(完整版)指数运算(含答案)
指数函数习题(经典含答案及详细解析)
指数函数习题一、选择题1．概念运算⎩⎨⎧>≤=⊗ba b b a a b a ，那么函数x x f 21)(⊗=的图象大致为( )2．函数f (x )＝x 2－bx ＋c 知足f (1＋x )＝f (1－x )且f (0)＝3，那么f (b x )与f (c x )的大小关系是( )A ．f (b x )≤f (c x )B ．f (b x )≥f (c x )C ．f (b x )>f (c x )D ．大小关系随x 的不同而不同3．函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，那么k 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－1,1)D ．(0,2)4．设函数f (x )＝ln[(x －1)(2－x )]的概念域是A ，函数g (x )＝lg(a x －2x －1)的概念域是B ，假设A ⊆B ，那么正数a 的取值范围( )A ．a >3B ．a ≥3C ．a > 5D ．a ≥ 55．已知函数⎩⎨⎧>≤--=-77)3)(3()(6x a x x a x f x ，假设数列{a n }知足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，那么实数a 的取值范围是( )A ．[94，3) B ．(94，3) C ．(2,3)D ．(1,3) 6．已知a >0且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，那么实数a 的取值范围是( ) A ．(0，12]∪[2，＋∞) B ．[14，1)∪(1,4] C ．[12，1)∪(1,2] D ．(0，14)∪[4，＋∞) 二、填空题7．函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a 2，那么a 的值是________． 8．假设曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，那么b 的取值范围是________．9．(2020·滨州模拟)概念：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x |的概念域为[a ，b ]，值域为[1,2]，那么区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．三、解答题10．求函数y ＝2342x x ---+的概念域、值域和单调区间．11．(2020·银川模拟)假设函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在x ∈[－1,1]上的最大值为14，求a 的值．12．已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x 的概念域为[0,1]．(1)求a 的值；(2)假设函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．指数函数答案1.解析：由a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a a ≤b b a >b 得f (x )＝1⊗2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x x ≤0，1 x >0.答案：A2. 解析：∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )的对称轴为直线x ＝1，由此得b ＝2.又f (0)＝3，∴c ＝3.∴f (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．若x ≥0，那么3x ≥2x ≥1，∴f (3x )≥f (2x )．若x <0，那么3x <2x <1，∴f (3x )>f (2x )．∴f (3x )≥f (2x )．答案：A3.解析：由于函数y ＝|2x －1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，因此有k －1<0<k ＋1，解得－1<k <1.答案：C4. 解析：由题意得：A ＝(1,2)，a x －2x >1且a >2，由A ⊆B 知a x －2x >1在(1,2)上恒成立，即a x －2x －1>0在(1,2)上恒成立，令u (x )＝a x －2x －1，那么u ′(x )＝a x ln a －2x ln2>0，因此函数u (x )在(1,2)上单调递增，那么u (x )>u (1)＝a －3，即a ≥3.答案：B5. 解析：数列{a n }知足a n ＝f (n )(n ∈N *)，那么函数f (n )为增函数，注意a 8－6>(3－a )×7－3，因此⎩⎪⎨⎪⎧ a >13－a >0a 8－6>3－a ×7－3，解得2<a <3.答案：C6. 解析：f (x )<12⇔x 2－a x <12⇔x 2－12<a x ，考查函数y ＝a x 与y ＝x 2－12的图象，当a >1时，必有a －1≥12，即1<a ≤2， 当0<a <1时，必有a ≥12，即12≤a <1， 综上，12≤a <1或1<a ≤2. 答案：C7. 解析：当a >1时，y ＝a x 在[1,2]上单调递增，故a 2－a ＝a 2，得a ＝32.当0<a <1时，y ＝a x 在[1,2]上单调递减，故a －a 2＝a 2，得a ＝12.故a ＝12或32. 答案：12或328. 解析：别离作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判定参数的取值范围．曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如下图，由图象可得：若是|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，那么b 应知足的条件是b ∈[－1,1]． 答案：[－1,1]9. 解析：如图知足条件的区间[a ，b ]，当a ＝－1，b ＝0或a ＝0，b ＝1时区间长度最小，最小值为1，当a ＝－1，b ＝1时区间长度最大，最大值为2，故其差为1. 答案：110. 解：要使函数成心义，那么只需－x 2－3x ＋4≥0，即x 2＋3x －4≤0，解得－4≤x ≤1.∴函数的概念域为{x |－4≤x ≤1}．令t ＝－x 2－3x ＋4，那么t ＝－x 2－3x ＋4＝－(x ＋32)2＋254， ∴当－4≤x ≤1时，t max ＝254，现在x ＝－32，t min ＝0，现在x ＝－4或x ＝1. ∴0≤t ≤254.∴0≤－x 2－3x ＋4≤52. ∴函数y ＝2341()2x x --+[28，1]．由t ＝－x 2－3x ＋4＝－(x ＋32)2＋254(－4≤x ≤1)可知， 当－4≤x ≤－32时，t 是增函数， 当－32≤x ≤1时，t 是减函数． 依照复合函数的单调性知：y ＝1()2在[－4，－32]上是减函数，在[－32，1]上是增函数． ∴函数的单调增区间是[－32，1]，单调减区间是[－4，－32]． 11. 解：令a x ＝t ，∴t >0，那么y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2，其对称轴为t ＝－1.该二次函数在[－1，＋∞)上是增函数．①若a >1，∵x ∈[－1,1]，∴t ＝a x ∈[1a，a ]，故当t ＝a ，即x ＝1时，y max ＝a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3(a ＝－5舍去)．②假设0<a <1，∵x ∈[－1,1]，∴t ＝a x ∈[a ，1a ]，故当t ＝1a，即x ＝－1时， y max ＝(1a＋1)2－2＝14. ∴a ＝13或－15(舍去)． 综上可得a ＝3或13. 12. 解：法一：(1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32.(2)现在g (x )＝λ·2x －4x ，设0≤x 1<x 2≤1，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，因此g (x 1)－g (x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，即λ<2x 2＋2x 1恒成立．由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2，因此实数λ的取值范围是λ≤2.法二：(1)同法一．(2)现在g (x )＝λ·2x －4x ，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，因此有g ′(x )＝λln2·2x －ln4·4x ＝ln2[－2·(2x )2＋λ·2x ]≤0成立．设2x ＝u ∈[1,2]，上式成立等价于－2u 2＋λu ≤0恒成立．因为u ∈[1,2]，只需λ≤2u 恒成立，因此实数λ的取值范围是λ≤2.。
高中数学必修一《指数与指数幂计算》精选例题(含答案解析)
高中数学必修一《指数与指数幂计算》精选例题（含答案解析）一、选择题1．下列说法中：①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，n a 对任意a ∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时，n a 只有当a ≥0时才有意义．其中正确的是( )A ．①③④B ．②③④C ．②③D ．③④2．若2<a <3，化简(2－a )2＋4(3－a )4的结果是() A ．5－2a B ．2a －5C ．1D ．－13．在(－12)－1、122-、1212-⎛⎫ ⎪⎝⎭、2－1中，最大的是() A ．(－12)－1B ．122-C ．1212-⎛⎫⎪⎝⎭D ．2－14．化简3a a 的结果是( )A ．aB ．12aC ．a 2D ．13a5．下列各式成立的是( )A.3m 2＋n 2＝()23m n +B ．(b a )2＝12a 12bC.6(－3)2＝()133- D.34＝1326．下列结论中，正确的个数是( )①当a <0时，()322a ＝a 3；②n a n ＝|a |(n >0)；③函数y ＝()122x -－(3x －7)0的定义域是(2，＋∞)； ④若100a ＝5,10b ＝2，则2a ＋b ＝1.A ．0B ．1C ．2D ．3 7.614－3338＋30.125的值为________．8．若a >0，且a x ＝3，a y ＝5，则22yx a+＝________. 9．若x >0，则(214x ＋323)(214x －323)－412x -·(x －12x )＝________.三、解答题10．(1)化简：3xy 2·xy －1·xy ·(xy )－1(xy ≠0)； (2)计算：122-＋(－4)02＋12－1－(1－5)0·238-.11．设－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值．能力提升12．化简：4133223384a a b b a -+÷(1－23b a )×3a .13．若x >0，y >0，且x －xy －2y ＝0，求2x －xy y ＋2xy的值．参考答案与解析1．D [①错，∵(±2)4＝16，∴16的4次方根是±2；②错，416＝2，而±416＝±2.]2．C [原式＝|2－a |＋|3－a |，∵2<a <3，∴原式＝a －2＋3－a ＝1.]3．C [∵(－12)－1＝－2,122-＝22，1212-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2，2－1＝12， ∵2>22>12>－2，∴1212-⎛⎫ ⎪⎝⎭>122->2－1>(－12)－1.]4．B [12a =.]5．D [被开方数是和的形式，运算错误，A 选项错；(b a )2＝b 2a 2，B 选项错；6(－3)2>0，()133-<0，C 选项错．故选D.]6．B [①中，当a <0时，()()3312222a a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦＝(－a )3＝－a 3，∴①不正确；②中，若a ＝－2，n ＝3，则3(－2)3＝－2≠|－2|，∴②不正确；③中，有⎩⎨⎧ x －2≥0，3x －7≠0，即x ≥2且x ≠73， 故定义域为[2，73)∪(73，＋∞)，∴③不正确；④中，∵100a ＝5,10b ＝2，∴102a ＝5,10b ＝2,102a ×10b ＝10，即102a ＋b ＝10. ∴2a ＋b ＝1.④正确．] 7.32解析 原式＝(52)2－3(32)3＋3(12)3＝52－32＋12＝32. 8．9 5 解析 22y x a +＝(a x )2·()12y a ＝32·125＝9 5. 9．－23 解析 原式＝412x －33－412x ＋4＝－23. 10．解 (1)原式＝()()11132122xy xy xy -⎡⎤⎢⎥⎣⎦·(xy )－1 ＝13x ·2111136622y xy x y --- ＝13x ·13x -＝⎩⎨⎧ 1， x >0－1，x <0. (2)原式＝12＋12＋2＋1－22 ＝22－3.11．解 原式＝(x －1)2－(x ＋3)2 ＝|x －1|－|x ＋3|，∵－3<x <3，∴当－3<x <1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x <3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4.∴原式＝⎩⎨⎧ －2x －2 (－3<x <1)－4(1≤x <3). 12．解 原式＝()111333212133338242aa b a b b a aa --÷++×13a13．解 ∵x －xy －2y ＝0，x >0，y >0，∴(x)2－xy－2(y)2＝0，∴(x＋y)(x－2y)＝0，由x>0，y>0得x＋y>0，∴x－2y＝0，∴x＝4y，∴2x－xyy＋2xy ＝8y－2yy＋4y＝65.。
(完整版)指数函数与对数函数高考题及答案
指数函数与对数函数（一）选择题（共15题）1.（安徽卷文7）设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a【答案】A【解析】25y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2()5xy =在0x >时是减函数，所以c b >。
【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来.2.（湖南卷文8）函数y=ax2+ bx 与y= ||log b ax(ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可能是【答案】D【解析】对于A 、B 两图，|b a |>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -b a ,由图知0<-b a <1得-1<ba <0,矛盾，对于C 、D 两图，0<|b a |<1,在C 图中两根之和-b a <-1，即ba >1矛盾，选D 。
3.（辽宁卷文10）设525bm ==，且112a b +=，则m =（A（B ）10 （C ）20 （D ）100 【答案】D解析：选A.211log 2log 5log 102,10,m m m m a b +=+==∴=又0,m m >∴=4.（全国Ⅰ卷理8文10）设a=3log 2,b=In2,c=125-,则A. a<b<cB. b<c<aC. c<a<b D . c<b<a 【答案】C【解析】 a=3log 2=21log 3, b=In2=21log e ,而22log 3log 1e >>,所以a<b,c=125-=,而222log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b.【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.5.（全国Ⅰ卷理10）已知函数F(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是(A))+∞(B))+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞【答案】A【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b 2a a =+>,从而错选A,这也是命题者的用苦良心之处.【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1b a =，所以a+2b=2a a +又0<a<b,所以0<a<1<b ，令2()f a a a =+,由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+21=3,即a+2b 的取值范围是(3,+∞).6.（全国Ⅰ卷文7）已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是(A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞【答案】C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=12a a +≥,从而错选D,这也是命题者的用苦良心之处. 7.（山东卷文3）函数()()2log 31x f x =+的值域为A.()0,+∞ B. )0,+∞⎡⎣ C. ()1,+∞ D. )1,+∞⎡⎣ 【答案】A【解析】因为311x+>，所以()()22log 31log 10x f x =+>=，故选A 。
2021年人教版高中数学必修第一册：第4章《章末复习课》(含答案详解)
2021年人教版高中数学必修第一册：第4章《章末复习课》(含答案详解)1、指数与对数的运算【例1】计算：(1)2log32－log3＋log38－5log53；(2)1.5－×0＋80.25×＋(×)6－.[解] (1)原式＝log3－3＝2－3＝－1.(2)原式＝＋2×2＋22×33－＝21＋4×27＝110.指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先留意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要留意分子、分母因式分解以到达约分的目的.对数运算首先留意公式应用过程中范围的改变，前后要等价，娴熟地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.7n1．设3x＝4y＝36，则＋的值为( )A．6B．3C．2D．1D [由3x＝4y＝36得x＝log336，y＝lo2、g436，∴＋＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1.]指数函数、对数函数的图象及应用【例2】(1)若函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象如下图，则以下函数正确的选项是( )A B C D(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x.①如图，画出函数f(x)的图象；②依据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．(1)B [由已知函数图象可得，loga3＝1，所以a＝3.A项，函数解析式为y＝3－x，在R上单调递减，与图象不符；C项中函数的解析式为y＝(－x)3＝－x3，当x0时，y0，这与图象不符；D项中函数解析式为y＝log3(－x)，在(－∞，0)上为单调3、递减函数，与图象不符；B项中对应函数解析式为y＝x3，7n 与图象相符．应选B.](2)[解] ①先作出当x≥0时，f(x)＝x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．②函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．1．识别函数的图象从以下几个方面入手：(1)单调性：函数图象的改变趋势；(2)奇偶性：函数图象的对称性；(3)特别点对应的函数值．2．指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a0＝1，loga1＝0.2．函数y＝1＋log(x－1)的图象肯定经过点( )A．(1,1)B．(1,0)C．(2,1)D．(2,0)C [把y＝logx的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可4、得到y＝1＋log(x－1)的图象，故其经过点(2,1)．]比较大小【例3】若0xy1，则( )A．3y3xB．logx3logy3C．log4xlog4y7nD.xyC [因为0xy1，则对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x3y，A错误．对于B，依据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0a1时，在x∈(1，＋∞)上“底小图高”．因为0xy1，所以logx3logy3，B错误．对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4xlog4y，C正确．对于D，函数y＝x在R上单调递减，故xy，5、D错误．]1．比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等．2．当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．3．比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小．4．含参数的问题，要依据参数的取值进行分类商量．3．设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则( )A．abcB．bacC．acbD．cbaC [∵a＝log2πlog22＝1，b ＝logπlog1＝0，c＝π－2＝，即0c1，∴acb，应选C.]指数函数、对数函数的性质【例4】(6、1)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )A．奇函数，且在(0,1)上是增函数B．奇函数，且在(0,1)上是减函数C．偶函数，且在(0,1)上是增函数7nD．偶函数，且在(0,1)上是减函数(2)已知a0，a≠1且loga3loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1.①求a的值；②若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域．(1)A [由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f(x)＝ln＝ln，易知y＝－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数．](2)[7、解] ①因为loga3loga2，所以f(x)＝logax在[a,3a]上为增函数．又f(x)在[a,3a]上的最大值与最小值之差为1，所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3.②函数y＝(log3x)2－log3＋2＝(log3x)2－log3x＋2＝2＋.令t＝log3x，因为1≤x≤3，所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1.所以y＝2＋∈，所以所求函数的值域为.1．把本例(1)的函数f(x)改为“f(x)＝ln(x＋)”，推断其奇偶性．[解] ∵f(x)＝ln(x＋)，∴其定义域为R，又f(－x)＝ln(－x ＋)，∴f(x)＋f(－x)＝ln(x＋)＋ln(－x＋)＝ln1＝0，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．28、．把本例(2)②中的函数改为“y＝a2x＋ax－1”，求其最小值．[解] 由题意可知y＝32x＋3x－1，令3x＝t，则t∈[3,27]，∴f(t)＝t2＋t－1＝2－，t∈[3,27]，∴当t＝3时，f(t)min＝f(3)＝9＋3－1＝11.7n1．讨论函数的性质要树立定义域优先的原则．2．换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题．该类问题中，常设u＝logax或u＝ax，转化为一元二次方程、二次函数等问题．要留意换元后u的取值范围．函数的应用【例5】一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10%衰减．(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．[解] (1)最初的质量为9、500g.经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；经过2年，w ＝500×0.92；由此推知，t年后，w＝500×0.9t.(2)由题意得500×0.9t＝250，即0．9t＝0.5，两边同时取以10为底的对数，得lg0.9t＝lg0.5，即tlg0.9＝lg0.5，所以t＝≈6.6.即这种放射性元素的半衰期约为6.6年．指数函数模型的应用在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示.通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x 为时间)的形式.4．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量削减，问至少应过滤几次才能使产品到达市场要求？(已知：10、lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)7n[解] 设过滤n次能使产品到达市场要求，依题意，得×n≤，即n≤.则n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，故n≥≈7.4，考虑到n∈N，故n≥8，即至少要过滤8次才能到达市场要求．7。
2019大一轮高考总复习文数(北师大版)讲义第2章 第05节 指数与指数函数 Word版含答案
第五节 指数与指数函数．正整数指数函数＋正整数集，叫作正整数指数函数，其中是自变量，定义域是)＋∈，≠＝(＞，函数．分数指数幂()定义一般地，给定正实数，对于任意给定的整数、(，互素)，存在唯一的正实数，使得＝，它就是分数指数幂．＝次幂，记作，我们把叫作的()规定：分数指数幂与根式的关系①正分数指数幂的根式形式：＝(＞)；②负分数指数幂的根式形式：－＝)(＞，，∈＋且＞)；③．的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义分数指数幂：的 ．的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义的分数指数幂：③．指数幂的运算性质 若，＞，，∈，则；＋()·＝ ；·()()＝ ()()＝.．指数函数的图像与性质()在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．()指数函数＝(>， ≠)的图像和性质跟的取值有关，要特别注意区分>或<<.()指数函数图像在坐标系中的位置如下图所示，即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)()·＝.( )()函数＝·与＝＋都不是指数函数．( )()若<(>且≠), 则<.( )()函数＝－在上为单调减函数．( )答案： ()× ()√ ()× ()√．化简 (<，<)得( )．．．．－解析：选＝＝－.．函数()＝＋的值域为( )．(－，＋∞)．(，＋∞) ．()．[，＋∞)解析：选∵＞，∴＋＞，即函数()＝＋的值域为(，＋∞)．．函数()＝－＋(>，且≠)的图像必经过点( )．() ．() ．()．()解析：选由()＝＋＝，知()的图像必过点()． ．(教材习题改编)若＋>－＋，则的取值范围是．解析：因为＋>－＋，即－－>－＋⇒－－>－＋⇒<－⇒<－.。
指数函数习题(经典含答案及详细解析)
指数函数习题一、选择题1．定义运算⎩⎨⎧>≤=⊗ba b b a a b a ，则函数xx f 21)(⊗=的图象大致为( )2．函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x)的大小关系是( ) A ．f (b x)≤f (c x) B ．f (b x)≥f (c x) C ．f (b x)>f (c x)D ．大小关系随x 的不同而不同3．函数y ＝|2x－1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是( ) A ．(－1，＋∞) B ．(－∞，1) C ．(－1,1)D ．(0,2)4．设函数f (x )＝ln[(x －1)(2－x )]的定义域是A ，函数g (x )＝lg(a x－2x－1)的定义域是B ，若A ⊆B ，则正数a 的取值范围( )A ．a >3B ．a ≥3C ．a > 5D ．a ≥55．已知函数⎩⎨⎧>≤--=-77)3)(3()(6x a x x a x f x ，若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A ．[94，3)B ．(94，3)C ．(2,3)D ．(1,3)6．已知a >0且a ≠1，f (x )＝x 2－a x，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，12]∪[2，＋∞)B ．[14，1)∪(1,4]C ．[12，1)∪(1,2]D ．(0，14)∪[4，＋∞)二、填空题7．函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值是________．8．若曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．9．(2011·滨州模拟)定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．三、解答题 10．求函数y ＝2342x x ---+的定义域、值域和单调区间．11．(2011·银川模拟)若函数y ＝a 2x＋2a x－1(a >0且a ≠1)在x ∈[－1,1]上的最大值为14，求a 的值．12．已知函数f (x )＝3x，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax－4x的定义域为[0,1]． (1)求a 的值；(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．指数函数答案1.解析：由a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≤b ba >b得f (x )＝1⊗2x＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx ≤0，1x >0.答案：A2. 解析：∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )的对称轴为直线x ＝1，由此得b ＝2.又f (0)＝3，∴c ＝3.∴f (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增． 若x ≥0，则3x≥2x≥1，∴f (3x)≥f (2x)． 若x <0，则3x<2x<1，∴f (3x)>f (2x)． ∴f (3x)≥f (2x )． 答案：A3.解析：由于函数y ＝|2x－1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，所以有k －1<0<k ＋1，解得－1<k <1. 答案：C4. 解析：由题意得：A ＝(1,2)，a x－2x>1且a >2，由A ⊆B 知a x－2x>1在(1,2)上恒成立，即a x －2x －1>0在(1,2)上恒成立，令u (x )＝a x －2x －1，则u ′(x )＝a x ln a －2x ln2>0，所以函数u (x )在(1,2)上单调递增，则u (x )>u (1)＝a －3，即a ≥3.答案：B5. 解析：数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，则函数f (n )为增函数，注意a 8－6>(3－a )×7－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >13－a >0a 8－6>3－a ×7－3，解得2<a <3.答案：C6. 解析：f (x )<12⇔x 2－a x <12⇔x 2－12<a x ，考查函数y ＝a x 与y ＝x 2－12的图象，当a >1时，必有a －1≥12，即1<a ≤2，当0<a <1时，必有a ≥12，即12≤a <1，综上，12≤a <1或1<a ≤2.答案：C7. 解析：当a >1时，y ＝a x 在[1,2]上单调递增，故a 2－a ＝a 2，得a ＝32.当0<a <1时，y ＝ax在[1,2]上单调递减，故a －a 2＝a 2，得a ＝12.故a ＝12或32.答案：12或328. 解析：分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]． 答案：[－1,1]9. 解析：如图满足条件的区间[a ，b ]，当a ＝－1，b ＝0或a ＝0，b ＝1时区间长度最小，最小值为1，当a ＝－1，b ＝1时区间长度最大，最大值为2，故其差为1. 答案：110. 解：要使函数有意义，则只需－x 2－3x ＋4≥0，即x 2＋3x －4≤0，解得－4≤x ≤1. ∴函数的定义域为{x |－4≤x ≤1}．令t ＝－x 2－3x ＋4，则t ＝－x 2－3x ＋4＝－(x ＋32)2＋254，∴当－4≤x ≤1时，t max ＝254，此时x ＝－32，t min ＝0，此时x ＝－4或x ＝1.∴0≤t ≤254.∴0≤－x 2－3x ＋4≤52.∴函数y ＝2341()2x x --+[28，1]． 由t ＝－x 2－3x ＋4＝－(x ＋32)2＋254(－4≤x ≤1)可知，当－4≤x ≤－32时，t 是增函数，当－32≤x ≤1时，t 是减函数．根据复合函数的单调性知：y ＝1()2[－4，－32]上是减函数，在[－32，1]上是增函数．∴函数的单调增区间是[－32，1]，单调减区间是[－4，－32]．11. 解：令a x＝t ，∴t >0，则y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2，其对称轴为t ＝－1.该二次函数在[－1，＋∞)上是增函数．①若a >1，∵x ∈[－1,1]，∴t ＝a x ∈[1a，a ]，故当t ＝a ，即x ＝1时，y max ＝a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3(a ＝－5舍去)． ②若0<a <1，∵x ∈[－1,1]，∴t ＝a x∈[a ，1a ]，故当t ＝1a，即x ＝－1时，y max ＝(1a＋1)2－2＝14.∴a ＝13或－15(舍去)．综上可得a ＝3或13.12. 解：法一：(1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a＝2⇒a ＝log 32.(2)此时g (x )＝λ·2x －4x， 设0≤x 1<x 2≤1，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以g (x 1)－g (x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，即λ<2x 2＋2x 1恒成立． 由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2， 所以实数λ的取值范围是λ≤2. 法二：(1)同法一． (2)此时g (x )＝λ·2x －4x，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以有g ′(x )＝λln2·2x －ln4·4x ＝ln2[－2·(2x )2＋λ·2x]≤0成立． 设2x＝u ∈[1,2]，上式成立等价于－2u 2＋λu ≤0恒成立． 因为u ∈[1,2]，只需λ≤2u 恒成立， 所以实数λ的取值范围是λ≤2.。
指数对数函数图像与性质(含答案)
指数对数函数图像与性质(含答案)指数函数和对数函数是高中数学中比较重要的函数类型之一。
对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集，图像在点(1,0)处经过y轴且单调递增。
指数函数的定义域为实数集，值域为正实数集，图像在点(0,1)处经过y轴且单调递增。
对数函数和指数函数是互为反函数的函数对，它们之间有着很多有趣的性质和运算规律。
对于指数函数，有以下基本运算规律：(1) $a^r\cdota^s=a^{r+s}$，(2) $a^r\div a^s=a^{r-s}$，(3) $(a^r)^s=a^{rs}$，(4) $(ab)^r=a^r\cdot b^r$。
对于对数函数，有以下恒等式：$\log_aN=N$，$\log_ab=\frac{1}{\log_ba}$，$\log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN$，以及以下几个小结论：$\log_ab^n=n\log_ab$，$\log_an^M=M\log_an$，$\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}$，$\log_aa=1$，$\log_a1=0$。
在解题时，我们可以利用对数函数和指数函数的性质和运算规律，来求解函数的定义域、值域、单调性等问题。
例如，对于函数$y=-x^2+2x+1$，我们可以求出它的顶点坐标为$(1,2)$，因此它的值域为$(-\infty,2]$，并且它在区间$(0,1)$上单调递减，在区间$(1,+\infty)$上单调递增。
对于函数$y=\log_2(x^2-ax+3a)-5x+6$，我们可以先求出它的定义域为$(a-3\sqrt{a},a+3\sqrt{a})$，然后判断它在该定义域内的单调性，最后求出使其在区间$[2,+\infty)$上单调递减的$a$的取值范围。
对于函数$y=4x-\frac{12}{2-a\cdot2x+2\sqrt{a^2x^2+1}}$，我们可以先求出它的定义域为$(0,2]$，然后求出它的导数，令其为0，解出$x$的值，再求出函数在该定义域上的最大值和最小值。
第11讲 指数与对数的运算(解析版)-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
1第11讲：指数与对数的运算一、课程标准1、理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2、理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；3、了解对数的发现历史以及对简化运算的作用二、基础知识回顾1. 有关指数幂的概念(1)n次方根正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是__0__；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，0的偶次方根是__0__，负数没有偶次方根．(2)方根的性质①当n为奇数时，n a n＝a；②当n为偶数时，n a n＝||a＝,0-a0.a aa⎧⎨⎩≥，，＜(3)分数指数幂的意义①m n a(a＞0，m、n都是正整数，n＞1)；②m na-＝1mna＞0，m、n都是正整数，n＞1)．2. 有理数指数幂的运算性质设s，t∈Q，a>0，b>0，则：(1)a s a t＝as＋t；(2)(a s)t＝ast；(3)(ab)t＝a t b t．3. 对数的相关概念(1)对数的定义：如果a b＝N(a＞0，a≠1)，那么b叫做以a为底数N的对数，记作log a N＝b．(2)常用对数和自然对数：①常用对数：以10为底N的对数，简记为：lg N；②自然对数：以e为底N 的对数，简记为：ln N．(3)指数式与对数式的相互转化：a b＝N⇔log a N＝b(a＞0，a≠1，N＞0)．4. 对数的基本性质设N＞0，a＞0，a≠1，则：(1)log a a＝1；(2)log a1＝0；1(3)log a a N ＝N ；(4)a log aN ＝N ．5. 对数运算的法则设M ＞0，N ＞0，a ＞0，a≠1，b ＞0，b≠1，则： (1)log a (MN)＝ log a M ＋log a N ； (2)log a MN ＝log a M －log a N ； (3)log a M n ＝ n log a M ． 6. 对数的换底公式设N ＞0，a ＞0，a≠1，b ＞0，b≠1，则log b N ＝log a Nlog a b .三、自主热身、归纳总结1、化简4a 23·b －13÷⎝⎛⎭⎫－23a －13b 23的结果为( ) A ．－2a3b B ．－8a b C ．－6a b D ．－6ab【答案】C【解析】原式＝－6a 23－⎝⎛⎭⎫－13b －13－23＝－6ab －1＝－6ab . 2、(log 29)(log 32)＋log a 54＋log a ⎝⎛⎭⎫45a (a >0，且a ≠1)的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】B【解析】 原式＝(2log 23)(log 32)＋log a ⎝⎛⎭⎫54×45a ＝2×1＋log a a ＝3.3、 若lg 2，lg (2x ＋1)，lg (2x ＋5)成等差数列，则x 的值等于（ ）A . 1B . 0或18C . 18 D . log 23【答案】D .【解析】由lg 2，lg (2x ＋1)，lg (2x ＋5)成等差数列，知lg 2＋lg (2x ＋5)＝2lg (2x ＋1)， ∴2(2x ＋5)＝(2x ＋1)2，即(2x )2－9＝0，即2x ＝3，∴x ＝log 23.故选D .4、．(多选)已知a ＋a －1＝3，在下列各选项中，其中正确的是( )A ．a 2＋a －2＝7B ．a 3＋a －3＝18C ．a 12＋a －12＝±5 D ．a a ＋1a a ＝2 5【答案】ABD【解析】在选项A 中，因为a ＋a －1＝3，所以a 2＋a －2＝(a ＋a －1)2－2＝9－2＝7，故A 正确；在选项B 中，因为a ＋a －1＝3，所以a 3＋a －3＝(a ＋a －1)(a 2－1＋a －2)＝(a ＋a －1)·[(a ＋a －1)2－3]＝3×6＝18，故B 正确；在选项C 中，因为a ＋a －1＝3，所以(a 12＋a －12)2＝a ＋a －1＋2＝5，且a ＞0，所以a 12＋a －12＝5，故C 错误；在选项D 中，因为a 3＋a －3＝18，且a ＞0，所以⎝⎛⎭⎫a a ＋1a a 2＝a 3＋a －3＋2＝20，所以a a ＋1a a ＝25，故D正确．5、log 225·log 3(22)·log 59＝________． 【答案】6【解析】法一：log 225·log 3(22)·log 59＝log 252·log 3232·log 532＝6log 25·log 32·log 53＝6. 法二：log 225·log 3(22)·log 59＝lg 25lg 2·lg （22）lg 3·lg 9lg 5＝lg 52lg 2·lg 232lg 3·lg 32lg 5＝6. 6、 已知2lg x －y2＝lg x ＋lg y ，则xy 的值为 ．【答案】1＋ 2.【解析】 利用对数的性质消去对数符号，得到关于x ，y 的方程再求解．由已知得lg ⎝⎛⎭⎫x －y 22＝lg (xy)，∴⎝⎛⎭⎫x －y 22＝xy ， 即x 2－6xy ＋y 2＝0，∴⎝⎛⎭⎫x y 2－6⎝⎛⎭⎫x y ＋1＝0，∴xy ＝3±2 2. 又∵x －y 2>0且x 、y ＞0，∴x ＞y ＞0，即xy ＞1，∴xy ＝3＋22，xy ＝1＋ 2.7、计算：log 5[412log 210－(33)23－7log 72]＝________．【答案】0【解析】原式＝log 5[2log 210－(332)23－2]＝log 5(10－3－2)＝log 55＝1.8、化简 [(0.06415)－2.5]23－3338－π0；【答案】0【解析】[(0.06415)－2.5]23－3338－π0＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫641 00015－5223－⎝⎛⎭⎫27813－1 ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫410315×⎝ ⎛⎭⎪⎫－52×23－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32313－1＝52－32－1＝0.四、例题选讲 考点一 指数幂的运算例1 化简下列各式(其中各字母均为正数)．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋0.002－12－10(5－2)－1＋π0(2)a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a －13b 13(a >0，b >0)(3)1253[(0.064) 2.5]--3338－π0；(4)121121332a b a b ---⎛⎫ ⎪g g g 【解析】(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－2＋50012－10（5＋2）（5－2）（5＋2）＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.(2)原式＝(a 3b 2a 13b 23)12ab 2a －13b13＝a 32＋16－1＋13b1＋13－2－13＝a b .(3原式＝253112536427110008-⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎢⎥--⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎪⎪⎩⎭=152133523343102⎛⎫⨯-⨯ ⎪⎝⎭⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦－1＝52－32－1＝0.(4)原式＝111111111533223262361566a b a ba ba b-----+-=g g ＝1a .变式1、．计算下列各式的值： （Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）原式＝；（Ⅱ）原式＝．变式2、已知1122x x-+＝3，求22332223x x x x --+-+-的值．【解析】设12x ＝t ，则12x -＝1t ，已知即t ＋1t ＝3.于是，3322x x -+＝t 3＋1t 3＝⎝⎛⎭⎫t ＋1t ·⎝⎛⎭⎫t 2＋1t 2－1， 而x 2＋x－2＝t 4＋1t 4＝2221()t t+－2, 将t ＋1t ＝3，平方得 t 2＋1t 2＋2＝9，于是t 2＋1t 2＝7.从而，原式＝⎝⎛⎭⎫t 2＋1t 22－2⎝⎛⎭⎫t ＋1t ·⎝⎛⎭⎫t 2＋1t 2－1－3＝72－23×（7－1）－3＝4715. 方法总结(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，这时要注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．考点二 对数的运算 例2 化简下列各式：(1)12lg 25＋lg 2＋lg 10＋lg (0.01)－1； (2)(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25；(3)计算(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)； （4）2log 32－log 3329＋log 38－3log 55；【解析】 (1)原式＝lg ⎣⎡⎦⎤2512×2×1012×（10－2）－1 ＝lg ⎝⎛⎭⎫5×2×1012×102 ＝72lg10＝72.(2) 原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5 ＝(1＋1)lg 2＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5) ＝2.(3) (log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＝⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9·⎝⎛⎭⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8 ＝⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3·⎝⎛⎭⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2 ＝54.1（4）2log 32－log 3329＋log 38－3log 55 ＝log 322＋log 3(32×2－5)＋log 323－3 ＝log 3(22×32×2－5×23)－3 ＝log 332－3 ＝2－3 ＝－1.变式1、(1)2log 32－log 3329＋log 38－5log 35；(2)(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 52＋log 254＋log 1258)．【解析】(1)原式＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1. (2)(方法1)原式＝⎝⎛⎭⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28 ⎝⎛⎭⎫log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125＝⎝⎛⎭⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22⎝⎛⎭⎫log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55 ＝⎝⎛⎭⎫3＋1＋13log 25·3log 52 ＝13·log 55log 52·log 52 ＝13. (方法2)原式＝⎝⎛⎭⎫lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8⎝⎛⎭⎫lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125＝⎝⎛⎭⎫3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2⎝⎛⎭⎫lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5 ＝⎝⎛⎭⎫133·lg 5lg 2⎝⎛⎭⎫3·lg 2lg 5＝13.变式2、(1)①若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝ ；②化简2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋（lg 2）2－lg 2＋1＝__ _． 【解析】 (1)①∵a ＝log 43＝22log 3＝12log 23＝log 23，∴2a ＋2－a＝22－2-＝3＋log 2＝3＋33＝433.②2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋（lg 2）2－lg 2＋1 ＝2×⎝⎛⎭⎫12lg 22＋12lg 2×lg 5＋（lg 2－1）2＝12lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－12lg 2 ＝12lg 2＋1－12lg 2＝1.方法总结：对数的运算主要是要熟练掌握三条运算性质，不能把公式记错，当然也有一定的运算技巧，例如：(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并；(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．考点三 指数是与对数式的综合例3 (1)已知a ，b ，c 均为正数，且3a＝4b＝6c，求证：2a ＋1b ＝2c ；(2)若60a ＝3，60b ＝5，求12(1)12a b b ---的值．【解析】 (1)设3a ＝4b ＝6c ＝k ，则k>1.由对数定义得a ＝log 3k ，b ＝log 4k ，c ＝log 6k ， 则2a ＋1b ＝2log 3k ＋1log 4k ＝2log k 3＋log k 4 ＝log k 9＋log k 4 ＝log k 36.又2c ＝2log 6k ＝2log k 6＝log k 36， ∴2a ＋1b ＝2c .(2)由a ＝log 603，b ＝log 605，得1－b ＝1－log 605＝log 6012， 于是1－a －b ＝1－log 603－log 605＝log 604，则有1－a －b 1－b ＝log 604log 6012＝log 124， ∴121－a －b 2（1－b ）＝1212log 124 ＝12log 122＝2.变式1、设2a＝5b＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于________.由2a ＝5b ＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10.∵1a ＋1b ＝2，∴log m 10＝2，∴m 2＝10，m ＝10.方法总结： 这是一道关于指数式与对数式的混合问题，求解这类问题，以下两点值得关注：1. 根据对数的定义，对数式与指数式能够相互转化，其解答过程体现了化归与转化的数学思想，其核心是化生为熟、化难为易、化繁为简，困难之处在于将指数由“高”降“低”，便于进一步计算，这是指、对数运算经常使用的方法．2. 不同底数的对数计算、化简与恒等证明的常用方法是利用换底公式，先将底数统一，再利用同底的对数的运算法则进行计算和化简，求得结果．五、优化提升与真题演练1、设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂，其结果是( )A ．a 12B ．a 56C ．a 76D ．a 32【答案】C 【解析】由题意a 2a ·3a 2＝a 2－12－13＝a 76.故选C.2、已知奇函数f （x ）满足f （x ）＝f （x +4），当x ∈（0，1）时，f （x ）＝4x ，则f （log 4184）＝（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A ．【解析】∵奇函数f （x ）满足f （x ）＝f （x +4）， 当x ∈（0，1）时，f （x ）＝4x ， ∴f （log 4184）＝﹣f （log 4184﹣4） ＝﹣（）．3、(多选)已知实数a ，b 满足等式18a ＝19b ，下列选项有可能成立的是( ) A ．0＜b ＜a B ．a ＜b ＜0 C ．0＜a ＜b D ．b ＜a ＜0【答案】AB【解析】 实数a ，b 满足等式18a ＝19b ，即y ＝18x 在x ＝a 处的函数值和y ＝19x 在x ＝b 处的函数值相等，由下图可知A ，B 均有可能成立．4、化简：（a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5(a >0，b >0)＝________．1 【答案】1a【解析】原式＝a －13·b 12·a －12·b 13a 16·b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a .5、计算 3（1＋2）3＋ 4（1－2）4＝________．【答案】2 2【解析】 3（1＋2）3＋ 4（1－2）4＝1＋2＋|1－2|＝2 2.6、.（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝________．【答案】1【解析】原式＝（log 66－log 63）2＋log 62·log 618log 622＝（log 62）2＋log 62·log 6182log 62＝log 62（log 62＋log 618）2log 62＝log 62·log 6（2×18）2log 62＝log 62·log 6362log 62＝2log 622log 62＝1.7、若2x ＝3y ＝5z ，且x ，y ，z 都是正数，则2x ，3y ，5z 从小到大依次为． 【答案】3y<2x<5z.【解析】令2x ＝3y ＝5z ＝t ，则t>1，x ＝lg t lg 2，y ＝lg t lg 3，z ＝lg t lg 5，∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t·（lg 9－lg 8）lg 2·lg 3>0，∴2x>3y.同理可得：2x －5z<0，∴2x<5z.∴3y<2x<5z.8、 化简下列各式：(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0；(2)56a 13·b －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a －12b －1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312.1【解析】(1)原式＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫641 00015－5223－⎝ ⎛⎭⎪⎫27813－1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫410315×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－52×23－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32313－1 ＝52－32－1＝0.(2)原式＝－52a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312＝－54a －16b －3÷(a 13b －32)＝－54a －12·b －32 ＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.。
2021高考数学考点精讲精练《08 指数、对数的运算》(讲解)(解析版)
考点8：指数、对数的运算【思维导图】【常见考法】考法一：指数运算1．化简2531433(2)(3)(4)a b a b a b -----⋅-÷(,0)a b >= 。
【答案】232b -【解析】依题意，原式()()25131423323342a b b -++----⋅-=⋅⋅=-.2．计算：（6+43-（0.2508) 【答案】109【解析】原式＝（113223⨯）6+3443(2)⨯-1＝22×33+2﹣1＝108+2﹣1＝109．3．计算：()(123121034310.02762563π4---⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭= 。
【答案】66 【解析】()(123121034310.02762563π4---⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭()1232312432343510.342123⨯⎛⎫⎛⎫⨯-⨯⎪⨯- ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-++-+ ⎪⎝⎭105116413223=-++-+66= 4．已知1122x x -+＝3，求33222223x xx x --++++的值为 ．【答案】25【解析】解法一 ∵1122x x -+＝3，∴两边平方，得(1122x x -+)2＝9，即x ＋x －1＝7.两边再平方得x 2＋x －2＝47，将等式1122x x -+＝3两边立方，得3311222233x x x x --+++＝27，即3322x x -+＝18.∴原式＝18224735+=+. 解法二 设12x ＝t ，则121xt-=，22113,7t t t t +=+=∴原式＝23232424211112211323t t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫++-+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫+++-+ ⎪⎝⎭＝()3712249235⨯-+=-+.6.已知0a >，23xa =，求33x xx xa a a a--++的值为 。
． 【答案】73【解析】原式()()222211713133xx x x x x x xaa a a a a a a ----+-+==-+=-+=+.7．程4220x x --=的解为______.【答案】1x =【解析】设20x t =>,即转化为求方程220t t --=的正实数根由220t t --=得2t =或1t =-(舍)所以=22x t =，则1x =故答案为：1x =考法二：对数的运算1.= 。
(完整版)1实数指数幂及其运算--练习题
实数指数幕及其运算 日期： ___________ 姓名： 知识点1:整数指数幕
1•计算下列各式，并把结果化为只含正整数指数的形式（
指导教师: 陈婷婷
a,b均不为0） (1) 23 (2)
<24
(3) a3 (4)
2a 1 0
a3b3 2ab
a 3b2 3a2b 1
9a 2b 3
a b 0, a 知识点 1.计算: 2 :根式
(2) 3 FI 2 32
3
3 10.2 2 42
2. F列说法中正确的有: ②16的4次方根是 2 ；
3. 4. 5.
4 81
4a2 4a 1 2，则 x
化简下列各式:
2a，则实数 4x 4 3 x a的取值范围是
的值是
(3) 3 a 2 3 (4) ：
a b 2
(6) n x n n ,n N ； (7)
刘
4a2 4a 1
知识点3 :分数指数幕 1.计算： 1 (1) 643 ；
1 (2) 32 5 ； 1 3 64 3 3
2. 用分数指数幕表示 3. 求下列各式的值:
(5) (6)
(3) ,( 2 83 100
0.25
2 1 2a3b2 1 1
6a%
0.5 27
9
0,y 16 81
a 5a
3
(1) 1 1002 (2) 2 83 ； (3) 3 1 4 ；
； 81
3 (4) 9 2 ；
(5) 0.008 (6) (7)
知识点 4:无理数指数幕 1.计算: 4 2 123 2 28
2.计算下列各式（式中字母均为正数）
6 (1) x 2y 3
； 2x 2 3y 3 2x 2 3y 3
知识点5:指数式的化简与计算 1.计算下列各式：
(1) 4 81
(2) 2-3 3 1.5 6 12 (3) x x3 y 1 y3 x x3
(5) 1 4、32 1 276 3
16
： 52
1 2 3.3
1乂 0 .
2.化简下列各式: _______ 3 4ab 1
4 2
3.计算: 知识点6:乘法运算在幕运算中的应用 1.已知 1 a2 1
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指数运算
一、单选题(共10道，每道10分)
1.设，根据n次方根的意义，下列各式：①；②不一定等
于a；③n是奇数时，；④n是偶数时，，其中正确的有( )
A.①②③④ B.①③④
C.①②③ D.①②④
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：有理数指数幂的运算性质
2.计算的值是( )
A.B.
C.1 D.2
答案：C
解题思路：
故选C
第2页共6页
试题难度：三颗星知识点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算
3.计算的值是( )
A.B.
C.6 D.
答案：C
解题思路：
故选C
试题难度：三颗星知识点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算
4.的值为( )
A.B.
C.D.
答案：C
解题思路：
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故选C
试题难度：三颗星知识点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算
5.设a＞0，化简的结果是( )
A.a B.
C.D.
答案：C
解题思路：
故选C
试题难度：三颗星知识点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算
6.可化简为( )
A.B.
C.D.
答案：D