高中数学人教a版选修4-4 模块综合含答案

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高中数学选修4-4习题(含答案)

高中数学选修4-4习题(含答案)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN统考作业题目——4-46.21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,(2x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数），以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。

曲线C 的极坐标方程为 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）已知点M 是曲线C 上任一点，求点M 到直线l 距离的最大值. 2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与O 轴的正半轴重合，且长度单位相同。

直线O 的极坐标方程为：O =√2sin (O −O4)，点P (2cos O ,2sin O +2)，参数O ∈[0,2O ]．（I ）求点O 轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）求点O 到直线O 距离的最大值．1、【详解】（1）12,2x t y t =+⎧⎨=-⎩10x y ∴+-= 因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，所以222440x y x y ++++=，即22(1)(2)1x y +++=（2）因为圆心(1,2)--到直线10x y +-==所以点M 到直线l 距离的最大值为 1.r = 2、解：（Ⅰ）设P(x,y)，则{x =2cosαy =2sinα+2，且参数α∈[0,2π]，消参得：x 2+(y −2)2=4所以点P 的轨迹方程为x 2+(y −2)2=4 （Ⅱ）因为ρ=√2sin(θ−π4)所以ρ√2sin (θ−π4)=10 所以ρsinθ−ρcosθ=10，所以直线l 的直角坐标方程为x −y +10=0 法一：由（Ⅰ）点P 的轨迹方程为x 2+(y −2)2=4 圆心为（0,2），半径为2． d =√22=4√2，P 点到直线l 距离的最大值等于圆心到直线l 距离与圆的半径之和，所以P 点到直线l 距离的最大值4√2+2．法二：d =√22=√2|cosα−sinα+4|=√2|√2cos (α+π4)+4|当a =74π时，d max =4√2+2，即点P 到直线l 距离的最大值为4√2+2．6.33．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为{x =cosθy =√3sinθ（θ为参数），曲线C 2的参数方程为{x =4−√22t y =4+√22t（t ∈R ，t 为参数）.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程；(2)设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.4．在直角坐标系xOy 中曲线1C的参数方程为cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ （α为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.3、【详解】（1）对曲线C 1：cos 2θ=x 2，sin 2θ=y 23，∴曲线C 1的普通方程为x 2+y 23=1．对曲线C 2消去参数t 可得t =(4−x)×√2,且t =(y −4)×√2, ∴曲线C 2的直角坐标方程为x +y −8=0．又∵x =ρcosθ,y =ρsinθ，∴ρcosθ+ρsinθ−8=√2ρsin (θ+π4)−8=0 从而曲线C 2的极坐标方程为ρ=4√2sin(θ+π4)。

人教版高中数学选修4-4_综合质量评估 Word版含答案

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综合质量评估第一、二讲(分钟分)一、选择题(本大题共小题,每小题分,共分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的).极坐标方程ρρ表示曲线的中心在( ).第一象限.第二象限.第三象限.第四象限【解析】选.极坐标方程ρρ,即ρρθρθ,化为直角坐标方程为,标准方程为()(),圆心坐标为(),在第四象限..(·北京高二检测)极坐标方程ρθ化为直角坐标方程是( ).() ()【解析】选.极坐标方程ρθ即ρρθ,所以化为直角坐标方程是,即()..(·淮南高二检测)在极坐标系中,曲线ρθ围成的图形面积为( ) .ππ【解析】选.由ρθ得ρρθ,直角坐标方程为,所以(),所以ππ.【补偿训练】已知直线将曲线(θ为参数)平分,则曲线围成图形的面积为( )ππππ【解析】选.直线的普通方程为,曲线(θ为参数)的普通方程为()(),所以圆的圆心的坐标为(),依题意,得,即,所以圆的面积为π..与普通方程等价的参数方程为( )....【解析】选.所谓与方程等价,是指将参数方程化为普通方程时,形式一致,且的变化范围对应相同,按照这一标准逐一验证.选项化为普通方程为∈∈.选项化为普通方程为∈.选项化为普通方程为∈∈.选项化为普通方程为∈∈(∞]..极坐标方程ρθ与参数方程(为参数)所表示的图形分别是( ).直线、直线.直线、圆.圆、直线.圆、圆【解析】选.由ρθ得ρρθ,即,即,对应图形为圆.将参数方程消去参数,得,所以对应图形为直线.。

高中数学(人教版选修4-4)阶段质量检测(二) A卷 Word版含答案

阶段质量检测（二）卷(本大题共小题，每小题分，满分分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．已知曲线的方程为(\\(＝，＝))(为参数)，则下列点中在曲线上的是( )．() ．()．() ．()解析：选当＝时，＝且＝，即点()在曲线上．．(北京高考)曲线(\\(＝－＋θ，＝＋θ))(θ为参数)的对称中心( )．在直线＝上．在直线＝－上．在直线＝－上．在直线＝＋上解析：选曲线(\\(＝－＋θ，＝＋θ))(θ为参数)的普通方程为(＋)＋(－)＝，该曲线为圆，圆心(－)为曲线的对称中心，其在直线＝－上，故选.．直线的参数方程为(\\(＝＋＝＋))(为参数)，上的点对应的参数是，则点与(，)之间的距离是( )．．解析：选∵(＋，＋)，(，)，∴＝＝＝.．已知三个方程：①(\\(＝，＝，))②(\\(＝，＝，))③(\\(＝，＝))(都是以为参数)．那么表示同一曲线的方程是( )．①②③．①②．①③．②③解析：选①②③的普通方程都是＝，但①②中的取值范围相同，都是∈，而③中的取值范围是－≤≤.．参数方程(\\(＝＋()＝－))(为参数)所表示的曲线是( )．一条射线．两条射线．一条直线．两条直线解析：选因为＝＋∈(－∞，－]∪[，＋∞)，即≤－或≥，故是两条射线．．已知曲线的参数方程为(\\(＝＋( θ)＝θ－))(θ为参数，π≤θ＜π)．已知点(，)在曲线上，则＝( )．－－．－＋．－＋．－－解析：选∵(，)在曲线上，∴(\\(＝＋( θ) ①＝θ－②))由①得：θ＝，又π≤θ＜π.∴θ＝－＝－，∴θ＝－.∴＝·(－)－＝－－.．直线(\\(＝－－()，＝＋()))(为参数)上与点(－)的距离等于的点的坐标是( )．(－) ．(－)．(－)或(－) ．(－)或()解析：选可以把直线的参数方程转化成标准式，或者直接根据直线参数方程的非标准式中参数的几何意义可得·＝，解得＝±，将代入原方程，得(\\(＝－，＝))或(\\(＝－，＝，))所以所求点的坐标为(－，)或(－)．．若圆的参数方程为(\\(＝－＋θ，＝＋θ))(θ为参数)，直线的参数方程为(\\(＝－，＝－))(为参数)，则直线与圆的位置关系是( )．过圆心．相交而不过圆心．相切．相离解析：选将圆、直线的参数方程化成普通方程，利用圆心到直线的距离与圆的半径进行比较，可知圆心到直线的距离小于半径，并且圆心不在直线上．．设和是双曲线(\\(＝θ，＝θ))(θ为参数)的两个焦点，点在双曲线上，且满足∠＝°，那么△的面积是( )．．．解析：选方程化为普通方程是－＝，∴＝.由题意，得(\\(＋＝，,－＝.))∴·＝.∴＝·＝＝.．已知方程－＋＝的两根是θ和θ，则点(，)的轨迹是( )．椭圆弧．圆弧．双曲线弧．抛物线弧解析：选由题知(\\( θ＋θ＝，θ· θ＝，))即(\\(＝θ＋θ，＝θ· θ.))－＝( θ＋θ)－θ· θ＝.又θ≤.∴表示抛物线弧．二、填空题(本大题共个小题，每小题分，满分分．把答案填写在题中的横线上)．若直线：＝与曲线：(\\(＝＋θ，＝θ))(参数θ∈)有唯一的公共点，则实数。

高中数学人教a版选修4-4阶段检测(一) b卷含解析

阶段质量检测（一） B 卷一、选择题(本大题共10小题，每小题6分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为( )A ．(π，0)B ．(π，2π)C ．(－π，0)D ．(－2π，0)解析：选A x ＝πcos(－2π)＝π，y ＝πsin(－2π)＝0，所以化为直角坐标为(π，0)．2．在极坐标系中，已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－π6，则OA 、OB 的夹角为( ) A.π6B ．0 C.π3D.5π6 解析：选C如图所示，夹角为π3. 3．在同一平面直角坐标系中，将曲线y ＝13cos 2x 按伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝2x ，y ′＝3y 后为( )A ．y ＝cos xB ．y ＝3cos x 2C ．y ＝2cos x 3D ．y ＝12cos 3x 解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝2x ，y ′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x ′2，y ＝y ′3.代入y ＝13cos 2x ，得y ′3＝13cos x ′. ∴y ′＝cos x ′，即曲线y ＝cos x.4．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2 C ．(1,0) D ．(1，π) 解析：选B 由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2. 5．曲线θ＝2π3与ρ＝6sin θ的两个交点之间的距离为( ) A ．1 B. 3 C ．3 3 D ．6解析：选C 极坐标方程θ＝2π3，ρ＝6sin θ分别表示直线与圆，如图所示，圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π2，∠AOC ＝π6，∴|AO|＝2×3×cos π6＝6×32＝3 3. 6．点M ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，7π6关于直线θ＝π4(ρ∈R)的对称点的极坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，4π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，2π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3 D .⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，－7π6 解析：选A 法一：点M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，7π6关于直线θ＝π4(ρ∈R)的对称点为⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，7π6＋π6，即⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，4π3. 法二：点M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，7π6的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos 7π6，sin 7π6＝－32，－12，直线θ＝π4(ρ∈R)，即直线y ＝x ，点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，－12关于直线y ＝x 的对称点为－12，－32，再化为极坐标即⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，4π3. 7．极坐标方程ρsin 2θ－2cos θ＝0表示的曲线是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析：选C 由ρsin 2θ－2cos θ＝0，得ρ2sin 2θ－2ρcos θ＝0，∴化为直角坐标方程是y 2－2x ＝0，即x ＝12y 2，表示抛物线． 8．在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( )。

高中数学选修4-4习题(含答案)

统考作业题目——4-46.21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,(2x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数），以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。

曲线C 的极坐标方程为 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）已知点M 是曲线C 上任一点，求点M 到直线l 距离的最大值.2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同。

直线的极坐标方程为：，点，参数．（I ）求点轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）求点到直线距离的最大值．1、【详解】（1）12,2x t y t=+⎧⎨=-⎩10x y ∴+-= 因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，所以222440x y x y ++++=，即22(1)(2)1x y +++= （2）因为圆心(1,2)--到直线10x y +-=距离为222=，所以点M 到直线l 距离的最大值为2222 1.r +=+ 2、解：（Ⅰ）设，则，且参数，消参得：所以点的轨迹方程为（Ⅱ）因为所以所以，所以直线的直角坐标方程为法一：由（Ⅰ）点的轨迹方程为圆心为（0,2），半径为2．，点到直线距离的最大值等于圆心到直线距离与圆的半径之和，所以点到直线距离的最大值．法二：当时，，即点到直线距离的最大值为．6.33．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，t 为参数）.(1)求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；(2)设P 为曲线上的动点，求点P 到上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.4．在直角坐标系xOy 中曲线1C 的参数方程为cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ （α为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 224πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.3、【详解】（1）对曲线：，，∴曲线的普通方程为．对曲线消去参数可得且∴曲线的直角坐标方程为．又，从而曲线的极坐标方程为。

2020-2021学年高中数学人教A版选修4-4习题：模块综合测评A

模块综合测评(A )(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.极坐标方程8ρ=sin θ表示的曲线是( )A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线8ρ=sin θ可化为8x 2+8y 2-y=0,所以它表示圆.2.将参数方程{x =cos 2θ-1,y =cos 2θ(θ为参数)化为普通方程为( )A.y=x-1B.y=x+1C.y=x-1(-1≤x ≤0)D.y=x+1(-1≤x ≤0)cos 2θ=y 代入x=cos 2θ-1,得x=y-1,即y=x+1.因为-1≤cos 2θ-1≤0,所以-1≤x ≤0.3.将曲线x 2+4y=0作如下变换:{x '=2x ,y '=4y ,则得到的曲线方程为( )A.x'2=-y'B.x'=-14y'2 C.y'=-14x'2D.y'2=-x'{x '=2x ,y '=4y 可得{x =12x ',y =14y ',将其代入x 2+4y=0得14x'2+y'=0,即y'=-14x'2.4.极坐标方程ρ=4√2cos (π4-θ)表示的图形的面积是 ( )A.4B.4πC.8D.8πρ=4√2cos (π4-θ)=4√2(√22cosθ+√22sinθ)=4cos θ+4sin θ,所以ρ2=4ρcos θ+4ρsin θ,即x 2+y 2=4x+4y ,(x-2)2+(y-2)2=8,故方程表示的图形是圆,半径为2√2,其面积为8π.5.已知点P 1的球坐标是(4,π2,5π3),P 2的柱坐标是(2,π6,1),则|P 1P 2|=( )A.√21B.√29C.√30D.4√2P 1的直角坐标为(2,-2√3,0),点P 2的直角坐标为(√3,1,1),由两点间的距离公式得|P 1P 2|=√21.6.已知A (4sin θ,6cos θ),B (-4cos θ,6sin θ),当θ为一切实数时,线段AB 的中点的轨迹为( ) A.直线 B.圆 C.椭圆D.双曲线AB 的中点为M (x ,y ),则{x =2sinθ-2cosθ,y =3sinθ+3cosθ(θ为参数), 所以{3x +2y =12sinθ,3x -2y =-12cosθ.消去参数θ,得(3x+2y )2+(3x-2y )2=144,整理得x28+y 218=1,它表示椭圆.7.参数方程{x =tanθ,y =2secθ(θ为参数)表示的曲线的离心率等于( )A.√32 B.√52C.√2D.2{x =tanθ,y =2secθ得{x =tanθ,12y =secθ.所以y 2-x 2=1,即曲线为双曲线,其中a=2,b=1, 故c=√a 2+b 2=√5,e=c=√5.8.导学号73574069若点M 的极坐标是(-2,-π6),则它关于直线θ=π2的对称点的极坐标是( ) A.(2,11π6) B.(-2,7π6) C.(2,-π6)D.(-2,-11π6),描点(-2,-π6)时,先找到角-π6的终边,因为ρ=-2<0,所以再在其反向延长线上找到离极点2个单位长度的点即是点(-2,-π6).直线θ=π2就是极角为π2的那些点构成的集合.故点M (-2,-π6)关于直线θ=π2的对称点为M'(2,π6),但是选项中没有这样的坐标.又因为点M'(2,π6)还可以表示为(-2,7π6),所以选B .9.已知直线l 的参数方程为{x =2+t ,y =3+t (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ-4cos θ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ=( ) A.√5 B.5C.2D.√3l 的普通方程为y=x+1,曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x ,联立两方程,得{y =x +1,y 2=4x ,解得{x =1,y =2.所以直线l 与曲线C 的公共点的坐标为(1,2). 所以公共点的极径为ρ=√22+1=√5.10.设曲线C 的参数方程为{x =t ,y =t 2(t 为参数),若以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程为( ) A.ρcos 2θ-sin θ=0 B.ρcos θ-sin θ=0 C.ρcos θ-sin 2θ=0 D.cos 2θ-ρsin θ=0C 的参数方程{x =t ,y =t 2化为普通方程是y=x 2,把曲线C 的直角坐标方程化为极坐标方程是ρsin θ=ρ2cos 2θ.由于曲线经过极点,则极坐标方程可简化为ρcos 2θ-sin θ=0.故选A .11.已知双曲线C 的参数方程为{x =3secθ,y =4tanθ(θ为参数),在下列直线的参数方程中,①{x =-3t ,y =4t ;②{x =1+√32t ,y =1-12t ;③{x =35t ,y =-45t ;④{x =1-√22t ,y =1+√22t ;⑤{x =3t ,y =4t (以上方程中,t 为参数),可以作为双曲线C 的渐近线方程的是( ) A .①③⑤B .①⑤C .①②④D .②④⑤a=3,b=4,且双曲线的焦点在x 轴上,因此其渐近线方程是y=±43x.检验所给直线的参数方程可知只有①③⑤适合条件.12.导学号73574070若动点(x ,y )在曲线x 24+y 2b2=1(b>0)上变化,则x 2+2y 的最大值为( )A.{b 24+4,0<b ≤42b ,b >4B.{b 24+4,0<b <22b ,b ≥2C.b24+4D.2b(x ,y )的坐标为(2cos θ,b sin θ),将其代入x 2+2y ,得4cos 2θ+2b sin θ=-(2sinθ-b 2)2+4+b24,当0<b ≤4时,(x 2+2y )max =b 24+4;当b>4时,(x 2+2y )max =-(2-b2)2+4+b24=2b.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.圆锥曲线{x =t 2,y =2t(t 为参数)的焦点坐标是 .y 2=4x ,它表示开口向右,焦点在x 轴正半轴上的抛物线,由2p=4⇒p=2,则焦点坐标为(1,0).14.在平面直角坐标系xOy 中,若直线l :{x =t ,y =t -a (t 为参数)过椭圆C :{x =3cosφ,y =2sinφ(φ为参数)的右顶点,则常数a 的值为 .l :y=x-a ,C :x 29+y 24=1.椭圆的右顶点坐标为(3,0),将其代入l 的方程得0=3-a ,a=3.15.将方程{x =tant ,y =1-cos2t 1+cos2t (t 为参数)化为普通方程是 .y=1-cos2t 1+cos2t=2sin 2t2cos 2t=tan 2t ,将tan t=x 代入上式,得y=x 2,即所求的普通方程为y=x 2.216.在以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆ρ=4sin θ和直线ρsin θ=a 相交于A ,B 两点.若△AOB 是等边三角形,则a 的值为 .ρ=4sin θ得ρ2=4ρsin θ,所以x 2+y 2=4y.所以圆的直角坐标方程为x 2+y 2=4y ,设圆心为点C ,则圆心为C (0,2),半径r=2. 由ρsin θ=a ,得直线的直角坐标方程为y=a.由于△AOB 是等边三角形,所以圆心C 是等边三角形OAB 的中心. 设AB 的中点为D (如图),连接CB.则|CD|=|CB|·sin30°=2×12=1, 即a-2=1,所以a=3.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)在极坐标系中,直线l 的方程为ρsin (θ+π6)=2,求极点在直线l 上的射影的极坐标.l 的极坐标方程化为直角坐标方程,得x+√3y-4=0,过极点且与l 垂直的直线方程为y=√3x. 由{x +√3y -4=0,y =√3x ,得射影的直角坐标为(1,√3), 将其化成极坐标为(2,π3).故极点在直线l 上的射影的极坐标为(2,π3).18.(本小题满分12分)已知直线l 的参数方程为{x =a -2t ,y =-4t (t 为参数),圆C 的参数方程为{x =4cosθ,y =4sinθ(θ为参数).(1)求直线l 和圆C 的普通方程;(2)若直线l 与圆C 有公共点,求实数a 的取值范围.直线l 的普通方程为2x-y-2a=0,圆C 的普通方程为x 2+y 2=16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点, 所以圆C 的圆心到直线l 的距离d=|-2a |√5≤4, 解得-2√5≤a ≤2√5.故实数a 的取值范围为[-2√5,2√5].19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =3+12t ,y =√32t (t 为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C 的极坐标方程为ρ=2√3sin θ. (1)写出☉C 的直角坐标方程;(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求点P 的直角坐标.由ρ=2√3sin θ,得ρ2=2√3ρsin θ, 从而有x 2+y 2=2√3y , 所以x 2+(y-√3)2=3.故☉C 的直角坐标方程为x 2+(y-√3)2=3. (2)设P (3+12t ,√32t),又C (0,√3),所以|PC|=√(3+12t)2+(√32t -√3)2=√t 2+12,故当t=0时,|PC|取得最小值, 此时,点P 的直角坐标为(3,0).20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 1,直线C 2的极坐标方程分别为ρ=4sin θ,ρcos (θ-π4)=2√2.(1)求C 1与C 2交点的极坐标.(2)设点P 为C 1的圆心,点Q 为C 1与C 2交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为{x =t 3+a ,y =b2t 3+1(t ∈R ,t 为参数),求a ,b 的值.圆C 1的直角坐标方程为x 2+(y-2)2=4,直线C 2的直角坐标方程为x+y-4=0.解{x 2+(y -2)2=4,x +y -4=0, 得{x 1=0,y 1=4,{x 2=2,y 2=2.所以C 1与C 2交点的极坐标为(4,π2),(2√2,π4). (2)由(1)可得,点P 与点Q 的直角坐标分别为(0,2),(1,3).故直线PQ 的直角坐标方程为x-y+2=0.由参数方程可得y=b 2x-ab 2+1.所以{b 2=1,-ab +1=2,解得{a =-1,b =2.21.导学号73574071(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ,θ∈[0,π2]. (1)求半圆C 的参数方程;(2)设点D 在半圆C 上,半圆C 在点D 处的切线与直线l :y=√3x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定点D 的直角坐标.半圆C 的直角坐标方程为(x-1)2+y 2=1(0≤y ≤1).由此可得半圆C 的参数方程为{x =1+cost ,y =sint (t 为参数,0≤t ≤π).(2)设D (1+cos t ,sin t ).由(1)知C 是以C (1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为半圆C 在点D 处的切线与l 垂直,所以直线CD 与l 的斜率相同,tan t=√3,t=π3. 故点D 的直角坐标为(1+cos π3,sin π3),即(32,√32). 22.导学号73574072(本小题满分12分)已知△ABC 的顶点A (0,3),底边BC 在横轴上,|BC|=2,当BC 在横轴上移动时,求: (1)△ABC 外接圆圆心的轨迹的普通方程;(2)过点(0,2)且被所求轨迹所在曲线截得的线段长为5√52的直线方程.设B (t-2,0),C (t ,0),AC 的垂直平分线方程为y=t3·(x -t2)+32,BC 的垂直平分线方程为x=t-1,△ABC 的外心为O',则O'的轨迹方程是{x =t -1,t =16t 2-13t +32(t 为参数),O'的轨迹的普通方程为y=16x 2+43. (2)过点(0,2)的直线方程为y=kx+2, 联立{y =16x 2+43,y =kx +2,消去y ,得x 2-6kx-4=0.设该方程的两根是x 1,x 2,则(x 1-x 2)2=36k 2+16. 所以弦长的平方为(1+k 2)(36k 2+16)=1254, 解得k=±12. 故所求直线方程为x-2y+4=0或x+2y-4=0.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

高中数学模块测试新人教A版选修4-4(2021学年)

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模块测试(时间:１20分钟满分:1５0分）一、选择题(本大题共１2小题,每小题5分，共6０分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.方程ρ=２sin θ表示的图形是( ).A.圆 B ．直线 C.椭圆 D.射线 2.将正弦曲线y =sin x 作如下变换:2,3,x x y y '=⎧⎨'=⎩得到的曲线方程为( ）．A.y ′＝３ｓin 12ｘ′ B.ｙ′＝13sin ２x ′ C ．y ′＝12si ｎ 2x ′ D ．y ′＝3sin 2x ′ 3．设a ，b ∈Ｒ,a 2+２ｂ2＝6，则a +b 的最小值是（ ).A.-2＼r(2） B ． C ．-３Ｄ.72- ４．设点M 的柱坐标为(2,6π，7),则M 的直角坐标是( )．A ．（ B.(，7)Ｃ.（１，７ D ．7,1)5．如图所示，在柱坐标系中，长方体的两个顶点坐标为A 1（４，0,5),Ｃ1(６，2π，5），则此长方体外接球的体积为( ).A D6．将点Ｐ的直角坐标(3化为极坐标是( )．Ａ．12π）12π） C ．（,512π) Ｄ．512π）７．已知曲线C 与曲线ρos θ－５ｓi ｎ θ关于极轴对称,则曲线C 的方程为( )．A ．ρ＝－10ｃos （θ-6π) Ｂ.ρ＝10co ｓ（θ－6π） C ．ρ＝-1０cos(θ+6π） D ．ρ=1０cos （θ＋6π)8.曲线的参数方程为211,1x t y t ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩(t 为参数，t ≠0）,它的普通方程是（ ).A.(x -1）２（ｙ-1)＝1 Ｂ．ｙ＝2(2)(1)x x x --C.y ＝211(1)x -- D.ｙ=21x x -＋1 9.曲线21,21x t y t ⎧=-⎨=+⎩ （ｔ为参数)的焦点坐标是（ ).A ．(0，1） B.（1，0） C.(1，2) D.(0，2）１0．已知过曲线3cos ,4sin x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数,0≤θ≤π）上一点P 与原点Ｏ的直线ＰＯ，倾斜角为4π,则点P 的极坐标为（）. A ．(3,4π）Ｂ.(2,4π) C ．（-125,4π) Ｄ．(5,4π）11.过点P (4，3），且斜率为23的直线的参数方程为( )． A。

高中数学选修4-4经典综合试题(最终)

高中数学选修 4-4 经典综合试题〔含详细答案〕一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合标题问题要求的． x 2 5ty 1 2t1．曲线(t 为参数 ) 与坐标轴的交点是〔〕．21 1 1B ．(0, )、( ,0)5、A ． (0, ) ( ,0)C ．(0, 4)、(8,0)〕．D ． (0, )、(8,0)5 2 5 292．把方程 xy 1化为以参数的参数方程是〔t 1x sin t1 x costx tant2 x ty tA ．B ．C ．1 D ．1 12yyysin t cost tan tx 1 2t y 2 3t(t 为参数) ，那么直线的斜率为〔〕．3．假设直线的参数方程为2 2 33 23 2A ．B ．C ．D ．3x 1 8cosy 8sin4．点 (1, 2) 在圆A ．内部的〔〕．B ．外部C ．圆上D ．与 θ的值有关1x tt 为参数暗示的曲线是〔(t ) 5．参数方程为〕．y 2A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线 x 3 2 cosy 4 2 s inx 3 cos y 3 s in6．两圆与的位置关系是〔〕．A ．内切B ．外切C ．相离D ．内含 x t(t为参数等价的普通方程为〔 ) B ． x 2D ． x 2〕．7．与参数方程为y 2 1 t2y 2 4 yA ． x 2C ． x 211(0 x 1)4y 2 4y 2 41(0 y 2)1(0 x 1,0 y 2)x 5cos8．曲线() 的长度是〔〕．y 5sin 35 10 5 B ．10A ．C ．D ．33229．点 P(x, y) 是椭圆 2x3y12 上的一个动点，那么 x 2y的最大值为〔〕．22 23 1122A ．B ．C ．D ．1 x 1 t2 2210．直线(t 为参数 ) 和圆 xy16 交于两点，A,B3 y3 3t 2那么 AB 的中点坐标为〔〕．A ．(3, 3)B ．( 3,3)C ． ( 3, 3)D ．(3, 3)2x 4t y 4t11．假设点 P(3, m) 在以点 F 为焦点的抛物线(t为参数上，那么 | PF |等于〔〕．) 2 3 4 5 A ．B ．C ．D ．x 2 ty 1 t 2212．直线(t 为参数 ) 被圆 (x 3)(y 1) 25 所截得的弦长为〔〕．14A ． 98B ．40C ．82D ． 93 4 3二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上．x e t e t(t为参数的普通方程为 __________________． ) 13．参数方程tty 2(e e )x 22t为参数上与点 A( 2,3) 的距离等于 2 的点的坐标是 _______．14．直线(t ) y 32tx t cos y t sinx 4 2cos y 2sin15．直线与圆相切，那么_______________．2216．设 y tx(t 为参数) ，那么圆 x y 4y 0的参数方程为 ____________________．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步调．17．〔本小题总分值 10 分〕 x 1 t 求直线 l 1 :(t 为参数 )和直线 l 2 : x y 2 3 0 的交点的坐标，及点PP y53t与Q (1, 5)的距离．18．〔本小题总分值 12 分〕10 222过点 P(,0) x12y1 交于点，M , N作倾斜角为的直线与曲线求| PM | | PN | 的值及相应的的值．19．〔本小题总分值 12 分〕ABC 中， A( 2,0), B (0,2), C (cos , 1 sin ) ( 为变数 )，求 ABC 面积的最大值． l P(1,1),倾斜角20．〔本小题总分值 12 分〕直线颠末点，6〔1〕写出直线 l 的参数方程．x 2y 2〔2〕设 l 与圆4订交与两点 A, B ，求点 P 到 A,B 两点的距离之积．21．〔本小题总分值 12分〕1 t tx y (e e ) cos2 1 2别离在以下两种情况下，把参数方程化为普通方程： t t(e e )sint t 〔1〕为参数，为常数；〔 2〕为参数，为常数．22．〔本小题总分值 12 分〕x 5cos y 5sin32 直线 l 过定点 P( 3,C 与圆： ( 为参数 ) 订交于 A 、 B 两点． )| AB | 8l ，求直线的方程；求：〔 1〕假设3〔2〕假设点 P( 3, 答案与解析： x 0时， )AB 为弦的中点，求弦 AB 的方程． 2 2 111．B当 t ，而 y 1 2t ，即 y y ，得与轴的交点为 (0, ) ；5 1 5 5 1 1当 y 0时， t ，而 x 2 5t ，即 x ，得与轴的交点为 ( ,0) ．x2 2 2 2．D xy 1，取非零实数，而 A ，B ，C 中的的范围有各自的限制． x x y 2 x 13t 2t3 23．Dk．(1 1)2 222 2 8 4．A∵点 (1,2) 到圆心 ( 1,0) 的距离为∴点 (1,2) 在圆的内部．(圆半径 )5．Dy 2 暗示一条平行于 x 轴的直线，而x 2,或x 2，所以暗示两条射线．( 3 0)2 (4 0) y 2 255，两圆半径的和也是，因此两圆外切．6．B 两圆的圆心距为y 2 x 2t , 1 t 1 x 2, x 21,而t 0,0 1 t 1,得0 y 2．7．D442 228．D 曲线是圆x y 25的一段圆弧，它所对圆心角为．3310 所以曲线的长度为．3x 2 y 2 9．D 椭圆为1，设 P( 6 c os ,2sin ) ，64x 2y 1 6 cos 4sin 22 sin( ) 22．3 t 1 t 222 210． D(1t)2 ( 3 3 t ) 16 ，得 t 8t 8 0 ，t t 8,4，1 2 2 21 x 1 y4x 3 y2 ．中点为333 34 211．C 抛物线为y 2 4x ，准线为，为到准线 x1 | PF | P(3, m) x 14的距离，即为．22 x22t x 2 tx 2 t12． C，把直线 y 1 ty 1 t 2 y 12t 222222代入 (x 3) ( y 1)25，得 ( 5 t)(2 t)25,t7t 2 0 ，2|t t | (t t ) 4t t 41 ，弦长为 2 | t t |82．1 2 1 2 1 2 1 2 y 2y x e t e y t2 e t 2e x xx 2y 2 416y y 13．1,( x 2)(x) x () ．4etett 2222122 2t)2 ( 2t) 2 ( 2) ,2t2, t ．14． ( 3, 4) ,或( 1,2) (25 2215．，或直线为 y x tan ，圆为 (x 4)y4，作出图形，相切时，665 易知倾斜角为，或．664t xy2 21 t 4t22x(tx)4t x 0 ，当x 0 时， y 0，或x ； 16．2 1 t 24t1 t4t xy2 24t1 t 而 y tx ，即 y，得．22 1 t4t 2 1 tx 1 t，代入x y 2 3 0，得 t 2 3 ，17．解：将y 5 3t得P(1 2 3,1)，而 Q (1, 5)， 262 4 3．得| PQ | (2 3)10 x t cos 18．解：设直线为2(t 为参数) ，代入曲线y t sin3 22并整理得 (1 sin )t( 10 cos )t0，23 2 那么| PM | | PN | |t 1t 2 |， 1 sin 23 42所以当 sin1时，即，| PM || PN |的最小值为，此时．22x cos C (x, y)，那么，19．解：设点的坐标为 y1 sin22即 x( y 1)1 为以 (0, 1)1为圆心，以为半径的圆．∵ A( 2,0), B(0,2) ， ∴| AB|4 4 2 2 ，xy且 AB 的方程为 1，2 2即 xy 2 0 ，| ( 1) 2| 3那么圆心 (0, 1) 到直线 AB 的距离为 2 ． 12 ( 1)22 3 C AB ∴点到直线的最大距离为 1 2，21 23 2∴ S ABC 的最大值是2 2 (12) 3 2．3x 1 t cos y 1 t sin x 1 t6 6 2 20．解：〔 1〕直线的参数方程为，即，1y 1 t23x 1 t2 2 2〔2〕把直线，代入 x y4，1 y 1 t23 1 2 t)2 (1 t)24,t 2 ( 3 1)t 2 0，得 (12t t1 22，那么点 P 到 A,B 两点的距离之积为2 ．21．解：〔 1〕当t 0时， y 0, x cos ，即x 1,且y 0；x y 当t 0时， cos,sin ，1 21 tt t t (e e )(e e ) 222而 xy1，x 22y即1；1 4 1 4t t 2 t t 2 (e e ) (e e ) 1 2t t〔2〕当k , k Z 时， y 0， x (e e ) x 1,且y 0；，即 1 2 t t当k,k Z x 0 ， y (e e )x 0 ；，即时， 22x ete tk cos 2y 当, k Z ，时，得2e tetsin2x 2ysin 2y sin 2e t2e 2x2y2x2y cos，得 2e t 2e t 即即( )( )，t2x coscos sin cos sinx 2cos 2 y 2 sin 21 ．x 5cos y 5sin22C xy25，22．解：〔 1〕由圆的参数方程x3 t cos 3 设直线 l 的参数方程为①(t 为参数 ) ，y t sin222将参数方程①代入圆的方程x y 25得4t 212(2cossin )t 55 0，∴△16[9(2cos sin )2 55] 0，所以方程有两相异实数根t t 、，122∴ | AB | |t t | 9(2cos sin ) 55 8，1 化简有 3cos2 解之 cos2 4sincos 0 ，3 40 或 tan，从而求出直线 l 的方程为 x 3 0 或 3x 4y 15 0．〔2〕假设 P 为 AB 的中点，所以 tt0 ，12由〔1〕知 2cossin 0 ，得 tan2 ，22故所求弦 AB 的方程为 4x 2y 15 0(xy25)．备用题： x 3 8cos 1．点P(x , y )在圆上，那么 x 、 y 的取值范围是〔〕．0 0 00 y2 8sinA ．3 x 3, 2 y 2 0 0B ．3 x 8, 2 y 8 0 0C ．5 x 11, 10 y 60 0D ．以上都不合错误1．C 由正弦函数、余弦函数的值域知选 C ．x 1 2t 22(t 为参数 ) 被圆 xy 9截得的弦长为〔〕．2．直线y 2 t12 12 9 9 A ． B ．5C ．5D ．10555525 x 1 5t x 1 2t y 2 tx 1 2t y 2 t 2．B，把直线代入1 y 15t522222xy9得 (1 2t) (2 t) 9,5t8t 4 0 ，8 16 12 5 5 12 522 | t t | (t t )4t t ( ) ，弦长为 5 | t t | 5 ． 1 2 1 2 1 21 2 5 x 2 pt 2y 2pt(t为参数, 为正常数 p ) 上的两点 M , N 对应的参数别离为t 1和t 2, ，3．曲线且t t 0 | MN | _______________．，那么 1 24p |t 1 |x |MN | 2p |t t | 2p | 2t | 3．显然线段 MN 垂直于抛物线的对称轴，即轴，． 12 1 x cos (sin y sin (sin cos ) cos )4．参数方程4．解：显然 ( 为参数) 暗示什么曲线？y y 2 x 2 1 12tan ，那么1 ,cos ，x cos 2y 2x 2 1 1212 tanx cos 2sin cossin 2 ycos 2cos 2 ，22 1 tany2 1 1 1 y 2 x 2y 2y xxx 即x ， x(1 ) 1，y 2 x 2yx 22x 2 21 1 1 y2 xy 得 x1，x22即x yx y 0 ．225．点 P(x, y) 是圆 x y2y 上的动点，〔1〕求 2x y 的取值范围； x y a0 恒成立，求实数的取值范围．a〔2〕假设x cos 5．解：〔 1〕设圆的参数方程为，y 1 sin 2x y 2cossin15sin(5 1 2x y5 1．) 1，∴〔2〕 x y a cossinsin ) 11 a 0 ，∴ a (cos2 sin() 1恒成立， 4a2 1．即。

最新人教版高中数学选修4-4测试题全套及答案

最新人教版高中数学选修4-4测试题全套及答案第一章测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四小选项中，只有一项是符合题目要求的)．1．原点与极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，则点(－2，－23)的极坐标是( ) A ．⎝⎛⎭⎫4，π3 B ．⎝⎛⎭⎫4，4π3 C ．⎝⎛⎭⎫－4，－2π3 D ．⎝⎛⎭⎫4，2π3 解析：由直角坐标与极坐标互化公式： ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)．把点(－2，－23)代入即可得ρ＝4，tan θ＝3，因为点(－2，－23)在第三象限，所以θ＝4π3.答案： B2．在极坐标系中有如下三个结论：①点P 在曲线C 上，则点P 的极坐标满足曲线C 的极坐标方程；②tan θ＝1与θ＝π4表示同一条曲线；③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线．在这三个结论中正确的是( )A ．①③B ．①C ．②③D ．③解析：在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，但在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程，故①是错误的；tan θ＝1不仅表示θ＝π4这条射线，还表示θ＝5π4这条射线，故②亦不对；ρ＝3与ρ＝－3差别仅在于方向不同，但都表示一个半径为3的圆，故③正确．答案： D3．可以将椭圆x 210＋y 28＝1变为圆x 2＋y 2＝4的伸缩变换( )A ．⎩⎨⎧5x ′＝2x 2y ′＝yB ．⎩⎨⎧ 2x ′＝5x y ′＝2yC ．⎩⎨⎧2x ′＝x5y ′＝2xD ．⎩⎨⎧5x ′＝2x2y ′＝y解析：方法一：将椭圆方程x 210＋y 28＝1化为2x 25＋y 22＝4，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 52＋⎝⎛⎭⎫y 22＝4，令⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝25x ，y ′＝y2，得x ′2＋y ′2＝4，即x 2＋y 2＝4，∴伸缩变换⎩⎨⎧5x ′＝2x ，2y ′＝y为所求．方法二：将x 2＋y 2＝4改写为x ′2＋y ′2＝4，设满足题意的伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，代入x ′2＋y ′2＝4得λ2x 2＋μ2y 2＝4，即λ2x 24＋μ2y 24＝1，与椭圆x 210＋y 28＝1比较系数得⎩⎨⎧ λ24＝110，μ24＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝25，μ＝12，∴伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝25x ，y ′＝12y ，即⎩⎨⎧5x ′＝2x ，2y ′＝y .答案： D4．在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点⎝⎛⎭⎫4，π6作曲线C 的切线，则切线长为( )A ．4B ．7C ．22D ．23解析： ρ＝4sin θ化为普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，点⎝⎛⎭⎫4，π6化为直角坐标为(23，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理：切线长为(23)2＋(2－2)2－22＝2 2.答案： C5．在极坐标中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线方程为( ) A ．ρsin θ＝2 B ．ρcos θ＝2 C ．ρcos θ＝4D ．ρcos θ＝－4解析：圆ρ＝4sin θ的圆心为⎝⎛⎭⎫2，π2，半径为r ＝2，对于选项A ，方程ρsin θ＝2对应的直线y ＝2，与圆相交；对于选项B ，方程ρcos θ＝2对应的直线x ＝2，与圆相切；选项C ，D 对应的直线与圆相离．答案： B6．圆ρ＝2(cos θ＋sin θ)的圆心坐标是( ) A ．⎝⎛⎭⎫1，π4 B ．⎝⎛⎭⎫12，π4 C ．⎝⎛⎭⎫2，π4 D ．⎝⎛⎭⎫2，π4 解析：将圆的极坐标方程化成直角坐标方程⎝⎛⎭⎫x －222＋⎝⎛⎭⎫y －222＝1，圆心直角坐标为⎝⎛⎭⎫22，22，故其极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π4. 答案： A7．极坐标系内曲线ρ＝2cos θ上的动点P 与定点Q ⎝⎛⎭⎫1，π2的最近距离等于( ) A ．2－1 B ．5－1 C ．1D ．2解析：将曲线ρ＝2cos θ化成直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，点Q 的直角坐标为(0,1)，则P 到Q 的最短距离为点Q 与圆心的距离减去半径，即2－1.答案： A8．已知点P 的坐标为(1，π)，则过点P 且垂直极轴的直线方程是( ) A ．ρ＝1 B ．ρ＝cos θ C ．ρ＝－1cos θD ．ρ＝1cos θ解析：由点P 的坐标可知，过点P 且垂直极轴的直线方程在直角坐标系中为x ＝－1，即ρcos θ＝－1，故选C ．答案： C9．圆ρ＝r 与圆ρ＝－2r sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4(r ＞0)的公共弦所在直线的方程为( ) A ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝rB ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－rC ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝rD ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r解析：圆ρ＝r 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝r 2① 圆ρ＝－2r sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝－2r ⎝⎛⎭⎫sin θcos π4＋cos θsin π4＝－2r (sin θ＋cos θ)．两边同乘以ρ得ρ2＝－2r (ρsin θ＋ρcos θ)， ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2， ∴x 2＋y 2＋2rx ＋2ry ＝0②①－②整理得2(x ＋y )＝－r ，即为两圆公共弦所在直线的普通方程．再将直线2(x ＋y )＝－r 化为极坐标方程为2ρ(cos θ＋sin θ)＝－r .答案： D10．已知曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ(ρ≥0,0≤θ<π2)，则曲线C 1与C 2交点的极坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫23，56π B ．⎝⎛⎭⎫23，π6 C ．⎝⎛⎭⎫23，7π6 D ．⎝⎛⎭⎫23，116π 解析： ∵⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝3(①)，ρ＝4cos θ(②)，∴4cos 2 θ＝3.∴cos θ＝±32. ∵0≤θ<π2，∴cos θ＝32，∴θ＝π6.将θ＝π6代入②，得ρ＝23，∴C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫23，π6. 答案： B二、填空题(每小题5分，共20分．把正确答案填在题中的横线上)11．在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ＝3，则点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线l 的距离为________．解析：直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝3，化为直线方程得y ＝3；点⎝⎛⎭⎫2，π6化为直角坐标即为(3，1)，于是点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线l 的距离为2.答案： 212．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成图形的面积是________．解析：三条直线在直角坐标系下的方程依次为y ＝0，y ＝3x ，x ＋y ＝1.如图可知，S △POQ ＝12×|OQ |×|y p |＝12×1×33＋1＝3－34. 答案：3－3413．已知极坐标系中，极点为O ，将点A ⎝⎛⎭⎫4，π6绕极点逆时针旋转π4得到点B ，且|OA |＝|OB |，则点B 的直角坐标________．解析：依题意，点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，5π12， ∵cos5π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋π6 ＝cos π4cos π6－sin π4sin π6＝22×32－22×12 ＝6－24， sin5π12＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6 ＝sin π4cos π6＋cos π4sin π6＝22×32＋22×12＝6＋24， ∴x ＝ρcos θ＝4×6－24＝6－2， y ＝ρsin θ＝4×6＋24＝6＋ 2. ∴点B 的直角坐标为(6－2，6＋2)．答案： (6－2，6＋2)14．从极点作圆ρ＝2a cos θ的弦，则各条弦中点的轨迹方程为________．解析：数形结合，易知所求轨迹是以⎝⎛⎭⎫a 2，0为圆心，a2为半径的圆．求得方程是ρ＝a cos θ⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π2. 答案： ρ＝a cos θ⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π2 三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(12分)设极点O 到直线l 的距离为d ，由点O 向直线l 作垂线，由极轴到垂线OA 的角度为α(如图所示)．求直线l 的极坐标方程．解析：在直线l 上任取一点M (ρ，θ)．在直角三角形OMA 中，由三角知识得ρcos(α－θ)＝d ，即ρ＝dcos (α－θ).这就是直线l 的极坐标方程．16．(12分)已知⊙C ：ρ＝cos θ＋sin θ，直线l ：ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.求⊙C 上点到直线l 距离的最小值．解析： ⊙C 的直角坐标方程是x 2＋y 2－x －y ＝0，即⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12. 又直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝4，所以直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0.设M ⎝⎛⎭⎫12＋22cos θ，12＋22sin θ为⊙C 上任意一点，M 点到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪12＋22cos θ－⎝⎛⎭⎫12＋22sin θ－42＝4－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π42，当θ＝7π4时，d min ＝32＝322.17．(12分)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解析： (1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，得M (2,0)；当θ＝π2时，ρ＝233，得N ⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233.所以P 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6.所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈R .18．(14分)△ABC 底边BC ＝10，∠A ＝12∠B ，以B 为极点，BC 为极轴，求顶点A 的轨迹的极坐标方程．解析：如图：令A (ρ，θ)， △ABC 内，设∠B ＝θ，∠A ＝θ2，又|BC |＝10，|AB |＝ρ. 于是由正弦定理，得ρsin ⎝⎛⎭⎫π－3θ2＝10sin θ2，化简，得A 点轨迹的极坐标方程为 ρ＝10＋20cos θ.第二章测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－ty ＝2＋3t (t 为参数)所表示的图形分别是( )A ．圆、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．直线、直线解析： ∵ρ＝cos θ， ∴x 2＋y 2＝x ，∴表示一个圆．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－ty ＝2＋3t得到直线3x ＋y ＝－1. 答案： A2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t ，y ＝1－t (t 为参数)被圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝25所截得的弦长为( )A ．72B ．4014D ．93＋43解析： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t ，y ＝1－t⇒⎩⎨⎧x ＝－2＋22·2t ，y ＝1－22·2t ，令t ′＝2t ，把⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ′，y ＝1－22t ′代入(x －3)2＋(y ＋1)2＝25. 整理，得t ′2－72t ′＋4＝0，|t ′1－t ′2|＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2＝82. 答案： C3．点集M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝3sin θ(θ是参数，0＜θ＜π)，N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，若M ∩N ≠∅，则b 满足( )A ．－32≤b ≤32B ．－3＜b ＜32C ．0≤b ≤32D ．－3＜b ≤32解析：用数形结合法解．答案： D4．参数方程⎩⎨⎧x ＝1t，y ＝1tt 2－1(t 为参数)所表示的曲线是( )解析：由y ＝1t t 2－1，得t 2y 2＝t 2－1，把t ＝1x 代入，得x 2＋y 2＝1.由于t 2－1≥0，得t ≥1或t ≤－1.当t ≥1时，得0<x ≤1且y ≥0；当t ≤－1时，得－1≤x <0且y <0. 答案： D5．设r >0，那么直线x cos θ＋y sin θ＝r (θ为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos φ，y ＝r sin φ(φ是参数)的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．由r 的大小而定解析：圆心到直线的距离 d ＝|0＋0－r |cos 2θ＋sin 2θ＝|r |＝r ，故相切．答案： B6．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t y ＝－2(t 为参数)与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ所表示图形的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．以上都不对解析： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ表示图形为方程是x 2＋y 2＝4的圆．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1ty ＝－2表示的图形与圆无交点．故选A. 答案： A7．已知圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)y ＝r (sin φ－φcos φ)(φ为参数)上有一点的坐标为(3,0)，则渐开线对应的基圆的面积为( )A ．πB ．3πC ．4πD ．9π解析：把已知点(3,0)代入参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧3＝r (cos φ＋φsin φ)， ①0＝r (sin φ－φcos φ). ②①×cos φ＋②×sin φ得r ＝3，所以基圆的面积为9π. 答案： D8．已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝2－t(t 为参数)，抛物线C 的方程y 2＝2x ，l 与C 交于P 1，P 2，则点A (0,2)到P 1，P 2两点距离之和是( )A ．4＋3B ．2(2＋3)C ．4(2＋3)D ．8＋3解析：把直线参数方程化为⎩⎨⎧x ＝－32t ′，y ＝2＋12t ′(t ′为参数)，代入y 2＝2x ，求得t ′1＋t ′2＝－4(2＋3)，t ′1t ′2＝16>0，知在l 上两点P 1，P 2都在A (0,2)的下方，则|AP 1|＋|AP 2|＝|t ′1|＋|t ′2|＝|t ′1＋t ′2|＝4(2＋3)．答案： C9．过抛物线⎩⎨⎧x ＝2t 2，y ＝3t (t 为参数)的焦点的弦长为2，则弦长所在直线的倾斜角为( )B ．π3或2π3D ．π6或5π6解析：将抛物线的参数方程化成普通方程为y 2＝32x ，它的焦点为⎝⎛⎭⎫38，0.设弦所在直线的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －38，由⎩⎨⎧y 2＝32x ，y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －38，消去y ，得64k 2x 2－48(k 2＋2)x ＋9k 2＝0，设弦的两端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝⎝⎛⎭⎫34·k 2＋2k 22－916＝2解得k ＝± 3.故倾斜角为π3或2π3答案： B10．已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)上的两点A 、B 所对应的参数分别为t 1、t 2，且AP →＝λPB →(λ≠－1)，则点P 所对应的参数为( )B ．t 1＋t 21＋λD ．t 2＋λt 11＋λ 答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ＋1，x ＝cos θ(θ是参数)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为________．解析：由题意知，曲线C ：x 2＋(y －1)2＝1，即x 2＋y 2－2y ＝0，所以(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－2ρsin θ＝0，化简得ρ＝2sin θ.答案： ρ＝2sin θ12．如图所示，齿轮的廓线AB 为圆的渐开线的一段弧．已知此渐开线的基圆的直径为225 mm ，则此渐开线的参数方程为________．答案： ⎩⎨⎧ x ＝2252(cos t ＋t sin t )y ＝2252(sin t －t cos t )(t 为参数)13．点M (x ，y )在椭圆x 212＋y 24＝1上，则点M 到直线x ＋y －4＝0的距离的最大值为________，此时点M 的坐标是________．解析：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝23cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则点M (23cos θ，2sin θ)到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝|23cos θ＋2sin θ－4|2＝⎪⎪⎪⎪4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3－42.当θ＋π3＝32π时，d max ＝42，此时M (－3，－1)．答案： 42 (－3，－1)14．若曲线y 2＝4x 与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t cos αy ＝－4＋t cos β(t 为参数)相切，则cos αcos β＝________. 解析： ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t cos αy ＝－4＋t cos β， ∴x －2y ＋4＝2cos αcos β＝2m ，其中m ＝cos αcos β， ∴x ＝2＋2my ＋8m ，代入y 2＝4x ，得y 2＝4(2＋2my ＋8m )，y 2－8my －8－32m ＝0.∵直线与曲线相切，∴Δ＝(－8m )2－4×(－8－32m )＝64m 2＋4×8(1＋4m )＝0，2m 2＋4m ＋1＝0，∴(m ＋1)2＝12，m ＝－1±22， ∴cos αcos β＝－1±22. 答案：－1±22 三、解答题(本大题共4题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是 ⎩⎨⎧ x ＝22t ＋my ＝22t (t 是参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程转化为普通方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝14，试求实数m 的值．解析： (1)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，直线l 的直角坐标方程为y ＝x －m(2)m ＝1或m ＝316．(12分)已知曲线C 的极坐标方程为ρ2＝364cos 2θ＋9sin 2θ； (1)若以极点为原点，极轴所在的直线为x 轴，求曲线C 的直角坐标方程；(2)若P (x ，y )是曲线C 上的一个动点，求x ＋2y 的最大值．解析： (1)曲线的极坐标方程ρ2＝364cos 2θ＋9sin 2θ，即4ρ2cos 2θ＋9ρ2sin 2θ＝36，∴4x 2＋9y 2＝36，∴x 29＋y 24＝1. (2)设P (3cos θ，2sin θ)，则x ＋2y ＝3cos θ＋4sin θ＝5sin(θ＋φ)，∵θ∈R ，∴当sin(θ＋φ)＝1时，x ＋2y 的最大值为5.17．(12分)极坐标的极点是直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．⊙O 的极坐标方程为ρ＝2，若直线l 与⊙O 相切，求实数x 0的值．解析：由直线l 的参数方程消参后可得直线l 的普通方程为y ＝3(x －x 0)． ⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.∵直线l 与⊙O 相切，∴圆心O (0,0)到直线l ：3x －y －3x 0＝0的距离为2. 即|3x 0|2＝2，解得x 0＝±433. 18．(14分)已知椭圆C 的极坐标方程为ρ2＝123cos 2θ＋4sin 2θ，点F 1，F 2为其左，右焦点，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2＋22t ，y ＝22t (t 为参数，t ∈R )．(1)求直线l 和曲线C 的普通方程；(2)求点F 1，F 2到直线l 的距离之和．解析： (1)直线l 的普通方程为y ＝x －2；曲线C 的普通方程为x 24＋y 23＝1. (2)∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)， ∴点F 1到直线l 的距离d 1＝|－1－0－2|2＝322. 点F 2到直线l 的距离 d 2＝|1－0－2|2＝22， ∴d 1＋d 2＝2 2.。

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