2412垂径定理 ( 2)-课件【PPT】
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九年级上册24.1.2垂径定理同步课件人教版
∴AE=BE,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
C
（1）如何证明？
已知：如图，CD是⊙O的直径，
·O
AB为弦，且AE=BE.
求证：CD⊥AB，且⌒ AD=BD,
⌒
A
A⌒C =⌒BC
E DOA=OB
∵ AE=BE
∴ CD⊥AB A⌒D=⌒BD, A⌒C =⌒BC
垂径定理推论
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
24.1.2垂径定理
学习目标
到AB的距离为3cm，求⊙O的半径． 重合，点A与点B重合，AE与BE重合， 、
• 1.了解圆的轴对称性。 重合，点A与点B重合，AE与BE重合， 、
线段：AE=BE 4、弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm， 弧： AC=BC AD=BD 片上，使其一边经过圆心O,另一边所在直线 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆 垂径定理的内容是什么?画出适合题意的图形,用符号语言表示出来. 垂径定理的推论是什么？如何证明？如何用几何语言表示？
平分弦（不是直径）的直径垂直于
弦,并且平分弦所对的两条弧。
C
符号语言
∵ CD是直径， AE=BE
·O
∴ CD⊥ABA,⌒C ⌒ A⌒D ⌒
AE
B
=BC, =BD.
D
3.辨析定理的应用条件：
下列哪些图形能直接满足垂径定理的题设条件?
O
O
O
(1)
(2)
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
C
（1）如何证明？
已知：如图，CD是⊙O的直径，
·O
AB为弦，且AE=BE.
求证：CD⊥AB，且⌒ AD=BD,
⌒
A
A⌒C =⌒BC
E DOA=OB
∵ AE=BE
∴ CD⊥AB A⌒D=⌒BD, A⌒C =⌒BC
垂径定理推论
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
24.1.2垂径定理
学习目标
到AB的距离为3cm，求⊙O的半径． 重合，点A与点B重合，AE与BE重合， 、
• 1.了解圆的轴对称性。 重合，点A与点B重合，AE与BE重合， 、
线段：AE=BE 4、弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm， 弧： AC=BC AD=BD 片上，使其一边经过圆心O,另一边所在直线 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆 垂径定理的内容是什么?画出适合题意的图形,用符号语言表示出来. 垂径定理的推论是什么？如何证明？如何用几何语言表示？
平分弦（不是直径）的直径垂直于
弦,并且平分弦所对的两条弧。
C
符号语言
∵ CD是直径， AE=BE
·O
∴ CD⊥ABA,⌒C ⌒ A⌒D ⌒
AE
B
=BC, =BD.
D
3.辨析定理的应用条件：
下列哪些图形能直接满足垂径定理的题设条件?
O
O
O
(1)
(2)
2024版《垂径定理》优秀ppt课件
《垂径定理》优秀ppt课件目录•垂径定理基本概念与性质•垂径定理证明方法•垂径定理在几何问题中应用•垂径定理在代数问题中应用•垂径定理拓展与延伸•总结回顾与课堂互动环节垂径定理基本概念与性质垂径定义及性质垂径定义从圆上一点向直径作垂线，垂足将直径分成的两条线段相等，且垂线段等于半径与直径之差的平方根。
垂径性质垂径所在的直线是圆的切线，且垂径平分过切点的半径。
垂线与直径关系垂线与直径垂直垂线垂直于直径，且垂足在直径上。
垂线与直径平分垂线平分直径，即垂足将直径分为两段相等的线段。
03垂径长度与直径关系垂径长度等于直径的一半减去半径，即垂径长度与直径成线性关系。
01垂径长度公式垂径长度= 半径-直径/2。
02垂径长度与半径关系垂径长度等于半径与直径之差的平方根，即垂径长度与半径成比例关系。
垂径长度计算垂径定理证明方法通过圆的性质，如弦的中垂线过圆心等，结合已知条件进行推导。
利用圆的性质利用相似三角形利用勾股定理构造与垂径相关的相似三角形，通过相似比和已知条件进行证明。
在直角三角形中，利用勾股定理和已知条件进行推导和证明。
030201建立坐标系以圆心为原点建立平面直角坐标系，将圆的方程表示为$x^2+y^2=r^2$。
垂径表示设垂径的两个端点分别为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，则垂径的方程可表示为$y-y_1=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$。
求解交点联立垂径方程和圆的方程，求解交点坐标，进而证明垂径定理。
1 2 3设圆心为$O$，垂径的一个端点为$A$，另一个端点为$B$，则向量$vec{OA}$和$vec{OB}$可分别表示为垂径的两个向量。
向量表示利用向量的点积运算和模长运算，结合已知条件进行推导和证明。
向量运算通过向量运算，可得垂径定理的向量形式为$(vec{OA}+vec{OB})cdot vec{AB}=0$。
垂径定理的向量形式垂径定理在几何问题中应用求解三角形问题利用垂径定理求解直角三角形01通过垂径将直角三角形划分为两个较小的直角三角形，便于求解边长和角度。
人教版九年级上册数学垂径垂径定理PPT精品课件
A
AE
BE
1 2
AB
4,
OE
3
连结OA,在RtAOE中，根据勾股定理:
E
B
.O
OA AE 2 OE 2
32 42 5
人教版九年级上册数学课件：24.1.2 垂径垂径定理
∴⊙O的半径为5厘米。
人教版九年级上册数学课件：24.1.2 垂径垂径定理
2.在半径为30㎜的⊙O中，弦AB=36㎜，求O 到AB的距离。
温固而知新
一、圆的定义：
平面上到定点的距离等于定 长的所有点组成的图形叫做圆.
二、圆的相关概念
B
1、连接圆上任意两点间 直径
的线段叫做弦(如弦AB).
O.
经过圆心的弦叫做直径
C
(如直径AC).
A
弦
2.圆弧:连接圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
以A、B为端点的弧记作 AB ，
读作：“圆弧AB”或“弧AB”C
解：过O点作OP⊥AB，连OA.
AP
BP
1 AB 2
18,
A
在Rt⊿AOP中，根据勾股定理：
OP AO 2 AP 2
302 182 24
∴O到AB的距离为24mm。
PB
O
人教版九年级上册数学课件：24.1.2 垂径垂径定理
人教版九年级上册数学课件：24.1.2 垂径垂径定理
3.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大 圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有 什么关系？为什么？
解： AC＝BD，
理由是：
过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE.
∴ AE－CE＝BE－DE 即 AC＝BD
O.
2.3《垂径定理》课件2 (共19张PPT)
该定理的题设是： 垂直于弦的直径 该定理的结论是： 平分这条弦，并且平 分弦所对的弧 几何语言叙述定理：
∵CD为⊙O的直径，且CD⊥AB，（条件） . （结论） ， ∴AM＝BM， ＝ BC AC AD ＝ BD
C A M O B
D
D
在下列图形，符合垂径定理的条件吗？
A C B D E O (2) A E O D (3) D O A E C (6) B A O E B (7) B A E O (4) B
2
在Rt△AEO中，由勾股定理 得 OA2 =OE 2 +AE 2 .
即
r 2 =(r -2)2 +4.
解得 r=5.
∴ CD = 2r = 10 (cm).
E A 例2.如图，已知在⊙O中，弦AB的长为 .O 8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O 的半径。 解：连结OA ∵OE ┴ AB于E. OE=3 1 ∴AE= 2 AB=4 由勾股定理得： ∴OA=√AE2+OE2=5
C
圆是轴对称图形， 对称轴是任意一条过 圆心的直线（直径）.
O
D
2.在对折⊙O后，用针在半圆上刺一个小孔，得 两个重合的点 A、B (如图①).把对折的圆摊平，那么 折痕 CD 是直径，点 A、B 是关于直线 CD 的一对对 称点.连接 AB，得弦 AB(如图②)，这时直径 CD 与弦 AB有怎样的位置关系？
B
O
练一练 如图a、b,一弓形弦长为 4 6 cm，弓形所在的
2cm或____ 12cm 圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿ ＿.
C
A
C B A
D
O 图a
O
D 图b
B
1、从知识上学习了什么？ 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦对的 两条弧。 ２、从方法上学习了什么？ （1).垂径定理是圆中一个重要的结论,叙述语言要准确, 一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得 ③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 （2).垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦 心距等问题的方法，构造直角三角形 （3).解决有关弦的问题时，经常 ①连结半径； ②过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为应用 垂径定理创造条件。
《垂径定理》PPT教学课件
D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴
2.⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是( C )
A.∠AOD＝∠BOD
B.AD＝BD
C.OD＝DC D.
AC BC
3.半径为5的⊙O内有一点P，且OP＝4，则过点P的最
长弦的长是10，最短弦的长是
6 .
4.已知⊙O中，弦AB＝8 cm，圆心到AB的距离为3 cm，
28.4 垂径定理
学习目标
1.理解垂径定理的证明过程，掌握垂径定理及其
推论.（重点）
2.会用垂径定理进行简单的证明和计算.（难点）
新课导入
操作：在纸上画一个圆，并把这个圆剪下来，再沿着圆的一
条直径所在直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你
能得到什么结论？
问题 ：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
课堂小结
定 理
垂
径
定
理
推论
辅助线
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的弧
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
两 类 辅 助 线 ：
连半径，作弦心距
构造Rt△,利用勾股定理计算或建立方程
·O
A
E
D
B
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明
为什么？
C
C
A
O
C
B
O
A
A
E
D
是
B
不是，因为
没有垂直
O
O
E
是
B
A
E
D
B
不是，因为CD
2.⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是( C )
A.∠AOD＝∠BOD
B.AD＝BD
C.OD＝DC D.
AC BC
3.半径为5的⊙O内有一点P，且OP＝4，则过点P的最
长弦的长是10，最短弦的长是
6 .
4.已知⊙O中，弦AB＝8 cm，圆心到AB的距离为3 cm，
28.4 垂径定理
学习目标
1.理解垂径定理的证明过程，掌握垂径定理及其
推论.（重点）
2.会用垂径定理进行简单的证明和计算.（难点）
新课导入
操作：在纸上画一个圆，并把这个圆剪下来，再沿着圆的一
条直径所在直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你
能得到什么结论？
问题 ：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
课堂小结
定 理
垂
径
定
理
推论
辅助线
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的弧
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
两 类 辅 助 线 ：
连半径，作弦心距
构造Rt△,利用勾股定理计算或建立方程
·O
A
E
D
B
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明
为什么？
C
C
A
O
C
B
O
A
A
E
D
是
B
不是，因为
没有垂直
O
O
E
是
B
A
E
D
B
不是，因为CD
沪科版九年级下册数学：24.2 垂径定理 课件(共17张PPT)
D
弦长
半径 O
弦心距
A 半弦长 E
B
C
黄金三角形
勾股定理
如图，AB 是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E， 若CD=6，BE=1，求⊙O的半径
A
O
C
E
D
B
绝招
弦长
黄金三角形
找到三角形三边长
勾股定理
已知， ⊙O的半径为5，弦AB=6，弦CD=8， AB∥CD，求这两条弦AB、CD的距离
A
FB
O
A C
DB
垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所 对的两条弧.
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦 所对的两条弧.
C
A
┗●
B
M●O
CD是直径 可推得 AM=BM
CD⊥AB
A⌒C=B⌒C A⌒D=B⌒D
D
例：已知△OCD为 等腰三角形，底CD 交⊙O于A 、B, 求证：AC=BD
例题解析
1400年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是 圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧 的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径 (精确到0.1m).
赵州石拱桥
7.2
A
37.4
C
D
B
R
O
练习
2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
24.2.2 垂径定理
想一想
1.圆是轴对称图形吗？
●O
圆是轴对称图形. 其对称轴是任意一条过圆心的直线.
用折叠的方法即可解决这个问题.
圆也是中心对称图形. 它的对称中心就是圆心.
弦长
半径 O
弦心距
A 半弦长 E
B
C
黄金三角形
勾股定理
如图，AB 是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E， 若CD=6，BE=1，求⊙O的半径
A
O
C
E
D
B
绝招
弦长
黄金三角形
找到三角形三边长
勾股定理
已知， ⊙O的半径为5，弦AB=6，弦CD=8， AB∥CD，求这两条弦AB、CD的距离
A
FB
O
A C
DB
垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所 对的两条弧.
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦 所对的两条弧.
C
A
┗●
B
M●O
CD是直径 可推得 AM=BM
CD⊥AB
A⌒C=B⌒C A⌒D=B⌒D
D
例：已知△OCD为 等腰三角形，底CD 交⊙O于A 、B, 求证：AC=BD
例题解析
1400年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是 圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧 的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径 (精确到0.1m).
赵州石拱桥
7.2
A
37.4
C
D
B
R
O
练习
2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
24.2.2 垂径定理
想一想
1.圆是轴对称图形吗？
●O
圆是轴对称图形. 其对称轴是任意一条过圆心的直线.
用折叠的方法即可解决这个问题.
圆也是中心对称图形. 它的对称中心就是圆心.
公开课《2412垂径定理》课件
图形描述
在圆中画出一条弦AB和经 过圆心O的直径CD，使它 们垂直相交于点E。再连接 OA和OB。
重点标注
标注出弦AB、直径CD、 交点E、圆心O、半径OA 和OB。
辅助线
无需添加辅助线，直接通 过已知条件和假设进行证 明。
04
垂径定理应用举例分析
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
已知条件及假设
已知条件
在圆中，有一条弦AB和经过圆心O的直径CD，且AB与CD垂直相交于点E。
假设
我们需要证明的是，弦AB被直径CD平分，即AE=EB。
证明步骤梳理
1. 连接OA和OB，由于OA和OB都是 半径，所以OA=OB。
垂径定理相关性质
垂径定理
垂直于弦的直径平分这 条弦，并且平分弦所对
的两条弧；
推论1
平分弦（不是直径）的 直径垂直于弦，并且平
分弦所对的两条弧；
推论2
弦的垂直平分线经过圆 心，并且平分弦所对的
两条弧；
推论3
平分弦所对的一条弧的 直径，垂直平分弦，并 且平分弦所对的另一条
弧。
03
垂径定理证明过程详解
问题。通过运用垂径定理，可以揭示市场运行的一些基本规律和特点。
05
学生自主思考与探究环节
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
提出问题和假设
01
02
03
04
问题1
什么是垂径定理？它在几何学 中有什么重要性？
问题2
垂径定理的逆定理是什么？它 与垂径定理有何联系？
(优)人教版九级数学上册 2412垂径定理教学课件ppt文档
C
A
D
B
O
练习
5、已知P为⊙ O内一点，且OP＝2cm，如果 ⊙ O的半径是3cm，那么过P点的最短的
弦等于 2 5 c. m
B
O
D
P E
C
A
练习
6、将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸
②平分弦的直线必垂直弦
片上，使其一边经过圆心O,另一边所在直线 （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
(2)
(3)
O
O
(4)
(5)
(6)
解决求赵州桥拱半径的问题
如图，用 A表B 示主桥拱，设AB 所A在圆的圆心为O，半
径为R．经过圆心O 作弦AB 的B垂线OC，D为垂足，
OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D是AB的中
点，C是 A的B 中点，CD就是拱高．
C
在图中 ，，
AD
1 2
AB
1 2
37.4
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条
直径所在直线都是它的对称轴．
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足 为E．
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（（21））你是能轴发对现称图中图有形那．些直相径等C的D线所段在和弧？为什么？C 的直线是它的对称轴