1.3.2 函数的极值与导数_图文.ppt
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高中数学第1章导数及其应用1.3.2利用导数研究函数的极值b22b高二22数学
故当 x＝0 时，函数取得极小值，且 y 极小＝0.
12/12/2021
第十四页，共四十四页。
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1．讨论函数的性质要注意定义域优先的原则．
2．极值点与导数的关系
(1)可导函数的极值点一定是导数值为 0 的点，导数值为 0 的点
不一定是极值点．
点 x0 是可导函数 f(x)在区间(a，b)内的极值点的充要条件：
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(3)f(x)＝|x|＝x－，xx，≥x0<，0.
显然函数 f(x)＝|x|在 x＝0 处不可导，
当 x>0 时，f′(x)＝x′＝1>0，
函数 f(x)＝|x|在(0，＋∞)内单调递增；
当 x<0 时，f′(x)＝(－x)′＝－1<0，
函数 f(x)＝|x|在(－∞，0)内单调递减．
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2．函数 f(x)＝2x－cos x 在(－∞，＋∞)上( )
A．无最值
B．有极值
C．有最大值
D．有最小值
[解析] f′(x)＝2＋sin x>0 恒成立，所以 f(x)在(－∞，＋∞)上单调 递增，无极值，也无最值．
[答案] A
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3．下列说法正确的是________．(填序号) ①函数的最大值一定是函数的极大值； ②开区间上的单调连续函数无最值； ③函数 f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处 取得．
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1．观察[a，b]上函数 y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小 值．
提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．
1.3.2_函数极值与导数的关系(2课时)教程
函数极值与导数密切相关，极大值和极小值是在某点附近小区间内函数值的最大或最小。求导数极值点，首先需确定函数的定义域，接着求出函数的导数。随后，找出导数等于零的全部实号变化，来确定是极大值还是极小值。若左侧导数为正，右侧导数为负，则该点为极大值点；反之，则为极小值点。此外，需注意，导数等于零是函数取得极值的必要条件，但非充分条件，还需结合函数图像和导数的符号变化来综合判断。文档还通过实例和图像，进一步加深了对极值判定方法和求法的理解。
《函数的极大值与极小值》ppt课件
x3
3
4x
4)
'
=
x2
4
=
(
x
2)( x
2)
3
令y′=0，解得x1=－2，x2=2
当x变化时，y′，y的变化情况如下表
x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞)
f (x) +
0
－
0
+
f (x)
↗
28
极大值3
↘
极小值
4 3
↗
∴当x=－2时，y有极大值且y极大值= 28
当当a=-1/2时，f 由 f ( x) = 0 得
( x) = 3x2 3
x
=
1
2
或
2
x 3 2
x=
=
1
3( x
，
1)(
x
1 2
)
列表如下：
x
(, 1) 1
2
2
f (x) + 0
( 1 ,1) 2
－
1 (1, ) 0+
f (x) Z 极大值 ] 极小值 Z
在x=1时取极小值，符合题意． 综上a=-1/2．
函数f(x)的极大值为f(2)=
4 e2
14
例3.函数y=alnx+bx2+x在x=1和x=2处有
极值，(1)求a、b的值．
(2)求出极值并指出是极大值还是极小值
解：
y ' = (a ln x bx2 x) ' = a 2bx 1
x
由题意,在x=1和x=2处,导数为0
∴
a a 2
2b 1 = 0 4b 1 = 0
【非常学案】2014-2015学年高中数学人教B版选修2-2配套课件：1.3.2利用导数研究函数的极值
已知函数y＝f(x)及其定义域内 极 一点x0，如果对x0附近的所有 小 f(x)>f(x0) ，则称 点x，都有___________ 值 函数f(x)在点x0处取极小值
极 值
y极小＝f(x0) 记作：__________
极值点
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极大值点和极小值点 ________________________ 统称为极值点
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RB . 数学 . 选修2-2 【自主解答】 (1)y′＝6x(x2－1)2＝6x(x＋1)2(x－1)2.
令y′＝0解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1. 当x变化时，y′，y的变化情况如下表： x y′ y (－ ∞ ，－1) － －1 0 (－1， 0) － 0 0 (0，1) ＋ 1 0 (1，＋ ∞) ＋
课 前 自 主 导 学
●三维目标 1．知识与技能 (1) 结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要
课 堂 互 动 探 究
条件和充分条件；
(2) 理解函数极值的概念，会用导数求函数的极值与最 值．
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RB . 数学 . 选修2-2 2．过程与方法
结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值
【提示】
极值点两侧单调性必须相反，欲研究函数的
极值，需先研究函数的单调性．
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RB . 数学 . 选修2-2 求可导函数y＝f(x)的极值的步骤
(1)求导数f′(x)；
(2)求方程 f′(x)＝0 的所有实数根； (3)考察在每个根x0附近，______________ 从左到右 ，导函数f′(x)的 符号如何变化．
极 值
y极小＝f(x0) 记作：__________
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RB . 数学 . 选修2-2 【自主解答】 (1)y′＝6x(x2－1)2＝6x(x＋1)2(x－1)2.
令y′＝0解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1. 当x变化时，y′，y的变化情况如下表： x y′ y (－ ∞ ，－1) － －1 0 (－1， 0) － 0 0 (0，1) ＋ 1 0 (1，＋ ∞) ＋
课 前 自 主 导 学
●三维目标 1．知识与技能 (1) 结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要
课 堂 互 动 探 究
条件和充分条件；
(2) 理解函数极值的概念，会用导数求函数的极值与最 值．
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RB . 数学 . 选修2-2 2．过程与方法
结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值
【提示】
极值点两侧单调性必须相反，欲研究函数的
极值，需先研究函数的单调性．
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RB . 数学 . 选修2-2 求可导函数y＝f(x)的极值的步骤
(1)求导数f′(x)；
(2)求方程 f′(x)＝0 的所有实数根； (3)考察在每个根x0附近，______________ 从左到右 ，导函数f′(x)的 符号如何变化．
人教版高中数学选择性必修2《函数的极值与最大(小)值》PPT课件
根据以上信息，我们画出f（x）的大致图象如图所示.
（3）方程（）＝（ ∈ ）的解的个数为函数＝（）的图象与直线＝的
交点个数.
1
由（1）及图可得，当＝ − 2时，（）有最小值（ − 2）＝− e2.
所以，关于方程（）＝（ ∈ ）的解的个数有如下结论：
1
当 < − e2时，解为0个；
结合上面两图以及函数极值中的例子，不难看出，只要把函数＝（）的所有极值连同
端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.
在开区间（，）上函数的最值常见的有以下几种情况：
图（1）中的函数＝（）在（，）上有最大值而无最小值；
图（2）中的函数＝（）在（，）上有最小值而无最大值；
（2），（4），（6）是函数＝（）的极大值.
探究：进一步地，你能找出函数＝（）在区间［，］上的最小值、最大值吗？
从图中可以看出，函数＝（）在区间［，］上的最小值是（3 ），最大值是（）.
在下面两图中，观察［，］上的函数＝（）和＝（）的图象，它们在［，］上
当半径 < 2时， ′（） < 0，（）单调递减，即半径越大，利润越低.
（1）半径为6 cm时，利润最大.
（2）半径为2 cm时，利润最小，这时（2） < 0，表示此种瓶内饮料的利润还不
够瓶子的成本，此时利润是负值.
换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数（）的图象上观察，你
＝（）＝0.2 ×
4
3
π
3
−
3
2
0.8π ＝0.8π
3
− 2 ，0 < ≤ 6.
所以 ′（）＝0.8π（2 − 2）.
令 ′（）＝0，解得＝2.
当 ∈ （0，2）时， ′（） < 0；当 ∈ （2，6）时， ′（） > 0.
3.1.2 函数的极值 课件(北师大选修2-2)
(1)按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端 点a，b. (2)极值是一个局部性概念，只要在一个小邻域内成立 即可． (3)极大值与极小值没有必然的大小关系，也不唯一．
(4)在区间上单调的函数没有极值．
[例1]
求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5； ln x (2)f(x)＝ x .
增加的，在(－1,1)上是减少的，故f(x) 的极大值为f(－1)＝4，极小值为f(1)＝0，其大致图像如 图所示，零点个数为2. 答案：2
8．若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，
求a的取值范围． 解：∵f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)， 若f(x)有极大值和极小值，则f′(x)＝0有两个相异实根， ∴Δ＝36a2－4×3×3(a＋2)>0，解得a>2或a<－1， ∴a的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
答案：D
8 3．求函数y＝2x＋x的极值，并结合单调性、极值作出该 函数的图像．
解：函数的定义域为{x|x∈R，且x≠0}． 8 y′＝2－ 2，令y′＝0，得x＝± 2. x 当x变化时，y′、y的变化情况如下表：
x
(－∞， －2)
－2
(－2,0) (0,2)
2
(2，＋∞)
y′
y
＋
↗
0
极大值
－
1 2 (2)由(1)知f(x)＝x － x －2x＋c， 2
3
1 3 再由f(－1)＝－1－ ＋2＋c＝ ，得c＝1. 2 2 1 2 ∴f(x)＝x － x －2x＋1，∴f′(x)＝3x2－x－2. 2
3
2 2 当x<－ 或x>1时，f′(x)>0；当－ <x<1时，f′(x)<0. 3 3
函数的极值与导数
令 y 0 ,解得x1=-2,x2=2. 当x变化时, y ,y的变化情况如下表: x y’ y (-∞,-2) + ↗ -2 0 极大值28/3 (-2,2) ↘ 2 0 极小值-4/3 (2,+∞) + ↗
因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3; 而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=- 4/3.
(2):如果在x0附近的左侧 f ( x ) 0,右侧 f ( x ) 0,那么, f(x0)是极小值. 3.理解函数极值的定义时应注意以下几点:
(1)函数的极值是一个局部性的概念,极值点是区间内 部的点而不会是端点. (2)若f(x)在某区间内有极值,那么f(x)在某区间内一定 不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值. (3)极大值与极小值没有必然的大小关系,即极大值不 一定比极小值大,极小值不一定比极大值小. (4)函数f(x)在某区间内有极值,它的极值点的分布是 有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值 点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点. 一般地,当函数f(x)在某区间上连续且有有限极值 点时,函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点 是交替出现的. (5)导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是 充分条件.
y=f(x) f '(x)<0
o a o a b x b x 如果在某个区间内恒有 f ( x) 0 ,则 f (x)为常数.
2.求函数单调性的一般步骤
①求函数的定义域; ②求函数的导数
/（x） f
;
③解不等式 f/（x）>0 得f(x)的单调 递增区间; 解不等式 f/（x）<0 得f(x)的单调 递减区间.
二、新课讲解——函数的极值:
1. 观察右下图为函数y=2x3-6x2+7的图象,
因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3; 而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=- 4/3.
(2):如果在x0附近的左侧 f ( x ) 0,右侧 f ( x ) 0,那么, f(x0)是极小值. 3.理解函数极值的定义时应注意以下几点:
(1)函数的极值是一个局部性的概念,极值点是区间内 部的点而不会是端点. (2)若f(x)在某区间内有极值,那么f(x)在某区间内一定 不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值. (3)极大值与极小值没有必然的大小关系,即极大值不 一定比极小值大,极小值不一定比极大值小. (4)函数f(x)在某区间内有极值,它的极值点的分布是 有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值 点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点. 一般地,当函数f(x)在某区间上连续且有有限极值 点时,函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点 是交替出现的. (5)导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是 充分条件.
y=f(x) f '(x)<0
o a o a b x b x 如果在某个区间内恒有 f ( x) 0 ,则 f (x)为常数.
2.求函数单调性的一般步骤
①求函数的定义域; ②求函数的导数
/（x） f
;
③解不等式 f/（x）>0 得f(x)的单调 递增区间; 解不等式 f/（x）<0 得f(x)的单调 递减区间.
二、新课讲解——函数的极值:
1. 观察右下图为函数y=2x3-6x2+7的图象,
3.1.2 函数的极值 课件(北师大选修2-2)
(2)问可由(1)的结论，把问题转化为函数y＝f(x)与y＝a的图 像有3个不同的交点，利用数形结合的方法来求解．
[精解详析] 令f′(x)＝0，
(1)∵f′(x)＝3x2－3，
解得x1＝－1，x2＝1，
∴当x<－1或x>1时，f′(x)>0，
当－1<x<1时，f′(x)<0. ∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)； f(x)的单调递减区间为(－1,1)． 当x＝－1时，f(x)有极大值3；
(1)对于可导函数来说，y＝f(x)在极值点处的导数
为0，但导数为0的点不一定是极值点．例如，函数y＝
x3在x＝0处，f′(0)＝0，但x＝0不是函数的极值点． (2)可导函数f(x)在x0取得极值的充要条件是f′(x0)＝0， 且在x0左侧与右侧，f′(x)的符号不同． (3)若函数y＝f(x)在(a，b)内有极值，则y＝f(x)在(a，
(1)按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端 点a，b. (2)极值是一个局部性概念，只要在一个小邻域内成立 即可． (3)极大值与极小值没有必然的大小关系，也不唯一．
(4)在区间上单调的函数没有极值．
[例1]
求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5； ln x (2)f(x)＝ x .
重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分
类讨论的思想、数形结合思想在解题中的应用，熟练掌 握单调性问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合 问题的关键．
7．函数f(x)＝x3－3x＋2的零点个数为________． 解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，
可知f(x)在(－∞，－1)及(1，＋∞)上是
第3讲导数与函数的极值最值课件共83张PPT
2．导数与函数的最值 (1)函数 f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条 07 ___连__续__不__断___的曲线， 那么它必有最大值和最小值． (2)求 y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数 y＝f(x)在(a，b)上的 08 _极__值___. ②将函数 y＝f(x)的各极值与 09 __端__点__处__的__函__数__值__f(_a_)_，__f(_b_)_比较，其中 10 __最__大__的一个是最大值， 11 _最__小___的一个是最小值．
即 2x＋y－13＝0.
解
(2)显然 t≠0，因为 y＝f(x)在点(t,12－t2)处的切线方程为 y－(12－t2)＝
－2t(x－t)，
令
x＝0，得
y＝t2＋12，令
y＝0，得
t2＋12 x＝ 2t ，
所以 S(t)＝12×(t2＋12)·t2＋2|t1| 2.
不妨设 t＞0(t＜0 时，结果一样)，
例 1 (2021·南昌摸底考试)设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)， 且函数 y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1) C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2) D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2)
单调递减，所以 x＝1 是 f(x)的极大值点．②若 a<0，由 f′(x)＝0，得 x＝1
或 x＝－1a.因为 x＝1 是 f(x)的极大值点，所以－1a>1，解得－1<a<0.综合①②
函数的极值ppt课件
●
四 、不含参数的函数求极值
变式训练 求下列函数的极值：
(1)f(x)=x²e-×;
[解析](1)函数f(X) 的定义域为R,
f(x)=2xe-×+x²·e-×.(-x)'=2xe-×-x²e-×=x(2-x)e-×.
令f'(x)=0,得x(2-x)e-×=0,解得x=0 或x=2. 当x变化时，f'(x),f(x) 的变化情况如表所示：
2.对极值概念的再理解 (1 )极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是 最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值；
(2 ) 一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个； (3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系； (4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点； (5)单调函数一定没有极值.
e
f'(x)
十
0
f(x)
1
e
故当- 时，函数(x)取得极大值，且极大值为
●
(e,+0)
《
3求含参函数的极值
例2 已知函数f(x)=x-aln x(a∈R) ,求函数f(x)的极值.
①当a ≤0时，f(x)>0, 函数f(x)为(0,+0)上的增函数，函数f(x)无极值； ②当a>0 时，令f'(x)=0, 解得x=a,
课堂小结
y
f'(x₀)=0
f'(x)>0
f'(x)<0
y
f'(x <0
f'(x,)=0 f(x)
>0
a Xo b