定积分的应用--平面图形的面积
(完整版)定积分的应用--平面图形的面积
C3x
跨度为6米, 高为3米，此抛物
线形拱桥的横截面积为多少？
解：如图建立平面直角坐标系，
A
-3
B
可设抛物线方程为
y ax2 (a 0)
于是抛物线形拱桥的横截面积
S= S长方形 - S曲边梯形
点 (3,3)代入方程，得
a 1
所以抛物线方程
3 y
1
x2
3
= 18 -
3 1 x2dx 3 3
=12 - 3 1 x2dx
3 3
计算
问题情境
b
a f ( x)dx 的几何意义是什么？
几何意义
y
当 f (x) ≥ 0，定积分
b
a f (x)dx
0
a
表示曲线 y = f (x),直线 x = a，
x = b和 x 轴所围成的曲边梯形
的面积
y f (x)
bx
几何意义
ya
b
当函数 f (x) 0 ， 定积分 x
b
a f (x)dx
1 2
y2)d
y
所围图形
y y2 2x (8, 4)
o
yx4 x
(2, 2)
18
定积分在几何上的应用
y
y y 2 (x)
y 1(x)
oa x b
x
X —型：
a x b
d
y
cx 1( y) o
x 2 ( y)
x
Y —型：
c yd
h 2 (x) 1(x) h 2 ( y) 1( y)
y f (x)
就是位于x轴下方的曲边梯形
面积的相反数. 即
b
a f (x)dx S
定积分的简单应用__平面图形的面积
的面积。
y
y=x-2
解：阴影部分面积
2
S=S1+S2.
S1由y= x ，y= - x ， 1
x=1围成：
s1 s2
o 12
4
x
S2由y= x，y= x-2 ， -1
x=1围成：
-2 x=1
y2
x=
1
s1
[
0
x (
x )]dx,
4
s2
[
1
x (x 2)]dx,
1
4
s 0 2 xdx 1 ( x x 2)dx.
例 1 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2所围成的
图形的面积.
解
y y
x x2
x
0及x
1
两曲线的交点 O(0,0) B(1,1)
y
y2 x
B
C y x2
D
o
Ax
S S曲梯形OABC - S曲梯形OABD
1 xdx 1 x2dx
0
0
S
1
(
0
x - x2 )dx
2 3 x3 1 3 x 2 3 0
9 2
学习小结: 求在直角坐标系下平面图形的面积步骤: 1.作图象; 2.求交点的横坐标,定出积分上、下限; 3.确定被积函数，用定积分表示所求的面积， 特别注意分清被积函数的上、下位置; 4.用牛顿－莱布尼茨公式求定积分.
课外练习
作业:课本 P67 A 组 T2
y x4
4
y 2x
2 S1
S2 y x 4
S1
8
2
S 2S1 S2 2 0
8
2xdx ( 2
2x x 4)dx
定积分应用(平面图形面积)例题及习题解答.docx
定积分应用1、直角坐标系下平面图形面积的计算①连续】11|线y = f(x)(f(x)>O)Rx = a J x = h及兀轴所围成的平而图形而积为^f(x)dx②设平而图形山上下两条曲线)=广上⑴与)=f心)及左右两条肓线与x=b所|韦|成，则血•积元素为[f f r(x)]dx,于是平而图形的而积为：S = W-.A F(x)]dx .③连续曲线兀=久刃(0(y)» 0)及y = c, y = d及V轴所围成的平iM图形面积为A= [ 0(y)〃y④由方程X = 01 (y)与X = 02(歹)以及y = y = d所围成的平面图形面积为A=f”(y)—0(y)〕dy 翎>©)例1计算两条抛物线y = 0与兀=y2所围成的而积.解求解而积问题，一般需要先画一草图(图3),我们要求的是阴影部分的而积.需y = x2x = y2要先找出交点处标以便确定积分限，为此解方程组:得交点(0,0)和(1,1).选取兀为积分变量，则积分区间为[0,1],根据公式(1),所求的面积为3 lo 3—•般地，求解而积问题的步骤为：(1)作草图，求曲线的交点，确定积分变最和积分限.(2)写出积分公式.(3)计算定积分.例2计算抛物线r=2v与直线)=x-4所围成的图形的面积.解(1)画图.(2)确定在y轴上的投影区间：L-2,4J.(3)确定左右曲线:0左(刃=如2, 0右(y) = y+4.⑷计算积分s =匸。
+4-号y2）dy 二母y2+4）一”,3］役=］8.例3求在区间［丄，2 ］上连续|11|线y=ln x , x轴及二直线x =-，与x二2所围成平面区2 2域（如图2）的面积o解：已知在［$2］上，in淀°;在区间［1 , 2 ］上，In x $0，则此区域的面积为:Ji |ln x^/x =21二-(x \n x - x) i + T4ln2-1•29例4 求抛物线y =x与x-2y-3=0所围成的平面图形（图3）的面积A。
考研数学第六讲定积分的应用
第六讲 定积分的应用一、基础知识几何应用（一）平面图形的面积 1．直角坐标情形由曲线)0)(()(≥=x f x f y 及直线 x a =与 x b = ( a b < ) 与 x 轴所围成的曲边梯形面积A 。
()baA f x dx =⎰ 其中：f x dx ()为面积元素。
由曲线y f x =()与y g x =()及直线x a =，x b =(a b <)且f x g x ()()≥所围成的图形面积A 。
()()[()()]=-=-⎰⎰⎰b b baaaA f x dx g x dx f x g x dx2．极坐标情形设平面图形是由曲线 )(θϕ=r 及射线αθ=，βθ=所围成的曲边扇形。
取极角θ为积分变量，则 βθα≤≤,在平面图形中任意截取一典型的面积元素A ∆，它是极角变化区间为],[θθθd +的窄曲边扇形。
曲边梯形的面积元素 θθϕd dA 2])([21= ⎰=βαθθϕd A )(212（二）旋转体的体积计算由曲线y f x =()直线x a =，x b =及x 轴所围成的曲边梯形，绕x 轴旋转一周而生成的立体的体积。
取x 为积分变量，则],[b a x ∈，对于区间],[b a 上的任一区间],[dx x x +，它所对应的窄曲边梯形绕x 轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以)(x f 为底半径，dx 为高的圆柱体体积。
即：体积元素为 []dx x f dV 2)(π=所求的旋转体的体积为 []dx x f V ba⎰=2)(π（三）平面曲线的弧长 1.直角坐标情形设函数)(x f 在区间],[b a 上具有一阶连续的导数，计算曲线)(x f y =的长度s 。
取x 为积分变量，则],[b a x ∈,在],[b a 上任取一小区间],[dx x x +，弧长元素为[]dx x f ds 2)(1'+= 弧长为 []⎰'+=badx x f s 2)(12.参数方程的情形若曲线由参数方程)()()(βαφϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x 给出，弧微分[][]dt t t dy dx ds 2222)()()()(φϕ'+'=+=则 [][]⎰'+'=βαφϕdt t t s 22)()(3.极坐标情形若曲线由极坐标方程)()(βθαθ≤≤=r r 给出，将极坐标方程化成参数方程，曲线的参数方程为x r y r ==⎧⎨⎩≤≤()cos ()sin ()θθθθαθβ，弧长元素为θθθθθθθd r r d r r d r r dy dx ds 22222222)()cos sin ()()sin cos ()()('+=+'+-'=+= 从而有 ⎰'+=βαθd r r s 22（四）.曲率与曲率半径 曲率记作,k 0lims d k s dsαα∆→∆==∆, 222''''tan '''sec sec 1'd d y y y y dx dx y ααααα=⇒=⋅⇒==+, 2''1'y d dx y α=+,又,ds =故322''(1')y d k dsy α==+.曲率半径 3221(1')''y k y ρ+==. 曲率圆二、例题1．平面图形的面积与旋转体的体积例 1. 已知抛物线2,y px qx =+(其中0,0p q <>)在第一象限内与直线5x y +=相切,且抛物线与x 轴所围成的平面图形的面积为s .问: (1)p q 和为何值时,s 达到最大值? (2)求出此最大值.【答案】,3p q =4=-5,22532s =例2.设⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-0,0,)(22x ex e x F x x ，S 表示夹在x 轴与曲线()y F x =之间的面积. 对任何)(x f0t >，)(1t S 表示矩形t x t -≤≤，0()y F t ≤≤的面积. 求(I) 1()()S t S S t =-的表达式； (II) ()S t 的最小值.【答案】(I) t te t S 221)(--=，t ∈ (0 , +∞).(II) eS 11)21(-=. 例3.设曲线的极坐标方程为(0)a e a θρ=>,则该曲线上相应于θ从0到2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积为41(1)4a e aπ-. 例 4.设1D 是由抛物线22y x =和直线x a =, 2x =及0y =所围成的平面区域; 2D 是由抛物线22y x =和直线x a =,0y =所围成的平面区域,其中02a <<.(1)试求1D 绕x 轴旋转而成的旋转体体积1V ;2D 绕y 轴旋转而成的旋转体体积2V . (2)问当a 为何值时,12V V +取得最大值?试求此最大值. 【答案】54(32)5a π- 4a π 1295π 例5.设曲线2(0,0)y ax a x =>≥与21y x =-交于点A ,过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2y ax =围成一平面图形.问a 为何值时,该图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积最大?最大体积是多少?【答案】4a =是体积最大,其最大体积为:522161518755V π=⋅= 例6.过坐标原点作曲线ln y x =的切线,该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D . (1).求D 的面积A ;(2).求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V . 【答案】(1)112A e =- (2)2(5123)6V e e π=-+ 例7.（15-2） 设A>0，D 是由曲线段sin (0)2y A x x π=≤≤及直线0y =，2x π=所围成的平面区域，1V ，2V 分别表示D 绕x 轴与绕y 轴旋转成旋转体的体积，若12V V =，求A 的值.【答案】8π例8.(09-3-10 分)设曲线()y f x =，其中()y f x =是可导函数，且()0f x >，已知曲线()y f x =与直线0,1y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形，绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是曲边梯形面积值的t π倍，求该曲线方程。
第六章 定积分(2)
若 f ( x ) g( x ) ，
y
y f ( x)
y g( x )
a o
x x dx
b
x
面积元素： dA [ f ( x ) g( x )] dx ,
A [ f ( x ) g( x )] dx
a
b
3
一般地，
y
y f ( x)
y g( x )
a o
b
围成的平面图形的面积. 解 交点 x 1 , 由对称性,
x2 y 2
2
y
1 y 1 x2
3Βιβλιοθήκη 1 213o
2
1
3
x
x 1 1 x ) dx S 2 ( ) dx 2 ( 2 2 1 0 1 x 2 1 x 2 2 3 . 3 3
16
二、平行截面面积为已知的立体的体积 一个立体, 夹在平面 x a 和 x b 之间, 被垂直于 x 轴的平面所截的截面积为A( x ) ,则该立体的体积为
a
27
b
y
y f ( x)
V y 2 x f ( x ) dx
a
b
o a
b
x
y
上例：
2
1 2 0
y 2x2
Vy 2 x 2 x dx .
o
1
x
28
例13 求由曲线 y ( x 1)( x 2) 和 x 轴所围平面图 形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体体积. 2 解 V y 2 x( x 1)( x 2) dx . 1 2 y y
y
a x
利 用 圆 面 积
9
定积分求平面图形的面积
42 x
选择=结果
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
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412
412 积。
例2 计算抛物线 y2 2x 与直线 y x 4 所围图形
. 0011 0010 1的01面0 1积101 0001 0100 1011
解: 由
得交点
y
y2 2x
yd y
(8, 4)
(2, 2) , (8, 4)
y
1 为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
d
A
(
y
4
1 2
y2)ห้องสมุดไป่ตู้y
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
定积分的应用-----求平面图形面积
412
引入
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1.复习定积分的定义及其几何意义
41 2 2.如何用定积分求平面图形的面积？
一、微元法
y y f (x)
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
边梯形面积为 A , 则
b
A a f1(x) f2 (x) dx
y y f1(x) y f2 (x)
412 o axxdx b x
例1 计算两条抛物线
所围图形的面积 .
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
解: 由
得交点 (0, 0) , (1, 1)
d A x x2 dx
2 4
定积分在几何学上的应用
一、平面图形的面积
1. 直角坐标情形
y y f (x)
设曲线
与直线
及 x 轴所围曲 边梯形面积为 A , 则
o
a
x
x
dbx
x
dA f (x) dx
b
A a f (x) dx
y y f1(x) y f2 (x)
右图所示图形面积为
b
A a f1(x) f2 (x) dx
A 40 y d x
利用椭圆的参数方程
x y
a cos t b sin t
(0 t 2 )
y b
o xxdxa x
应用定积分换元法得
4
ab
12
2
ab
4ab 2 sin 2 t dt 0
当 a = b 时得圆面积公式
一、平面图形的面积
2. 极坐标情形
求由曲线
及
围成的曲边扇形的面积 .
在区间
2
(1
1 y 2 ) 2d y 1 (2 y)2 d y 0
内容小结
1. 平面图形的面积 直角坐标方程
边界方程 极坐标方程
2. 已知平行截面面面积函数的立体体积
旋转体的体积 绕x轴: 绕y轴:
上任取小区间
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA 1 ( ) 2 d
2
所求曲边扇形的面积为
r ( ) d
A 1 2 ( ) d 2
x
一、平面图形的面积
例 计算阿基米德螺线 到 2 所围图形面积 .
解:
A 2 1 (a )2 d
02
a2 2
13
3
高等数学- 定积分的应用
x
0 L(x)dx c0
L(x) x2 L(x)dx x1
例1 设固定成本为50万元,R(Q) 100 - 2Q, C(Q) 14Q 20,试确定厂商的最大利润
四、小结
求在直角坐标系下、参数方程形式 下、极坐标系下平面图形的面积.
（注意恰当的选择积分变量有助于简化 积分运算）
绕 x轴旋转一周
Vx
b (f 2 (x) g2 (x))dx
a
(3) x (y),y c,y d围成图形绕 y轴旋转而成的体积为
Vy
d 2 (y)dy
c
y
d
x ( y) c
o
x
例1 求 x2 y 2 1 (1)绕x轴,(2)绕y轴旋转产 a2 b2
生的旋转体体积
解 : (1)绕x轴
y b a2 x2 a
Vx
a y 2dx
a
2
a b2 0 a2
(a2
x2 )dx
2b 2 a2
(a2x
1 3
x
3
)
|a0
4 ab2 3
(2)绕y轴
Vy
2 2
a x | f (x) | dx
0
4
a b2 0 a2
x
a2 x2dx 4 a2b 3
例2 求y x2 ,x y2围成平面图形绕x轴旋转
而成的旋转体体积.
练习题答案
一、1、1；
2、32 ； 3
4、 y ；
5、e 1 2 ； e
二、1、3 ln 2； 2
2、7 ； 6
4、3a2 ；
5、5 ； 4
三、9 . 4
四、e . 2
3、2；
6、1 . 2
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①根据题意画出图形; ②确定积分上下限和被积函数， 写出相应的积分表达式 ③计算定积分，得出所求图形 的面积
情境回归
如图所示, 一抛物线形拱桥的 跨度为6米, 高为3米，此抛物 线形拱桥的横截面积为多少？ 建立平面直角坐标系 确定抛物线方程 求由曲线围成的平面图形面积
3米 6米
情境回归
如图所示, 一抛物线形拱桥的 跨度为6米, 高为3米，此抛物 线形拱桥的横截面积为多少？ 解：如图建立平面直角坐标系，
可设抛物线方程为
3米 6米
y
2
y ax
(a 0)
-3
o
-3
3x
点 ( 3,3) 代入方程， 得 1 a 3 1 2 于是抛物线方程 y x 3
( 3,3)
( 3,3)
情境回归
如图所示, 一抛物线形拱桥的 -3 D 跨度为6米, 高为3米，此抛物 线形拱桥的横截面积为多少？ A 解：如图建立平面直角坐标系，
计算
1 3 2 ( 2) 3 3
16 3
f ( x) x 2
变式
2、 如图所示由 y
2 和 所围图形的 f ( x ) x 4 y 面积是多少？ 解: S ABCD - S曲边梯形 ABCD
s
2 x dx A 4 4 - 2 -2 16 16 3 C 32 3 2
b
a
f ( x)dx
就是位于x轴下方的曲边梯形 面积的相反数. 即
b
a
f ( x)dx S
几何意义
对于函数值有正有负的连续函数 f ( x ) 定积分
b
y
a
f ( x)dx
d
S1
C
S3
b
a
S2
x
b a
f ( x ) d x S1 S 2 S 3
热身练习
1.用定积分求下列图形的面积 1
y x4
的面积. 解 先求两曲线的交点。
{ y x4
y
2x
(8,4).
y2 2 x
思考题：
计算由 y 2 x 和 y x 4所围图形的面积.
2
解 先求两曲线的交点。
y x4
y2 2 x ( 2,2), (8,4). y x4
y2 2 x
可设抛物线方程为
3米 6米
y
2
y ax
(a 0)
-3
o
-3
3x
点 ( 3,3) 代入方程， 得 1 a 3 1 2 于是抛物线方程 y x 3
( 3,3)
( 3,3)
情境回归
如图所示, 一抛物线形拱桥的 跨度为6米, 高为3米，此抛物 线形拱桥的横截面积为多少？ 解：如图建立平面直角坐标系，
问题情境
b
a
f ( x )dx 的几何意义是什么？
几何意义
y
当 f (x) ≥ 0，定积分
y f ( x)
b
a
f ( x)dx
0
a
b
x
表示曲线 y = f (x),直线 x = a，
x = b和 x 轴所围成的曲边梯形
的面积
几何意义
y 当函数 f (x) 0 ， 定积分
a
b
x
y f ( x)
y
y 1 x
1
x
2-1o热身源自习y sin xx
y
0
范例
1、 计算：由曲线 f ( x) x 2 ,直线 y
-2
x 2, x 2和 x 轴所围成的
曲边梯形的面积
2 2 2 2
o
2
解:
x
2 2
1 3 S = - x dx x dx x 2 2 3
＝ ＝
1 0
1
-1
O -1
1 A
x
x dx x 2 dx
0
3 1 2
1
2 x 3
1 31 2 1 x ＝ ＝1 0 3 3 3 3 0
提升
y
A
0 a bX a
1
A2
b a b
曲边形
曲边梯形
面积 A=A1-A2
巩固练习
例3计算由 y 2x
和 y x 4及 x 轴所围图形
3
0
2 3 x dx 0
17 4
0
2
x
范例
3.计算由曲线 y x 2 与 y x 所围图形的面积
解：作出草图，所求面积为阴影部分的面积
2 y x x 1 解方程组 2 得交点横坐标为 x 0 及 y x
y
y x2
B C D
y x
Ｓ＝Ｓ曲边梯形ＯＡＢＣ－Ｓ曲边梯形ＯＡＢＤ
可设抛物线方程为
y
o
-3
C3 x
B
于是抛物线形拱桥的横截面积
y ax
2
(a 0)
S= S长方形 - S曲边梯形
1 2 = 18 - 3 3 x dx 3 1 2 =12 - 3 x dx 3
3
点 ( 3,3)代入方程， 得 1 a 3 1 2 所以抛物线方程 y x 3
d
y
y 1 ( x)
oa x b x
a xb
h 2 ( x) 1 ( x)
X —型：
c o
x 1 ( y )
x
Y —型：
c yd
h 2 ( y ) 1 ( y)
1.通过本堂课的学习,你获得了什么数学知识? 定积分解决平面上曲边形面积的问题 一 般 步 骤
o
-4
B
2
x
y 4
D
f ( x) x 2
抽象
y
AS
0 a
S1
b X0
S2
曲边形
长方形
曲边梯形
面积 S=S1-S2
3 例2 求 y x 与直线x 1, x 2 及 x 轴所围成的
平面图形的面积。 解 所围成的图形如图所示：
y
yx
1
3
则
s 1 x dx
法二： 的面积 . 解: 由 得交点
所围图形
y
y 2 2x
(2 , 2) , (8 , 4)
此平面图形为Y—型 则有 4 2 A ( y4 1 2 y )d y 2
(8 , 4)
o
y x4
(2 , 2)
x
18
定积分在几何上的应用
y
y 2 ( x)
y
x 2 ( y )