2017-2018学年广东省中山市第一中学高二上学期第二次统测数学(理)试题

- 1 - 中山市第一中学2017-2018学年高二第二次统测 数学（理）试题 命题人： 审题人： 一、选择题（每题有四个选项，只有一个是正确的，请把答案涂在答题卡上，共12个小题，每小题5分） 1．“0x”是“0x”是的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．在数列1，2，7，10，13，„中，219是这个数列的第（ ） A．16项 B．24项 C．26项 D．28项

3．在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且1a，3b，30A，则B（ ） A．60或120 B．60 C．120 D．30或150 4．下列各式中最小值是2的是（ ）

A．yx＋xy B．4522xx C．1tantanxx D．xx22 5．数列{}na满足115a且12nnaa，则使10kkaa的k的值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且60A，1b，这个三角形的面积为3，则ABC△外接圆的直径是（ ） A．39 B．393 C．396 D．2393

7．在等比数列{}na中0na，若722a，则31112aa的最小值为（ ） A．22 B．4 C．8 D．16 8．不等式111xx的解集是（ ） A．{|3}xx B．4{|22}3xx C．{|1}xx D．{|2xx或21}x - 2 -

9．已知正数x，y满足21xy，则x1＋y1的最小值为（ ） A．322 B．42 C．42 D．232 10．已知:pxR，210mx，:qxR，210xmx，若pq为假命题，则实数m的取值范围为（ ） A．2m B．2m C．2m或2m D．22m

11．在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2ab，3c，则角C的最大值为（ ） A．60 B．90 C．120 D．150

12．定义12nnppp为n个正数1p，2p，，np的“均倒数”，若已知数列{}na的前

n项的“均倒数”为121n，又14nnab，则122334201720181111bbbbbbbb （ ）

A．20152016 B．20162017 C．20172018 D．12017 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分） 13．若数列{}na的前n项和21nSnn，则它的通项公式为________． 14．已知一个动圆与圆C：22(4)100xy相内切，且过点A（4，0），则这个动圆圆心的轨迹方程是_______________．

15．已知2zxy，其中x，y满足2yxxyxm，且z的最大值是最小值的4倍，则实数m的值是________． 16．已知ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3cos2cosaCcA，1tan3A，则B ____________． 三、解答题（本大题共6个小题，满分70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． （1）已知6b，4cos5B，4C，求c的大小； - 3 -

（2）已知33a，3b，6C，求A的大小． 18．（本小题满分12分）已知椭圆C：22214xya（2a）上一点P到它的左右焦点1F，2F的距离的和是6．

（1）求椭圆C的离心率的值； （2）若2PFx轴，且P在y轴上的射影为点Q，求点Q的坐标．

19．（本小题满分12分） 在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos(2)cos(π)bAcaB． （1）求角B的大小； （2）若4b，ABC△的面积为3，求ABC△的周长． 20．（本小题满分12分）某种设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种设备的维修费各年为：第一年2千元， 第二年4千元， 第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增．问这种设备最多使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少）?

21．（本小题满分12分） 已知数列{}na是公比为12的等比数列，且21a是1a与31a的等比中项，其前n项和为

nS；数列{}nb是等差数列，18b，其前n项和nT满足1nnTnb(为常数，且1)．

（1）求数列{}na的通项公式及的值；

（2）比较1231111nTTTT与12nS的大小． 22．（本小题满分12分） 已知nS为数列{}na的前n项和且满足22nnSa，在数列{}nb中满足214ab，2

11nnnbnbnn

（*nN） - 4 -

（1）求数列{}na的通项公式； （2）证明{}nbn为等差数列；

（3）若数列{}nc的通项公式为,24nnnnnabncabn为奇数，为偶数，令nT为{}nc的前n项的和，求2nT． - 5 - 中山市第一中学2017-2018学年高二第二次统测 数学（理）试题参考答案 一、选择题（每题有四个选项，只有一个是正确的，请把答案涂在答题卡上，共12个小题，每小题5分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C A D C D B D A A C C 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）

13．11222nnann； 14．221259xy； 15．14m； 16．34． 三、解答题（本大题共6个小题，满分70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分） 在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． （1）已知6b，4cos5B，4C，求c的大小；（2）已知33a，3b，6C，求A的大小． 解：（1）4cos05B，所以在ABC△中02B，3sin5B， „„„„„2分

由正弦定理有26sin2523sinsinsin5bcbCcBCB；„„„„„„„„„„„„„5分 （2）由余弦定理有22232cos279233392cababC，3c„„„7分 于是3bc，6BC， „„„„„„„„„„„„„„9分 2()3ABC． „„„„„„„„„„„„„„„10分

18．（本小题满分12分）

已知椭圆C：22214xya（2a）上一点P到它的左右焦点1F，2F的距离的和是6． （1）求椭圆C的离心率的值； - 6 -

（2）若2PFx轴，且P在错误！未找到引用源。轴上的射影为点Q，求点Q的坐标． 解：（1）依题意得：12||||263PFPFaa， „„„„„„„„„2分 又242bb，22255cabc，„„„„„„„„„4分 53cea； „„„„„„„„„„„„„„6分

（2）2(5,0)F，(5,)PPy， „„„„„„„„„8分 将(5,)Py代入22194xy得216493PPyy， „„„„„„„„„10分 点P在y轴上的射影为Q为4(0,)3或4(0,)3．„„„„„„„„„„„„„„12分

19．（本小题满分12分） 在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos(2)cos(π)bAcaB． （1）求角B的大小； （2）若4b，ABC△的面积为3，求ABC△的周长． 解：（1）∵cos(2)cos(π)bAcaB，∴cos(2)(cos)bAcaB，„„„„„„„„„1分 由正弦定理可得：sincos2sinsincosBACAB，„„„„„„„„„„„„„2分 ∴sin2sincossinABCBC． „„„„„„„„„„„„„„3

分 又角C为ABC△内角，∴sin0C， „„„„„„„„„„„„„„4分 ∴1cos2B．又0,πB， „„„„„„„„„„„„„„5分 ∴2π3B． „„„„„„„„„„„„„„6分 - 7 -

（2）由1sin32ABCSacB△，得4ac， „„„„„„„„„„„„„„8分 又222216bacacacac， „„„„„„„„„„„„„„10

分 ∴25ac， „„„„„„„„„„„„„„11分 所以ABC△的周长为425． „„„„„„„„„„„„„„12分 20．（本小题满分12分） 某种设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种设备的维修费各年为：第一年2千元， 第二年4千元， 第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增．问这种设备最多使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少）? 解：设使用x年的年平均费用为y万元．

由已知得：(1)100.9(0.20.2)2xxxxyx „„„„„„„„„3分 即10110xyx（*xN） „„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 由均值不等式知：1021310xyx „„„„„„„„„„„„„„„8分 当且仅当x10=10x即10x时取“等号”， „„„„„„„„„„„„„10分 因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．„„„„„„„„„„„„„12分 21．（本小题满分12分） 已知数列{}na是公比为12的等比数列，且21a是1a与31a的等比中项，其前n项和为

nS；数列{}nb是等差数列，18b，其前n项和nT满足1nnTnb(为常数，且1)．

（1）求数列{}na的通项公式及的值；

（2）比较1231111nTTTT与12nS的大小．