定积分的应用： 平面图形面积
(完整版)定积分的应用--平面图形的面积
C3x
跨度为6米, 高为3米，此抛物
线形拱桥的横截面积为多少？
解：如图建立平面直角坐标系，
A
-3
B
可设抛物线方程为
y ax2 (a 0)
于是抛物线形拱桥的横截面积
S= S长方形 - S曲边梯形
点 (3,3)代入方程，得
a 1
所以抛物线方程
3 y
1
x2
3
= 18 -
3 1 x2dx 3 3
=12 - 3 1 x2dx
3 3
计算
问题情境
b
a f ( x)dx 的几何意义是什么？
几何意义
y
当 f (x) ≥ 0，定积分
b
a f (x)dx
0
a
表示曲线 y = f (x),直线 x = a，
x = b和 x 轴所围成的曲边梯形
的面积
y f (x)
bx
几何意义
ya
b
当函数 f (x) 0 ， 定积分 x
b
a f (x)dx
1 2
y2)d
y
所围图形
y y2 2x (8, 4)
o
yx4 x
(2, 2)
18
定积分在几何上的应用
y
y y 2 (x)
y 1(x)
oa x b
x
X —型：
a x b
d
y
cx 1( y) o
x 2 ( y)
x
Y —型：
c yd
h 2 (x) 1(x) h 2 ( y) 1( y)
y f (x)
就是位于x轴下方的曲边梯形
面积的相反数. 即
b
a f (x)dx S
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用定积分是数学中重要的概念，定积分可以用来计算函数在一定范围（定义域）内的积分值。
它是一种可以用来计算面积或计算曲线积分问题的一种技术。
在实际生活中，定积分用于求解平面图形面积的问题，广泛应用于水利、建筑、航空航天等各个领域。
首先，定积分可以用于求解椭圆面积的问题。
椭圆面积可以用定积分来计算，其计算公式为：S=[π/2*(a2-b2)]，其中a是椭圆的长轴，b是椭圆的短轴。
这个公式能够准确地计算出椭圆的面积，在水利等领域中，椭圆管道的运用非常广泛，可以用定积分计算出椭圆管道的面积，从而帮助水利设计者准确地计算水利结构的尺寸。
其次，定积分可以用于求解三角形面积的问题。
三角形的面积也可以通过定积分进行计算，其计算公式为：S=*a*b*sin（C），其中a 和b是三角形的底边，C是三角形的内角。
这个公式可以准确的计算出三角形的面积，在建筑设计等领域中，三角形结构的运用非常广泛，可以用定积分计算出三角形结构的面积，从而帮助设计者准确地计算建筑结构的尺寸。
此外，定积分还可以用于求解复杂图形的面积。
复杂图形的面积可以用定积分来计算，例如可以用定积分计算圆柱体的表面积、圆柱管的表面积以及球的表面积等。
在航空航天等领域中，复杂图形的运用也非常广泛，例如飞机机身的设计、航天器的设计等，可以用定积分计算出复杂图形的面积，从而帮助设计者准确地计算机构的尺寸。
综上所述，定积分在实际生活中极具价值，它可以用于求解椭圆
面积、三角形面积以及复杂图形的面积等问题，在水利、建筑、航空航天等各个领域都有很广泛的应用，其准确的计算方法可以为实际生活中的设计者提供帮助。
定积分求平面图形面积在生活上的应用
定积分求平面图形面积在生活上的应用
定积分是一种重要的数学方法，可以求出曲线或平面图形的面积，它可以用来预测及解决许多实际问题。
其实，定积分在我们的生活中也起着广泛的作用，即通过定积分可以求得许多日常中的实际图形图形的面积，再进而用于实际应用。
首先，定积分可以用来求解拟空间图形的体积，如正方体、圆柱体等。
在家装工程、楼宇建筑等工程中，我们往往希望通过计算室内分段图形物体的体积，来确定施工量、进行报价。
因此，定积分可以方便地计算出各自图形的面积，求得一个准确的体积，有利于家装施工工作。
其次，定积分还可以延伸到土木建筑学方面，主要应用在把土堤劈开形成群堤劈口时，需要用定积分来计算滩坝的面积。
在给江河加固筑坝中，也会用定积分帮助计算出河道及整体筑堤的面积，以便进行设计分析标志，精确洪水启动洪水的等级，把握工程参数，使工程质量更有保障。
而且，还可以控制工程造价，提高工程施工质量。
最后，定积分也广泛用于测量地理空间，如绘制剖分图形等。
目前，在社会经济发展过程中，各种自然资源、土地开发成为重要话题，资源管理成为一个完善的管理体系。
地块剖分时，根据图形形状和边缘位置，即以定积分来求出这些图形的面积，从而能很好地管理相应的资源和土地使用。
通过以上叙述，可以很清晰地看出定积分在我们的生活中起着非常重要的作用。
它有助于计算出各种图形的面积，从而可以在家庭清淤、室内装修工程、水利筑坝工程及地块剖分等领域派上用场，它不仅可以提高工程品质，也能控制造价，极大的方便了实际工程的日常管理和分析等。
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用定积分是一种在数学中用来计算平面图形面积的方法，在实际生活中具有重要意义，这里简要介绍它在实际生活中的应用情况。
首先，定积分可以用来估算台形的面积。
台形的底部被分割为一系列的小矩形，每个小矩形的面积是定值，相互之间相差一定的距离，而高度则是由上下两边的函数描述的，由此可以将台形的面积分解为一系列的矩形的面积的和，然后用定积分的方法可以计算出台形的面积。
其次，定积分可以用来计算曲线与直线之间的面积，以及曲线与坐标轴之间的面积。
例如，当一定区域内某曲线与X轴之间的面积可用定积分进行计算，具体来说，是将这定区域内某曲线与X轴之间分解为一系列的小矩形，每个小矩形的面积都是定值，然后用定积分的方法计算出这一系列矩形的面积的和，从而得出曲线与X轴之间的面积。
此外，定积分还可以用来计算三维图形的体积。
例如，当某三维图形在某个区域内时，可以用定积分该区域内某曲面与XOY面之间的面积进行计算，然后再分别用某直线与XOZ面之间的面积和某曲线与YOZ面之间的面积进行计算，最后把这三个面积的和相乘就可以得出三维图形的体积。
最后，定积分还可以用来计算容积问题。
例如，当求某容器的容积时，可以用某曲线与XOY面的面积来计算出容器的内曲面的面积，然后用某直线与XOZ面的面积来计算容器的内曲面到XOZ面的距离，
最后将这两个面积的乘积相加即可得出容器的容积。
以上就是定积分求取平面图形面积在实际生活中的应用情况。
定积分是一种重要的数学工具，广泛应用于实际生活中，对于理解和掌握定积分相关知识，可以帮助我们更好地、更有效地解决实际中的问题。
定积分应用(平面图形面积)例题及习题解答.docx
定积分应用1、直角坐标系下平面图形面积的计算①连续】11|线y = f(x)(f(x)>O)Rx = a J x = h及兀轴所围成的平而图形而积为^f(x)dx②设平而图形山上下两条曲线)=广上⑴与)=f心)及左右两条肓线与x=b所|韦|成，则血•积元素为[f f r(x)]dx,于是平而图形的而积为：S = W-.A F(x)]dx .③连续曲线兀=久刃(0(y)» 0)及y = c, y = d及V轴所围成的平iM图形面积为A= [ 0(y)〃y④由方程X = 01 (y)与X = 02(歹)以及y = y = d所围成的平面图形面积为A=f”(y)—0(y)〕dy 翎>©)例1计算两条抛物线y = 0与兀=y2所围成的而积.解求解而积问题，一般需要先画一草图(图3),我们要求的是阴影部分的而积.需y = x2x = y2要先找出交点处标以便确定积分限，为此解方程组:得交点(0,0)和(1,1).选取兀为积分变量，则积分区间为[0,1],根据公式(1),所求的面积为3 lo 3—•般地，求解而积问题的步骤为：(1)作草图，求曲线的交点，确定积分变最和积分限.(2)写出积分公式.(3)计算定积分.例2计算抛物线r=2v与直线)=x-4所围成的图形的面积.解(1)画图.(2)确定在y轴上的投影区间：L-2,4J.(3)确定左右曲线:0左(刃=如2, 0右(y) = y+4.⑷计算积分s =匸。
+4-号y2）dy 二母y2+4）一”,3］役=］8.例3求在区间［丄，2 ］上连续|11|线y=ln x , x轴及二直线x =-，与x二2所围成平面区2 2域（如图2）的面积o解：已知在［$2］上，in淀°;在区间［1 , 2 ］上，In x $0，则此区域的面积为:Ji |ln x^/x =21二-(x \n x - x) i + T4ln2-1•29例4 求抛物线y =x与x-2y-3=0所围成的平面图形（图3）的面积A。
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用把复杂的积分问题求解出来就可以计算出平面图形的面积，在实际生活中也可以看到它的很多应用。
其中有一类是涉及设计的，比如建筑设计中的空间分配、土地开发等；另一类是分析的，比如海洋表面的波浪分析等。
1、建筑设计建筑设计中，定积分可以用来求解空间分配问题。
比如，在房屋设计中，它可以用来确定楼层、楼梯、墙壁、门窗等占用了多少面积。
此外，它还可以用来求解不规则房间布局时，室外墙体和室内墙体的面积分配。
同样，在土地开发中也可以看到定积分的应用，如计算出道路两端的封闭区域面积，以及计算建筑的总面积。
定积分也可以帮助规划者精确计算出规划区域的面积，从而更好地管理规划区域的开发。
2、海洋表面的波浪分析定积分也可以用来求解海洋表面的波浪。
水波的主要性质是在洋流中运动，它的变化符合泊松方程，这是一个带积分的方程，可以用定积分来求解。
这种波浪分析可以更好地解释海洋表面的复杂性，进而指导航管理者和建筑者采取更安全有效的导航措施。
此外，在海岸线上，可以使用定积分来计算海岸线内各子区域的面积，以及海岸线及其各个部分的面积，为海洋管理者提供有形的参考数据。
3、农业此外，定积分在农业中也有非常广泛的应用。
比如，在种植作物时，可以使用定积分来计算出作物地的面积，以及需要灌溉地区的面积；在研究农田开发时，可以利用定积分来计算出耕作面积。
通过计算出具体的面积数据，可以更好地规划农田的分布和种植规模，从而节约农业资源，提高农作物的产量。
总结定积分是一种有用的数学技术，可以把复杂的数学问题转化成计算机可计算的简单形式，在计算平面图形面积上表现出很强的优势。
它在实际生活中有很多应用，比如建筑设计、土地开发、海洋洋面波浪分析，以及农业规划等。
定积分在几何学上的应用
成的图形的面积.
解 两曲线的交点
y2 2x y x4
(2 , 2 )(,8 ,4 ).
yx4
y2 2x
选 y为积分变量 y[2,4]
dAy4y2dy
4
A dA18.
2
2
整理ppt
6
如果曲边梯形的曲边为参数方程
x y
(t) (t)
曲边梯形的面积 A t2(t)(t)d.t t1
（ 其 中 t 1 和 t 2 对 应 曲 线 起 点 与 终 点 的 参 数 值 ）
就得半径为a
的球体的体积
4 3
a3
.
整理ppt
21
2
2
2
例 9 求星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0)绕 x轴旋转
构成旋转体的体积.
y
2
2
2
解 y3 a3 x3,
y2
a32
2
x3
3
a
x[a,a]
o
ax
旋 转 体 的 体 积
V
aaa32
2
x3
3
dx
32 a3 105
.
整理ppt
22
25
绕 y 轴 旋 转 的 旋 转 体 体 积 2ayC B xx2(y)
可看作平面图OABC与OBC o xx1(y)
A
2a x
分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差.
Vy
2ax22(y)dt
0
2ax12(y)dt
0
a2(tsit)n 2asitn dt 2 a2(tsit)n 2asitn dt 0
0
整理ppt
28
例 求曲线 y3x21 与 x 轴围成的封闭图形
第六章 定积分的应用
d
0
2
2a
2
cos
2
2
0
2 a2(1 cos )2 a2 sin2 d 8a 0
24
四、变力沿直线段作功
恒力作功：W F s
设有一变力F(x)随位移x而变，求它把物体由 a 移动到 b 所作
的功。 F(x)
•
••
Oa
bX
取 x为积分变量，它的变化区间为[a, b]，
于是变力F x所做的功为：
20
解 建立直角坐标系如图。
－R
则底圆的方程为：x2 y2 R2
过任意点 x R, R作垂直于 x 轴的
O
Y
截面，截面为一直角三角形，
x x2 y2 R2
它的两条直角边的长分别为 R2 x2 及
RX
R2 x2 tan , 因而截面积为 A( x) 1 (R2 x2 )tan
一、直角坐标系下平面图形的面积
y
1. 由 y f ( x) 0 ,
y f (x)
x a, x b, y 0
所围成的曲边梯形的面积为：
b
A a f ( x) dx
2. 由上、下两曲线 y 1x,
y 2x及 x a , x b
所围成的图形面积为：
o xa
y
xb x
y 2x
y 1x
x
1 x
dx
x2 2
ln
2 x
1
3 2
ln
2
2. y e x , y e x 与直线x 1.
解 如图所示, 所求面积为
A 1 e x e x dx 0
ex ex
1 0
e e1 2
y x
1,1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
6 曲线 y x 2 与它两条相互垂直的切线所围成平面图 形的面积S ，其中一条切线与曲线相切于点 A( a , a 2 ) ，a 0 ，则当a __时，面积 最小 . S
二、求由下列各曲线所围成的图形的面积： 1 1、 y 与直线 y x 及x 2 ； x 2 y x 与直线 y x 及 y 2 x ； 2、 3、 r 2a ( 2 cos ) ； 4、摆线 x a ( t sin t ) , y a (1 cos t ) ( 0 t 2 ) 及 x 轴； 5、 r 3 cos 及r 1 cos 的公共部分； x 3 y 3 3axy . 6、笛卡尔叶形线
x 0
x
x
两边同时对 x 求导
3 f ( x ) 2 y 2 xy 2 xy y
2 积分得 y cx ,
9 因为曲线 y f ( x ) 过点( 2,3) c 2
9 y x, 2
2
因为 f ( x ) 为单调函数
3 所以所求曲线为 y 2x. 2
练习题
在[ , ]上连续，且 ( ) 0 ．
r ( )
d
o 1 面积元素 dA [ ( )]2 d 2 1 曲边扇形的面积 A [ ( )]2 d .
x
2
例 4
求双纽线 a cos 2 所围平面图形
2 2
的面积.
解 由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积
在(0,1) 内的一条切线, 使它与
两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.
B M
ห้องสมุดไป่ตู้
它与 x , y 轴的交点分别为
A
所指面积
得[ 0 , 1] 上的唯一驻点
B
M
A
且为最小点 . 故所求切线为
x (t ) 如果曲边梯形的曲边为参数方程 y (t )
曲边梯形的面积
A ( t ) ( t )dt .
解 两曲线的交点
x y2
(0,0) (1,1)
选 x 为积分变量 x [0,1] 面积元素 dA ( x x 2 )dx
y x2
2 3 x 1 A 0 ( x x )dx x 2 . 3 0 3 3
1
3
1
2
例 2
计算由曲线 y 2 x 和直线 y x 4 所围
y x
A 4 A1
A1
A 4 0
4
1 2 a2 . a cos 2d 2
2 a 2 cos 2
例 5 求心形线 r a(1 cos ) 所围平面图形 的面积(a 0).
1 2 2 解 dA a (1 cos ) d 2
利用对称性知
d
1 2 A 2 a (1 cos ) 2 d 2 0 2 a (1 2 cos cos 2 )d 0 3 2 sin 1 sin 2 3 a 2 . a2 2 4 0 2
2
成的图形的面积.
解 两曲线的交点
y x4
y2 2x y x4
( 2,2), (8,4).
y2 2 x
选 y 为积分变量
y [2, 4]
A dA 18.
4 2
2 y dA y 4 dy 2
练习:求抛物线
解: 设抛物线上切点为 则该点处的切线方程为
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．
2
2
A 4 0 ydx 4 b sin td ( a cos t )
2
a
0
4ab sin 2 tdt ab.
0
2
二、极坐标系情形
d
设由曲线 r ( ) 及射线
、 围成一曲边扇 形，求其面积．这里， ( )
t2 t1
（其中t1 和t 2 对应曲线起点与终点的参数值）
在[t1 ,t 2 ]（或[t 2 ,t1 ]）上 x (t ) 具有连续导数，
y (t ) 连续.
x y 例 3 求椭圆 2 2 1的面积. a b x a cos t 解 椭圆的参数方程 y b sin t
练习题答案
32 一、1、1； 2、 ； 3、2； 3 1 1 4、 y ； 5、e 2 ； 6、 . e 2 3 7 2 二、1、 ln 2 ； 2、 ； 3、a ； 2 6 3 2 5 2 4、 3a ； 5、 ； 6、 a . 2 4 9 e 8 2 三、 . 四、 . 五、 a . 4 2 3
三、 求 抛 物 线 y x 2 4 x 3 及 其 在 点 ( 0 ,3 ) 和 ( 3 , 0 ) 处的切线所围成的图形的面积 . 四、 求位于曲线 y e 下方，该曲线过原点的切线的 左方以及 x 轴 上方之间的图形的面积 .
x
y 2 4ax 与过焦点的弦所围成的图形 五、 求由抛物线 面积的最小值 .
思考题解答
S 2 2S1
y
S1
y f ( x)
( x, y)
S2
S 2 0 f ( x )dx
x
o
x
x
S1 xy S 2 xy 0 f ( x )dx
0 f ( x )dx 2[ xy 0 f ( x )dx ]
3 f ( x )dx 2 xy ,
一、 填空题： 1、由曲线 y e x , y e 及 y 轴所围成平面区域的面积 是______________ . 2、由曲线 y 3 x 2 及直线 y 2 x 所围成平面区域的 面积是_____ . 3、由 曲 线 y x 1 x 2 , y 1 , x 1 , x 1 所 围 成平面区域的面积是_______ . 4、计算 y 2 2 x 与 y x 4 所围的区域面积时，选用 ____作变量较为简捷 . 5、由曲线 y e x , y e x 与直线x 1 所围成平面区 域的面积是_________ .
三、小结
求在直角坐标系下、参数方程形式 下、极坐标系下平面图形的面积.
（注意恰当的选择积分变量有助于简化 积分运算）
直角坐标方 程 边界方程 参数方程 极坐标方程
A f1 ( x) f 2 ( x) dx
a
b
思考题
设曲线 y f ( x ) 过原点及点( 2,3) ，且 f ( x ) 为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任 取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线 与 x 轴和曲线 y f ( x ) 围成的面积是另一条平 行线 与 y 轴 和 曲 线 y f ( x ) 围 成 的 面 积 的 两 倍，求曲线方程.
一、直角坐标系情形
y
y f ( x)
y
y f2 ( x) y f1 ( x )
o
a
x x xb
x
o
a
xx
b x
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积
A a f ( x )dx
b
A a [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx
b
例 1 计算由两条抛物线 y 2 x 和 y x 2 所围成的 图形的面积.