2015年全国高考新课标卷I理科数学试题(含答案)word版
2015年高考全国卷1理科数学(解析版)资料
注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设复数z满足1+z1z-=i，则|z|=（A）1 （B）2（C）3（D）2 【答案】A考点：1.复数的运算；2.复数的模.（2）sin20°cos10°-con160°sin10°=（A）32（B32（C）12-（D）12【答案】D 【解析】试题分析：原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=12，故选D.考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式（3）设命题P：∃n∈N，2n>2n，则⌝P为（A）∀n∈N, 2n>2n（B）∃n∈N, 2n≤2n（C）∀n∈N, 2n≤2n（D）∃n∈N, 2n=2n【答案】C 【解析】试题分析：p ⌝:2,2n n N n ∀∈≤，故选C.考点：特称命题的否定（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A ）0.648 （B ）0.432（C ）0.36（D ）0.312【答案】A 【解析】试题分析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.6C ⨯+=0.648，故选A.考点：独立重复试验；互斥事件和概率公式（5）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF •2MF ＜0，则y 0的取值范围是 （A ）（-33，33） （B ）（-36，36） （C ）（223-，223） （D ）（233-，233） 【答案】A考点：向量数量积；双曲线的标准方程（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
2015年高考真题：理科数学(新课标Ⅰ卷)试卷(有答案)
绝密★启封并使用完毕前试题类型：A2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2【答案】A（2）sin20°cos10°-con160°sin10°=（A ）32- （B ）32 （C ）12- （D ）12【答案】D【解析】原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=12，故选D.（3）设命题P ：∃n ∈N ，2n >2n ，则⌝P 为（A ）∀n ∈N, 2n >2n （B ）∃ n ∈N, 2n ≤2n （C ）∀n ∈N, 2n ≤2n （D ）∃ n ∈N, 2n =2n【答案】C【解析】p ⌝:2,2n n N n ∀∈≤，故选C.（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312 【答案】A【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.6C ⨯+=0.648，故选A.（5）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2212x y -= 上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF •2MF＜0，则y0的取值范围是（A）（-33，33）（B）（-36，36）（C）（223-，223）（D）（233-，233）【答案】A（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
2015全国卷理科数学1卷
2015年全国普通高考新课标理科数学1卷一. 选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1） 设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=(A)1 （B ） （C （D ）2 （2)sin20°cos10°—con160°sin10°=（A ） （B （C ）12- （D)12（3）设命题P:∃n ∈N,2n 〉2n ，则⌝P 为（A)∀n ∈N, 2n 〉2n （B ）∃ n ∈N, 2n ≤2n （C ）∀n ∈N ， 2n ≤2n （D)∃ n ∈N ， 2n =2n（4）投篮测试中，每人投3次,至少投中2次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A ）0。
648（B)0.432(C ）0。
36（D ）0.312（5）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF •2MF ＜0,则y 0的取值范围是（A)(-(B ）(-(C)（ （D ）(（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
问:积及为米几何？”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1。
62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ )A 。
14斛B 。
22斛C 。
36斛 D.66斛（7）设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则（ ）（A)1433AD AB AC =-+ （B)1433AD AB AC =-(C)4133AD AB AC =+ (D ）4133AD AB AC =- （8) 函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（A)（),k (b ）（),k(C)(),k (D)（)，k（9）执行右面的程序框图,如果输入的t=0.01，则输出的n= （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D)8（10）25()x x y ++的展开式中,52x y 的系数为 （A)10 （B ）20 （C ）30（D)60（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。
2015年高考理科数学全国卷1
附：对于一组数据 (u1,v1) ，(u2 , v2 ) ，…，(un ,vn ) ，其回归直线 v u 的斜率和截
n
(ui u)(vi v)
距的最小二乘估计分别为 i1 n
, v u .
(ui u)2
i 1
数学试卷 第 5 页（共 6 页）
20．（本小题满分 12 分） x2
（） （）
13 A．（kπ , kπ+ ）,k Z
44
1
3
B．（2kπ ,2kπ+ ）,k Z
4
4
13 C．（k ,k + ）,k Z
44
13 D．（2k ,2k+ ）,k Z
44
数学试卷 第 2 页（共 6 页）
9．执行如图所示的程序框图，如果输入的 t 0.01，则输出
的n
（）
费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； （Ⅲ）已知这种产品的年利率 z 与 x，y 的关系为 z=0.2y－x.根据（Ⅱ）的结果回答下 列问题：
（i）年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？
19．（本小题满分 12 分） 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x (单位：千元)对年销 售量 y (单位： t )和年利润 z(单位：千元)的影响，对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi (i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
xy
（Ⅱ）用 min{m, n}表示 m，n 中的最小值，设函数 h(x) min{f (x), g(x)} (x 0) ，讨
2015数学理科(新课标Ⅰ卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理科(新课标Ⅰ卷)一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z|等于( )A. 1B. 2C. 3D. 22. sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( ) A. －32 B. 32 C. －12 D. 123. 设命题p ：存在n ∈N ，n 2>2n ，则非p 为( ) A. 对任意的n ∈N ，n 2>2n B. 存在n ∈N ，n 2≤2nC. 对任意的n ∈N ，n 2≤2nD. 存在n ∈N ，n 2＝2n4. 在投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A. 0.648B. 0.432C. 0.36D. 0.3125. 已知M(x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→＜0，则y 0的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫－33，33 B. ⎝⎛⎭⎫－36，36 C. ⎝⎛⎭⎫－223，223 D. ⎝⎛⎭⎫－233，233 6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有( )A. 14斛B. 22斛C. 36斛D. 66斛(第6题)7. 设D 为△ABC 所在平面内一点，且BC →＝3CD →，则( ) A. AD →＝－13AB →＋43AC → B. AD →＝13AB →－43AC →C. AD →＝43AB →＋13AC →D. AD →＝43AB →－13AC →8. 已知函数f(x)＝cos (ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则f(x)的单调减区间为( ) A. ⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B. ⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C. ⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D. ⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z(第8题)9. 执行如图所示的程序框图，若输入的t ＝0.01，则输出的n 等于( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8(第9题)10. (x 2＋x ＋y)5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A. 10 B. 20 C. 30 D. 6011. 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16＋20π，则r 等于( )A. 1B. 2C. 4D. 8(第11题)12. 设函数f(x)＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a<1，若存在唯一的整数x 0，使得f(x 0)<0，则实数a 的取值范围是( )A. ⎣⎡⎭⎫－32e ，1B. ⎣⎡⎭⎫－32e ，34C. ⎣⎡⎭⎫32e ，34D. ⎣⎡⎭⎫32e ，1 二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 若函数f(x)＝xln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则实数a ＝________．14. 若一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为____________．15. 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．16. 在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．三、 解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. (本小题满分12分)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3.(1) 求数列{a n }的通项公式； (2) 设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和． 18. (本小题满分12分)如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC.(1) 求证：平面AEC ⊥平面AFC ；(2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．(第18题)19. (本小题满分12分)某公司为了确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)的数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量的值．(第19题)(1) 根据散点图判断y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)．(2) 根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程．(3) 已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x ，根据(2)的结果回答下列问题：①当年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α^＋β^u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑ni ＝1 （u i －u ）（v i －v ）∑ni ＝1（u i －u ）2，a ^＝v －β^u. 20. (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：y ＝x 24与直线y ＝kx ＋a(a>0)交于M ，N 两点．(1) 当k ＝0时，分别求曲线C 在点M 和N 处的切线方程；(2) y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？请说明理由．21. (本小题满分12分)已知函数f(x)＝x 3＋ax ＋14，g(x)＝－ln x.(1) 当x 轴为曲线y ＝f(x)的切线时，求a 的值．(2) 设函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}(x>0)，讨论h(x)零点的个数．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22. (本小题满分10分)选修41：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，AC 是圆O 的切线，BC 交圆O 于点E. (1) 若D 为AC 中点，求证：DE 是圆O 的切线； (2) 若OA ＝3CE ，求∠ACB 的大小．(第22题)23. (本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1) 求C 1，C 2的极坐标方程；(2) 若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2，C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．24. (本小题满分10分)选修45：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x ＋1|－2|x －a|，a>0.(1) 当a ＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2) 若f(x)的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求实数a 的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试 数学理科(新课标Ⅰ卷)1. A 【解析】由1＋z 1－z ＝i ，得z ＝－1＋i 1＋i ＝（－1＋i ）（1－i ）2＝2i2＝i ，所以|z|＝1.2. D 【解析】sin 20°·cos 10°－cos 160°·sin 10°＝sin 20°·cos 10°＋cos 20°·sin 10°＝sin(20°＋10°)＝12.3. C 【解析】存在性命题的否定是全称命题．4. A 【解析】投中2次或投中3次测试通过，概率P ＝0.63＋C 23×0.62×(1－0.6)＝0.216＋0.432＝0.648.5. A 【解析】由题意知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3＝2＋2y 20＋y 20－3＝3y 20－1<0，解得y 0∈⎝⎛⎭⎫－33，33. 6. B 【解析】由题意可知米堆的下底面圆的半径为r ＝8π2＝163，所以米堆的体积为V＝14×13Sh ＝14×13×3×⎝⎛⎭⎫1632×5＝3209，所以估算出堆放的米有32091.62≈21.94≈22(斛)． 7. A 【解析】由题意，可画出图形如图所示，则AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →.(第7题)8. D 【解析】由图可知，12T ＝54－14＝1，所以T ＝2＝2πω，从而ω＝π.由f ⎝⎛⎭⎫14＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝0及图象的单调性，可知φ＝π4.令2k π<πx ＋π4<π＋2k π，k ∈Z ，解得2k －14<x<34＋2k ，k ∈Z .9. C 【解析】第一次循环：S ＝12，m ＝14，n ＝1；第二次循环：S ＝14，m ＝18，n ＝2；第三次循环：S ＝18，m ＝116，n ＝3；第四次循环：S ＝116，m ＝132，n ＝4；第五次循环：S ＝132，m ＝164，n ＝5；第六次循环：S ＝164，m ＝1128，n ＝6；第七次循环：S ＝1128，m ＝1256，n ＝7.此时S ＝1128<0.01，循环结束．10. C 【解析】(x 2＋x ＋y)5展开式的通项为C r 5(x 2＋x)5－r y r ，令r ＝2，得C 25(x 2＋x)3y 2.再考虑(x 2＋x)3的展开式，其通项为C r 3·(x 2)3－r ·x r ＝C r 3·x 6－r ，令r ＝1，得C 13x 5＝3x 5.所以x 5y 2的系数为C 25×3＝10×3＝30.11. B 【解析】该几何体由一个半球和半个圆柱组成，圆柱的高为2r ，底面半径和球的半径均为r ，组合体的表面积为S ＝2×12πr 2＋πr ×2r ＋2r ×2r ＋12×4πr 2＝5πr 2＋4r 2＝16＋20π，所以r 2＝4，r ＝2.12. D 【解析】由题意可知f(x)<0等价于e x (2x －1)<ax －a ，考虑函数y ＝e x (2x －1)．y′＝e x (2x －1)＋2e x ＝(2x ＋1)e x ，令y′＝0，得x ＝－12.在平面直角坐标系中画出函数y ＝e x (2x－1)和y ＝ax －a 的图象．由图可知，当a>0且x ＝0时，不等式f(x)<0显然成立，所以x ＝－1时，不满足f(x)<0，所以a ≥－3e －0－1－1＝32e，所以a ∈⎣⎡⎭⎫32e ，1.(第12题)13. 1 【解析】f(－x)＝(－x)·ln(－x ＋a ＋（－x ）2)＝(－x)ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋x 2－x 2a ＋x 2＋x＝(－x)ln []a·（a ＋x 2＋x ）－1＝(－x)[ln a －ln(a ＋x 2＋x)] ＝x·ln(a ＋x 2＋x)－xln a ＝f(x)， 所以xln a ＝0，从而a ＝1.14. ⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254 【解析】由题意，可知圆经过点(0，2)，(0，－2)和(4，0)，设圆心为(a ，0)(a>0)，半径为r ，则（a －0）2＋（0－2）2＝|4－a|＝r ，解得a ＝32，r ＝52，所以圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254. 15. 3 【解析】画出可行域如图中阴影部分所示.yx 的几何意义为点P(x ，y) 与点(0，0)之间的斜率，由图可知，当点P 处于点A(1，3)时，斜率最大，此时yx＝3.(第15题)16. (6－2，6＋2) 【解析】如图，延长BA ，CD 交于点E ，可知EC ＝BE ，且∠E ＝30°，所以cos 30°＝2BE 2－222·BE 2，可得BE ＝6＋ 2.过点C 作CF ∥AD 交BE 于点F ，则BC ＝CF ＝2，∠BCF ＝30°.BF 2＝2BC 2－2BC 2·cos 30°＝8－43，所以BF ＝6－2， 所以AB ∈(6－2，6＋2)．(第16题)17. (1) 由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3，可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )． 由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2. 又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)，a 1＝3，所以{a n }是首项为3、公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1.(2) 由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则 T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝n3（2n ＋3）.18. (1) 连接BD ，设BD ∩AC ＝G ，连接EG ，FG ，EF. 在菱形ABCD 中，不妨设GB ＝1.由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝ 3.由BE ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ，可知AE ＝EC. 又AE ⊥EC ，所以EG ＝3，且EG ⊥AC. 在Rt △EBG 中，可得BE ＝2，故DF ＝22. 在Rt △FDG 中，可得FG ＝62. 在直角梯形BDFE 中，由BD ＝2，BE ＝2，DF ＝22，可得EF ＝322， 从而EG 2＋FG 2＝EF 2，所以EG ⊥FG. 又AC ∩FG ＝G ，AC平面AFC ，FG 不属于平面AFC ，可得EG ⊥平面AFC.因为EG 属于平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面AFC.(2) 如图，以G 为坐标原点，分别以GB →，GC →的方向为x 轴、y 轴正方向，|GB →|为单位长，建立空间直角坐标系G-xyz.由(1)可得A(0，－3，0)，E(1，0，2)，F ⎝⎛⎭⎫－1，0，22，C(0，3，0)，所以AE →＝(1，3，2)，CF →＝⎝⎛⎭⎫－1，－3，22，(第18题)故cos 〈AE →，CF →〉＝AE →·CF →|AE →||CF →|＝－33，所以直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为33. 19. (1) 由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2) 令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于d ^＝68， c ^＝y －d ^w ＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为y ＝100.6＋68x.(3) ①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ＝100.6＋6849＝576.6， 年利润z 的预报值z ＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值z ＝0.2(100.6＋68x)－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12， 所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z 取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．20. (1) 由题设可得M(2a ，a)，N(－2a ，a)或M(－2a ，a)，N(2a ，a)． 又y′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，曲线C 在点(2a ，a)处的切线方程为y－a ＝a(x －2a)，即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，曲线C 在点(－2a ，a)处的切线方程为y －a ＝－a(x ＋2a)，即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2) 存在符合题意的点．理由如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2.将y ＝kx ＋a 代入曲线C 的方程，得x 2－4kx －4a ＝0， 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a ， 从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－bx 2＝2kx 1x 2＋（a －b ）（x 1＋x 2）x 1x 2＝k （a ＋b ）a. 当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P(0，－a)符合题意．21. (1) 设曲线y ＝f(x)与x 轴相切于点(x 0，0)，则f(x 0)＝0，f′(x 0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 30＋ax 0＋14＝0，3x 20＋a ＝0，解得x 0＝12，a ＝－34.因此，当a ＝－34时，x 轴为曲线y ＝f(x)的切线．(2) 当x ∈(1，＋∞)时，g(x)＝－ln x<0，从而h(x)＝min{f(x)，g(x)}≤g(x)<0，故h(x)在(1，＋∞)上没有零点．当x ＝1时，若a ≥－54，则f(1)＝a ＋54≥0，h(1)＝min{f(1)，g(1)}＝g(1)＝0，故x ＝1是h(x)的零点；若a<－54，则f(1)<0，h(1)＝min{f(1)，g(1)}＝f(1)<0，故x ＝1不是h(x)的零点．当x ∈(0，1)时，g(x)＝－ln x>0，所以只需考虑f(x)在(0，1)上的零点个数．若a ≤－3或a ≥0，则f′(x)＝3x 2＋a 在(0，1)上没有零点，故f(x)在(0，1)上单调．又f(0)＝14，f(1)＝a ＋54，所以当a ≤－3 时，f(x)在(0，1)上有一个零点；当a ≥0时，f(x)在(0，1)上没有零点．若－3<a<0，则f(x)在⎝⎛⎭⎫0，－a 3上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－a 3，1上单调递增，故在(0，1)中，当x ＝－a3时，f(x) 取得最小值，最小值为f ⎝⎛⎭⎫－a 3＝2a 3－a 3＋14. ①若f ⎝⎛⎭⎫－a 3>0，即－34<a<0时，f(x)在(0，1)上没有零点； ②若f ⎝⎛⎭⎫－a 3＝0，即a ＝－34时，f(x)在(0，1)上有唯一零点； ③若f ⎝⎛⎭⎫－a 3<0，即－3<a<－34时，由于f(0)＝14，f(1)＝a ＋54，所以当－54<a<－34时，f(x)在(0，1)上有两个零点；当－3<a ≤－54时，f(x)在(0，1)上有一个零点．综上，当a>－34或a<－54时，h(x)有一个零点；当a ＝－34或a ＝－54时，h(x)有两个零点；当－54<a<－34时，h(x)有三个零点． 22. (1) 如图，连接AE ，由已知得，AE ⊥BC ，AC ⊥AB.在Rt △AEC 中，由已知得DE ＝DC ，故∠DEC ＝∠DCE.连接OE ，则∠OBE ＝∠OEB.又∠ACB ＋∠ABC ＝90°，所以∠DEC ＋∠OEB ＝90°，故∠OED ＝90°，所以DE 是圆O 的切线．(2) 设CE ＝1，AE ＝x ，由已知得AB ＝23，BE ＝12－x 2.由射影定理可得，AE 2＝CE·BE ，所以x 2＝12－x 2，即x 4＋x 2－12＝0，可得x ＝3，所以∠ACB ＝60°.(第22题)23. (1) 因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2) 将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2，故ρ1－ρ2＝2，即MN ＝ 2.又C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12. 24. (1) 当a ＝1时，f(x)>1可化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x<1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x<1； 当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x<2，所以f(x)>1的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫23<x<2. (2) 由题设可得，f(x)＝⎩⎨⎧x －1－2a ，x<－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x>a.所以函数f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎫2a －13，0，B(2a ＋1，0)，C(a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2. 由题设得23(a ＋1)2>6，故a>2，所以实数a的取值范围为(2，＋∞)．。
2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标Ⅰ)
最小二乘估计分别为：
18．（本小题满分 12 分）在直角坐标系 xoy 中，曲线 C：y= x2 与直线 y kx a （ a ＞0） 4
交与 M,N 两点， （Ⅰ）当 k=0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； （Ⅱ）y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.
回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； （Ⅲ）已知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问 题： （ⅰ）年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？
2e
考点：本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题
11．1
【 解 析 】 试 题 分 析 ： 由 函 数 f x xln x a x2 为 偶 函 数 函 数 g x ln x a x2 为奇函数，
g 0 lna 0 a 1．
f
(x)
cos( x
)
4
，
令 2k x 2k , k Z ，解得 2k 1 ＜ x ＜ 2k 3 ，k Z ，故单调减区间为
4
4
4
（ 2k 1 ， 2k 3 ）， k Z ，故选 D.
4
4
考点：三角函数图像与性质
8．C
【解析】在 x2 x y 5 的 5 个因式中，2 个取因式中 x2 剩余的 3 个因式中 1 个取 x ，其余
(2021年整理)2015年高考理科数学全国一卷真题
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2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅰ卷）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4。
考试结束后,将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数z 满足11zz+-=i ，则｜z|=（ ）（A)1 （B （ （D ）2 2．o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ）(A)（ (C)12- （D ）123．设命题p ：2,2n n N n ∃∈>，则p ⌝为( ） （A ）2,2n n N n ∀∈> (B)2,2n n N n ∃∈≤ (C ）2,2n n N n ∀∈≤ （D ）2,=2n n N n ∃∈4．投篮测试中，每人投3次,至少投中2次才能通过测试。
2015年全国高考理科数学试题及答案-新课标1(1)
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅰ卷一选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数z 满足1+z 1z-=i ，则|z|=( )2.sin20°cos10°-con160°sin10°=( )A.12- D.12 3.设命题P ：∃n ∈N ，2n >2n ，则⌝P 为( )A ∀n ∈N, 2n >2nB ∃ n ∈N, 2n ≤2nC ∀n ∈N, 2n ≤2nD ∃ n ∈N, 2n =2n4.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312 5.已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF <，则0y 的取值范围是( )A.（ B （ C （） D （） 6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛7.设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则（ ）A.1433AD AB AC =-+B.1433AD AB AC =-C.4133AD AB AC =+D.4133AD AB AC =- 8函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )A.13(,),44k k k Z ππ-+∈ B.13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C.13(,),44k k k Z -+∈ D.13(2,2),44k k k Z -+∈9.执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=( )A.5B.6C.7D.81025()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( )A.10B.20C.30D.60 11圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。
2015年高考全国卷1理科数学(解析版)资料
注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设复数z满足1+z1z-=i，则|z|=（A）1 （B）2（C）3（D）2 【答案】A考点：1.复数的运算；2.复数的模.（2）sin20°cos10°-con160°sin10°=（A）3（B3（C）12-（D）12【答案】D 【解析】试题分析：原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=12，故选D.考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式（3）设命题P：∃n∈N，2n>2n，则⌝P为（A）∀n∈N, 2n>2n（B）∃n∈N, 2n≤2n（C）∀n∈N, 2n≤2n（D）∃n∈N, 2n=2n【答案】C 【解析】试题分析：p ⌝:2,2n n N n ∀∈≤，故选C.考点：特称命题的否定（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A ）0.648 （B ）0.432（C ）0.36（D ）0.312【答案】A 【解析】试题分析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.6C ⨯+=0.648，故选A.考点：独立重复试验；互斥事件和概率公式（5）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF u u u u r •2MF u u u u r＜0，则y 0的取值范围是（A ）（-33，33） （B ）（-36，36） （C ）（223-，223） （D ）（233-，233） 【答案】A考点：向量数量积；双曲线的标准方程（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
2015年高考数学全国卷1(理)试卷解析版
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ( ... ) ( ) 2 3 5 5 7 2n 1 2 n 3 2 3 2 n 3 6 n 9
18. （本小题满分 12 分） 如图， 四边形 ABCD 为菱形， ABC 120 ，E 、F 是平面 ABCD 同一侧的两点， BE 平面 ABCD ， DF 平面 ABCD ， BE 2 DF ， AE EC （1）证明：平面 AEC 平面 AFC ； （2）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值； 【解析】 （1）联结 BD ，交 AC 于点 O 联结 OE 、 OF 、 EF 易证 AE EC ，∴ OE AC 同理 OF AC ∴平面 AEC 与平面 AFC 所成角即 EOF 易证 Rt EBO ∽ Rt ODF ，∴ EOF 90 ，即平面 AEC 平面 AFC （或者以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，证 OE OF 0 ） （2）以 O 为坐标原点，射线 OB 为 x 轴， OC 为 y 轴， OG 为 z 轴，建立空间直角 坐标系，设菱形 ABCD 边长为 2，则点 A(0, 3, 0) ， E (1,0, 2) ，C (0, 3, 0) ，
C. 36 斛
【解析】 l r 8 【答案】B
3 16 1 1 1 16 320 r r ，∴ V Sh 3 ( )2 5 （立方尺） 2 3 3 3 4 3 9
7. 设 D 为△ ABC 所在平面内一点， BC 3CD ，则（ A. AD
【答案】3
16. 在平面四边形 ABCD 中， A B C 75 ， BC 2 ，则 AB 的取值范围是 ； 【解析】如图所示，当点 D 与点 A 接近于重合时， AB 最大， cos 75
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1
2015年普通高等学校招生全国统一考试
理 科 数 学
第I卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
（1）设复数z满足izz11，则z=( )
（A）1 (B)2 (C)3 (D)2
（2）000010sin160cos10cos20sin=( )
（A）-23 (B)23 (C) 21 (D)21
（3）设命题p:Nn，nn22，则p为( )
（A）nnNn2,2 （B）nnNn2,2
（C）nnNn2,2 （D）nnNn2,2
（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的
概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
（A）0.648 （B）0.432 (C)0.36 (D)0.312
（5）已知M（00,yx）是双曲线C:1222yX上的一点，21,FF是C的两个焦点，若
1MF02
MF
,则0y的取值范围是( )
（A）（33,33） （B）（63,63） （C）（322,322） （D）（332,332）
（6）《九章算术》是我过古代内容极为丰富的数
学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，
下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意
思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一
个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米
堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少
？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约
为3，估算出墙角的米约有（ ）
（A）14斛 （B）22斛
2
(C) 36斛 (D) 66斛
(7)设D为ABC所在平面内一点,BC =3CD,则（ ）
（A）AD=-ACAB3431 （B）AD=ACAB3431
（C）AD=-ACAB3134 （D）AD=ACAB3134
（8）函数)cos()(xxf的部分图像如图所示，则)(xf的单调递增区间为（ ）
（A）Zkkk),43,41(
（B）Zkkk),432,412(
（C）Zkkk),43,41(
（D）Zkkk),432,412(
（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（ ）
（A）5
（B）6
（C）7
（D）8
(10) 52)(yxx的展开式中，25yx的系数为（ ）
(A) 10 (B) 20 (C) 30 (D) 60
(11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一
个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，
该几何体的表面积为16+20，则r=（ ）
（A）1
(B) 2
(C) 4
(D) 5
3
（12）设函数,)12()(aaxxexfx其中1a，若存在唯一的整数0x使得0)(xf，
则a的取值范围是（ ）
（A）)1,23[e (B))43,23[e (C))43;23[e (D))1,23[e
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必
答。第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答。
二．填空题：本大题共4小题，每题5分。
（13）若函数)ln()(2xaxxxf为偶函数，则a=
(14)一个圆经过椭圆141622yx的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方
程为
（15）若x,y满足约束条件,04,0,01yxyxx则xy的最大值为
（16） 平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
nS为数列{m
a
}的前n项和 已知342,02mmmmSaaa
（I）求}{ma的通项公式。
（II）设11nnmaab，求数列}{nb的前n项和。
（18）（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD为菱形，0120ABC，E，F是平面ABCD同一侧的两点，
ABCDBE平面，ABCDDF平面
，BE=2DF，ECAE
（I）证明：平面AFCAEC平面；
（II）求直线AE与直线CF所成角的余弦值。
4
（19）（本小题满分12分）
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年
销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费1x和年销售
量iy（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。
表中1111181,iwwxw
(Ⅰ)根据散点图判断，y=a+bx与y=c+xd那一个适宜作为年销售量y关于年销售量x的回
归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(Ⅲ)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y-x，根据（Ⅱ）的结果回答下列问题；
（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据)(),.....,,(),,(2211nnvuvuvu，其回归直线V=uu的斜率和截距的最
小二乘估计分别为
uvuuvvuumimi^121111^,
)(
))((
5
（20）（本小题满分12分）
在直角坐标系xoy中，曲线C：42xy与直线:l)0(aakxy交于M，N两点。
（I）当0k时，分别求C在点M和N处的切线方程；
（II）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPNOPM ? 说明理由.
（21）（本小题满分12分）
已知函数xxgaxxxfln)(,41)(2
（I）当a为何值时，x轴为曲线)(xfy的切线；
（II）用minnm,表示m，n中的最小值，设函数h)(x=min{)(),(xgxf}(x>0),请讨论
h(x)零点的个数
6
请考生在第（22），（23），（24）3题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。
如果多做，则按所做的第一题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框
涂黑。
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AB是⊙O直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E。
（I）若点D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线：
（II）若CEOA3,求ACB的大小.
(23)(本小题满分10分)选修4-4；坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线,2:1xC圆1)2()1(:222yxC，以坐标原点为
极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
（I）求CC21,的极坐标方程；
（II）若直线C3的极坐标方程为)(4R，设2C与3C的交点为M，N，求
MNC2
的面积。
(24)（小题满分10分）修4-5：不定式选讲
已知函数0.||2|1|)(aaxxxf
（I）当a=1时，求不等式1)(xf的解集：
（II）若)(xf的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围
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参考答案：
一、1.A 2.D 3.C 4.A 5.A 6.B 7.A 8.D 9.C 10.C 11.B 12.D
二、13. 1 14.425)23(22yx 15. 3 16.)26,26(
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