定积分在物理中的应用 精品教案
定积分在物理中的应用
使用时间： 班级： 小组： 姓名：1 1.7.2定积分在物理中的应用【学习目标】：1.知道定积分的几何意义及微积分的基本定理.2．掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。
【学习重点】：定积分的概念及几何意义 【学习难点】：定积分的基本性质及运算的应用 【学习方法】：分组讨论学习法、探究式. 【导学问题】： 基础过关：问题1：作变速直线运动的物体所经过的路程S ，等于其速度函数)0)()((≥=t v t v v 在时间区间[]b a ,上的定积分即S=问题2：如果物体在变力()F x 的作用下作直线运动，并且物体沿着与()F x 相同的方向从x=a 移动到x=b(a<b)，那么变力()F x 所做的功为W=_______________；思考：若()0v t ≤，则从时刻t=a 到时刻t=b 所经过的路程s 是多少？能力提升：例1．一辆汽车的速度时间的函数关系为：（单位：).(),/(s t s m v ）3,010;()30,1040;1.590,4060.t t v t t t t ≤≤⎧⎪=≤≤⎨⎪-+≤≤⎩求：（1）汽车前s 10行驶的路程；（2）汽车前40s 行驶的路程；（3）汽车在这min 1行驶的路程.练习1：一动点P 沿x 轴运动，在时间t 时的速度为2()82v t t t =- （速度的正方向与x 轴正方向一致），P 从原点出发，当t=6时， 求：（1）点P 离开原点的位移 （2）点P 离开原点的路程创新拓展：例2．在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功.练习2：一物体在力()34F x x =+（x 的单位：m,F 的单位：N ）的作用下，沿与F 相同的方向，从x=0处运动到x=4处，求力F 所做的功使用时间： 班级： 小组： 姓名：21.7.2定积分在物理中的应用达标检测基础过关：1、 设物体以速度2()3(/)v t t t m s =+作直线运动，则它在0~4s 内所走的路程为 （ ）m A 70. m B 72. m C 75. m D 80.2、质点由坐标原点出发时开始计时，沿x 轴运动，其加速度()a t =2t ，当初速度(0)0v =时，质点出发后6s 所走的路程为 （ ）12.A 54.B 72.C 96.D3、如果1N 能拉弹簧1cm ，若将弹簧拉长6cm ，所耗费的功为（ ） J A 18.0. J B 26.0. J C 12.0. J D 28.0.4、设列车从A 点以速度()24 1.2(/)v t t m s =-开始拉闸减速，则拉闸后行驶105m 所需时间为 （ ）s A 5. s B 10. s C 20. s D 35.5、一物体沿直线以23v t =+（t 单位：s,v 单位：m/s ）的速度运动，则该物体从t=3到t=5行进的路程为6、做变速直线运动的物体的速度2()4v t t =-，则它在第2秒内的位移是7、将一弹簧压缩x 厘米，需要4x 牛顿的力，将它从自然长度压缩5厘米，外力作的功是 能力提升： 8、物体A 以速度231v t =+在一直线上运动，在此直线上与物体A 出发的同时，物体B 在A 的正前方5m处以10v t =的速度与A 同向运动，两物体何时相遇？相遇地与A 的出发地的距离是多少？（单位：:/v m s ；:t s ）创新拓展：9、一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度tt t v ++-=1555)(（单位：s m /）紧急刹车至停止.求 （1）从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间； （2）紧急刹车后火车运行的路程.1.7.2定积分在物理中的应用达标检测基础过关：1、 设物体以速度2()3(/)v t t t m s =+作直线运动，则它在0~4s 内所走的路程为 （ ）m A 70. m B 72. m C 75. m D 80.2、质点由坐标原点出发时开始计时，沿x 轴运动，其加速度()a t =2t ，当初速度(0)0v =时，质点出发后6s 所走的路程为 （ ）12.A 54.B 72.C 96.D3、如果1N 能拉弹簧1cm ，若将弹簧拉长6cm ，所耗费的功为（ ） J A 18.0. J B 26.0. J C 12.0. J D 28.0.4、设列车从A 点以速度()24 1.2(/)v t t m s =-开始拉闸减速，则拉闸后行驶105m 所需时间为 （ ）s A 5. s B 10. s C 20. s D 35.5、一物体沿直线以23v t =+（t 单位：s,v 单位：m/s ）的速度运动，则该物体从t=3到t=5行进的路程为6、做变速直线运动的物体的速度2()4v t t =-，则它在第2秒内的位移是7、将一弹簧压缩x 厘米，需要4x 牛顿的力，将它从自然长度压缩5厘米，外力作的功是能力提升： 8、物体A 以速度231v t =+在一直线上运动，在此直线上与物体A 出发的同时，物体B 在A 的正前方5m处以10v t =的速度与A 同向运动，两物体何时相遇？相遇地与A 的出发地的距离是多少？（单位：:/v m s ；:t s ）创新拓展：9、一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度tt t v ++-=1555)(（单位：s m /）紧急刹车至停止.求 （1）从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间； （2）紧急刹车后火车运行的路程.。
1.7.定积分在物理中的应用-人教A版选修2-2教案
1.7. 定积分在物理中的应用-人教A版选修2-2教案一、教学目标1.理解定积分的物理意义和计算方法。
2.掌握定积分用于求曲线下的面积、质量和质心等物理量的计算方法。
3.了解矩形法和梯形法的计算公式和误差估计方法。
二、教学重点和难点1.掌握定积分在物理中的应用。
2.熟练掌握定积分的计算方法。
3.理解矩形法和梯形法的误差估计方法。
三、教学过程3.1、导入新课1.引入物理学中的几何概念——曲线下的面积。
2.提问：如何求出曲线下的面积？3.引导学生思考定积分的概念及其物理意义。
3.2、讲解定积分的物理意义和计算方法1.定积分的物理意义：用于求曲线下的面积、质量和质心等物理量。
2.定积分的计算方法：用不定积分求解，再进行积分区间的计算。
3.3、定积分在物理中的应用3.3.1、曲线下的面积1.定义曲线下的面积。
2.推导计算公式。
3.3.2、质量1.定义质量。
2.推导计算公式。
3.3.3、质心1.定义质心。
2.推导计算公式。
3.4、矩形法和梯形法的计算公式和误差估计方法1.介绍矩形法和梯形法的计算公式。
2.推导误差估计公式。
3.5、课堂练习1.做一些简单的例题，让学生熟悉定积分的计算方法和应用。
2.分组让学生自主练习，并交流答案。
四、教学反思1.本节课通过引入几何概念引导学生认识定积分的物理意义，从而引入了定积分的计算方法和应用。
2.教师在给出定积分的物理意义时应该注意符合学生所学习过的课程，从而让学生更好地理解和接受。
3.我们还需更多的时间让学生练习和思考，以便更好的理解和掌握定积分。
定积分在物理学中的应用省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
一、800 ln 2(焦耳).
二、25
kc
2
3a
7 3
(其中
k
为比例常数)
.
7
三、14373(千牛) . 四、4 r4 g . 3
五、1 a 2b .
6
六、引力的大小为2km
sin
,方向为
M
指
向圆弧
R2
的中心 .
七、k a4. 2
尤其是怎样在详细问题中取“微元”——微 功、微压力、微引力等。这对于从形式到内容 真正地把握公式是非常必要旳，相反假如仅满 足于套用公式处理某些简朴问题而不求甚解， 那么遇到某些稍有灵活性旳问题，便可能束手 无策，不知怎样下手。
四、平均值和均方根
y
1
b
f ( x)dx
ba a
s
1
b
f 2( x)dx
ba a
有关定积分旳应用阐明三点：
1。选择合适旳坐标系
2。善于根据问题旳性质和要求构造积 分元素，主要是选择好参数，并能正 确地拟定出积分限，
3。详细计算定积分时，要尤其注意和 充分而且谨慎应用对称性及等量关系 以简化定积分旳计算，对此，熟悉区 域或曲线旳形状，对于处理问题是十 分有益旳。
五、小结
dW
F ( x)dx
mgR 2
1 x2
dx
WH
R H
mgR 2
R
1 x2
dx
mgR2( 1 1 ) R RH
为了使火箭脱离地球引力范围，也
就是说要把火箭发射到无穷远处 H
所须作旳功
lim lim w
wH
H
mgR2( 1
H
R
1 ) R H
定积分在物理中的应用PPT精品课件
例3 某汽车在高速公路上直线行驶， 刹车后汽车的速度为v(t)＝12－0.6t （m/s），求刹车后汽车需前进多少m才 能停住？
120m
小结作业
1.在物理中，定积分主要应用于求变速
直线运动的位移和变力所作的功，其基
本原理如下：
原理1（求变速直线运动的位移）：
若物体运动的速度函数为v(t)，则物体
作业：
P59练习：1，2. P60习题1.7A组：2，3.
自学导航:
一、动物在自然界 中的作用
问题1：人类是否可以将苍蝇和蚊子赶尽 杀绝？
1、不能，因为在自然界中，某种动物与 其他生物有着直接或者间接的关系，当 某种动物被灭杀后，会间接或者直接影 响其他生物的生存，以至影响到整个自 然界。
2、不能，当某种动物的数量增多时，以 该动物为食的动物也会增多（或它的天 敌也会增多），从而限制了这种动物的 数量。
思考3：根据定积分计算，汽车在这1min
内行驶的路程是多少m？
v(m/s)
ò 10
3tdt＝150
30 A
B
0
ò 40
30dt＝900
C
10
O 10
40 60 t(s)
ò 60 (- 3 t + 90)dt ＝300
40
2
思考4：根据定积分的几何意义，如何计 算汽车在这1min内行驶的路程？
v(m/s)
运输 观赏
耕地 食品
3.动物与基因工程
2.动物与仿生学
动物与仿生萤火虫与冷光 Nhomakorabea保护我们的生存环境
草履虫 蚯蚓
净化污水 改良土壤
啄木鸟和杜鹃 壁虎
森林害虫的天敌 捕捉苍蝇、蚊子
教学设计3：1.7.2 定积分在物理中的应用
1.7.2 定积分在物理中的应用教学目标1、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）.2、 能熟练利用定积分求变速直线运动的路程.会用定积分求变力所做的功. 教学重难点 定积分求体积以及在物理中应用.教学过程：复习1、求曲边梯形的思想方法是什么？2、定积分的几何意义是什么？3、微积分基本定理是什么？新课讲解定积分在物理中应用1.求变速直线运动的路程我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v =v (t ) ( v (t ) ≥0) 在时间区间[a ,b ]上的定积分，即()d ba s v t t =⎰.例 1：一辆汽车的速度一时间曲线如图所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．解：由速度一时间曲线可知：3,010,()30,10401.590,4060.t t v t t t t ≤≤⎧⎪=≤≤⎨⎪-+≤≤⎩因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：104060010403d [30d ( 1.590)d s t t t t t =++-+⎰⎰⎰ 210402*********|30|(90)|1350(m)24t t t t =++-+=答：汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m .2．变力作功一物体在恒力F （单位：N ）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移（单位：m)，则力F 所作的功为W =Fs .探究：如果物体在变力 F (x ）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x ) 相同的方向从x =a 移动到x =b (a <b ) ，那么如何计算变力F (x ）所作的功W 呢？与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到()d ba W F x x =⎰.例2：如图，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m 处，求克服弹力所作的功．解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力 F （x ）与弹簧拉伸（或压缩）的长度 x 成正比，即 F （x ）= kx ,其中常数 k 是比例系数．由变力作功公式，得到220011|()22l l W kxdx x kl J ===⎰ 答：克服弹力所作的功为212kl J . 例3：A 、B 两站相距7.2km ，一辆电车从A 站B 开往站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t (m/s)，到C 点的速度为24m/s ，从C 点到B 点前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经ts 后，速度为（24-1.2t ）m/s ，在B 点恰好停车，试求（1）A 、C 间的距离；（2）B 、D 间的距离；（3）电车从A 站到B 站所需的时间.【解析】作变速直线运动的物体所经过的路程s ,等于其速度函数v =v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ,b ]上的定积分,即()d ba S v t t ⎰＝.解：（1）设A 到C 的时间为t 1则1.2t =24, t 1=20(s),则AC ＝20220001.20.6|240(m)tdt t ==⎰.（2）设D 到B 的时间为t 21则24-1.2t 2=0, t 21=20(s),则DB ＝202200024 1.2d 0.6|240(m)t t t ==⎰（－）.（3）CD =7200-2⨯240=6720(m),则从C 到D 的时间为280(s),则所求时间为20+280+20=320（s ）课堂小结根据定积分的定义，定积分既有几何背景，又有物理背景，进而定积分与这些知识有着天然的联系.譬如：求几何图形的面积，求路程、平均速度、电荷量、电压、功、质量等.上述种种尽管形式相异，然而所采用的思想方法均是：化曲为直，以不变代变，逼近，从某个角度而言充分展现了数学思想方法的高度抽象性及应用的广泛性。
1.7.2定积分在物理中的应用教案
1.7.2 定积分在物理中的应用一、教学目标：1. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.2．掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。
二、教学重点与难点：1. 定积分的概念及几何意义2. 定积分的基本性质及运算的应用三教学过程：（一）练习1．曲线y = x 2 + 2x 直线x = – 1，x = 1及x 轴所围成图形的面积为（ B ）．A ．38B ． 2C ．34D ．32 2．曲线y = cos x 3(0)2x π≤≤与两个坐标轴所围成图形的面积为（ D ）A ．4B ．2C ．52 D ．33．求抛物线y 2 = x 与x – 2y – 3 = 0所围成的图形的面积．解：如图：由2230y x x y ⎧=⎨--=⎩得A （1，– 1），B （9，3）． 选择x 作积分变量，则所求面积为（二）新课变速直线运动的路程1．物本做变速度直线运动经过的路程s ，等于其速度函数v = v (t ) (v (t )≥0 )在时间区间[a ，b ]上的 定积分 ，即⎰=ba dt t v s )(．2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t ) = – 3sin t ，则 t 1 = 3至t 2 = 5时间内的位移是()dt t ⎰-53sin 3．（只列式子） 3．变速直线运动的物体的速度v (t ) = 5 – t 2，初始位置v (0) = 1，前2s 所走过的路程为 325 ． 例1．教材P58面例3。
练习：P59面1。
变力作功1．如果物体沿恒力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 到x = b 变力所做的功W = F （b —a ）．2．如果物体沿与变力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 到x = b 变力所做的功W =⎰b a dx x F )(．例2．教材例4。
练习：1．教材P59面练习22．一物体在力F (x ) =10(02)34(2)x x x ≤≤⎧⎨+>⎩（单位：N ）的作用下沿与力F (x )做功为（ B ） A ．44J B ．46J C ．48J D ．50J3．证明：把质量为m （单位kg ）的物体从地球的表面升高h （单位：m ）处所做的功W = G ·()Mmh k k h +，其中G 是地球引力常数，M 是地球的质量，k 是地球的半径．证明：根据万有引力定律，知道对于两个距离为r ，质量分别为m 1、m 2的质点，它们之间的引力f 为f =G ·122m m r ，其中G 为引力常数． 则当质量为m 物体距离地面高度为x （0≤x ≤h ）时，地心对它有引力f (x ) = G ·2()Mm k x +故该物体从地面升到h 处所做的功为0()h W f x =⎰d x =20()h Mm G k x ⋅+⎰·d x = GMm 201()h k x +⎰ d (k + 1) = GMm 01()|h k x -+ （三）、作业《习案》作业二十。
定积分在物理中的应用上
C A
263 m/s
3．一物体以v(t)＝t2－3t＋8(m/s)的速度运动，则其在前30 秒内的平均速度为________．
解析 由定积分的物理意义得s＝ʃ300(t2－3t＋8)dx ＝(13t3－32t2＋8t)|300 ＝7 890 (m)， v ＝st＝7 38090＝263 (m/s)．
和位移均用 v(t)dt 求解；
例: 一辆汽车的 速 度 时间曲 线 如图 1 .7 3 所 示 .求 汽 车 在 这 1 m in 行 驶 的 路 程 .
3t,
0t 10; 因此汽车1m在in行这驶的路
30,
10t 40; 程是:
1.5t 90,40 t 60. 32t21003t0140034t29t0640013m5. 0S0130td14t300d0t46001.5t9d0t
定积分在物理中的 应用
此处添加副标题内容
问题探究一 变速直线运动的路程 问题 变速直线运动的路程和位移相同吗？
(2)当 v(t)<0 时，求某一时间段内的位移用 v(t)dt 求解，
这一时段的路程是位移的相反数，即路程为－
v(t)dt.
答 不同．路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两
个不同的概念，(1)当 v(t)≥0 时，求某一时间段内的路程
()
5 A.2g
7 B.2g
3 C.2g
D．2g 得t＝30，
解析
h＝ʃ21gtdt＝12gt2|21＝32g.
2．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v(t)＝27－
0.9t，则列车刹车后前进多少米才能停车
()
A．405
B．540
C．810
D．945
∴s＝ʃ300v(t)dt＝ʃ300(27－0.9t)dt ＝(27t－0.45t2)|300＝405.
人教版高中数学选修2-21.7.2定积分在物理中的应用教案
1.7.2 定积分在物理中的应用教课建议1.教材剖析,指引学生解决变力所做的功等一些简单的物本小节主假如经过举例复习变速直线运动的行程理问题 .要点是应用定积分解决变速直线运动的行程和变力做功等问题,使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值 .难点是将物理问题化归为定积分的问题.2.主要问题及教课建议(1)变速直线运动的行程问题.建议教师用发问的方式让学生思虑、议论 ,使学生进一步从“数形联合”的角度理解定积分的观点并解决问题 .(2)变力做功的问题 .,自己推导出变力做功的公式,进一步体验用建议教师指引学生类比求变速直线运动行程的过程定积分解决问题的思想方法 .备选习题1.已知物体从水平川面做竖直上抛运动的速度—时间曲线如图 ,求物体 :(1)距离水平川面的最大值 ;(2)从 t= 0(s)到 t= 6(s)的位移 ;(3)从 t= 0(s)到 t= 6(s)的行程 .解:(1) 设速度—时间函数式为v(t)=v 0+at ,将点 (0 ,40),(6,-20)的坐标分别代入,得 v0= 40,a=- 10,因此 v(t)= 40-10t.令 v(t) =0? 40-10t= 0? t= 4,物体从 0 s 运动到距离水平川面的最大值为2(2)由上述可知 ,物体在 0~6 s 内的位移为s= (40-10t)dt= (40t-5t2)= 60(m) .(3)由上述可知,物体在 0~6 s 内的行程为s=|40-10t|dt=(40-10t)dt-(40-10t)dt=(40 t-5t 2)-(40t- 5t2)=80+ 20= 100(m) .2.如下图,一物体沿斜面在拉力 F 的作用下由 A 经 B,C 运动到 D,此中 AB= 5 m,BC= 4 m,CD= 3 m,变力 F= 在 AB 段运动时动方向同样 ,求物体由F 与运动方向成30°角 ,在A 运动到 D 所做的功 .BC 段运动时 F 与运动方向成45°角 ,在CD段F与运解: 在 AB 段运动时 F 在运动方向上的分力 F 1=F cos 30 .°在 BC 段运动时 F 在运动方向上的分力 F 2=F cos 45 .°由变力做功公式得W= cos 30 dx+° cos 45 dx+° 20dx= (x+ 20 )dx+ (x+20)dx+ 20dx=+ 20x=×108+ 20×3= (N ·m).。
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定积分在物理中的应用
【教学目标】
【知识与能力目标】
进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。
【过程与方法目标】
探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。
【情感态度价值观目标】
探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；探究过程中对学生进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学生自主探究。
【教学重点】
曲边梯形面积的求法；
【教学难点】
定积分在物理中应用。
【教学过程】
一、复习引入，激发兴趣。
【教师引入】
1、求曲边梯形的思想方法是什么？
2、定积分的几何意义是什么？
3、微积分基本定理是什么？
二、探究新知，揭示概念。
变力作功
（1）求变速直线运动的路程
我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v (t)(v(t)≥0)在时间区间上的定积分，即
答：汽车在这1 min 行驶的路程是1350m。