高一数学人教A版必修1学案：教材梳理 1-3-1单调性与最大小值 含解析 精品
新人教A版必修1高中数学第1章集合与函数概念1.3.1单调性与最大小值第2课时函数的最大小值学案
第2课时 函数的最大(小)值函数最大值与最小值[提示] 不一定，只有定义域内存在一点x 0，使f (x 0)＝M 时，M 才是函数的最大值，否则不是．1．函数y ＝f (x )在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )A ．－1，0B ．0，2C ．－1，2D ．12，2 C [由图可知，f (x )的最大值为f (1)＝2，f (x )的最小值为f (－2)＝－1.]2．设函数f (x )＝2x －1(x <0)，则f (x )( ) A ．有最大值 B ．有最小值C ．既有最大值又有最小值D ．既无最大值又无最小值D [∵f (x )在(－∞，0)上单调递增，∴f (x )<f (0)＝－1，故选D.]3．函数f (x )＝1x，x ∈[1，2]，则f (x )的最大值为________，最小值为________．1 12 [∵f (x )＝1x 在区间[1，2]上为减函数， ∴f (2)≤f (x )≤f (1)，即12≤f (x )≤1.]【例1】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪x －3，x ∈（2，5].(1)在直角坐标系内画出f (x )的图象；(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域． [解] (1)图象如图所示：(2)由图可知f (x )的单调递增区间为(－1，0)，(2，5)，单调递减区间为(0，2)，值域为[－1，3]．利用图象求函数最值的方法 (1)画出函数y ＝f (x )的图象；(2)观察图象，找出图象的最高点和最低点；(3)写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值．1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1x，x >1，求f (x )的最大值、最小值．[解] 作出函数f (x )的图象(如图)．由图象可知，当x ＝±1时，f (x )取最大值为f (±1)＝1.当x ＝0时，f (x )取最小值f (0)＝0，故f (x )的最大值为1，最小值为0.【例2】 已知函数f (x )＝x ＋1. (1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值．[解] (1)f (x )在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1<x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2（x 1＋1）（x 2＋1），因为－1<x 1<x 2⇒x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0⇒f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． (2)由(1)知f (x )在[2，4]上单调递增， 所以f (x )的最小值为f (2)＝2×2＋12＋1＝53， 最大值f (4)＝2×4＋14＋1＝95.1.利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． 2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，则f (x )在区间[a ，b ]上的最小(大)值是f (a )，最大(小)值是f (b )．(2)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，在区间[b ，c ]上是减(增)函数，则f (x )在区间[a ，c ]上的最大(小)值是f (b )，最小(大)值是f (a )与f (c )中较小(大)的一个．提醒：(1)求最值勿忘求定义域．(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．2．求函数f (x )＝x ＋4x在[1，4]上的最值．[解] 设1≤x 1<x 2<2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋4x 1－x 2－4x 2＝x 1－x 2＋4（x 2－x 1）x 1x 2＝(x 1－x 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－4x 1x 2＝（x 1－x 2）（x 1x 2－4）x 1x 2.∵1≤x 1<x 2<2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2－4<0，x 1x 2>0， ∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在[1，2)上是减函数． 同理f (x )在[2，4]上是增函数．∴当x ＝2时，f (x )取得最小值4；当x ＝1或x ＝4时，f (x )取得最大值5.1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x >20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)(1)求y (万元)与x (件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？[解] (1)当0<x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x >20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0<x ≤20，160－x ，x >20(x ∈N *)．(2)当0<x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，y max ＝156.而当x >20时，160－x <140，故x ＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元．即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元．解实际应用题的四个步骤(1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系． (2)建模：建立数学模型，列出函数关系式．(3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围)． (4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案．3.将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？[解] 设售价为x 元，利润为y 元，单个涨价(x －50)元，销量减少10(x －50)个，销量为500－10(x －50)＝(1 000－10x )个，则y ＝(x －40)(1 000－10x )＝－10(x －70)2＋9 000≤9 000.故当x ＝70时，y max ＝9 000.即售价为70元时，利润最大值为9 000元．1．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的对称轴与区间[m ，n ]可能存在几种位置关系，试画草图给予说明？提示：2．求二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 在[m ，n ]上的最值，应考虑哪些因素？提示：若求二次函数f (x )在[m ，n ]上的最值，应考虑其开口方向及对称轴x ＝－b2a 与区间[m ，n ]的关系．【例4】 已知函数f (x )＝x 2－ax ＋1，求f (x )在[0，1]上的最大值． 思路点拨：f （x ）＝x 2－ax ＋1――――→分类讨论分析x ＝a2与[0，1]的关系――――→数形结合求f （x ）的最大值[解] 因为函数f (x )＝x 2－ax ＋1的图象开口向上，其对称轴为x ＝a2，当a 2≤12，即a ≤1时，f (x )的最大值为f (1)＝2－a ； 当a 2>12，即a >1时，f (x )的最大值为f (0)＝1.1．在题设条件不变的情况下，求1．函数的最大(小)值，包含两层意义：一是存在，二是在给定区间上所有函数值中最大(小)的，反映在函数图象上，函数的图象有最高点或最低点．2．求函数的最值与求函数的值域类似，常用的方法是：(1)图象法，即画出函数的图象，根据图象的最高点或最低点写出最值；(2)单调性法，一般需要先确定函数的单调性，然后根据单调性的意义求出最值；(3)对于二次函数还可以用配方法研究，同时灵活利用数形结合思想和分类讨论思想解题．3．通过函数最值的学习，渗透数形结合思想，树立以形识数的解题意识．1.思考辨析(1)任何函数都有最大(小)值．( )(2)函数f(x)在[a，b]上的最值一定是f(a)(或f(b))．( )(3)函数的最大值一定比最小值大．( )[答案](1)×(2)×(3)√2．函数y＝x2－2x，x∈[0，3]的值域为( )A．[0，3] B．[－1，0]C．[－1，＋∞) D．[－1，3]D [∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，x ∈[0，3]，∴当x ＝1时，函数y 取得最小值为－1， 当x ＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1，3]，故选D.] 3．函数y ＝ax ＋1在区间[1，3]上的最大值为4，则a ＝______．1 [若a <0，则函数y ＝ax ＋1在区间[1，3]上是减函数，并且在区间的左端点处取得最大值，即a ＋1＝4，解得a ＝3，不满足a <0，舍去；若a >0，则函数y ＝ax ＋1在区间[1，3]上是增函数，并且在区间的右端点处取得最大值，即3a ＋1＝4，解得a ＝1.综上，a ＝1.]4．已知函数f (x )＝2x －1(x ∈[2，6])． (1)判断函数f (x )的单调性，并证明； (2)求函数的最大值和最小值．[解] (1)函数f (x )在x ∈[2，6]上是减函数．证明：设x 1，x 2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1－2x 2－1＝2[（x 2－1）－（x 1－1）]（x 1－1）（x 2－1）＝2（x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1）.由2≤x 1<x 2≤6，得x 2－x 1>0，(x 1－1)(x 2－1)>0，于是f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )＝2x －1是区间[2，6]上的减函数． (2)由(1)可知，函数f (x )＝2x －1在区间[2，6]的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x ＝2时取得最大值，最大值是2，在x ＝6时取得最小值，最小值是25.。
人教A版高中数学必修一学第一章单调性与最大小值导学案新人教(1)
§1.3.1 单调性与最大（小）值（2）1. 理解函数的最大（小）值及其几何意义；2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.3032复习1：指出函数2()(0)f x ax bx c a =++>的单调区间及单调性，并进行证明.复习2：函数2()(0)f x ax bx c a =++>的最小值为 ，2()(0)f x ax bx c a =++<的最大值为 .复习3：增函数、减函数的定义及判别方法.二、新课导学※ 学习探究探究任务：函数最大（小）值的概念新知：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M . 那么，称M 是函数y =f (x )的最大值（Maximum Value ）.试试：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value ）的定义．反思：一些什么方法可以求最大（小）值？※ 典型例题例1一枚炮弹发射，炮弹距地面高度h （米）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-，那么什么时刻距离地面的高度达到最大？最大是多少？变式：经过多少秒后炮弹落地？试试：一段竹篱笆长20米，围成一面靠墙的矩形菜地，如何设计使菜地面积最大？小结：数学建模的解题步骤：审题→设变量→建立函数模型→研究函数最大值.例2求32y x =-在区间[3，6]上的最大值和最小值.变式：求3,[3,6]2x y x x +=∈-的最大值和最小值.小结：先按定义证明单调性，再应用单调性得到最大（小）值.试试：函数2(1)2,[0,1]y x x =++∈的最小值为 ，最大值为 . 如果是[2,1]x ∈-呢？※ 动手试试练1.用多种方法求函数2y x =+最小值.变式：求y x =+的值域.练2. 一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如右： 欲使每天的的营业额最高，应如何定价？三、总结提升※ 学习小结1. 函数最大（小）值定义；.2. 求函数最大（小）值的常用方法：配方法、图象法、单调法.※ 知识拓展求二次函数在闭区间上的值域，需根据对称轴与闭区间的位置关系，结合函数图象进行研究. 例如求2()f x x ax =-+在区间[,]m n 上的值域，则先求得对称轴2a x =，再分2a m <、22a m n m +≤<、22m n a n +≤<、2a n ≥等四种情况,由图象观察得解.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 函数2()2f x x x =-的最大值是（ ）.A. －1B. 0C. 1D. 22. 函数|1|2y x =++的最小值是（ ）.A. 0B. －1C. 2D. 33.函数y x =+ ）.4. 已知函数()f x 的图象关于y 轴对称，且在区间(,0)-∞上，当1x =-时，()f x 有最小值3，则在区间(0,)+∞上，当x = 时，()f x 有最 值为 .5. 函数21,[1,2]y x x =-+∈-的最大值为 ，最小值为 .1. 作出函数223y x x =-+的简图，研究当自变量x 在下列范围内取值时的最大值与最小值．（1）10x -≤≤； （2）03x ≤≤ ；（3）(,)x ∈-∞+∞.2. 如图，把截面半径为10 cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x ，面积为y ，试将y 表示成x 的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？。
最新高中数学人教版A版必修一学案：第一单元 1.3.1 第1课时 函数的单调性 Word版含答案-
§1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大(小值)第1课时 函数的单调性学习目标 1.理解单调区间、单调性等概念，会用定义证明函数的单调性(重点、难点).2.会求函数的单调区间，判断单调性(重点)．预习教材P27－P28，完成下面问题： 知识点1 增函数与减函数设函数f (x )的定义域为I ，D ⊆I ，对任意x 1，x 2∈D【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知f (x )＝1x，因为f (－1)<f (2)，所以函数f (x )是增函数．( )(2)增减函数定义中的“任意两个自变量的值x 1，x 2”可以改为“存在两个自变量的值x 1，x 2”．( )(3)若函数f (x )在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f (x )在区间(1,3)上为增函数．( ) 提示 (1)× 由函数单调性的定义可知，要证明一个函数是增函数，需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大，函数值也越大，而不是个别的自变量．(2)× 不能改为“存在两个自变量的值x 1、x 2”．(3)× 反例：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈(1，2]，x －4，x ∈(2，3).知识点2 函数的单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．【预习评价】(1)函数f (x )＝x 2＋2x －3的单调减区间是________． (2)函数y ＝|x |在区间[－2，－1]上( ) A ．递减B ．递增C ．先减后增D ．先增后减解析 (1)二次函数f (x )的图象开口向上，对称轴为x ＝－1，故其单调减区间是(－∞，－1)．(2)函数y ＝|x |的单减区间是(－∞，0)，又[－2，－1]⊆(－∞，0)，所以函数y ＝|x |在区间[－2，－1]上递减．答案 (1)(－∞，－1) (2)A题型一 求函数的单调区间【例1】 (1)如图所示的是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )的图象，则函数的单调递减区间是________、________，在区间________、________上是增函数．(2)画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的图象并写出函数的单调区间．(1)解析 观察图象可知，y ＝f (x )的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]．其中y ＝f (x )在区间[－5，－2]，[1,3]上是增函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是减函数．答案 [－2,1] [3,5] [－5，－2] [1,3](2)解 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0.函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．规律方法 根据函数的图象求函数单调区间的方法 (1)作出函数图象；(2)把函数图象向x 轴作正投影；(3)图象上升对应增区间，图象下降对应减区间． 【训练1】 函数y ＝1x －1的单调减区间是________．解析 y ＝1x －1的图象可由函数y ＝1x 的图象向右平移一个单位得到，如图所示，其单调递减区间是(－∞，1)和(1，＋∞)．答案 (－∞，1)，(1，＋∞) 题型二 证明函数的单调性【例2】 证明函数f (x )＝x ＋4x 在区间(2，＋∞)上是增函数．证明 任取x 1，x 2∈(2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋4x 1－x 2－4x 2＝(x 1－x 2)＋4(x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－4x 1x 2.因为2<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>4，x 1x 2－4>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)．所以函数f (x )＝x ＋4x 在(2，＋∞)上是增函数．规律方法 利用定义证明函数单调性的步骤【训练2】 证明函数f (x )＝1x 2在(－∞，0)上是增函数．证明 设x 1，x 2是区间(－∞，0)上任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1x 21－1x 22＝x 22－x 21x 21x 22＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1)x 21x 22. 因为x 1<x 2<0，所以x 2－x 1>0，x 1＋x 2<0，x 21x 22>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )＝1x 2在(－∞，0)上是增函数．题型三 用单调性解不等式【例3】 已知函数y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求实数a 的取值范围．解 由题知⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a >2a －1，解得0<a <23，即所求a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，23. 规律方法 利用函数的单调性解不等式的方法当函数f (x )的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f ”脱掉，列出关于未知量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域．【训练3】 已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝⎛⎭⎫12的实数x 的取值范围是________．解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x <12，解得－1≤x <12.答案 ⎣⎡⎭⎫－1，12 互动探究题型四 根据函数的单调性求参数的取值范围．答案 (－∞，0)【探究2】 已知函数y ＝x 2＋2ax ＋3在区间(－∞，1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．解析 函数y ＝x 2＋2ax ＋3的图象开口向上，对称轴为x ＝－a ，要使其在区间(－∞，1]上是减函数，则－a ≥1，即a ≤－1.答案 (－∞，－1]【探究3】 分别作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x ≤1，－2x ＋3，x >1和g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤1，－2x ＋7，x >1的图象，并根据其图象的变化趋势判断它们在(－∞，＋∞)上的单调性．解 函数f (x )的图象如图(1)所示，由其图象可知f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数； 函数g (x )的图象如图(2)所示，由其图象可知g (x )在(－∞，＋∞)上既不是增函数，也不是减函数．【探究4】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤1，－2x ＋a ，x >1是减函数，求实数a 的取值范围．解 由题意得，要使f (x )是减函数，需－2×1＋5≥－2×1＋a ，即a ≤5.【探究5】 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋3，x ≤1，ax ＋1，x >1是减函数，求实数a 的取值范围．解 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥1，a <0，12＋2a ×1＋3≥a ×1＋1，解得－3≤a ≤－1，则实数a 的取值范围是[－3，－1]．规律方法 已知函数的单调性求参数的关注点(1)视参数为已知数，依据基本初等函数的单调性、函数的图象或函数的单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知的单调区间比较求参数；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的函数值的大小关系．课堂达标1．下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝3－xD ．y ＝x 2＋2x ＋1解析 函数y ＝3－x 在区间(0，＋∞)上是减函数． 答案 C2．函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的单调减区间是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)解析 易知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x ＝1，所以其单调减区间是(1，＋∞)．答案 B3．若f (x )＝(2k －3)x ＋2是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________． 解析 由题意得2k －3>0，即k >32，故k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 答案 ⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 4．若函数f (x )是R 上的减函数，且f (a －1)>f (2a )，则a 的取值范围是________． 解析 由条件可知a －1<2a ，解得a >－1. 答案 (－1，＋∞)5．证明f (x )＝x 2＋x 在(0，＋∞)上是增函数．证明 设x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋x 1－x 22－x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋1)，因为x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0，x 1＋x 2＋1>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )＝x 2＋x 在(0，＋∞)上是增函数．课堂小结1．对函数单调性的理解(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性．(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x 1，x 2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x 1，x 2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x 1<x 2；三是属于同一个单调区间．(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f(x1)<f(x2)⇔x1<x2(x1>x2)．(4)并不是所有函数都具有单调性．若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性．2．单调性的证明方法证明f(x)在区间D上的单调性应按以下步骤：(1)设元：设x1，x2∈D且x1<x2；(2)作差：将函数值f(x1)与f(x2)作差；(3)变形：将上述差式(因式分解、配方等)变形；(4)判号：对上述变形的结果的正、负加以判断；(5)定论：对f(x)的单调性作出结论．其中变形为难点，变形一定要到位，即变形到能简单明了的判断符号的形式为止，切忌变形不到位就定号．。
人教A版高中数学必修一学第一章单调性与最大小值导学案新人教(1)
§1.3.1 单调性与最大（小）值（2）1. 理解函数的最大（小）值及其几何意义；2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.3032复习1：指出函数2()(0)f x ax bx c a =++>的单调区间及单调性，并进行证明.复习2：函数2()(0)f x ax bx c a =++>的最小值为 ，2()(0)f x ax bx c a =++<的最大值为 .复习3：增函数、减函数的定义及判别方法.二、新课导学※ 学习探究探究任务：函数最大（小）值的概念新知：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M . 那么，称M 是函数y =f (x )的最大值（Maximum Value ）.试试：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value ）的定义．反思：一些什么方法可以求最大（小）值？※ 典型例题例1一枚炮弹发射，炮弹距地面高度h （米）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-，那么什么时刻距离地面的高度达到最大？最大是多少？变式：经过多少秒后炮弹落地？试试：一段竹篱笆长20米，围成一面靠墙的矩形菜地，如何设计使菜地面积最大？小结：数学建模的解题步骤：审题→设变量→建立函数模型→研究函数最大值.例2求32y x =-在区间[3，6]上的最大值和最小值.变式：求3,[3,6]2x y x x +=∈-的最大值和最小值.小结：先按定义证明单调性，再应用单调性得到最大（小）值.试试：函数2(1)2,[0,1]y x x =++∈的最小值为 ，最大值为 . 如果是[2,1]x ∈-呢？※ 动手试试练1.用多种方法求函数2y x =+最小值.变式：求y x =+的值域.练2. 一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如右： 欲使每天的的营业额最高，应如何定价？三、总结提升※ 学习小结1. 函数最大（小）值定义；.2. 求函数最大（小）值的常用方法：配方法、图象法、单调法.※ 知识拓展求二次函数在闭区间上的值域，需根据对称轴与闭区间的位置关系，结合函数图象进行研究. 例如求2()f x x ax =-+在区间[,]m n 上的值域，则先求得对称轴2a x =，再分2a m <、22a m n m +≤<、22m n a n +≤<、2a n ≥等四种情况,由图象观察得解.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 函数2()2f x x x =-的最大值是（ ）.A. －1B. 0C. 1D. 22. 函数|1|2y x =++的最小值是（ ）.A. 0B. －1C. 2D. 33.函数y x =+ ）.4. 已知函数()f x 的图象关于y 轴对称，且在区间(,0)-∞上，当1x =-时，()f x 有最小值3，则在区间(0,)+∞上，当x = 时，()f x 有最 值为 .5. 函数21,[1,2]y x x =-+∈-的最大值为 ，最小值为 .1. 作出函数223y x x =-+的简图，研究当自变量x 在下列范围内取值时的最大值与最小值．（1）10x -≤≤； （2）03x ≤≤ ；（3）(,)x ∈-∞+∞.2. 如图，把截面半径为10 cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x ，面积为y ，试将y 表示成x 的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？。
人教A版必修一第一章1.3.1 第1课时单调性与最大(小)值
k≠0)与一次函数(y＝ kx＋b，k≠0)
k＜0
无
R
反比例函数 (y＝kx，k≠0)
k＞0
无
k＜0 (－∞，0)和 (0，＋∞)
(－∞，0)和 (0，＋∞)
无
二次函数 (y＝ax2＋bx＋c，
a≠0)
a＞0 a＜0
[－2ba，＋∞) (－∞，－2ba]
(－∞，－2ba] [－2ba，＋∞)
• 1．函数y＝f(x)在区间(a，b)上是减函数，x1，x2∈(a，b)，
• 『规律方法』 利用函数的单调性解函数值的不等式就是 利用函数在某个区间内的单调性，去掉对应关系“f”，转
化为自变量的不等式，此时一定要注意自变量的限制条件， 以防出错．
• 〔跟踪练习3〕 • 已知函数g(x)是定义在R上为增函数，且g(t)>g(1－2t)，求
实数t的取值范围．
[解析] ∵g(x)在R上为增函数，且g(t)>g(1－2t)， ∴t>1－2t，∴t>13，即所求t的取值范围为(13，＋∞)．
• 『规律方法』 1.函数单调性的证明方法——定义法 • 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：
• 2．用定义证明函数单调性时，作差f(x1)－f(x2)后，若f(x)为 多项式函数，则“合并同类项”，再因式分解；若f(x)是 分式函数，则“先通分”，再因式分解；若f(x)解析式是 根式，则先“分子有理化”再分解因式．
(2)设x1>x2>－1， 则x1－x2>0，x1＋1>0， x2＋1>0， y1－y2＝x12＋x11－x22＋x21 ＝x12＋x11－xx2＋2 1>0， ∴y1>y2， ∴函数y＝x＋2x1在(－1，＋∞)上为增函数．
高中数学 单调性 增函数、减函数、最大值与最小值学案 新人教A版 学案
单调性（增函数、减函数、最大值与最小值）例1：证明函数xx f 1)(=在),0(+∞上是减函数。
证明：设21,x x 是),0(+∞上的任意两个实数，且21x x <，则021<-=∆x x x 2112212111)()(x x x x x x x f x f y -=-=-=∆ 由),0(,21+∞∈x x ，得021>x x ，且012>∆-=-x x x 于是0>∆y 所以，xx f 1)(=在),0(+∞上是减函数。
方法：利用定义证明函数单调性的步骤：（1） 取值（2） 计算x ∆、y ∆ （3） 对比符号 （4） 结论例二：最值：在课本P31、例四 方法：最值在单调区间的两端奇偶性函数奇偶性的几个性质：（1）奇偶函数的定义域关于原点对称；（2）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； （3）)()()(x f x f x f ⇔=-是偶函数，)()()(x f x f x f ⇔-=-是奇函数； （4）0)()()()(=--⇔=-x f x f x f x f ,0)()()()(=-+⇔-=-x f x f x f x f ；（5）奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；（6）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
讲练： 类型一：1．函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上递减，则实数a 的取值X 围是（ ）A ．3a ≥-B ．3a ≤-C ．5a ≤D ．3a ≥2．函数c bx x y ++=2))1,((-∞∈x 是单调函数时，b 的取值X 围（） A ．2-≥b B ．2-≤b C ．2->b D ． 2-<b类型二：1.若函数f(x)在定义域R 上是偶函数，得表达式．时求)(0,)(,02x f x x x x f x >+=< 2．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，1)(+-=x x f ，则当0<x 时，()f x 等于（ ）A ．1+-xB ．1--xC ．1+xD ．1-x 3．如果偶函数在],[b a 具有最大值，那么该函数在],[a b --有（） A ．最大值 B ．最小值 C ．没有最大值 D ． 没有最小值4．函数)(x f 在R 上为奇函数，且0,1)(>+=x x x f ，则当0<x ，=)(x f .类型三：1．函数)(x f 在区间]3,2[-是增函数，则)5(+=x f y 的递增区间是（）A ．]8,3[B ． ]2,7[--C ．]5,0[D ．]3,2[-2．已知]3,1[,)2()(2-∈-=x x x f ，求函数)1(+x f 得单调递减区间. 类型四：1．在区间)0,(-∞上为增函数的是（）A ．1=yB ．21+-=xxy C ．122---=x x y D ．21x y +=类型五：1．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(4)()f x f x +=-，且在区间[0,4]上是减函数，则（ ）A ．(10)(13)(15)f f f <<B ．(13)(10)(15)f f f <<C ．(15)(10)(13)f f f <<D ．(15)(13)(10)f f f << 2．定义在R 上的偶函数)(x f ，满足)()1(x f x f -=+，且在区间]0,1[-上为递增，则（） A ．)2()2()3(f f f << B ．)2()3()2(f f f << C ．)2()2()3(f f f <<D ．)3()2()2(f f f <<3．已知)(x f 在实数集上是减函数，若0≤+b a ，则下列正确的是（） A ．)]()([)()(b f a f b f a f +-≤+B ． )()()()(b f a f b f a f -+-≤+ C ．)]()([)()(b f a f b f a f +-≥+D ．)()()()(b f a f b f a f -+-≥+类型六：1．函数||2x x y +-=，单调递减区间为，最大值和最小值的情况为.2．定义在R 上的函数)(x s （已知）可用)(),(x g x f 的=和来表示，且)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，则)(x f =. 提高题：1．（执信期中考）探究函数2216()(0)f x x x x=+>的最小值，并确定取得最小值时x 的值. 列表如下, 请观察表中y 值随x 值变化的特点，完成以下的问题.x …1 2 3 4 7 … y …17817…已知：函数2216()(0)f x x x x =+>在区间（0，2）上递减，问：（1）函数2216()(0)f x x x x=+>在区间上递增.当=x 时，=最小y .（2）证明：函数2216()(0)f x x x x=+>在区间（0，2）递减；（3）思考：函数2216()(0)f x x x x =+<有最大值或最小值吗？如有，是多少？此时x 为何值？（直接回答结果，不需证明）2．（本题满分10分）设()f x 是定义在R 上的函数，对任意,x y R ∈，恒有()()()f x y f x f y +=⋅， 当0x >时，有0()1f x <<．⑴ 求证：(0)1f =，且当0x <时，()1f x >；⑵ 证明：()f x 在R 上单调递减． 3．已知8)(32005--+=xbax x x f ，10)2(=-f ，求)2(f .4．在经济学中，函数)(x f 的边际函数为)(x Mf ，定义为)()1()(x f x f x Mf -+=，某公司每月最多生产100台报警系统装置。
高中数学1.3.1单调性与最大小值教案新人教A必修1
福建省漳州市芗城中学高中数学 1.3.1 单调性与最大（小）值教案新人教A版必修11.3.1 单调性与最大（小）值第一课时函数的单调性三维方针定向〖知识与技能〗（1）结合具体函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）能利用函数图象理解和研究函数的单调性；（3）能利用定义判定一些简单函数的单调性。
〖过程与方式〗借助二次函数体验单调性概念的形成过程，领会数形结合的数学思想，学会运用概念进行判断推理，养成细心观察，严谨论证的良好思维习惯。
〖感情、态度与价值观〗渗透由具体到抽象的认识，通过合作交流，培养学生反思学习、善于思考的习惯。
教学重难点〖重点〗函数单调性的概念。
〖难点〗熟练运用定义判断、证明函数的单调性。
教学过程设计一、问题情境设疑引例：画出一次函数xxf=)(和二次函数2)(xxf=的图象。
（几何画板）问题：以上两个图象有什么特征？——“上升”、“下降”上升：随着x的增大，相应的f (x)也增大；下降：随着x的增大，相应的f (x)减小。
二、核心内容整合1、函数的单调性的概念：问题：如何用数学语言描述“随着x的增大，相应的f (x)也增大”？——学生探究。
增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 , x2，当x1 < x2时，都有f (x1) < f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是增函数。
学生类比得出减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 , x2，当x1 < x2时，都有f (x1) > f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是减函数。
〖知识提炼〗同增异减注意：（1）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；（2）必需是对于区间D 内的任意两个自变量x1，x2；当12x x <时，总有12()()f x f x <或12()()f x f x >，分别是增函数和减函数。
【配套K12】高中数学 1.3.1 单调性与最大(小)值导学案 新人教A版必修1
1.3.1单调性与最大（小）值班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课前预习· 预习案【温馨寄语】假如生活是一条河流，愿你是一叶执著向前的小舟；假如生活是一叶小舟，愿你是个风雨无阻的水手。
【学习目标】1．理解函数的单调性及其几何意义.2．能根据图象的升降特征，划分函数的单调区间；理解增(减)函数的定义，会证明函数在指定区间上的单调性.3．理解函数的最大值、最小值的概念.4．会根据函数的单调性求函数的最大值和最小值.5．掌握函数的最值在实际中的应用.【学习重点】1．函数的最大(小)值及其几何意义2．利用定义函数的单调性的步骤3．函数单调性的有关概念的理解【学习难点】1．利用函数的单调性求函数的最大(小)值2．利用定义判断函数的单调性的步骤3．函数单调性的有关概念的理解【自主学习】1．函数的单调性与单调区间(1)单调性：如果函数在区间上是，那么说函数在这一区间具有(严格的)单调性.(2)单调区间：指的是 . 2．函数单调性的定义的定义域为内某个区间，，当函数在区间上是增函数在区间上是减3．函数的最大值和最小值的定义域为，如果存在实数对任意存在对任意，都有存在，使得是函数是函数的小值【预习评价】1．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是A. B.C. D.2．若函数，则其在上是 (填“增函数”或“减函数”).3．已知函数，则与的大小关系为.4．函数，，则的最大值为A.-1B.0C.3D.-25．若函数在[1，2]上的最大值与最小值的差是2，则A.2B.-2C.2或-2D.06．函数，，则的最大值为；最小值为 .知识拓展· 探究案【合作探究】1．函数单调性的定义与单调区间根据下面的图象探究下列问题.(1)图①中任取，，当时与的大小关系如何？图②昵？(2)图①，图②分别反映了函数的什么性质？(3)如果在函数中有，能否得到函数为增函数？(4)若函数在上是增函数，，则在上是什么函数？2．函数单调性的定义与单调区间根据函数单调性的定义，思考下列问题：(1)在函数单调性的定义中能否将“任取，”改为“任取，”？(2)在函数增减性的定义中，的符号与的符号之间有什么关系？3．函数的最大(小)值根据提示完成下面的问题，明确函数的单调性与最值的关系：(1)若函数在区间上是单调递增的，则函数的最大值是；最小值是 .(2)若函数在区间上是单调递减的，在区间上是单调递增的，则函数在区间上的最小值是；最大值是 .4．函数的最大(小)值请根据函数最大(小)值的定义探究下面的问题：(l)定义中的应满足什么条件？(2)该定义中若只满足第一条，是不是函数的最大(小)值？【教师点拨】1．对函数单调性和单调区间的三点说明(1)任意性；“任取，”中的“任取”二字不能去掉，更不能用两个特殊值替换.(2)确定性：，有大小之分且属于同一个单调区间，通常规定.(3)区间表示：函数的单调区间是函数定义域的子区间，两个单调区间要用“，”或“和”连接，而不能用“”连接.2．对函数最大值、最小值的四点说明(1)最值中一定是一个函数值，是值域中的一个元素.(2)最值定义中的两条缺一不可，必须同时满足时，是函数的最值.(3)求函数的最值一般是先判断函数的单调性，然后再求最值.(4)几何意义：如图函数图象最高点的纵坐标即为函数的最大值，函数图象的最低点的纵坐标即为函数的最小值.【交流展示】1．已知的图象如图所示,则的增区间是 ,减区间是 .2．作出函数的图象,并指出函数的单调区间.3．函数有如下性质：若常数,则函数在上是减函数,在上是增函数.已知函数(为常数),当时,若对任意,都有,则实数的取值范围是 .4．已知函数.(1)若的单调减区间为,求的取值范围.(2)若在区间上为减函数,求的取值范围.5．如图为函数，，的图象，则它的最大值为；最小值为 .6．求函数的最小值.7．函数在区间，()上有最大值9，最小值-7，则, .8．设函数，，，为常数，求的最小值的解析式.【学习小结】1．求单调区间的三个注意点注意点一：求函数的单调区间时，要先求函数的定义域；注意点二：对于一次函数、二次函数、反比例函数的单调区间作为常识性的知识，可以直接使用；注意点三：函数图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“”连接.2．利用定义证明函数单调性的变形技巧和步骤(1)变形技巧：①因式分解：当原函数是多项式函数时，常进行因式分解.②通分：当原函数是分式函数时，作差后通分，然后对分子进行因式分解.③分子有理化：当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化.(2)四个步骤：提醒：利用定义证明函数单调性，作差变形要“彻底”，也就是说要转化为几个因式相乘的形式，且每个因式都能够利用题设条件判断其符号.3．由单调性求参数取值范围的两种方法(1)定义法：借助函数的定义，根据结合函数单调性的定义，建立与的关系.(2)图象法：借助函数图象的特征，例如二次函数的图象被对称轴一分为二，根据对称轴相对于所给的单调区间的位置求参数的取值范围.提醒：求函数中参数的取值范围问题中，将函数单调性的大小关系转化为参数大小关系的同时注意函数的定义域.4．求函数最值的三种方法(1)观察法：对于简单的初等函数，如一次函数、二次函数、反比例函数，可以依据定义域求出值域，观察得出.(2)图象法：对于图象较容易画出的函数的最值问题，可借助于图象直观求出.(3)单调性法：对于较复杂的函数，可利用单调性的判断方法，判断出函数的单调性，然后求最值.提醒：利用单调性求最值时，一定要先确定函数的定义域.5．求二次函数在指定区间上最值的方法及三点注意(1)常用方法：利用二次函数的单调性结合对称轴与区间的位置关系.分三种情况：①对称轴在区间左侧；②对称轴在区间内；③对称轴在区间右侧.(2)求二次函数最值的三点注意：①注意开口方向，即与0的关系；②注意对称轴，的位置；③注意所给定的区间，即对称轴与区间的关系.【当堂检测】1．已知函数在上是减函数,则实数的取值范围为A.[2,3)B.(1,3)C.(2,3)D.[1,3]2．已知函数(l). (2).(3).上述函数中在区间上为增函数的有 .3．某市一家报刊摊点，从该市报社买进该市的晚报价格是每份0.40元，卖出价格是每份0.60元，卖不出的报纸以每份0.05元的价格退回报社.一个月按30天算，其中有18天每天可以卖出400份，12天每天只能卖出180份，摊主每天从报社买进份，才能使每月获得最大的利润.4．作出函数的图象,并写出其单调区间.1.3.1单调性与最大（小）值详细答案课前预习· 预习案【自主学习】1．(1)增函数或减函数(2)区间D2．任意f(x1)＜f(x2) f(x1)＞f(x2)3．(1)≤(2)＝(1)≥(2)＝M M【预习评价】1．B2．增函数3．＞4．C5．C6．1知识拓展· 探究案【合作探究】1．(1)由图①可知函数y＝f(x)图象随x的增大而“上升”，即x1＜x2时，f(x1)＜f(x2).图②中函数y＝f(x)图象随x的增大而“下降”，即x1＜x2时，f(x1)＞f(x2).(2)图①②反映了函数的单调性，其中图①对应的函数为增函数；图②对应的函数为减函数.(3)不能，函数单调性的定义中任取x1，x2，当x1＜x2时，f(x1)＜f(x2)，则函数y＝f(x)为增函数，而1和2只是定义域上的两个特殊值，不能说明对任意的x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)，所以由f(1)＜f(2)得不到函数为增函数.(4)增函数.2．(1)当函数在定义域上单调时，是可以的，当函数在定义域上有增有减时不可以.(2)当函数是增函数时，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同；当函数是减函数时，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相反.3．(1)f(b) f(a)(2)f(b) f(a)或f(c)4．(1)M是一个函数值，即存在一个元素x0，使M＝f(x0).(2)M不一定是最大(小)值，如函数f(x)＝－x2(x∈R)，对任意x∈R，都有f(x)≤1，但1不是函数的最大值，因为不存在x0∈R，使f(x0)＝1.【交流展示】1．[-1.5,3),[5,6) [－4,－1.5),[3,5),[6,7]2．＝－＋＋＝－－－＜图象如图所示,可得(－∞,－3]为递减区间,(3,＋∞)为递增区间,而f(x)在(－3,3]为常函数.3．[12,20]4．(1)由题意知＞得.(2)由f(x)在区间(－∞,4)上为减函数,说明(－∞,4)只是函数f(x)的一个减区间.当a＝0时,f(x)＝－2x＋2在(－∞,4)上单调递减,故成立.当a≠0时,由＞,得＜.综上可知＜. 5．3 －16．f(x)有意义，则满足＋，＋，，得.则f(x)的定义域为，＋，任取，，＋且x1＜x2，则＜，所以f(x1)＜f(x2)，所以f(x)是增函数，则f(x)的最小值为. 7．－2 08．＝－－，，－－－，－＜＜，＋，－【当堂检测】1．A2．y＝2x－1 3．1804．－＋＋－－＋＜即－＋－＜作出图象如图所示.由图象可知函数的单调增区间为(－∞,－1]和[0,1],单调减区间为(－1,0)和(1,＋∞).。
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疱丁巧解牛 知识·巧学·升华 一、单调性 1.增函数和减函数 一般地，设函数f（x）的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数. 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数.
要点提示 注意此处空半格函数的单调性是相对于函数定义域I内的某个区间D而言的，显然DI. 对于给定定义域内的任意两个不同的自变量，当函数值的改变量与自变量的改变量符号相同时，即为增函数；符号相反时，即为减函数. 若函数y=f（x）在区间D上是增函数，反映到图象上，从左至右呈上升趋势，反之，呈下降趋势. 2.单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间. 依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤： （1）取值.即设x1、x2是该区间内的任意两个值且x1＜x2. （2）作差变形.求f（x2）-f（x1），通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形. （3）定号.根据给定的区间和x2-x1的符号确定f（x2）-f（x1）的符号.当符号不确定时，可以进行分类讨论. （4）判断.根据单调性定义作出结论. 即取值——作差——变形——定号——判断. 函数f（x）在给定区间上的单调性，反映了函数f（x）在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，即若证明f（x）在［a，b］上是递增的，就必须证明对于区间［a，b］上任意的两个自变量x1、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）成立，而不可以用两个特殊值来替换，但是要否定一个函数在某一区间上的单调性，只要举一个反例即可. 误区警示 注意此处空半格函数单调性定义中的x1、x2有三个特征：一是同属一个单调区间；二是任意性，即“任意”取x1、x2，“任意”二字决不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；三是有大小，通常规定x1＜x2.三者缺一不可. 二、函数的最大（小）值 一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M（或f（x）≥M）； （2）存在x0∈I，使得f（x0）=M，那么，我们称M是函数y=f（x）的最大值（或最小值）. 对于一次函数可直接根据单调性写出最值. 求二次函数在给定区间上的最值，要注意分析它的开口方向和对称轴，如课本36页例3.一般地，若给定区间在对称轴的同侧，它是单调函数，可直接利用单调性求出最值；若对称轴在给定区间内，要注意它在对称轴处取得一个最值. 要点提示 注意此处空半格最值包括最大值和最小值.对于二次函数而言，若给定闭区间在对称轴的同侧，则最值在区间的两个端点处；若对称轴在给定的区间内，则在对称轴处取得一最值，在距对称轴较远的端点处取得另一最值. 求函数在某个闭区间的最值问题，可以先做出函数的图象，判断其在该区间上的单调性，并加以证明，利用函数的单调性求函数的最大值和最小值.另外利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小；求某些函数的值域，也常用于解（证）不等式；还可以绘制某些函数的略图等等. 问题·思路·探究 问题 如果一个函数在两个区间上同增减,那么在这两个区间的并集是不是还符合原来的增减性? 思路:根据函数增减性的定义和并集的概念考虑,同时注意区间上的特殊点. 探究:对某一函数y=f(x)，它在区间(a,b)与(c,d)上都是单调增（减）函数，不能说y=f(x)在(a,b)
∪(c,d)上一定是单调增（减）函数.比如说,函数y=x1在 (-∞,0),(0,+∞)内都是减函数,但在(-∞,0)∪(0,+∞)不能说是减函数,这是因为取个特例x1=1,x2=-1,可见y1=1,y2=-1,这时变成x1＞x2时,却有y1＞y2,不再符合减函数的定义. 典题·热题·新题 例1 作出下列函数的图象，并指出函数的单调区间:
（1）f（x）=5x+2；（2）f（x）=x2+x+2；（3）f（x）=-x2. 思路解析：写函数的单调区间时，能画出函数图象的要画出图象，或者根据所求函数与某些已知函数的关系去判断. 解：（1）函数f（x）=5x+2图象的单调增区间为（-∞，+∞）,无单调减区间.如图(1).
（2）函数f（x）=x2+x+2的图象如图(2),单调递增区间为［-21，+∞］,单调递减区间为（-
∞，-21］. （3）函数f（x）=-x2的图象如图(3),函数在（-∞，0）上是增函数，在（0，+∞）上也是增函数.
(1) (2) (3) 深化升华 注意此处空半格(1)画一次函数的图象，只需描出两个点即可 . (2)画二次函数的图象只需描出顶点以及关于对称轴对称的两点即可.
(3)反比例函数y=xk（k≠0）的单调性仅与系数k的正负有关.
例2 利用单调性定义证明：函数f（x）=1x在其定义域内是增函数. 思路解析：本题是利用单调性定义证明单调性的一个典型例子，由于函数的定义域没有给出，证明前要先求出定义域，然后证明.
证明：证法一：函数f（x）=1x的定义域是x∈［1，+∞），任取x1、x2∈［1，+∞）且x1＜x2， 则f（x2）-f（x1）=12x-11x
=1111)1)1)(11(1212121212xxxxxxxxxx. ∵x1、x2∈［1，+∞），且x1＜x2，∴12x+11x＞0，x2-x1＞0. ∴f（x1）＜f（x2），即函数f（x）=1x在定义域上是增函数. 证法二：函数f（x）=1x的定义域是x∈［1，+∞］，任取x1、x2∈［1，+∞)且x1＜x2， 则1111)()(212121xxxxxfxf， ∵x1、x2∈［1，+∞），且x1＜x2，∴0≤x1-1＜x2-1. ∴0≤1121xx＜1.∴1121xx＜1.∵f（x2）=12x＞0，∴f（x1）＜f（x2）.
∴函数f（x）=1x在定义域［1，+∞）上是增函数. 深化升华 注意此处空半格函数的单调性是在某指定区间上而言的，自变量x的取值必须是连续的. 用定义证明函数的单调性的基本步骤是“取值——作差(或作商)——变形——定号——判断”. 当函数在给定区间上恒正或恒负时，也常用“作商判1”的方法来解决，特别是函数中含有指数式时常用此法. 解决带根号的问题，常用的方法就是分子、分母有理化.从形式上看是由“-”变成“+”.
例3 作出函数f（x）=121222xxxx的图象，并指出函数f（x）的单调区间. 思路解析：由于所给的函数是两个被开方数和的形式，而被开方数恰能写成完全平方的形式，因此可先去掉根号，转化成分段函数的形式，再作图写出单调区间. 解：原函数可化为
f（x）=121222xxxx=|x+1|+|x-1|=.1,2,11,2,1,2xxxxx 作出函数的图象： 所以函数的递减区间是（-∞，-1］，函数的递增区间是［1，+∞）. 技巧点拔 注意此处空半格若所给的函数解析式较为复杂，可先化简函数解析式，作出草图，再根据函数的定义域和图象的直观性写出单调区间. 去绝对值的关键是令每一个绝对值等于0，找到分界点，再讨论去绝对值. 例4 已知函数f（x）=x2+ax+3在区间［-1，1］上的最小值m为-3，求实数a的取值.
思路解析：所给二次函数的对称轴x=-2a是变化的，而区间是固定的，因而只需确定二次函数对称轴与区间的关系，即可求得a的范围.
解：f（x）=（x+2a）2+3-42a，开口向上，区间［-1，1］确定，对称轴x=-2a随a变化. （1）当-2a＜-1，即a＞2时，作草图（Ⅰ）. f（x）在［-1，1］上是增函数，所以m=f（-1）=-3，得1-a+3=-3. 所以a=7.
（2）当-2a＞1，即a＜-2时，作草图（Ⅱ）. f（x）在［-1，1］上是减函数，m=f（1）=1+a+3=-3， 所以a=-7.
（3）当-1≤-2a≤1，即-2≤a≤2时，作草图（Ⅲ）.此时，对称轴在区间［-1，1］内，所以
m=f（-3a）=3-42a=-3，得a=±26，这与-2≤a≤2矛盾，舍去.因此所求的实数a=-7或7.
（Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ） 深化升华 注意此处空半格求二次函数在闭区间上的最值的方法：一看开口方向；二看对称轴在区间的相对位置，简称“两看法”.只需作出二次函数相关部分的简图，利用数形结合法就可以得到问题的解. 运用这个方法，同样可以解决对称轴确定而区间变化的问题，甚至开口方向、对称轴、区间同时都在变化的问题. 当对称轴在给定区间的左侧时，它是增函数，它的最值点在区间的两个端点处取得. 当对称轴在给定区间的右侧时，它是减函数，它的最值点在区间的两个端点处取得. 当对称轴在给定区间内时，在对称轴处取一个最值，在离对称轴较远处取得另一最值. 二次函数在闭区间上的最值问题，只有反复的训练，才能真正掌握利用简单原理解决复杂问题的本领.
例5 已知函数y=f(x)在［0，+∞)上是减函数，试比较f（43）与f（a2+a+1）的大小. 思路解析：利用函数的单调性的定义比较大小，一方面是正向应用，即若f(x)在给定的区间上是增函数，当x1＜x2时f(x1)＜f(x2)；当x1＞x2时f(x1)＞f(x2)；另一方面是逆向应用，即若f(x)在给定的区间上是增函数，当f(x1)＜f(x2)时x1＜x2.当f(x1)＞f(x2)时x1＞x2.当f(x)是减函数时类同.
解：根据函数的单调性的定义，只需比较43与 a2-a+1的大小即可.
∵a2-a+1=（a-21）2+43≥43，∴43与a2-a+1都属于［0，+∞］， 又∵y=f(x)在［0，+∞］上是减函数，∴f（43）≥f（a2+a+1）. 例6 写出函数f（x）=12xx的单调区间. 思路解析：把未知的问题转化为已知的问题，用已知问题的解还原说明未知问题的解，这是学好数学的一种常用方法.解决这种分式函数问题，需掌握“凑分母”化简的方法，即把函数的分子拼凑成分母的形式，转化成只在分母中含有变量x的形式，进而解决问题.
解：原函数可化为f（x）=13131xxx+1，显然f（x）的图象是由y=x3的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位而得到的. 由于y=x3在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上也是减函数，
所以f（x）=12xx在（-∞，1）上是减函数，在（1，+∞）上也是减函数.