高二数学下 11.3《两条直线位置关系》教案(1) 沪教版
高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系-两条直线的夹角 课件
小结
本节课学习了哪些内容？
吃了就一定要拉，人一定要学会随缘放下，否则就会便秘。要克服对死亡的恐惧，你必须要接受世上所有的人都会死去的观念。 成功的科学家往往是兴趣广泛的人，他们的独创精神来自他们的博学。 小时候我以为自己长大后可以拯救整个世界，长大后才发现整个世界都拯救不了我。 共同的事业，共同的斗争，可以使人们产生忍受一切的力量。——奥斯特洛夫斯基 不要总觉得被轻视，先问问自己有没有分量。 严酷的纪律不应当用在与功课或文学练习有关曲事情上面，只能逢到道德问题感受危险的时候才施用。——夸美纽斯 只有创造，才是真正的享受，只有拼搏，才是充实的生活。 努力就有成功的希望，不努力希望没有。——王敬花 子谓——《韶》：“尽善矣，尽美矣。”——《论语·八佾》（尽善尽美） 读一本好书，就是和许多高尚的人谈话，同学们应该多读书，读好书。——康玲 让生活的句号圈住的人，是无法前时半步的。 不去耕耘，不去播种，再肥的沃土也长不出庄稼，不去奋斗，不去创造，再美的青春也结不出硕果。 瀑布对悬崖无可畏惧，所以唱出气势磅礴的生命之歌。 情执是苦恼的原因，放下情执，你才能得到自在。 相逢的故事多似流星，唯你与我，以眼认眼，以身还身。 如你赢不了，至少你可以给予你的对手一个微笑。
身体健康，学习进步！ 友谊的最大努力并不是向一个朋友展示我们的缺陷，而是使他看到自己的缺陷。
自己的饭量自己知道。——苏联 沙漠里的脚印很快就消逝了。一支支奋进歌却在跋涉者的心中长久激荡。 严酷的纪律不应当用在与功课或文学练习有关曲事情上面，只能逢到道德问题感受危险的时候才施用。——夸美纽斯
11.3 两条直线的夹角
我们已经学习了两直线的位置关系有 平行、重合和相交。当两条直线相交时， 用什么“量”来描述两条直线的相对位置 关系呢？
高二数学教案：《两条直线的位置关系》教学设计
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高二数学：11.3《两条直线位置关系》教案(2)(沪教版下)
11.3(2)两条直线的夹角教学目标设计理解直线夹角公式的推导，能正确使用夹角公式求两条直线的夹角 . 进一步理解运用平行、垂直、夹角等概念求直线方程的一般方法 . . 通过两条直线夹角公式的推导，形成运用数形结合、分类讨论的思想解决问题的能力教学重点及难点理解两条直线夹角公式的推导，会求两条直线的夹角 .教学用具准备多媒体设备教学流程设计复习引入两条直线夹两直线的两条直线的夹角的定义夹角角公式运用与深化 (例题解析、稳固练习)课堂小结并布置作业一、复习引入1．引例：判断以下各组直线的位置关系，如果相交，那么求出交点的坐标〔课本 p16 例1〕．〔1〕l1: 3x 4 y120 ， l 2 : 7x12y 1 0；〔2〕l1: 3x 4 y120， l 2 : x3；〔3〕l1: 3x 4 y120， l 2 : 6x 8y 5 0 ．解：〔参考课本p16~17〕[ 说明 ] 复习判断两直线的平行、重合、相交，以及求相交直线的交点坐标的方法. 由此引出新的课题 .思考并答复以下问题1．〔对于上述〔 1〕、〔 2〕这样〕，当两条直线相交时，用什么“量〞来描述两条直线的相对位置呢？教具演示：两条直线相交，使其中一条直线绕定点旋转，让学生观察这两条直线的关系.解答：两条直线的夹角.2．回忆旧知：在初中平面几何中“两直线夹角〞的定义是什么？解答：角是有公共端点的两条射线所组成的几何图形〔如右图〕．[ 说明 ] 在复习旧知的根底上引人新课.二、学习新课关于两直线的夹角1、概念形成两条直线的夹角如右图，两条直线相交，一共构成几个角？它们有什么关系？怎样定义两条直线的夹角呢？平面上两条直线l1和 l 2相交构成四个角，它们是两组互补的对顶角，因为相对而言，锐角比拟简单. 我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条直线的夹角.如果两条直线平行或重合，规定它们的夹角为0. 因此 , 两条直线的夹角的取值范围是0,，而两条相交直线夹角的取值范围是〔0, ] .22现在我们可以用夹角来描述两直线的相对位置关系，当给出两条直线的方程时，它们的相对位置就确定了，它们的夹角也随之确定，那么，如何根据直线方程求两直线的夹角呢？[ 说明 ] ①为什么规定锐角或直角为两直线的夹角，说明其合理性；②提出问题，给学生造成认知冲突，激发学生探索欲2、夹角公式的推导分析：直线的方向——方向向量——斜率——倾斜角——夹角之间的关系. 由于直线的方向是由直线的方向向量或者斜率决定的，下面我们借助于这两条直线的方向向量来求得两直线的夹角 .[ 说明 ]引导学生画图分析，寻找夹角、倾斜角、方向向量之间的关系. 通过类比，寻求思路.设两条直线的方程分别为l1： a1 x b1 y c10 〔 a1 ,b1不全为零〕l 2： a2 x b2 y c20 〔 a2 , b2不全为零〕.设 l1与 l 2的夹角为， l1与 l 2的一方向向量分别为 d 1与 d 2，其夹角为，且d1= (b1 , a1 ) , d 2= (b2 , a2 ) ，当[0,] 时，那么如图甲2所示 ; 当(, ] 时，那么2,如图乙所示 .于是得 :cos| cosd1 d2|| a1 a2b1b2 |. | |222| d1 | | d 2 |2a1b1a2b2即为直线 l1与 l 2的夹角公式.特别地 , 当且仅当a1a2b1b20 时,l1与 l 2的夹角为, 即l1与l2垂直 . 也就是2说 : l1l 2d1垂直 d2n 垂直 n a1a2b1 b20 (其中 n, n2分别为 l1与 l2的一121个法向量 )而由 a1 a2b1b20, 易得当b10,b2a1 a 21 ,即当两条直线的斜率都0 时,有b2b1存在时 ,l 1与 l 2垂直的充要条件是 k1k21, 其中 k1 , k2分别为直线 l1与 l 2的斜率.[ 说明 ] ①培养学生周密分析，严格论证的能力. 由于直线的夹角与两个向量的夹角有区别, 前者的范围是 0,. 后者的范围是[ 0, ] , 因此必须考虑两种情况[ 0,] 与( , ] ;②2223、例题分析例 1：〔回到引例〕求以下各组直线的夹角：〔 1〕 l 1 : 3x 4 y 12 0 ， l 2 : 7 x 12 y 1 0 ； 〔 2〕 l 1 : 3x4 y12 0 ， l 2 : x 3 ；解：设 l 1 与 l 2 的夹角为，那么由两条直线的夹角公式得(1) cos| 3 7 4 ( 12) | 27 193 ,32 42 72 122 965arccos27193 即为所求 ;965(2) | 3 1 ( 4) 0 | 3,3cos4 2 12 0 2 5arccos32 5即为所求 .[ 说明 ] ①解决本课开头提出的问题 , 本环节的设计目的是使学生熟悉夹角公式的初步应用 ;②鼓励学生一题多解 , 对于小题 (2),由于直线 l 2 的斜率不存在 , 还可以数形结合( 图略 ) ，求得l 1 的倾斜角arctan 3, 得出 l 1 与 l 2 的夹角为2 arctan 3〕．44例 2：假设直线l 1a x 12 ： 2x (a 1) y 10 互相垂直，求实数 a 的值 . 〔补充〕： y与 l33解：先把直线 l 1 的方程化为一般形式 l 1 ： ax 3y 10 .3∵两直线垂直 , ∴ 2a3(a 1) 0 ，∴ a为所求．5[ 说明 ] 通过练习强调两条直线垂直的充要条件，指出公式适合的前提条件是把直线的方程化 成一般式方程，以便确定系数．例 3：直线 l 过点 P(4,1) ，且与直线 m : 3x y 1 0 的夹角为 arccos3 10，求直线 l10的方程 .( 补充 )解：〔方法一〕设 l 的方程为 a( x 4)b( y 1) 0 〔其中 n(a, b) 为 l 的一法向量〕 ，那么| 3a b |3 10 即 3 a 22 | 3b |a 2b 2 32( 1) 210当 b 0时，那么a 0，此时方程为 x4当 3a4b0 时，方程为 4( x4) 3( y 1)0 ，即 4x3y 190综上 ,l 的方程是 x 4 或 4x3y19 0 .〔方法二〕设点斜式，按直线l 的斜率是否存在分两类讨论①假设直线 l 的斜率不存在，那么过点P(4,1) 直线 l的方程为x4 ，设它与直线m : 3x y 1 0 的夹角，那么cos| 31( 1)0 | 3 10 ,arccos3 10321212021010，满足题意 .②假设直线 l 的斜率存在，那么设直线l 的方程为y 1 k( x 4) ,即 kx y 4k 10 ,设它与直线m : 3x y 1 0 的夹角，那么那么| 3k 1 | 3 10 ,即3k21| 3k 1 | ,解得k4,所以直线 l 的k 2( 1) 232( 1) 2103方程为 y14( x4) ,化简得 4 x 3 y190 , 3由①②可知 ,l 的方程是 x4或 4x3y190.[ 说明 ]①启发学生探讨“求过某定点P ，且与直线夹角为的直线方程〞这类根本问题的处理方法；②一般地,求直线方程时, 往往采用待定系数法: 先设出的直线方程，再利用直线的夹角公式列式，求解；③分析思路，启发学生一题多解. 假设设点斜式，学生可能只求出一条直线，启发学生从平面几何分析，应有两条直线. 但为什么有的学生求到只有一条呢？让学生在矛盾中顿悟：需要按斜率是否存在分两类讨论，而且利用直线的夹角公式时，都必须先化为直线方程的一般形式. ④例 3 类同于教材中的例4，教材中例 4 给出的夹角为特殊值，3本例为 arccos 310，目的让学生熟悉反三角的表示.10例 4：ABC 的三个顶点为A(2,1), B(6,1), C (5,5)(1) 求ABC 中 A 的大小;(2)求 A 的平分线所在直线的方程.〔补充〕直线 AC 的方程为: 4x3y50 ,设它们的夹角为, 又 A 为锐角,所以 A =，33那么cos A, A arccos 即为所求;55方法二 : 数形结合 , 因为k AB0,k AC 4 ,A arctan 4即为所求 .33〔 2〕方法一：设角平分线所在直线方程a( x 2)b( y 1) 0 ，即 ax by 2a b 0 .由角平分线与两边AB , AC 成等角，运用夹角公式得| b || 4a 3b | 5 |b | | 4 3 |,a 2b 25 a 2b2a b解得 a2b或2a b ,由题意,舍 a2b所以角平分线的方程为：x 2 y0 .方法二 :数形结合 ,利用半角公式先求角平分线所在直线的斜率为k tan A2或1(舍2〕， k1, 又它过点〔 2， 1〕，222所以，角平分线的方程为：x 2 y0[ 说明 ] ①稳固提高 . 因为此题中 ,直线 AB 的方程为: y1,因此采用方法二更简洁些. 但是方法一却是解决此类问题的根本方法.②小题〔 1〕 , 求三角形的内角, 一般先求过A的两条边所在直线方程，由夹角公式可求得. 需要注意夹角公式所得的角是三角形内角或其补角；③小题〔 2〕 , 注意结合图形 , 正确取舍 .三、稳固练习练习 11.3 〔 2〕 ----1,3四、课堂小结1．本节课研究了两条直线的夹角，推导出两条直线的夹角公式的方法，要理解、体会其中的思想方法；2．会用两条直线垂直的充要条件解决与垂直有关的问题；3．熟练运用夹角公式求两条直线的夹角. 注意不垂直的两条相交直线的夹角为锐角；4．进一步讨论了求直线方程的方法：运用待定系数法时，可设直线方程为点法向式、或点斜式方程，而在用点斜式方程时，需要分类讨论.五、作业布置1、书面作业：练习11.3 〔2〕 ----2,4习题 11.3 A组----10,11,122、思考题：光线沿直线l 1： 2x y 2 0照射到直线 l 2： x 2y 20上后反射，求反射线所在直线 l3的方程.2 x y20解由2 y2，得反射点的坐标为 (2, 2) .x0设 l 3的方程为 a(x2)b( y2) 0〔其中n(a, b) 为一法向量， a, b 不同时为零〕由反射原理, 直线l1与l2的夹角等于l 2与 l 3的夹角，得22a2ba 2b或11a2b ,舍去 a 2b (否那么与 l 1重合) ,所以555 a 2 b 2a 2b ,得l3的方程为 2x11 y26 0 . 113．思考题：在y轴的正半轴上给定两点A〔 0，a〕，B〔 0，b〕，点 A 在点 B 上方，试在x轴正半轴上求一点 C，使∠ ACB取到最大值 .答： C ab .[ 说明 ]①作业1是课本习题，通过它来反应知识掌握效果，稳固所学知识，强化根本技能的训练，培养学生良好的学习习惯和品质；②作业2、 3 设计成思考题，是为了给学有余力的学生留出自由开展的空间，学生可以根据实际情况选用.。
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（1）熟练掌握两条 直线平行与垂直的充
要条...
（2）理解一条直线 到另一条直线的角的
概念...
（3）能够根据两条 直线的方程求出它们 的交...
（4）掌握点到直线 距离公式的推导和应 用.
（6）进一步理解 直线方程的概念，
理解运用...
3、探索两平行直线 的距离
4、探索“已知点到 直线的距离及一条直 线求...
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）、请替换自 己的演示内容
（2）分母是直线未 知数、系数平方和的
算术...
3.本节内容新概念不 多，但要求推导的内 容...
4.不仅要使学生熟悉 用斜率求两直线夹角 的...
6.在学习点到直线 距离公式时，可利
用课余...
5.已知两直线的方 程会求其交点即可，
不必...
7.本节学完以后学 生可以解决很多较
复杂、...
（2）会求点 到直线的距 离.
（3）在探索 点到直线距 离公式推导 思路的过...
三、检测与巩固
1.求平行直线和的距 离.
（2）到直线的距离 是_______.
（3）用公式解到直 线的距离是______...
（4）到直线的距离 是_________.
四、小结作业
1、点到直线的距离 公式及其推导；
2、利用公式求点到 直线的距离.
高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系-两条直线的夹角 课件
11.3 两条直线的夹角
我们已经学习了两直线的位置关系有 平行、重合和相交。当两条直线相交时， 用什么“量”来描述两条直线的相对位置 关系呢？
1、两条直线的夹角的定义
问题
2、求两条直线的夹角
系数确定直线的方程，方程确定直线及其位置， 所以可以利用方程系数来计算夹角。
例1
例2
例3
为你制造一些困难和障碍的人未必是你的敌人，把你从困境里拉出来的人未必是你的朋友。不要用眼前的利益得失看人，要看长远，所谓路遥 知马力，日久见人心！
身体健康，学习进步！ 漫无目的的生活就像出海航行而没有指南针。
合理安排时间，就等于节约时间。——培根 书都读得来的人，还怕有什么做不来的。 能说不能做，不是真智慧。 一分耕耘，一分收获。孩子们，你想明天收获幸福吗？那今天就努力学习吧。——刘玉春
小结
本节课学习了哪பைடு நூலகம்内容？
萤火虫的光点虽然微弱，但亮着便是向黑暗挑战。 小时候画在手上的表没有动，却带走了我们最好的时光。 你身边总有这样一种人：你成功了，他（她）当面恭喜你，暗地里妒嫉你；你失败了，他（她）当面安慰你，背地里笑话你。 通过云端的道路，只亲吻攀登者的足迹。 君子赠人以言，庶人赠人以财。——荀况 我的财富并不是因为我拥有很多，而是我要求的很少。 要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃 时间总会过去的，让时间流走你的烦恼吧！ 这个是世界上没有天才，所谓的天才只是比普通人多了百分之一的天赋。如果这个天赋运用不好，那么他就可能变成百分之十的累赘。 如果要给美好人生一个定义，那就是惬意。如果要给惬意一个定义，那就是三五知己、谈笑风生。 世上的事，不如己意者，那是当然的。 生命假如给予你的是一颗柠檬，不要抱怨，下工夫把它榨成一杯柠檬汁吧。 当你被压力压得透不过气来的时候，记住，碳正是因为压力而变成闪耀的钻石。 愚痴的人，一直想要别人了解他。有智慧的人，却努力的了解自己。
数学：11.3《两条直线位置关系》教案(3)(沪教版高二下)
11.3（3）两直线位置关系及其夹角公式的运用上海市控江中学王蕙萱教学目标设计能正确使用夹角公式求两条直线的夹角.进一步理解运用平行、垂直、夹角等概念求直线方程的一般方法. 会综合运用两条直线的位置关系以及夹角公式解决有关问题.教学重点及难点综合运用两条直线的位置关系以及夹角公式解决有关问题.教学用具准备多媒体设备教学过程设计例1．(1)求经过点)4,1(-A 且与直线0532=++y x 平行的直线方程;(2) 求过点(2,1)A ，且与直线0102=-+y x 垂直的直线l 的方程.解：(1)已知直线的斜率32-=k ，∵两直线平行，∴所求直线的斜率也为32-， 所以，所求直线的方程为：)1(324--=+x y ，即01032=++y x ． 另解：设与直线0532=++y x 平行的直线l 的方程为：032=++m y x ，l Θ过点)4,1(-A ，∴213(4)0m ⨯+⨯-+=，解之得10m =，所以，所求直线的方程为01032=++y x ．(2) 已知直线的斜率为2-，直线l 与已知直线垂直，∴l 的斜率为21=k ， 所以，所求直线l 的方程为)2(211-=-x y ，即02=-y x ． 另解：设与直线0102=-+y x 垂直的直线方程为20x y m -+=，∵直线l 经过点)1,2(A ，∴2210m -⨯+=，∴0m =，所以，所求直线l 的方程为02=-y x[说明] 一般地①与直线0=++C By Ax 平行的直线方程可设为0=++m By Ax ，其中m待定；②与直线0=++C By Ax 垂直的直线的方程可设为0=+-m Ay Bx ，其中m 待定. 例2. （如右图）等腰三角形的一个腰所在直线1l 的方程是022=--y x ，底边所在直线2l 的方程是01=-+y x ，点)0,2(-在另一腰上，求这条腰所在直线3l 的方程.解：设3l 的方程为0)0()2(=-++y b x a （其中),(b a n =为一法向量，b a ,不同时为零），1l 与2l 的夹角是1θ，2l 与3l 的夹角是2θ ，由夹角公式得101cos 1=θ,又1l 、2l 、3l 所围成的三角形是等腰三角形，所以21θθ=,101|2|cos 222=++=b a ba θ025222=++⇒b ab a 即b a b a ==22或舍去b a =2(否则与直线1l 重合), ∴3l 的方程是：042=+-y x .[说明]①本题是夹角公式与平几知识的综合,采用待定系数法求直线方程;②作为几何综合题,一般需要先从其几何特点入手,找出所求的量与已知量之间的联系,再把几何问题转化为方程来解决；③本题也可以设3l 的方程为2)2(-=+=x x k y 或，再分类求解.例3、是否存在实数k ，使直线06)2(3=++-y k x 与直线02)32(=+-+y k kx 分别有如下的位置关系: (1)平行; (2)重合; (3)相交; (4)垂直; (5)相交,且交点在第二象限.若存在求出k 的值；若不存在，说明理由.解：联立方程组⎩⎨⎧=+-+=++-02)32(06)2(3y k kx y k x ， 由0=D 1,921=-=⇒k k ;由10=⇒=k D x ;由10=⇒=k D y .(1) 9-=k 时,两直线平行;(2)1=k 时,重合;(3)19≠-≠k k 且时,相交;(4)由21310)32)(2(3±=⇒=-+-k k k k 时,垂直;(5)交点坐标为)96,914(+-+-k k ,显然不存在实数k ,使交点在第二象限. 例4、已知直线l 满足性质:如果任意一点),(y x 在直线l 上，那么点)8,3(y x y x -+也在直线l 上，求直线l 的方程.解:由已知,点),(y x 和 )8,3(y x y x -+都在直线l 上,而当0==y x 时，083=-=+y x y x ，所以直线l 经过原点，且不能与坐标轴重合.因此可设直线l 的方程为：)0(0≠=+mn ny mx ①Θ点)8,3(y x y x -+仍在直线l 上，0)8()3(=-++∴y x n y x m即0)3()8(=-++y n m x n m ②由题意,方程①与②表示的是同一条直线l ,所以)8()3(n m n n m m +=-,即082322=--n mn m ,解得：n m n m 2,34-=-= 所以直线l 的方程为02034=+=-y x y x 或.[说明] ①本题也可以设直线方程的一般式:0=++c by ax ①, Θ点)8,3(y x y x -+仍在直线l 上 0)8()3(=+-++∴c y x b y x a ②.再由直线①与②重合,求得系数c b a ,,； ②例题4，有一定难度，可以根据学生实际情况选用.课堂小结1．通过两直线的位置关系以及夹角有关知识的综合应用，深化对知识以及思想方法的理解，进一步巩固所学的知识．2．进一步体会分类讨论、数形结合等数学思想方法，这些方法将会贯穿整个高中的数学学习.作业布置书面作业：习题11.3 B 组 ----1,2,3,4,5补充练习：1．过原点作直线l 的垂线，若垂足为(2,3)-，则直线l 的方程是 ；答：23130x y -+=2．已知直线024=-+y mx 与直线052=+-n y x 垂直，垂足为),1(p ，则p n m +-的值为 ．答：10,12,2m n p ==-=-； 203．求与直线0532=++y x 平行，且在两坐标轴上的截距之和为65的直线l 的方程.答：0132=-+y x4．已知直线l 的方程为01243=-+y x ，求直线'l 的方程，使'l 与l 垂直且'l 与坐标轴围成的三角形面积为6．解 设直线'l 的方程为034=+-m y x ，令0=x ，得3m y =，令0=y ，得4m x -=， 由题意：1||||6243m m ⨯-⋅=，即1442=m ，12±=m ， 所以，所求直线l 的方程为01234=±-y x ．5.直线l 过点)2,0(-M 且与直线03:1=-+y x l 和042:2=+-y x l 分别交于点Q P ,，若M 恰为线段PQ 的中点，求直线l 的方程.解 设点),(n m P ，由中点公式，得)24,2(n m Q ---，又点Q P ,分别在1l 、2l 上，列方程组⎩⎨⎧=-----=+-02)24()2(2022n m n m ，解3,6-==n m ，0126=++∴y x 为所求. 6. 已知三角形ABC 的顶点)1,3(-A ,AB 边的中线所在的直线方程为059106=-+y x ，B ∠的平分线所在直线的方程为0104=+-y x ，求BC 边所在直线的方程.解 设点),(b a B ，则AB 的中点)21,23(-+b a P ，由B 点在其角平分线上，中点P 在AB 边的中线上，列出关于b a ,的方程组，解得：)5,10(,5,10B b a ∴==，从而得直线02576:=--y x AB ， 由题意，BC 边所在直线的斜率存在，设)10(5:-=-x k y BC ，根据夹角公式，得,7692=-=k k 或其中76=k 舍去（否则BC 与AB 重合），所以BC 边所在直线的方程为06592=-+y x . [说明]补充练习仅供课外巩固练习选用.教学设计说明直线是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对直线的位置关系作了比较系统的研究，因此本节课的重点确定为用解析法研究两直线的位置关系以及夹角的求法.为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：一、新课引入——以旧带新，提出课题帮助学生再现原有的认知结构，在“最近发展区”创设问题情景，使学生对本节课的主题有一个直观的印象，寻找新知生长点，激发学生的探究心理，顺利引入课题.二、概念形成——实例分析，探究，概括形成一般规律通过对实例的解答，图像的观察，抽象、概括出一般规律，这种运用数形结合的思想，由特殊到一般的探索过程，符合学生认知习惯，有利于培养学生抽象、概括的能力.要启动学生的思维，就要有一个明确的可供思考的问题，使学生的思维有明确的指向.因此，在上述探究的基础上，提出问题：两条直线的位置关系与方程组的解之间有怎样的对应关系呢？这个问题是本节课的中心议题，应引导全班学生积极思维，让多一点学生发表意见，形成“高潮”.三、巩固和应用阶段数学概念是要在运用中不断领悟，通过运用与练习，可以纠正错误的认识，促使对概念的正确理解，通过设计不同层次的问题，满足学生多层次需要，起到评价反馈的作用.1、初步应用、突出内涵这里安排例1、例2都是公式的“初步应用”，目的也在于帮助学生正确运用所学的基本知识，强调运用公式的前提条件，规范解题过程.2、变式应用，提升能力设计例题时，注意学习过程的循序渐进，按照先易后难的顺序层层递进，让学生感到有挑战、有收获，跳一跳，够得着.例3，例4，目的是在解决问题的方法上进行适当的延展，使得学生对概念的认识不断深入.通过对具体例题的讲解分析，在解题的步骤上和方法上为学生起示范作用，并及时归纳总结，培养学生分析、思考的习惯，以及归纳总结的能力．在本节的设计中，力图使学生初步理解并能应用所学的知识，引领学生掌握研究这类问题的一般思路和方法，从而达到培养学生学习能力的目的.根据自己对“问题驱动”教学模式的认识，在教学的每一个环节均设计了问题.以问题为纽带，以探究活动为载体，使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入，使难点的突破水到渠成.。
11.3两条直线的位置关ppt课件
A
B
l1 : 3x y 4 0
P(2, 1)
B
A
l2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
三、点关于直线对称：
例3.已知点A(4, 4),直线l : 3x y 2 0, 求点A关于直线l的对称点A'的坐标。
A(4, 4)
M ( x0 4 , y0 4) 22
M
l :3x y 2 0
11.3(3)两条直线的位置关系
1
一、点关于点对称：
例1.已知点A(5，8), B(1, 4), 试求点A关于点B的对称 点C的坐标。
(7, 0)
点( x, y)关于点(a, b)对称的点的坐标是:
(2a x, 2b y)
2
二、直线关于点对称：
例2. 求直线l1 : 3x y 4 0关于点P(2, 1)的对
射, 若反射线通过点B(1, 1), 求入射线l1和反射
线l2所在的直线方程.
y
A(4, 3)
l
A(2,3) l2 : 4 x 5 y 1 0
P( 2 , 1)
33
B(1,1)
l1 : 5x 4 y 2 0
O
x
P
A
8
思考题: 已知ABC的一个顶点为A(1， 4),B,C的 平分线分别在直线 y 1 0和 x y 1 0上, 求边BC所在直线方程。
x2y3 0
9
A'( x0 , y0 )
A(2, 6)
4
练习：点( x, y)关于 (1)x轴对称的点的坐标是 _(_x_,__y_)__； (2) y轴对称的点的坐标是 _(__x_,_y_)__； (3)直线 y x对称的点的坐标是 __(_y_,_x__) _； (4)直线 y x对称的点的坐标是 _(__y_,__x_)_； *(5)直线 y x m对称的点的坐标是
高二数学下 11.3《两条直线位置关系》教案(2)沪教版
11.3(2) 两条直线的夹角教学目标设计理解直线夹角公式的推导，能正确使用夹角公式求两条直线的夹角.进一步理解运用平行、垂直、夹角等概念求直线方程的一般方法..通过两条直线夹角公式的推导，形成运用数形结合、分类讨论的思想解决问题的能力教学重点及难点理解两条直线夹角公式的推导，会求两条直线的夹角.教学用具准备多媒体设备教学流程设计一、复习引入1．引例：判断下列各组直线的位置关系，如果相交，则求出交点的坐标（课本p16例1）．（1）01243:1=-+y x l ， 01127:2=--y x l ；（2）01243:1=--y x l ， 3:2=x l ；（3）01243:1=--y x l ， 0586:2=+-y x l ．解：（参考课本p16~17）[说明]复习判断两直线的平行、重合、相交，以及求相交直线的交点坐标的方法.由此引出新的课题.思考并回答下列问题1．（对于上述（1）、（2）这样），当两条直线相交时，用什么“量”来描述两条直线的相对位置呢？教具演示：两条直线相交，使其中一条直线绕定点旋转，让学生观察这两条直线的关系. 解答：两条直线的夹角.2．回顾旧知：在初中平面几何中“两直线夹角”的定义是什么？解答：角是有公共端点的两条射线所组成的几何图形（如右图）．[说明]在复习旧知的基础上引人新课.二、学习新课关于两直线的夹角1、概念形成两条直线的夹角如右图，两条直线相交，一共构成几个角？它们有什么关系？怎样定义两条直线的夹角呢？平面上两条直线1l 和2l 相交构成四个角，它们是两组互补的对顶角，因为相对而言，锐角比较简单.我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条直线的夹角.如果两条直线平行或重合，规定它们的夹角为0.因此,两条直线的夹角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π ，而两条相交直线夹角的取值范围是（]2,0π. 现在我们可以用夹角来描述两直线的相对位置关系，当给出两条直线的方程时，它们的相对位置就确定了，它们的夹角也随之确定，那么，如何根据直线方程求两直线的夹角呢？[说明]①为什么规定锐角或直角为两直线的夹角，说明其合理性；②提出问题，给学生造成认知冲突，激发学生探索欲2、夹角公式的推导分析：直线的方向——方向向量——斜率——倾斜角——夹角之间的关系.由于直线的方向是由直线的方向向量或者斜率决定的，下面我们借助于这两条直线的方向向量来求得两直线的夹角.[说明] 引导学生画图分析，寻找夹角、倾斜角、方向向量之间的关系.通过类比，寻求思路.设两条直线的方程分别为1l ：0111=++c y b x a （11,b a 不全为零）2l ：0222=++c y b x a （22,b a 不全为零）.设1l 与2l 的夹角为α，1l 与2l 的一方向向量分别为1d 与2d ，其夹角为θ，且1d =),(11a b -,2d =),(22a b -，当]2,0[πθ∈时，则θα=如图甲所示;当],2(ππθ∈时，则θπα-=,如图乙所示.于是得:2222212121212121|||||||||cos |cos b a b a b b a a d d d d +⋅++=⋅⋅==θα.即为直线1l 与2l 的夹角公式.特别地,当且仅当02121=+b b a a 时, 1l 与2l 的夹角为2π,即1l 与2l 垂直.也就是说:1l ⊥2l ⇔1d 垂直2d ⇔1n 垂直2n ⇔02121=+b b a a (其中1n ,2n 分别为1l 与2l 的一个法向量)而由02121=+b b a a ,易得当0,021≠≠b b 时,有12211-=⋅b a b a ,即当两条直线的斜率都存在时, 1l 与2l 垂直的充要条件是,121-=k k 其中21,k k 分别为直线1l 与2l 的斜率.[说明]①培养学生周密分析，严格论证的能力.由于直线的夹角与两个向量的夹角有区别,前者的范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π.后者的范围是],0[π,因此必须考虑两种情况]2,0[πθ∈与],2(ππθ∈;② 允许学生从斜率的角度考虑,但是不作为本课的重点,可留做课后探讨.3、例题分析例1：（回到引例）求下列各组直线的夹角：（1）01243:1=-+y x l ， 01127:2=--y x l ；（2）01243:1=--y x l ， 3:2=x l ；解：设1l 与2l 的夹角为α，则由两条直线的夹角公式得 (1),9651932712743|)12(473|cos 2222=+⋅+-⨯+⨯=α 96519327arccos =∴α即为所求; (2) 53arccos ,530143|0)4(13|cos 2222=∴=+⋅+⨯-+⨯=αα即为所求. [说明]①解决本课开头提出的问题, 本环节的设计目的是使学生熟悉夹角公式的初步应用;②鼓励学生一题多解,对于小题(2),由于直线2l 的斜率不存在,还可以数形结合(图略)，求得1l 的倾斜角43arctan =θ,得出1l 与2l 的夹角为43arctan 2-π）． 例2：若直线1l ：313--=x a y 与2l ：01)1(2=+++y a x 互相垂直，求实数a 的值.（补充） 解：先把直线1l 的方程化为一般形式1l ：013=++y ax .∵两直线垂直,∴0)1(32=++a a ，∴53-=a 为所求． [说明] 通过练习强调两条直线垂直的充要条件，指出公式适合的前提条件是把直线的方程化成一般式方程，以便确定系数．例3：已知直线l 过点)1,4(-P ，且与直线013:=+-y x m 的夹角为10103arccos，求直线l 的方程.(补充)解：（方法一）设l 的方程为0)1()4(=-++y b x a （其中),(b a n =为l 的一法向量），则,10103)1(3|3|2222=-++-b a b a 即|3|322b a b a -=+ 化简为0)43(=+b a b 解方程，得b a b 43,0-== 当0=b 时，则0≠a ，此时方程为4-=x当043≠-=b a 时，方程为0)1(3)4(4=--+y x ，即01934=+-y x综上, l 的方程是4-=x 或01934=+-y x .（方法二）设点斜式，按直线l 的斜率是否存在分两类讨论① 若直线l 的斜率不存在，则过点)1,4(-P 直线l 的方程为4-=x ，设它与直线013:=+-y x m 的夹角α，则10103arccos ,101030113|0)1(13|cos 2222=∴=+⋅+⨯-+⨯=αα，满足题意. ②若直线l 的斜率存在，那么设直线l 的方程为)4(1+=-x k y ,即014=++-k y kx ,设它与直线013:=+-y x m 的夹角α，则则,10103)1(3)1(|13|2222=-+-++k k 即|13|132+=+k k ,解得34=k , 所以直线l 的方程为)4(341+=-x y ,化简得 01934=+-y x , 由①②可知, l 的方程是4-=x 或01934=+-y x .[说明] ①启发学生探讨“求过某定点P ，且与已知直线夹角为α的直线方程”这类基本问题的处理方法；②一般地, 求直线方程时,往往采用待定系数法:先设出的直线方程，再利用直线的夹角公式列式，求解；③分析思路，启发学生一题多解.若设点斜式，学生可能只求出一条直线，启发学生从平面几何分析，应有两条直线.但为什么有的学生求到只有一条呢？让学生在矛盾中顿悟：需要按斜率是否存在分两类讨论，而且利用直线的夹角公式时，都必须先化为直线方程的一般形式.④例3类同于教材中的例4，教材中例4给出的夹角为特殊值3π，本例为10103arccos ，目的让学生熟悉反三角的表示. 例4：已知ABC ∆的三个顶点为)5,5(),1,6(),1,2(C B A(1)求ABC ∆中A ∠的大小;(2)求A ∠的平分线所在直线的方程. （补充）解:（1）方法一:直线AB 的方程为:1=y ，直线AC 的方程为:0534=--y x ,设它们的夹角为α,又A ∠为锐角,所以A ∠=α， 则53arccos ,53cos =∴=A A 即为所求; 方法二:数形结合,因为34arctan ,34,0=∠∴==A k k AC AB 即为所求. （2）方法一：设角平分线所在直线方程0)1()2(=-+-y b x a ，即02=--+b a by ax .由角平分线与两边AC AB ,成等角，运用夹角公式得 |,34|||55|34|||2222b a b b a b a b a b -=⇒+-=+解得 b a b a =-=22或,由题意,舍b a 2=所以角平分线的方程为：02=-y x .方法二: 数形结合,利用半角公式先求角平分线所在直线的斜率为212(2122tan =∴--==k A k ），舍或, 又已知它过点（2，1）， 所以，角平分线的方程为：02=-y x[说明]①巩固提高.因为本题中,直线AB 的方程为:1=y ,因此采用方法二更简洁些.但是方法一却是解决此类问题的基本方法.②小题（1）,求三角形的内角,一般先求过A 的两条边所在直线方程，由夹角公式可求得.需要注意夹角公式所得的角是三角形内角或其补角；③小题（2）,注意结合图形,正确取舍.三、巩固练习练习11.3（2） ----1,3四、课堂小结1．本节课研究了两条直线的夹角，推导出两条直线的夹角公式的方法，要理解、体会其中的思想方法；2．会用两条直线垂直的充要条件解决与垂直有关的问题；3．熟练运用夹角公式求两条直线的夹角.注意不垂直的两条相交直线的夹角为锐角；4．进一步讨论了求直线方程的方法：运用待定系数法时，可设直线方程为点法向式、或点斜式方程，而在用点斜式方程时，需要分类讨论.五、作业布置1、书面作业：练习11.3（2） ----2,4习题11.3 A 组----10,11,122、思考题：光线沿直线l 1：022=-+y x 照射到直线l 2：022=++y x 上后反射，求反射线所在直线3l 的方程.解 由)2,2(022022-⎩⎨⎧=++=-+，得反射点的坐标为y x y x . 设3l 的方程为0)2()2(=++-y b x a （其中),(b a n =为一法向量，b a ,不同时为零）由反射原理,直线1l 与2l 的夹角等于2l 与3l 的夹角，得b a b a b a ba 211252552222-==⇒+⋅+=⋅+或,舍去b a 2=(否则与l 1重合) ,所以b a 112-=,得3l 的方程为026112=--y x . 3．思考题：在y 轴的正半轴上给定两点A （0，a ），B （0，b ），点A 在点B 上方，试在x 轴正半轴上求一点C ，使∠ACB 取到最大值.答：ab C =.[说明] ①作业1是课本习题，通过它来反馈知识掌握效果，巩固所学知识，强化基本技能的训练，培养学生良好的学习习惯和品质；②作业2、3设计成思考题，是为了给学有余力的学生留出自由发展的空间，学生可以根据实际情况选用.。
沪教版(上海)数学高二下册-11.3 两直线的夹角 课件
若0 时: 若 为钝角时:
2 于是得:cos cos
d1 y
yd1
d2
d2
l2
o
l1
d
x
2
l2
x
o
l1
1)
2)
向量推导
解:根据l1与l2的方程,取 d1 (b1, a1), d2 (b2, a2 )
为 l1与 l2的方向向量.
由向量的夹角公式得: cos d1 d2
两直线的夹角
复习巩固
平面内两直线的位置关系有哪些？
相交、平行、重合
两相交直线可以用什么量来刻画它们的 相交程度？
新知学习
一、两直线夹角定义及范围
βα
图1
图2
1.两条相交直线的夹角: 两条相交直线所成的锐角或直角.
2.如果两条直线平行或重合,我们
规定它们的夹角为 0
3.平面上两条直线夹角的范围:
0,
2
y
x
o
y
x o
二、两直线夹角公式的探究
已知两直线方程求夹角 已知两条直线：l1 : a1x b1y c1
l2 : a2x b2y c2
求两直线夹角 的大小.
0(a1,b1不同时为0) 0(a2,b2不同时为0)
探究1：
两直线 l1、l2的夹角 与方向向量 d1、d2 的夹角
之间有何关系？
解：（1）根据l1与l2的方程及两直线夹角公式可得:
cos 3 2 1 (1) 2
(1)2 32 12 22 2
因为 0，,所2 以
即直线 l1 和
4
l2 的夹角为
4
练习：求下列各组直线的夹角：
(1)l1 : 3x y 12 0,l2 : x 0; (2)l1 : y 3x 12,l2 : x y 0;
高二数学：11.3《两条直线位置关系》教案(2)(沪教版下)
11.3(2) 两条直线的夹角教学目标设计理解直线夹角公式的推导，能正确使用夹角公式求两条直线的夹角.进一步理解运用平行、垂直、夹角等概念求直线方程的一般方法..通过两条直线夹角公式的推导，形成运用数形结合、分类讨论的思想解决问题的能力教学重点及难点理解两条直线夹角公式的推导，会求两条直线的夹角.教学用具准备多媒体设备教学流程设计一、复习引入1．引例：判断下列各组直线的位置关系，如果相交，则求出交点的坐标（课本p16例1）．（1）01243:1=-+y x l ， 01127:2=--y x l ；（2）01243:1=--y x l ， 3:2=x l ；（3）01243:1=--y x l ， 0586:2=+-y x l ．解：（参考课本p16~17）[说明]复习判断两直线的平行、重合、相交，以及求相交直线的交点坐标的方法.由此引出新的课题.思考并回答下列问题1．（对于上述（1）、（2）这样），当两条直线相交时，用什么“量”来描述两条直线的相对位置呢？教具演示：两条直线相交，使其中一条直线绕定点旋转，让学生观察这两条直线的关系. 解答：两条直线的夹角.2．回顾旧知：在初中平面几何中“两直线夹角”的定义是什么？解答：角是有公共端点的两条射线所组成的几何图形（如右图）．[说明]在复习旧知的基础上引人新课.二、学习新课关于两直线的夹角1、概念形成两条直线的夹角 如右图，两条直线相交，一共构成几个角？它们有什么关系？怎样定义两条直线的夹角呢？平面上两条直线1l 和2l 相交构成四个角，它们是两组互补的对顶角，因为相对而言，锐角比较简单.我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条直线的夹角.如果两条直线平行或重合，规定它们的夹角为0.因此,两条直线的夹角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π ，而两条相交直线夹角的取值范围是（]2,0π. 现在我们可以用夹角来描述两直线的相对位置关系，当给出两条直线的方程时，它们的相对位置就确定了，它们的夹角也随之确定，那么，如何根据直线方程求两直线的夹角呢？[说明]①为什么规定锐角或直角为两直线的夹角，说明其合理性；②提出问题，给学生造成认知冲突，激发学生探索欲2、夹角公式的推导分析：直线的方向——方向向量——斜率——倾斜角——夹角之间的关系.由于直线的方向是由直线的方向向量或者斜率决定的，下面我们借助于这两条直线的方向向量来求得两直线的夹角.[说明] 引导学生画图分析，寻找夹角、倾斜角、方向向量之间的关系.通过类比，寻求思路.设两条直线的方程分别为1l ：0111=++c y b x a （11,b a 不全为零）2l ：0222=++c y b x a （22,b a 不全为零）.设1l 与2l 的夹角为α，1l 与2l 的一方向向量分别为1d 与2d ，其夹角为θ，且1d =),(11a b -,2d =),(22a b -， 当]2,0[πθ∈时，则θα=如图甲所示;当],2(ππθ∈时，则θπα-=,如图乙所示. 于是得:2222212121212121|||||cos |cos b a b a b b a a +⋅++===θα.即为直线1l 与2l 的夹角公式.特别地,当且仅当02121=+b b a a 时, 1l 与2l 的夹角为2π,即1l 与2l 垂直.也就是说:1l ⊥2l ⇔1d 垂直2d ⇔1n 垂直2n ⇔02121=+b b a a (其中1n ,2n 分别为1l 与2l 的一个法向量)而由02121=+b b a a ,易得当0,021≠≠b b 时,有12211-=⋅b a b a ,即当两条直线的斜率都存在时, 1l 与2l 垂直的充要条件是,121-=k k 其中21,k k 分别为直线1l 与2l 的斜率.[说明]①培养学生周密分析，严格论证的能力.由于直线的夹角与两个向量的夹角有区别,前者的范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π.后者的范围是],0[π,因此必须考虑两种情况]2,0[πθ∈与],2(ππθ∈;② 允许学生从斜率的角度考虑,但是不作为本课的重点,可留做课后探讨.3、例题分析例1：（回到引例）求下列各组直线的夹角：（1）01243:1=-+y x l ， 01127:2=--y x l ；（2）01243:1=--y x l ， 3:2=x l ；解：设1l 与2l 的夹角为α，则由两条直线的夹角公式得 (1),9651932712743|)12(473|cos 2222=+⋅+-⨯+⨯=α 96519327arccos=∴α即为所求;(2) 53arccos ,530143|0)4(13|cos 2222=∴=+⋅+⨯-+⨯=αα即为所求. [说明]①解决本课开头提出的问题, 本环节的设计目的是使学生熟悉夹角公式的初步应用;②鼓励学生一题多解,对于小题(2),由于直线2l 的斜率不存在,还可以数形结合(图略)，求得1l 的倾斜角43arctan =θ,得出1l 与2l 的夹角为43arctan 2-π）． 例2：若直线1l ：313--=x a y 与2l ：01)1(2=+++y a x 互相垂直，求实数a 的值.（补充） 解：先把直线1l 的方程化为一般形式1l ：013=++y ax .∵两直线垂直,∴0)1(32=++a a ，∴53-=a 为所求． [说明] 通过练习强调两条直线垂直的充要条件，指出公式适合的前提条件是把直线的方程化成一般式方程，以便确定系数．例3：已知直线l 过点)1,4(-P ，且与直线013:=+-y x m 的夹角为10103arccos，求直线l 的方程.(补充)解：（方法一）设l 的方程为0)1()4(=-++y b x a （其中),(b a =为l 的一法向量），则,10103)1(3|3|2222=-++-b a b a 即|3|322b a b a -=+ 化简为0)43(=+b a b 解方程，得b a b 43,0-== 当0=b 时，则0≠a ，此时方程为4-=x当043≠-=b a 时，方程为0)1(3)4(4=--+y x ，即01934=+-y x综上, l 的方程是4-=x 或01934=+-y x .（方法二）设点斜式，按直线l 的斜率是否存在分两类讨论① 若直线l 的斜率不存在，则过点)1,4(-P 直线l 的方程为4-=x ，设它与直线013:=+-y x m 的夹角α，则10103arccos ,101030113|0)1(13|cos 2222=∴=+⋅+⨯-+⨯=αα，满足题意.②若直线l 的斜率存在，那么设直线l 的方程为)4(1+=-x k y ,即014=++-k y kx ,设它与直线013:=+-y x m 的夹角α，则则,10103)1(3)1(|13|2222=-+-++k k 即|13|132+=+k k ,解得34=k , 所以直线l 的方程为)4(341+=-x y ,化简得 01934=+-y x , 由①②可知, l 的方程是4-=x 或01934=+-y x .[说明] ①启发学生探讨“求过某定点P ，且与已知直线夹角为α的直线方程”这类基本问题的处理方法；②一般地, 求直线方程时,往往采用待定系数法:先设出的直线方程，再利用直线的夹角公式列式，求解；③分析思路，启发学生一题多解.若设点斜式，学生可能只求出一条直线，启发学生从平面几何分析，应有两条直线.但为什么有的学生求到只有一条呢？让学生在矛盾中顿悟：需要按斜率是否存在分两类讨论，而且利用直线的夹角公式时，都必须先化为直线方程的一般形式.④例3类同于教材中的例4，教材中例4给出的夹角为特殊值3π，本例为10103arccos ，目的让学生熟悉反三角的表示. 例4：已知ABC ∆的三个顶点为)5,5(),1,6(),1,2(C B A(1)求ABC ∆中A ∠的大小;(2)求A ∠的平分线所在直线的方程. （补充）解:（1）方法一:直线AB 的方程为:1=y ，直线AC 的方程为:0534=--y x ,设它们的夹角为α,又A ∠为锐角,所以A ∠=α， 则53arccos ,53cos =∴=A A 即为所求; 方法二:数形结合,因为34arctan ,34,0=∠∴==A k k AC AB 即为所求. （2）方法一：设角平分线所在直线方程0)1()2(=-+-y b x a ，即02=--+b a by ax .由角平分线与两边AC AB ,成等角，运用夹角公式得|,34|||55|34|||2222b a b b a b a b a b -=⇒+-=+解得 b a b a =-=22或,由题意,舍b a 2=所以角平分线的方程为：02=-y x .方法二: 数形结合,利用半角公式先求角平分线所在直线的斜率为212(2122tan =∴--==k A k ），舍或, 又已知它过点（2，1）， 所以，角平分线的方程为：02=-y x[说明]①巩固提高.因为本题中,直线AB 的方程为:1=y ,因此采用方法二更简洁些.但是方法一却是解决此类问题的基本方法.②小题（1）,求三角形的内角,一般先求过A 的两条边所在直线方程，由夹角公式可求得.需要注意夹角公式所得的角是三角形内角或其补角；③小题（2）,注意结合图形,正确取舍.三、巩固练习练习11.3（2） ----1,3四、课堂小结1．本节课研究了两条直线的夹角，推导出两条直线的夹角公式的方法，要理解、体会其中的思想方法；2．会用两条直线垂直的充要条件解决与垂直有关的问题；3．熟练运用夹角公式求两条直线的夹角.注意不垂直的两条相交直线的夹角为锐角；4．进一步讨论了求直线方程的方法：运用待定系数法时，可设直线方程为点法向式、或点斜式方程，而在用点斜式方程时，需要分类讨论.五、作业布置1、书面作业：练习11.3（2） ----2,4习题11.3 A 组----10,11,122、思考题：光线沿直线l 1：022=-+y x 照射到直线l 2：022=++y x 上后反射，求反射线所在直线3l 的方程.解 由)2,2(022022-⎩⎨⎧=++=-+，得反射点的坐标为y x y x .设3l 的方程为0)2()2(=++-y b x a （其中),(b a =为一法向量，b a ,不同时为零） 由反射原理,直线1l 与2l 的夹角等于2l 与3l 的夹角，得b a b a b a ba 211252552222-==⇒+⋅+=⋅+或,舍去b a 2=(否则与l 1重合) ,所以b a 112-=,得3l 的方程为026112=--y x . 3．思考题：在y 轴的正半轴上给定两点A （0，a ），B （0，b ），点A 在点B 上方，试在x 轴正半轴上求一点C ，使∠ACB 取到最大值. 答：ab C =.[说明] ①作业1是课本习题，通过它来反馈知识掌握效果，巩固所学知识，强化基本技能的训练，培养学生良好的学习习惯和品质；②作业2、3设计成思考题，是为了给学有余力的学生留出自由发展的空间，学生可以根据实际情况选用.。
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用心 爱心 专心 11.3两条直线位置关系 一、教学内容分析 本小节的内容大致可以分为两部分：一是两条直线的交点、位置关系；二是两条直线的夹角.预计需要三课时:第一课时, 两条直线的交点和位置关系; 第二课时, 两条直线的夹角; 第三课时,两直线的位置关系与夹角公式的应用. 在初中平面几何中研究过两条直线的关系.在本小节的教学中，我们用代数方法，在平面直角坐标系中，研究怎样用直线的方程来判断两条直线的位置关系，体现了解析几何用方程研究曲线的基本思想. 本小节的重点是由直线方程求两条直线的交点、两条直线位置关系的判断，以及根据直线方程求两条直线夹角的方法.在认识直线与直线方程的对应关系的基础上，抓住“形与数”的对应，理解求两条直线的交点就是求它们的方程的公共解，将两条直线位置关系的问题转化为相应的二元一次方程组的解的个数问题，由此得出两条直线的三种位置关系：相交、平行、重合，对于相应的二元一次方程组就是：有唯一解、无解、无数多个解. 然后对两直线相交的情况作定量的研究，规定两条相交直线所交成的锐角或直角为两条相交直线的夹角，通过分析两条相交直线的图形的几何性质，联想两条直线的夹角与两条直线的方向向量的夹角的关系，推导出两条直线的夹角公式. 本小节的难点是启发学生把研究两直线的位置关系问题转化为考查它们的方程组成的方程组的解的问题，以及两条直线的夹角公式的推导.突破难点的关键是：建立新旧知识的联系，寻找新知识的生长点，利用数形结合使学生理解“形与数”之间的联系，以及利用数量关系处理几何关系的方法. 对直线方程的系数中含有未知数的两直线的位置关系的分类讨论是本小节的一个重点问题，也是一个难点问题. 二、教学目标设计 理解两条直线的交点就是它们所对应的一次方程组的解，会求两条相交直线的交点；掌握根据方程组解的情况判断两条直线平行、相交或重合的方法；理解两条直线的位置关系在它们的方向向量及其法向量的关系上的反映，理解“形”与“数”之间的联系.通过对两直线位置关系的讨论，运用已有知识解决新问题的能力，提高运用数形结合、分类讨论等思想方法的能力. 三、教学重点及难点 用心 爱心 专心
求两条直线的交点，掌握判断两条直线的位置关系的方法；两条直线的位置关系与相应的方程组的解的个数之间的对应.
四、教学用具准备 多媒体设备 五、教学流程设计
六、教学过程设计 一、情境设置，导入新课
用大屏幕打出直角坐标系中的两条直线，移动两条直线，让学生观察这两条直线的位置关系. 思考并回答下列问题 1、平面上两条直线有几种位置关系？各有什么几何特征？
解答：两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合. 从几何特征上看：相交有唯一的公共点；平行没有公共点；重合至少有两个公共点，进而有无数个公共点.
课堂小结并布置作业 两条直线的位置关系与方程组的解的关系 两条直线的交点坐标 问题引出如何用直线方程判断两直线的位置关系
两条直线的位置关系 （相交、平行、重合）
情境引入
运用与深化(概念辨析、例题解析、巩固练习、问题拓展) 用心 爱心 专心
[说明] 通过教具演示，增强直观性，帮助学生迅速准确地发现两条直线的关系，由此引出新课,为进一步的研究作好铺垫.并指出，垂直是相交的一种特殊情况. 2、在直角坐标系中，这三种位置关系在直线方程上是怎样体现的呢？ [说明] 通过对已有相关知识的回顾，自然地提出此问题（暂不要学生回答），给出下面的引例，引导学生来到新知识的生成场景中.让学生带着问题学习，明确了本节课的学习目标，促进学生学习的主动性. 二、学习新课
关于两直线的交点、位置关系 1、概念引入 引例：解下列方程组：
（1）0220243yxyx；（2）21310362xyyx；（3）2131062xyyx． 然后，请你回答：上述方程组所表示的两条直线的交点个数？如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？ 解答：由直线方程的概念，我们知道
方程组（1）有唯一的解22yx，两条直线有且只有一个公共点为)2,2(； 方程组（2）有无数组解，两条直线有无数个公共点； 方程组（3）无解，两条直线无公共点. [说明] ①启发学生观察，并得出如下结论：方程组（1）~（3）的解的个数与其表示的两条直线的交点个数是相同的；方程组（1）的解就是两条直线的交点坐标.并根据上述实例，引导学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出两条直线的位置关系与方程组的解的关系.②在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，使得学生对概念的认识不断深入.
2、概念形成 一般地，设两条直线的方程分别为
1l：0111cybxa（11,ba不全为零）……①
2l：0222cybxa（22,ba不全为零）……② 用心 爱心 专心
两条相交直线的交点坐标 思考并回答：如何求直线1l、2l的交点？ 解答：由直线与直线方程的对应关系，若两条直线相交，由于交点同时在两条直线上，则交点的坐标一定是两个方程的唯一公共解，反之，若两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是两条直线的交点.由此得出直线1l、2l交点的求法：
联立1l与2l的方程:002211cybxacybxa……(Ⅰ)，此方程组的解,即为直线1l、2l交点. 两条直线的位置关系与方程组的解的个数之间的关系
思考并回答：由方程①②如何判断直线1l、2l的位置关系？ 解答：由引例分析、归纳出：直线1l、2l的三种位置关系：相交、平行、重合，对于直线1l、2l的方程联立的方程组是：有唯一解、无解、无数多个解．因此我们可以通过讨论方程组的解的个数得出直线1l、2l的位置关系.
联立1l与2l的方程，得方程组:002211cybxacybxa…(Ⅰ)，此方程组的解的个数与直线1l、
2l交点的个数一致.计算由方程的系数构成的行列式:2211babaD，2211bcbcDx，
2211cacaDy
.则
当02211babaD时，方程组(Ⅰ)有唯一的解为DDyDDxyx，此时1l、2l相交于一点，交点坐标是DDDDyx,. 当02211babaD且yxDD,中至少有一个不为零时，方程组(Ⅰ)无解，此时1l、2l没有公共点，即直线1l与2l平行. 当0yxDDD时，方程组(Ⅰ)有无穷多个解，此时1l、2l有无数多个公共点，即直线1l与2l重合. [说明]①这个问题是本节课的中心议题，应引导全班学生积极思维，让多一点学生发表意见，用心 爱心 专心
形成“高潮”；②指出：在平面几何中，我们研究两直线的位置关系时，不考虑两条直线重合的情况，而在解析几何中，由于两个不同的方程可以表示同一条直线，我们把重合也作为两直线的一种位置关系来研究. 回到引例
请学生用上述结论，判断引例中三组直线的位置关系. [说明] ①与引例前后呼应.本环节的设计目的是使学生初步掌握判断直线位置关系的方法：通过计算由直线方程的系数构成的行列式D、yxDD、的值，判断两直线的平行、重合、相交. ②通过引例（2）（3）指出，前提条件是直线方程为一般形式. 3、概念的辨析 两条直线的位置关系与其方程的系数之间的关系:
1l与2l相交方程组(Ⅰ)有唯一解0D即1221baba； 1l与2l平行方程组(Ⅰ)无解0D且yxDD,中至少有一个不为零； 1l与2l重合方程组(Ⅰ)有无穷多解0yxDDD.
02211babaD时，1l与2l平行或重合，即02211
babaD是1l与2l平行的必要
非充分条件.换言之，2112baba1l∥2l；若两条直线不重合，则1221baba1l//2l． [说明] 引导学生得出：①两条直线的位置关系，可以通过计算系数构成的行列式得到；②对易出错的概念进行反思.
4、例题分析 例1已知直线1l：313xay与2l：01)1(2yax，求实数a的值，使直线1l与2
l
平行.（补充例题） 解：先把直线1l的方程化为一般形式1l：013yax. 21//ll,由0D,∴(1)60aa，解得3a或2a，
当时3a两方程化为0133yx与0122yx显然平行； 当时，2a 两方程化为0132yx与0132yx两直线重合. ∴2a不符合，∴3a即为所求． 用心 爱心 专心
[说明]①学生在练习中的“错误体验”将会有助于加深记忆，将学生容易忽略的环节，设置在补充的例题练习中，以便达到强化训练的目的．②强调0D是两直线平行的必要条件，求得的字母取值可能使两直线平行,也可能是重合，注意检验. 例2 讨论直线下列各组直线之间的位置关系. （课本p17例2） (1)06:21ymxl与023)2(:2mmyxml ; (2) )3(1:11xkyl与)3(1:22xkyl. [说明]①及时巩固重点内容，使学生在课堂上就能掌握.同时强调规范的书写和表达是否简洁.通过对例题的讲解，在解题步骤和方法上为学生起示范作用，并及时归纳总结，培养学生分析、思考，以及严谨认真的数学学习习惯;②小题(2)是直线方程的点斜式,需要先化为直线方程的一般形式.
例3求经过原点且经过直线022:1yxl与直线022:2yxl的交点的直线方程． 解：解方程组：022022yxyx 得22yx，∴1l与2l的交点是)2,2(， 设经过原点的直线方程为kxy，把点)2,2(代入，得1k， 所以，所求的直线方程为xy． [说明]例题的设计遵循了从了解到理解，从掌握到应用，由浅入深，循序渐进的不同层次要求. 例4 若三条直线1l：023yx，2l：032yx，3l：0ymx，当m为何值时，三条直线不能构成三角形？（补充例题） 解:三条直线不能构成三角形三条直线交于同一点或其中至少有两条直线平行. （1）若三条直线交于同一点时,
解方程组032023yxyx, 得11yx，即1l与2l的交点是（1,1），把点（1,1）代入直线3l的方程得1m． （2）若其中至少有两条直线平行时， 由1l//2l得：3m; 由32//ll得:2m， 综上：当1m或3m或2m时三条直线不能构成三角形. [说明]①本例为直线位置关系的综合运用，涉及到求直线的交点及直线的平行或重合时,系数应满足的条件,因此,需要分类讨论的思想方法.②解决三条直线交于一点的问题时,一般先求