定积分在几何上的应用体积、弧长
定积分的概念和意义
定积分的概念和意义定积分是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在一个区间上的累积效应。
在数学和物理学等领域中，定积分有着广泛的应用和重要的意义。
本文将介绍定积分的概念和意义，并探讨其在实际问题中的应用。
一、定积分的概念定积分是无穷小和的极限，用于描述函数在一个区间上的累积效应。
假设我们有一个函数f(x)，在区间[a, b]上进行积分运算就是计算该区间上函数f(x)的面积。
为了计算这个面积，我们将区间[a, b]分成许多小的子区间，然后在每个子区间中找到一个代表点，将函数在该点的取值乘以该子区间的长度，然后将所有的乘积相加求和。
当我们把子区间的数量无限增大，子区间的长度趋近于零时，这个累积和就趋近于一个确定的值，这个确定的值就是定积分。
定积分的表示方式为∫[a, b]f(x)dx，其中∫表示积分运算符，[a, b]表示积分的区间，f(x)表示要积分的函数，而dx表示积分的变量。
二、定积分的意义定积分具有重要的意义，它在数学和物理学中具有广泛的应用，并且为解决实际问题提供了数学工具。
下面将介绍定积分的几个主要意义。
1. 几何意义：定积分可以用于计算曲线与坐标轴之间的面积。
例如，当函数f(x)大于等于零时，定积分∫[a, b]f(x)dx表示了曲线y=f(x)与x轴以及直线x=a和x=b所包围的面积。
这个面积可以用定积分来精确计算。
2. 物理意义：定积分可以应用于物理学中的速度、加速度、质量、功等概念。
例如，当把速度函数v(t)对时间t积分，得到的就是物体在一段时间内的位移。
同样地，将加速度函数a(t)对时间t积分，得到的就是速度的变化量，即位移的变化。
3. 统计意义：定积分可以用于统计学中的概率密度函数和累积分布函数的计算。
概率密度函数描述了连续随机变量的概率分布情况，而累积分布函数给出了该变量取值小于等于某个特定值的概率。
通过计算概率密度函数和累积分布函数的积分，可以得到各种随机变量的概率和期望值等重要统计量。
定积分的概念分析
定积分的概念分析定积分是微积分学中的重要概念之一，是对函数在一个闭区间上的加和运算。
它在物理学、经济学和工程学等领域有广泛的应用。
本文将对定积分的概念进行分析，并介绍一些相关性质和应用。
一、定积分的定义在介绍定积分的具体定义之前，先引入一些必要的概念。
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则将[a,b]等分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx。
在每个小区间上任取一个点ξi，并设Δx的极限为0，这时ξi变成了[a,b]上的任意一点x。
那么，将每个小区间上的函数值f(ξi)与对应小区间宽度Δx的乘积相加，即可得到一个加和运算，这个加和运算就是函数f(x)在闭区间[a,b]上的定积分，记作∫[a,b]f(x)dx。
定积分可以理解为一个求和的动作，将函数在一个区间上的无穷多个微小部分的面积或者长度，加和成一个整体。
二、定积分的几何意义几何上，定积分可以理解为曲线与坐标轴之间的有符号面积。
具体而言，设函数f(x)在闭区间[a,b]上非负，那么函数f(x)的图像与x轴之间的面积就等于定积分∫[a,b]f(x)dx。
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上存在有负值的部分，那么对应的面积就具有有符号性，即正值部分与负值部分相互抵消。
三、定积分的性质1. 积分的线性性质：对于任意两个函数f(x)和g(x)，以及实数a和b，有∫[a,b](af(x) + bg(x))dx = a∫[a,b]f(x)dx + b∫[a,b]g(x)dx。
2. 积分的次序性：对于任意两个实数a和b，当a < b时，有∫[a,b]f(x)dx = -∫[b,a]f(x)dx。
3. 积分的区间可加性：对于任意三个实数a、b和c，当a < b < c 时，有∫[a,c]f(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx。
4. 积分的常数性质：当f(x)在闭区间[a,b]上连续时，有∫[a,b]dx = b - a。
高数课件第六章定积分的应用：第二节定积分的几何应用
y
c
b O
x
bx
x
x x 1 sh dx ch dx c c b x xb s 2 ch dx 2c sh 0 c c 0 x b 1 x 2c sh ( c ch ) c sh c c c c
2
e e ch x 2 x x e e sh x 2 (ch x) sh x
Hale Waihona Puke 2 (t ) 2 (t ) d t
因此所求弧长
s
2 (t ) 2 (t ) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
令 x r ( ) cos , y r ( ) sin , 则得
dx [r ( ) cos r ( ) sin ]d dy [r ( ) sin r ( ) cos ]d
2
选 x 为积分变量 (1) x [2, 0], dA1 ( x 3 6 x x 2 )dx 于是所求面积 A A1 A2
特别注意:
各积分区间 A ( x 3 6 x x 2 )dx 0 (x x 6 x)dx 上被积函数的 2 253 形式不同． . 12
0
3
2
3
x2 1 练习：1.求曲线 y , y 与直线 x 3 2 1 x 2
x 3 所围成的图形的面积。
2.求曲线 xy 1 与直线
x y 0 y 2
x y 2
P1
2
所围成的图形的面积。 2014考研题
提示：1
P2
y
1
32 1 0 2 1 1 3 x 1 x 1 1 s 2[ ( )d x ( ( 3 3 2) ) d x ] 2 0 1 x 1 3 2 2 1 x2
定积分在几何学上的应用
成的图形的面积.
解 两曲线的交点
y2 2x y x4
(2 , 2 )(,8 ,4 ).
yx4
y2 2x
选 y为积分变量 y[2,4]
dAy4y2dy
4
A dA18.
2
2
整理ppt
6
如果曲边梯形的曲边为参数方程
x y
(t) (t)
曲边梯形的面积 A t2(t)(t)d.t t1
（ 其 中 t 1 和 t 2 对 应 曲 线 起 点 与 终 点 的 参 数 值 ）
就得半径为a
的球体的体积
4 3
a3
.
整理ppt
21
2
2
2
例 9 求星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0)绕 x轴旋转
构成旋转体的体积.
y
2
2
2
解 y3 a3 x3,
y2
a32
2
x3
3
a
x[a,a]
o
ax
旋 转 体 的 体 积
V
aaa32
2
x3
3
dx
32 a3 105
.
整理ppt
22
25
绕 y 轴 旋 转 的 旋 转 体 体 积 2ayC B xx2(y)
可看作平面图OABC与OBC o xx1(y)
A
2a x
分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差.
Vy
2ax22(y)dt
0
2ax12(y)dt
0
a2(tsit)n 2asitn dt 2 a2(tsit)n 2asitn dt 0
0
整理ppt
28
例 求曲线 y3x21 与 x 轴围成的封闭图形
高等数学(第三版)课件：定积分的应用
线 y f ( x，) 直线 x a, x b (a b) 与
• x 轴围成的面积是在x 轴上方和下方曲边梯形
面积的差.
• • 同样可由微元法分析
•⒉ 一般地，根据微元法由曲线 y f ( x), y g( x),
• ( f ( x) g( x)) 及直线x a, x b 所围的图形
• 面积.（右图所示）
• 解: 取 为积分变量,
•
面积微元为
d
A
1 2
(a )2
d
• 于是
A 2 1 (a )2d a 2 2
02
23
2 4 a 2 3
03
• 例5 计算双纽线 r 2 a2 cos2 (a 0)
•
所围成的平面图形的面积（下图所示）
• 解 因 r 2 0,故 的变化范围是 [ 3 , 5 ,]
• ⑴分割区间[a,b],将所求量(曲边梯形面积 A )
分为部分量(小曲边梯形面积 Ai）之和;
• ⑵确定各部分量的近似值(小矩形面积);
Ai f (i )xi
• ⑶求和得所求量的近似值（各小矩形面积之和);
n
A f (i )xi
i 1
• ⑷对和式取极限得所求量的精确值（曲边梯形面积）.
n
A lim 0
• 它表示高为f ( x) 、底为 dx 的一个矩形面积.
• ⑵由定积分几何意义可知,当 f (x) 0 时,由曲
线 y f (x)，直线 x a, x b (a b) 与 x 轴所围成
的曲边梯形的面积A为
A
b
f (x)dx
.
a
• ⑶当 f ( x)在区间 [a, b]上的值有正有负时，则曲
•
第一节 定积分在几何上的应用6-1
所围图形绕 x 轴旋转
而成的椭球体的体积. 解: 方法1 利用直角坐标方程
y b
o x ax
则 V 2 a y2 dx 0
(利用对称性)
2
b2 a2
a
(a
2
x2
)
dx
0
2
b2 a2
a2 x
1 3
x3
a 0
4 ab2
3
方法2 利用椭圆参数方程
则 V 20a y2 dx 2 ab2 sin3t d t
2
0
4 3 a2
3
对应 从 0 变
2 a
o
x
d
例6. 计算心形线
与圆
所围图形的面积 .
1 2cos cos 2
解: 利用对称性 , 所求面积
A
1a2 2
2
1 a2 (1 cos )2 d
2
1 2
(1
cos
2
)
1 a2 a2 (3 2cos 1 cos 2 )d
b
b
A a dA( x) a f ( x)dx.
y
妨此可得（图1）的面积： d
A
d
dA( y)
d
f ( y)dy.
y
c
c
c
（图2）的面积：
y
O
y f2(x)
y f1( x)
oa
x bx
（图2）
A
b[ a
f2(x)
f1( x)]dx
A
x=f(y)
（图1）
及 y 轴所围曲边梯形绕 y 轴的旋转体的体积计算公式
定积分的思想总结和应用
定积分的思想总结和应用定积分是微积分中的一个重要概念，它是求曲线和坐标轴之间的面积的方法。
在实际应用中，定积分有着广泛的应用，包括求面积、计算物体的质量、求解概率等。
首先，定积分的思想是将曲线和坐标轴之间的面积进行分割，并进行求和得到最终结果。
具体来说，我们可以将曲线分割成无穷小的小矩形，并计算每个小矩形的面积，然后将这些面积进行累加即可得到整个曲线和坐标轴之间的面积。
这就是定积分的基本思想。
其次，定积分的应用十分广泛。
一个最基本的应用就是求平面图形的面积。
例如，我们可以通过定积分来计算圆的面积、三角形的面积等。
具体来说，我们可以将这些图形进行分割，并计算每个小矩形的面积，然后进行累加即可得到图形的面积。
此外，定积分还可以用于计算物体的质量。
我们知道，物体的质量可以通过密度和体积来计算，而定积分可以帮助我们计算出物体的体积。
例如，我们可以将物体进行分割，并计算每个小矩形的体积，然后进行累加即可得到整个物体的体积。
再通过密度与体积的乘积，就可以求得物体的质量。
此外，定积分还可以应用于求解一些概率问题。
例如，我们可以通过定积分来计算概率密度函数下的概率。
具体来说，概率密度函数表示了某个随机变量落在某个区间的概率，而定积分可以将这个概率密度函数下的概率求解出来。
这在概率统计学中有着很重要的应用，例如求正态分布下某个区间的概率等。
此外，定积分还可以用于求解一些几何问题。
例如，我们可以通过定积分来计算曲线的弧长。
具体来说，我们可以将曲线进行分割，并计算每个小矩形的弧长，然后进行累加即可得到整个曲线的弧长。
这在几何学中有着很重要的应用，例如求解圆的弧长、椭圆弧的长度等。
总之，定积分是微积分中的一个重要概念，它的思想是将曲线和坐标轴之间的面积进行分割并进行求和。
在实际应用中，定积分有着广泛的应用，包括求面积、计算物体的质量、求解概率等。
通过定积分，我们可以解决一些实际问题，对于深入理解和应用微积分都具有重要意义。
定积分的几何应用(面积和弧长)
精确值
一、 平面图形的面积
二、 平面曲线的弧长
定积分在几何学上的应用
一、平面图形的面积
1. 直角坐标情形
设曲线
与直线
及 x 轴所围曲
则
边梯形面积为 A ,
右下图所示图形面积为
O
O
例1. 计算两条抛物线
在第一象限所围
图形的面积 .
解: 由
得交点
O
例2. 计算抛物线
与直线
的面积 .
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解:
O
2. 极坐标情形
求由曲线
及
围成的曲边扇形的面积 .
在区间
上任取小区间
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
所求曲边扇形的面积为
O
对应 从 0 变
例5. 计算阿基米德螺线
解:
到 2 所围图形面积 .
O
例6. 计算心形线
所围图形的
面积 .
提示: 交点为
弧线段部分
直线段部分
以 x 为积分变量 , 则要分
两段积分,
故以 y 为积分变量.
解：
2. 求曲线
所围图形的面积.
显然
面积为
同理其他.
又
故在区域
答案:
O
二、平面曲线的弧长
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,
当折线段的最大
边长 →0 时,
折线的长度之和趋向于一个确定的极限 ,
则称此极限为曲线弧 AB 的弧长 ,
即
并称此曲线弧为可求长的.
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
(证明略)
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
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例6 求曲线 y 2 4 x 及 x 4、y 0 所围图形
绕 y 轴旋转而成的旋转体体积Vy .
解 取 y为积分变量，则 y [0, 4]，
y处的截面为圆环面，面积为
y4 A( y ) (16 ) 16
y4 Vy (16 )dy 0 16 1 5 4 256 . 64 y |0 5 80
方法2 利用椭圆参数方程
则
V 2 y dx 2 2 ab 2 sin 3 tdt 0 0 2 2 2 ab 1 3 4 ab 2 3
2
a
4 3 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 a . 3
例 5 求由圆 x 2 ( y 2)2 1所围的图形绕 x 轴旋转
所求的体积为
V A( x ) dx 8
1 1
1 1
4 2 1 x dx
2
类似地，如果旋转体是由连续曲线
x ( y ) 、直线 y c 、 y d 及 y 轴所围成的
曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，体积计算 如下：
y
d
2
y 处的截面面积
2 ( y )， A( y ) x
任取 x [a , b]，
过点 x 作平面垂直于 x 轴，
截旋转体的截面为环面，其面积为
A( x ) [ f 2 2 ( x ) f12 ( x )]
体积为
V [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx.
b 2 2 a
例3
连接坐标原点O 及点 P ( h, r ) 的直线，直线
x h 及 x 轴围成一个直角三角形 ，将它绕 x 轴
旋转得到一个底半径为r，高为 h 的圆锥体，
计算圆锥体的体积．
y
P
解 直线 OP 方程为
r y x h
o
r
x
h
x
ù Ô ² ¶ å Ä å ý Ë Ò Ô ×Ì µ Ì »
r 2 x3 V x dx 0 h 3h
a
b
注意：该积分公式的适用条件
1 、x轴 是 旋 转 轴 ;
2、 旋 转 平 面 图 形 是 一 由 连 续 曲 线 f ( x )、 个 y x a、x b及x轴 所 围 成 ， 即 图 形 的 边 一 在x轴 上;
一般地，由连续曲线 y f1 ( x )， f2 ( x )， y （0 f1 ( x ) f2 ( x ) ），以及直线 x a，x b (a b ) 所围图形绕 x 轴旋转一周所成立体的体积为
设曲线弧为 y f ( x ) (a x b) ，其中 f ( x ) 在[a , b]
上有一阶连续导数, 取积分变量为 x ，
y
在[a , b]上任取小区间[ x , x dx ]，
以对应小切线段的长代替小弧段的长
小切线段的长 弧长微元 ds (dx)2 (dy)2
o
dy
x ( y)
其体积为
V x dy 2 ( y )dy.
2 c d
c
o
d c
x
V [ ( y )]2 dy
d c
注意：该积分公式的适用条件
1、旋转轴为轴; y
2、 旋 转 平 面 图 形 是 一 由 连 续 曲 线 ( y )、 个 x y c、y d及y轴 所 围 成 ， 即 图 形 的 边 在 一 y轴 上;
绕直线 y 1旋转而成的旋转体体积 .
解
V ( y2 y1 )dx
2 2 0
截面是环面
[(sin x 1) 2 1]dx
0
(sin2 x 2 sin x )dx
0
2
2
4 .
V× ( y2 y1 ) dx (sin x 1)2 dx
4
例7.
x a ( t sin t ) 计算由摆线 一拱 (0 t 2 ) y a(1 cos t )
与x轴
所围的图形绕 y轴旋转而成的立体体积. 解 取 y为积分变量，则 y [0, 2a]，
y处的截面为圆环面，面积为
y
A( y) [ x22 ( y) x12 ( y)]
截面面积
1 1 2 A( x ) y y tan ( R x 2 )tan ， 2 2
体积
ox
y
R
x
2 3 1 R 2 2 V A( x )dx R (R x ) tan dx R tan . R 3 2
R
思考: 可否选择 y 作积分变量 ?
h 2
r2
h 0
1 2 r h. 3
例4. 计算由椭圆 转而成的椭球体的体积.
所围图形绕 x 轴旋转而
y
解: 方法1 利用直角坐标方程
b
o
则
x
ax
V 2 y 2 dx
0
a
(利用对称性)
b2 a 2 2 2 (a x 2 ) dx a 0 b2 2 1 3 a 4 2 2 a x x ab 2 3 0 3 a
b a
(柱壳法)
三、平面曲线的弧长
1. 平面曲线的弧长的概念 2. 平面曲线的弧长的计算公式
直角坐标情形 参数方程情形 极坐标情形
1. 平面曲线的弧长的概念
设 A、 B 是曲线弧上的两 个端点，在弧上插入分点
y
M2
M1 M n1
B Mn
A M 0 , M 1 , M i , , M n 1 , M n B
3
0
2
0
a 3 (t sin t )2 sin tdt
( t sin t )2 sin tdt 6 3a 3
如果旋转体由曲线 y f ( x ) ( f ( x ) 0)
±ß Ö Ï x a ¡ x b (0 a b ) ¼ x Ö Ë Î ³ µ Ç ±Ì Ð ¢ ° á ù §É Ä ú ß Ý Î
其中 ( t ), ( t ) 在[ , ] 上具有连续导数.
2 2 2 ds (dx )2 (dy )2 [ ( t ) ( t )](dt )
2 ( t ) 2 ( t )dt
弧长
s
2 ( t ) 2 ( t )dt ( )
弧长
s
2 ( ) 2 ( )d .
注意： ds
( )d
2 3 例 1 计算曲线 y x 2 上相应于 x 从 a 到 b 的一段 3
弧的长度.
解 y x ,
1 2
ds 1 ( x )2 dx 1 xdx,
a
b
1 2
所求弧长为
s a
o
A M0
x
并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时，
此折线的长 | M i 1 M i |的极限存在，则称此极限为 曲线弧 AB 的弧长，并称此曲线弧是可求长的.
⌒
i 1 n
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
2. 平面曲线的弧长计算公式
(1) 曲线方程为直角坐标表示
解
取坐标系如图 底圆方程为
x 2 y 2 R2，
y
h
o
x
R
x
垂直于x 轴的截面为等腰三角形
截面面积
A( x) h | y | h R2 x 2
R
立体体积 V h R
1 2 R x dx 2 R h.
2 2
2. 旋转体的体积
一平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周 而成的立体称为旋转体．定直线称为旋转轴．
绕 y 轴旋转一周而成，求其体积.
(柱壳法)
体积元素 dV 2 x f ( x)dx
V 2 x f ( x )dx
b a
y2 x
利用这个公式，可知上 例6 中
x4
V y 2 x 2 x dx 4
0
4
4
0
256 x dx 5
3 2
旋转轴不是坐标轴的情形: 例 8 求 y sin x、x 0、x 及 y 0所围图形
y f ( x)
o
x x dx
x
取 以f ( x )为 底 半 径 、 为 高 的 扁 圆 柱 体 的 dx 体 积 为 体 积 元 素 ， 即 [ f ( x )]2 dx dV
则旋转体的体积为 V [ f ( x )]2 dx
a
b
V [ f ( x )]2 dx
一周而成的环体的体积.
解
取 x为积分变量，则 x [1,1]，
上半圆的方程为 y 2 1 x 2 , 下半圆的方程为 y 2 1 x 2 ,
x处的截面为圆环面，面积为
2 2 A( x ) （2 1 x 2 ） 2 1 x 2 ）] 8 1 x 2 [ （
此时截面面积是什么 ?
如何用定积分表示体积 ? 提示: A( y ) 2 | x | y tan
2tan y R y
2 2
y
( x, y )
o
R
x
2 3 V 2 tan y R y d y R tan . 0 3
R
2 2
例 2 求以半径为 R 的圆为底、平行且等于底 圆直径的线段为顶、高为 h 的正劈锥体的体积.