y =x与x-2y-3=0所围成的平面图形（图3）的面积A。
第十章定积分的应用§1平面图形的面积
y
y f (x)
0 a
bx
2 、 若 f ( x )在 [a , b ]上 不 都 是 非 负 的 ,
则所围成图形（如右图）
y
b
的 面 积 为 A f (x) dx.
a
c
d
f (x)dx f (x)dx
o
a
c
a c od
e
b
f (x)dx f (x)dx.
a
4、若平面区域是 y—区域：
由左曲线 x1 g1( y) 、 右曲线 x2 g2 ( y) 、下 直线 y a 、上直线 y b
所围成, 则其面积公式为：
y b
xg1(y) g1( y) dy. 如
o
a
图所示。
xg2(y) x
5、如果平面区域既不是x—型区域，也 不是y—型区域，则用一组平行于坐标 轴的直线，把平面区域分成尽可能少的 若干个x—型区域与y—型区域，然后计 算每一区域的面积，则平面区域总的面 积等于各区域面积之和。如右下图：
A
B
D
C
a
o
F E
b x
G
显然：由图可以知道上部分曲线由三
条不同的曲线：AB、BC与CD 构成；下 部分曲线由两条不同曲线：EF与FG所构 成。为计算其面积，可分别过点B、C与 F作平行于 y轴的直线，这样则把平面区 域分成4个x—型区域，然后利用前面的X ——型区域的公式就可以计算了。
下面看几个计算的例子我们就清楚利
计算公式得面积
A
3
2
1
y
3
y 2 d y
10
定积分的应用求面积与弧长
定积分的应用求面积与弧长定积分是微积分中的一个重要概念，它有着广泛的应用。
其中之一就是通过定积分来求解曲线的面积和弧长。
本文将介绍定积分在求解面积和弧长问题中的应用方法。
一、定积分求解曲线下面积在平面直角坐标系中，考虑曲线y=f(x)与x轴所围成的封闭曲线。
我们希望求解这个封闭曲线所包围的面积。
设x的取值范围为[a, b]。
根据定积分的定义，可以用无穷小的矩形近似曲线下面积。
即将[a, b]区间分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n，并在每个小区间内选择任意一个点xi。
那么第i个小区间的面积即为f(xi)Δx。
将所有小区间的面积累加起来，即可得到近似曲线下面积的总和：S≈Σf(xi)Δx当n趋向于无穷大时，即Δx趋向于0，这个近似值趋于真实的曲线下面积。
所以我们可以得到曲线下面积的定积分表示：S=∫[a, b] f(x) dx其中，f(x)是曲线的函数，而dx表示对x的积分。
通过计算定积分，就可以得到所求曲线下的面积。
二、定积分求解曲线的弧长另一个常见的问题是求解曲线的弧长。
考虑曲线y=f(x)在[a, b]区间上的一部分弧段。
我们可以将弧段分割成n个小弧段，每个小弧段的长度为Δs。
与求解面积类似，我们可以得到每个小弧段的长度：Δs≈√(Δx)²+(Δy)²其中Δy=f(xi+1)-f(xi)，Δx=xi+1-xi。
将所有小弧段的长度累加起来，即可得到对曲线的弧长的近似值：L≈ΣΔs当n趋向于无穷大时，即Δx趋向于0，这个近似值趋于真实的曲线弧长。
所以我们可以得到曲线的弧长的定积分表示：L=∫[a, b] √(1+(f'(x))²) dx其中，f'(x)是曲线函数的导数。
通过计算定积分，就可以得到所求曲线的弧长。
综上所述，定积分的应用可以帮助我们求解曲线的面积与弧长问题。
无论是求解面积还是弧长，都可以通过将曲线划分为无穷小的小区间或小弧段，并使用定积分的方法进行累加求和，最终得到准确的结果。
定积分的应用：平面图形面积
r ( )
d
o 1 面积元素 dA [ ( )]2 d 2 1 曲边扇形的面积 A [ ( )]2 d .
x
2
例 4
求双纽线 a cos 2 所围平面图形
2 2
的面积.
解 由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积
y x
A 4 A1
在(0,1) 内的一条切线, 使它与
两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.
B M
它与 x , y 轴的交点分别为
A
所指面积
得[ 0 , 1] 上的唯一驻点
B M
A
且为最小点 . 故所求切线为
x (t ) 如果曲边梯形的曲边为参数方程 y (t )
曲边梯形的面积
A ( t ) ( t )dt .
练习题答案
32 一、1、1； 2、 ； 3、2； 3 1 1 y e 2 4、 ； 5、 ； 6、 . e 2 3 7 2 a 二、1、 ln 2 ； 2、 ； 3、 ； 2 6 5 3 2 2 3 a 4、 ； 5、 ； 6、 a . 2 4 9 e 8 2 三、 . 四、 . 五、 a . 4 2 3
定积分的应用
定积分的应用在我们的生活中，有很多场景都需要用到定积分。
而在数学上，定积分也起到了重要的作用。
定积分可以计算曲线下的面积，如求函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的面积。
接下来，我们将介绍一些常见的定积分的应用。
一、曲线下的面积假设我们有一个区间 $[a,b]$，以及一个函数 $f(x)$。
我们可以使用定积分来计算这个函数在该区间上的曲线下的面积。
这个面积可以用下面的式子来计算：$$ S=\int_{a}^{b}f(x)dx $$ 其中，$\int$ 表示定积分。
如果我们以 $f(x)\geq 0$ 的形式进行了定义，那么定积分就可以计算出曲线下的正面积。
例如，如果我们要计算函数 $f(x)=x^2$ 在区间 $[0,1]$ 上的曲线下的面积，我们可以通过下面的定积分来计算：$$ S=\int_{0}^{1}x^2dx $$利用积分的定义，可以将该式子化简为：$$ S=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Deltax=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}x_i^2\Delta x $$ 其中，$\Delta x=\frac{1}{n}$ 且 $x_i=i\Delta x$。
如果我们取 $n=100$，你会发现：$$ S=0.010050167\cdots $$ 这时，我们就可以知道函数 $f(x)=x^2$ 在区间 $[0,1]$ 上的曲线下的面积为约为 $0.010050167$。
二、体积类似于计算曲线下的面积，定积分也可以用于计算体积。
我们可以使用定积分来计算旋转曲面的体积，例如旋转曲面、扫描曲面等。
例如，假设我们需要计算曲线 $y=x^2$ 从 $x=0$ 到 $x=1$ 周围在 $y$ 轴旋转一周所形成的立体的体积，我们可以使用下面的公式计算出体积：$$ V=\int_{0}^{1}\pi y^2dx $$替换掉 $y=x^2$ 的值，我们得到：$$ V=\int_{0}^{1}\pi x^4dx $$ 计算该定积分的结果为：$$ V=\frac{\pi}{5} $$ 所以，曲线$y=x^2$ 从 $x=0$ 到 $x=1$ 周围所形成的立体的体积为$\frac{\pi}{5}$。
定积分的计算与应用于面积与体积的计算
定积分的计算与应用于面积与体积的计算定积分是微积分中的重要概念之一，它不仅可以用于计算函数的面积，还可以应用于计算物体的体积。
在本文中，我们将介绍定积分的计算方法，并探讨其在面积与体积计算中的应用。
一、定积分的计算方法定积分的计算方法可以通过数学积分公式进行求解。
它是对函数曲线下方某一区间的面积进行求和的过程。
计算定积分需要确定被积函数的上下限范围，并通过适当的数值方法进行近似求解。
以计算函数y=f(x)在区间[a, b]上的定积分为例，可以使用不同方法进行计算。
其中，常用的方法包括积分定义法、几何法和数字积分法。
积分定义法是定积分计算的基本方法，它通过将函数曲线下方的面积拆分为无穷多个小矩形的面积之和来进行求解。
具体求解过程可以通过Riemann和黎曼和来进行，这里不再赘述。
几何法是一种直观的计算方法，它通过将函数曲线下方的面积分割为几个几何形状（如矩形、三角形等）的面积之和来进行计算。
对于简单的几何形状，可以使用基本几何公式进行计算，对于复杂的几何形状，则需要进行适当的近似。
数字积分法是一种数值计算方法，它通过将区间[a, b]分成若干小区间，并在每个小区间内取函数值的平均来进行计算。
其中，较为常用的数值积分法有矩形法、梯形法和辛普森法等。
二、定积分在面积计算中的应用定积分在计算函数曲线下方的面积时发挥着重要作用。
它可以用于求解曲线与坐标轴所围成的面积，并可以通过变量变换等方法应用于不同形状的曲线。
例如，我们可以通过定积分计算圆的面积。
设函数y=f(x)为圆的上半部分，区间[a, b]为圆弧的长度，根据定积分的定义，圆的面积可表示为：S = ∫[a, b]f(x)dx其中，函数f(x)可以表示为圆的方程。
通过适当的变量变换和曲线的参数化，我们可以求解出圆的面积。
同样地，定积分可以用于计算其他几何形状的面积，如正方形、三角形、椭圆等。
只要能够将几何形状表示为函数曲线的形式，就可以利用定积分进行计算。
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x y
(t (t
) )
(a t b) 给出，
曲边梯形的面积为
n
n
b
A m y dx m (t) d[ (t)] a (t) (t)dt
Note: (1) 带绝对值； (2) 变量代换．
(3) 极坐标系下
①(3极) 点极在坐区标域系内下部 A 2 1 r 2 ( )d
设 rr()
（以 y 为积分变量还是以 x 为积分变量）
法 1 “横分”（以 y 为积分变量）
A
2 4
4
2
y
(
y
2
4)
dy
36 ．
法 2 区间分割，用“竖分”（以 x 为积分变量）
竖分：没有代表区间，左半部 抛—抛 例 2 求由曲线 y2 4 x右与半x部 2 y直线4 所—围抛图形的面积．
法 2 区间分割，用“竖分”（以 x 为积分变量）
积分 [xi , §x5i1]定 [x积i , 分xi 的x应i ] ,用Q : f (i )xi ,
微元
[x, x dx] , dQ : f (x)dx ．
b
a
n
f ( x)dx lim d 0 i1
f (i )xi Q
小区间上部分量的积累
“分割、取近似、求和、取极限”
“微元法”思想： 在[a, b] 上取代表小区间[x, x dx] 若 f (x)dx 为 Q 的线性主部（即 f ( x)dx dQ ）．则称
f (x)
则 Alim
f ( x)dx
o
b f ( x)dx ．
a x xdx b x
a
推广到一般
(1) 直角坐标系下
y y f (x)
dA
y g(x)
dA[ f (x) g(x)]dx
b
A a [ f (x) g(x)]源自xo a x xdx b x x 型区域：竖条分割
上减下
y
d
y dy
2
4
02
例 5 求由曲线 r3cos和 r1cos所围的阴影部分的面积．
解：作草图，
A( 3, )
2 3 r 3cos
解方程组
r 3cos
r
1cos
，
o
得交点
A(
3 ,
)
，
B(
3 ,
)．
23
2 3 B( 3, )
23
由图形的对称性得
r 1cos
r
由图形的对称性得
A( 3, ) 23
r 3cos
y
x( y)
c
o
dA[( y)( y)]dy
dA
x( y)
A
d
[( y)( y)]dy
c
x
y 型区域：横条分割
右减左
例 1 求由 y sin x (0 x 2 ) 及 x 轴所围图形的面积．
法 1 无代表区间时，分成几个小区间分别讨论．
2
A 0 sin xdx sin xdx 4.
(
0
) ，求由
r
2
r()
，
，
②所求极围曲点图边在形扇区的形域图的外形面部的积面A积，A．积 分变12量r是12 ()，r22[(,)d]．
[, d][, ]，以 处的极径 r() 为半径，以 d
为圆心角的扇形的面积作为面积微元，即
dA 1[r()]2 d 2
A
1 2
[r
()]2
d.
r r()
r()
d d
o
r
例 4 求心形线 r a(1 cos ) (a 0) 所围图形的面积．
解： A 2 1 [a(1 cos )]2 d 02
r a(1 cos)
a2 (12coscos2)d 0
o
r
a2
3
1
( 2cos cos2)d
02
2
a2( 3 2sin 1 sin 2 ) 3 a2 .
A
0 4
4 x (
4 x ) dx
12 0
4
2
x
(
4 x ) dx
0
1 12
12
2 4 x dx (4 x)dx 4 x dx
4
20
0
36．
x 型区域，上减下
(2) 参数方程下
例
3
求椭圆
x y
a b
cos t sin t
(t), (t),
0 t 2 的面积．
定积分与面积有差异
b
A f ( x) dx
a
法 2 利用对称性
A 4 2 sin xdx 4. 0
讨论几何上的问题应尽可能多地用对称性．
竖分：没有代表区间，左半部 抛—抛 例 2 求由曲线 y2 4 x右与半x部 2 y直线4 所—围抛图形的面积．
解：10 作草图
20 求交点 (0，2)，(12，4)． 30 确定“横分”还是“竖分”y 型区域，右减左
解： A 4 a y dx 0
b
A a f ( x) dx
令x a cos t
4
0
b sin t
(a sin t)dt
y
2
b
4ab 2sin2 tdt 0
2ab 2 (1 cos 2t )dt 0
a
o
ab.
b
ax
或
4ab
2
sin2
tdt
4ab
1
ab.
0
22
曲边梯形由参数方程
则称 f ( x)dx 为所求量 Q 的微元，所求量
Q
b
dQ
b f ( x)dx ．
a
a
一、平面图形的面积
例 平面图形的面积 （设 f ( x) 0 ）
解： A 在 x 处的微元
y
dA 以 dx 为底、 f ( x) 为高的矩形面积
y f (x)
记为 dA f ( x)dx ，
dA
于是 AdA f (x)dx ，
A 2
3
1 (1cos)2 d
02
o
r 1cos
x
2
2
1
( 3cos
)2
d
2
B( 3, )
3
23
3 (12coscos 2)d 2 9cos2d
0
3
3
1
39 9
25
( 2sin sin2) ( sin2) .
2
4
02 4
4
3