24.1.2垂径定理
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24.1.2垂径定理
再逛赵州石拱桥
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱 桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对 是弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距 离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的半径(精 确到0.1m). 如图，用 AB 表示桥拱， AB所在圆的圆心为O，半径为Rm， 经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 AB 相交于点C.根 据垂径定理，D是AB的中点，C是 AB 的中点，CD就是拱高.
C
推论：平分弦（不是直径）的 直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧．
A
O · E B
D
由 ① CD是直径 ③ AE=BE
可推得
②CD⊥AB, ⌒ ⌒ ④ AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤
垂径定理的几个基本图形
C
A D
O A D E B
B
A
O D C B
O
A
C D O
B
C
A
O C B
巩固练习
1，在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等 的线段或相等的圆弧.
AB 37, CD 7.23, 1 1 AD AB 37 18.5, 2 2 OD OC DC R 7.23.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
由题设知
37
C
7.23
A
18.5
D
B
R-7.23
R
OA2 AD2 OD2 , 即R2 18.52 ( R 7.23)2.
E D
并且平分弦对的两条弧。
自学指导
阅读课本82页:第1行—第8行,完成学思练: 自学与检测中的问题1,2
C
·
M A A′
O
D
24.1.2垂径定理 (二)
D
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
根据垂径定理及推论思考
对于一个圆和一条直线来说，如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
C
A
B
E
●O
D
①平分弧的直径平分弧所对的弦
两个量，如图有：
a
h
2
⑴d + h = r
d
⑵ r2 d 2 (a)2
O
2
即
18.72+（R－7.2）2 = R2
解得：R≈27．9（m）
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
垂径定理的应用
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截 面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深 度.
O
A
┌E
B
D
600
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截 面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深 度.
A
60D0
B
O ø 650
C
挑战自我
圆的两条平行弦所夹的弧相等
如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相 等吗?
提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况: 1.两条弦在圆心的同侧 2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
C
D
A C
B ●O
D
测试
1.如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ，DC＝2㎝， 直径CE⊥AB于D，求半径OC的长。
A
E
B
C
·
24.1.2垂径定理
AO 根据勾股定理，得： 2 OM 2 AM 2
∴ AM AO 2 OM 2 10 2 6 2 8 ∴ AB = 2AM = 2 x 8 = 16
• 例2 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是 弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为 F,EF=90m.求这段弯路的半径.
用现在的数学语言表述是：“如 图FD为⊙A的直径，弦BE⊥FD，垂足 为C，CD＝1寸，BE＝10寸，求直径FD 的长．”
直径 直径
垂直弦 平分弦 平分弧 平分另一弧
平分弦 平分弧 平分另一弧 垂直弦
作业:如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
●
B
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC和BC重合, AD和BD重合. ⌒ ⌒ =BD. AD
⌒ ⌒ ∴AC =BC,
垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦 所对的两条弧.
C
A
E
B由 ① CD是直径
●
可推得
③AE=BE,
O
② CD⊥AB
⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
D
垂直于弦的直径平分弦，并平分弦所对的两条弧。
你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋 代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智 慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧 所对的弦长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的 距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径 吗？（精确到0.1m）
A B
O
解决求赵州桥拱半径的问题
37.4m
C
7.2m
B O A D C
O E D C
∴ AM AO 2 OM 2 10 2 6 2 8 ∴ AB = 2AM = 2 x 8 = 16
• 例2 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是 弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为 F,EF=90m.求这段弯路的半径.
用现在的数学语言表述是：“如 图FD为⊙A的直径，弦BE⊥FD，垂足 为C，CD＝1寸，BE＝10寸，求直径FD 的长．”
直径 直径
垂直弦 平分弦 平分弧 平分另一弧
平分弦 平分弧 平分另一弧 垂直弦
作业:如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
●
B
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC和BC重合, AD和BD重合. ⌒ ⌒ =BD. AD
⌒ ⌒ ∴AC =BC,
垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦 所对的两条弧.
C
A
E
B由 ① CD是直径
●
可推得
③AE=BE,
O
② CD⊥AB
⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
D
垂直于弦的直径平分弦，并平分弦所对的两条弧。
你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋 代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智 慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧 所对的弦长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的 距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径 吗？（精确到0.1m）
A B
O
解决求赵州桥拱半径的问题
37.4m
C
7.2m
B O A D C
O E D C
24.1.2垂径定理2014.10.27
解：OE AB
AE
1 2
AB
1 2
8
4
在 Rt△ AO 中
OA2 EOE2 AE2
A
E
B
O·
OA OE2 AE2 32 42 5 cm
答：⊙O的半径为5 cm。
练习：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ， DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
E
求半径OC的长。
解：由题DC =2cm, O
∴OD =OC-DC
练习
6、将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸 片上，使其一边经过圆心O,另一边所在直线 与半圆交于点D、E, 量出半径 OC = 5cm,弦 DE=8cm。求直尺的宽度。
D
C
E
A
O
B
练习
5、已知P为⊙ O内一点，且OP＝2cm，如果 ⊙ O的半径是3cm，那么过P点的最短的
弦等于 2 5 c. m
DE=10㎝，CE=2㎝，求弦AB的长。
F
D
解：∵CD=CE+DE=12cm
E C
O
∴OC=6cm，OE=4cm
B
又∵∠OEF ∠CEB=30
∴OF= 1 OE=2cm 2
由勾股定理
AF 2 AO2 OE 2
∴AF =4 2cm
∴AB弦的长8 2cm
已知A、B、C是⊙O上三点，且AB=AC，圆心 O到BC的距离为3厘米，圆的半径为5厘米， 求AB长。
A
O
B
D
C
A
D
B
C
O
AB 10cm
AB 2 5cm
4、如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8, 点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）, 连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于 E,OF⊥BP于F,EF= 。
24.1.2-3圆的垂直定理及弦、弧、圆心角
B
(4)
(5)
填空：
1、如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若 AB⊥CD（或AC=AD，或BC=BD） _____________________________________________________ ， 则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件） 2、如图：已知AB是⊙O的弦，OB=4cm，∠ABO=300，则O 到AB的距离是___________cm ，AB=_________cm. 2 4 A C E 。 O B 第1题图 D 。 O H
⌒ ⌒ = AOB COD ． （1）如果AB=CD，那么___________ AB CD ，_________________ AOB COD AB=CD （2）如果 ⌒ = ⌒ ，那么____________ ， ______________ ． AB CD ⌒ =⌒ AB=CD
又因为OE
所以
、OF是AB与CD对应边上的高，
O
·
F
D
OE = OF.
C
⌒ = ⌒ , ∠COD=35°， = 2.如图，AB是⊙O的直径， ⌒ BC CD DE
求∠AOE的度数．
解： E D C A
⌒
⌒ =⌒ = BC CD DE
BOC=COD=DOE=35
O
·
AOE 180 3 35
A O· B 如图中所示， ∠AOB就是一个圆心角。
三、探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能 发现哪些等量关系？为什么？ A′ A′ B B B′ B′
O
·
A
O
·
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，显然 ∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等， OA=OA′，OB=OB′，从而点A与A′重合，B与B′重合．
24.1.2垂径定理2
24.1.2 垂直于弦的直径 练习
复习回顾 1、垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦 · E
2、垂径定理的推论： D 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧． 3、五要素“知二推三”： O ①经过圆心 ②垂直弦 ③平分弦 ④平分优弧 ⑤平分劣弧 弦心距
半径、弦长、弦心距、弓形高
“知二求二”
A
O B
链接中考
2.（江西）如图，点A、B是⊙O上两点，AB=10， 点P是⊙ O上的动点，（P与A，B不重合），连 接AP、PB，过点O分别OE⊥AP于E，OF⊥PB 于F，则EF= ——。
O A E P B F
例题选讲 例3.如图是一个圆形瓷片的残片，你能找到它的 圆心吗？（保留作图痕迹）
A
B
B
A
双基训练 .如图，水平放置的一个油管的截面半径为 13cm，其中有油部分油面宽AB=24cm，则截 8cm 面上有油部分最大深度CD= —————— 半径、弦长、弓形的高、 圆心到弦的距离
A C D O B
知二求二
思维拓展 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修 人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径， 下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）请你补全这个输水管道的圆形截面； （2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16 cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截 面的半径．
A
B
C
B
4、基本图形：
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦
④平分弦的直径垂直于这条弦
⑤弦的垂直平分线是圆的直径
⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦
随堂训练 1．如图，在⊙O中，弦AB的
复习回顾 1、垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦 · E
2、垂径定理的推论： D 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧． 3、五要素“知二推三”： O ①经过圆心 ②垂直弦 ③平分弦 ④平分优弧 ⑤平分劣弧 弦心距
半径、弦长、弦心距、弓形高
“知二求二”
A
O B
链接中考
2.（江西）如图，点A、B是⊙O上两点，AB=10， 点P是⊙ O上的动点，（P与A，B不重合），连 接AP、PB，过点O分别OE⊥AP于E，OF⊥PB 于F，则EF= ——。
O A E P B F
例题选讲 例3.如图是一个圆形瓷片的残片，你能找到它的 圆心吗？（保留作图痕迹）
A
B
B
A
双基训练 .如图，水平放置的一个油管的截面半径为 13cm，其中有油部分油面宽AB=24cm，则截 8cm 面上有油部分最大深度CD= —————— 半径、弦长、弓形的高、 圆心到弦的距离
A C D O B
知二求二
思维拓展 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修 人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径， 下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）请你补全这个输水管道的圆形截面； （2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16 cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截 面的半径．
A
B
C
B
4、基本图形：
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦
④平分弦的直径垂直于这条弦
⑤弦的垂直平分线是圆的直径
⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦
随堂训练 1．如图，在⊙O中，弦AB的
人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教案2
人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教案2一. 教材分析《垂径定理》是人教版数学九年级上册第24章第一节的一部分，主要介绍了圆中垂径定理的内容。
垂径定理是指：圆中，如果一条直径的两端点分别连接圆上两点，那么这条直径垂直于连接这两点的弦。
这一定理是九年级学生学习圆的基础知识，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的周长、直径等。
但是，对于垂径定理的理解和运用还需要进一步引导。
此外，学生对于几何图形的观察和分析能力有待提高，因此需要通过实例讲解和动手操作来帮助学生理解和掌握垂径定理。
三. 教学目标1.让学生理解垂径定理的内容，并能够运用垂径定理解决实际问题。
2.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.提高学生的观察和分析能力，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：理解并掌握垂径定理的内容。
2.难点：如何运用垂径定理解决实际问题。
五. 教学方法1.实例讲解：通过具体的图形和实例，讲解垂径定理的内容和运用。
2.动手操作：让学生亲自动手画图和验证垂径定理，提高学生的实践能力。
3.小组讨论：学生进行小组讨论，分享学习心得和解决问题的方法。
4.问题解决：引导学生运用垂径定理解决实际问题，培养学生的解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示垂径定理的图形和实例。
2.教学素材：准备一些相关的几何图形和题目，用于讲解和练习。
3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾圆的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示垂径定理的图形和实例，引导学生观察和分析，然后讲解垂径定理的内容和证明过程。
3.操练（10分钟）教师给出一些相关的题目，让学生亲自动手画图和验证垂径定理，提高学生的实践能力。
垂径定理课件
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
圆的两条平行弦所夹的弧相等
试一试P93 12
挑战自我填一填
1、判断： ⑴垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对
的两条弧.
（
（（
）
） ） ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所 对的另一条弧. ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （
A B A B
C O C D O
D
（1）
（2）
讲解
如果圆的两条弦互相平 行，那么这两条弦所夹 的弧相等吗？
已知：⊙O中弦 AB∥CD。 求证：AC＝BD
⌒ ⌒
M C A
.O
N
D B
证明：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD， ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴MN⊥CD。则AM＝BM，CM＝DM（垂 直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧） AM－CM ＝ BM －DM ∴AC＝BD
A E
. O
B
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E， 则OE＝3厘米，AE＝BE。 ∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米
在Rt AOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。
垂径定理的推论
如图,在下列五个条件中: ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM,
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ④AC = BC, ⑤ AD = BD.
C
M└
●
B O
D
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ 重合, ⌒ AC和BC重合, ⌒ AD和BD重合.
⌒ =BC, ⌒ AD ⌒ =BD. ∴AC
⌒
圆的两条平行弦所夹的弧相等
试一试P93 12
挑战自我填一填
1、判断： ⑴垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对
的两条弧.
（
（（
）
） ） ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所 对的另一条弧. ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （
A B A B
C O C D O
D
（1）
（2）
讲解
如果圆的两条弦互相平 行，那么这两条弦所夹 的弧相等吗？
已知：⊙O中弦 AB∥CD。 求证：AC＝BD
⌒ ⌒
M C A
.O
N
D B
证明：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD， ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴MN⊥CD。则AM＝BM，CM＝DM（垂 直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧） AM－CM ＝ BM －DM ∴AC＝BD
A E
. O
B
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E， 则OE＝3厘米，AE＝BE。 ∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米
在Rt AOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。
垂径定理的推论
如图,在下列五个条件中: ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM,
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ④AC = BC, ⑤ AD = BD.
C
M└
●
B O
D
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ 重合, ⌒ AC和BC重合, ⌒ AD和BD重合.
⌒ =BC, ⌒ AD ⌒ =BD. ∴AC
⌒
垂径定理
课题
24.1.2垂直于弦的直径
教
与
学
的
过
程
三、质疑
释疑
四、巩固
深入
（一）探索与交流
1把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
2如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
我思我想：
在⊙O中，AB和CD为两条弦，且AB∥CD，直径MN经过AB中点E，交CD于F，试问：
（1）点F是CD的中点吗？
（2）AC=BD吗?
1.小明学完本节课，逆向思考得出了一个结论：“弦的垂直平分线一定经过圆心，并且平分弦所对的两条弧”你认为他的猜想正确吗？为什么？
你能利用上面的结论,帮助考古学家利用尺规作图的方法确定下面圆盘的圆心吗？
2如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
变式1：如图，⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，则点O到AB的距离为
变式2：如图，⊙O的半径为5cm，点O到AB的距离为3cm，则弦AB的长为
变式3：如图，弦AB的中点到这条弦所对劣弧的中点的距离是
3如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点D，根据前面的结论，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高．
预测质量目标：优（）良（）及格（）不及格（）
预测情感目标：1、学习兴趣：A（）B（）C（）
2、学习习惯：A（）B（）C（）
3、思想方法：A（）B（）C（）
达成质量目标：优（）良（）及格（）不及格（）
24.1.2垂直于弦的直径
教
与
学
的
过
程
三、质疑
释疑
四、巩固
深入
（一）探索与交流
1把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
2如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
我思我想：
在⊙O中，AB和CD为两条弦，且AB∥CD，直径MN经过AB中点E，交CD于F，试问：
（1）点F是CD的中点吗？
（2）AC=BD吗?
1.小明学完本节课，逆向思考得出了一个结论：“弦的垂直平分线一定经过圆心，并且平分弦所对的两条弧”你认为他的猜想正确吗？为什么？
你能利用上面的结论,帮助考古学家利用尺规作图的方法确定下面圆盘的圆心吗？
2如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
变式1：如图，⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，则点O到AB的距离为
变式2：如图，⊙O的半径为5cm，点O到AB的距离为3cm，则弦AB的长为
变式3：如图，弦AB的中点到这条弦所对劣弧的中点的距离是
3如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点D，根据前面的结论，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高．
预测质量目标：优（）良（）及格（）不及格（）
预测情感目标：1、学习兴趣：A（）B（）C（）
2、学习习惯：A（）B（）C（）
3、思想方法：A（）B（）C（）
达成质量目标：优（）良（）及格（）不及格（）
24.1.2垂径定理(2)
（3）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （√ ）
E
例2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ， 直径CE⊥AB于D， DC＝2㎝， 求半径OC的长。
A
C
O
D B
C
O
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 A B 圆心到弦的距离d、弦长a、 弓形高h中，任意知道两个量，可根据 垂径 D 定理求出第三个量：
垂径垂足为E . ⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长. ⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长. ⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你还能编出什么其他问题？
C
a 2 ⑴d + h = r ⑵ r d ( ) 2
2 2
这是圆特有的一个性质:圆的 旋转不变性
想一想 P94 2
圆心角
• 圆心角 顶点在圆心的角(如∠AOB). • 弦心距 过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离(如线段OD). • 如图,在⊙O中,分别作相等的圆心角和∠AOB和∠A′OB′, 将 其中的一个旋转一个角度,使得OA和O′A′重合. D
1 1 AD AB 37.4 18.7, 2 2 OD OC DC R 7.2.
7.2
A
D R
B
OA2 AD2 OD2 , 即R2 18.72 ( R 7.2)2 .
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈27.9（m）. 答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
●
O′
┏ A′ D′ B′
如由条件: ③AB=A′B′
可推出
┏ A′ D′ B′ ①∠AOB=∠A′O′B′
②AB=A′B′ ④ OD=O′D′
E
例2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ， 直径CE⊥AB于D， DC＝2㎝， 求半径OC的长。
A
C
O
D B
C
O
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 A B 圆心到弦的距离d、弦长a、 弓形高h中，任意知道两个量，可根据 垂径 D 定理求出第三个量：
垂径垂足为E . ⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长. ⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长. ⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你还能编出什么其他问题？
C
a 2 ⑴d + h = r ⑵ r d ( ) 2
2 2
这是圆特有的一个性质:圆的 旋转不变性
想一想 P94 2
圆心角
• 圆心角 顶点在圆心的角(如∠AOB). • 弦心距 过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离(如线段OD). • 如图,在⊙O中,分别作相等的圆心角和∠AOB和∠A′OB′, 将 其中的一个旋转一个角度,使得OA和O′A′重合. D
1 1 AD AB 37.4 18.7, 2 2 OD OC DC R 7.2.
7.2
A
D R
B
OA2 AD2 OD2 , 即R2 18.72 ( R 7.2)2 .
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈27.9（m）. 答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
●
O′
┏ A′ D′ B′
如由条件: ③AB=A′B′
可推出
┏ A′ D′ B′ ①∠AOB=∠A′O′B′
②AB=A′B′ ④ OD=O′D′