垂径定理课件优秀课件
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《垂径定理推论》课件
04
答案4
圆上一点P(a,b)到圆心的距离公 式为sqrt((a - h)^2 + (b - k)^2) 。解析：利用两点之间的距离公 式，我们知道点P到圆心的距离 等于点P的横坐标与圆心横坐标 之差的平方和加上点P的纵坐标 与圆心纵坐标之差的平方和的平 方根。
06
总结与展望
本节课的总结
知识要点回顾 垂径定理推论的基本概念和定理表述。
能力目标
能够运用垂径定理及其推 论解决实际问题，提高数 学应用能力。
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和 热爱，增强数学学习的自 信心和成就感。
02
垂径定理推论的基本概念
定义与性质
定义
垂径定理推论是关于圆的定理， 它描述了从圆心到圆上任一点的 连线（即半径）与通过该点的圆 的切线之间的关系。
性质
对定理的深入理解
定理的证明过程
深入理解垂径定理推论的证明过程，可以帮助我们更好地掌握其内涵和应用。通 过逐步推导和解析，可以更清晰地理解定理的逻辑和严密性。
定理的几何意义
垂径定理推论不仅是一个数学定理，还具有深刻的几何意义。通过图形演示和实 例分析，可以更直观地理解其在解决实际问题中的应用。
对定理的推广与改进
05
习题与解答
习题
题目1
题目2
若圆心到直线的距离为d，圆的半径为r， 则直线被圆所截得的弦长为多少？
已知圆的方程为x^2 + y^2 = r^2，求圆 上一点P(a,b)到直线x=h的距离公式。
题目3
题目4
若直线l与圆相切于点A，且直线l的方程为 Ax + By + C = 0，求点A到直线l的距离公 式。
垂径定理推论在几何问题解决中的应用实例。
课件_人教版九年级上册数学_垂径垂径定理PPT课件_优秀版
B
证法三：利用等腰三角形
1、连接圆上任意两点间 2、如图，AB是⊙O的一条弦.
3、如图，矩形ABCD与圆O交于点A、B、 径CD平分弦AB，并且平分AB及ACB.
直径
的线段叫做弦(如弦AB). O. （1）右图是轴对称图形吗?
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所 对的弦的长)为37.
半圆既不是劣弧，也不是优弧
圆对称性(1) --垂径定理
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代 建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结 晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长) 为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你 能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
下列结论不正确的是（ C ）
A
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ A、AC=AD B、BC=BD 在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为直径，则下列结论不正确的是（
）
C、AM=OM D、CM=DM 2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并用方程的思想来解决问题.
圆的任意一条直径的两个端
在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径，若CD=10，AM=1，则⊙O的半径是
PB
O
3.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大 圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有 什么关系？为什么？
解： AC＝BD，
理由是：
过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE.
∴ AE－CE＝BE－DE 即 AC＝BD
O.
A C ED B
注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦 的垂线，也是一种常用辅助线的添法．
垂径定理优秀课件
C
推论：平分弦（不是直径）的直径垂
直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
(2)垂直于弦 (1)过圆心 (4)平分弦所对的一条弧 (3)平分弦 (5)平分弦所对的另一条弧
O
A C O B D E D B
不是直径
CD是直径 CD AB AE BE ( AB不是直径)
OE AC OD AB AB AC
B
3．已知⊙O的直径是５０ cm，⊙O的两条平行弦 AB=４０ cm ，CD=４８cm， 求弦AB与CD之间的距离。
过点Ｏ作直线ＯＥ⊥ＡＢ，交ＣＤ于Ｆ。
A
C
20 E
25 25 24
F
15 . O 7
B D
A
C
E
F . O
B
D
AB、ＣＤ在点O两侧 ＥＦ＝ＯＥ＋ＯＦ＝１５＋７＝２２ AB、ＣＤ在点O同侧 ＥＦ＝ＯＥ－ＯＦ＝１５－７＝８
⌒ ⌒ AD=BD.
下列图形是否具备垂径定理的条件？
C
c
C
C
A
O A D E B
D O
B
O
O A E B
A E D B
是
不是
是
不是
直径垂直弦,才能平分弦,平分弦所对的弧.
适用垂径定理的几个基本图形：
C
A E
O A D E B
B
A
O E D B
O
A
O
E B
D
CD过圆心
CD⊥AB于E
AE=BE AC=BC AD=BD
§24.1.2 垂直于弦的直径
C O A D E B
A
O E B
赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的 弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离） 为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
01977_《垂径定理》公开课一等奖课件
教师点评与总结
在学生的分享和交流过程中，教师进 行适时的点评和总结，强调垂径定理 的重要性和应用价值，并引导学生对 探究过程进行反思和总结。
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18
05
课堂互动环节展示
Chapter
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19
提问环节
提出问题
什么是垂径定理？它的定义和性 质是什么？
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引导思考
Chapter
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23
重点内容回顾总结
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垂径定理的定义和性质
垂径定理指出，对于任意圆和经过圆心的直径，若该直径垂直于 某条弦，则该直径平分该弦，并且平分该弦所对的两条弧。
垂径定理的证明方法
通过构造直角三角形和运用勾股定理等方法，可以证明垂径定理的 正确性。
垂径定理的应用场景
02
推论1
平分弦（不是直径） 的直径垂直于弦，并 且平分弦所对的两条 弧。
03
推论2
弦的垂直平分线经过 圆心，并且平分弦所 对的两条弧。
04
推论3
平分弦所对的一条弧 的直径，垂直平分弦 ，并且平分弦所对的 另一条弧。
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8
垂径定理证明过程
要点一
已知
在⊙O中，DC为直径，AB是弦， AB⊥DC于点E，AB被DC平分于点E 。
值。
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21
练习环节
2024/1/28
基础练习
01
提供一些基础题目，让学生运用垂径定理进行求解，巩固所学
知识。
拓展练习
02
设计一些难度较大的题目，引导学生进一步探索垂径定理的应
用和拓展。
互动答疑
垂径定理优秀课件
思考：当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系 时，弦AB有可能被直径CD平分？
（（对C如D2称1⊥））图轴A你这，B垂 平是，能个A什B垂分径发图是么足弦定现形⊙？为所图是O理的E对中轴：一.有对的条垂哪称两弦直些图条，于相形弧作等吗弦直．的？的径线如直C段果D径，和是使平，分它弦的，并
弧？为什么？
A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
双基训练
4. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C )
A.2cm B. 3cm C. 2 3cm D. 2 5cm
5.已知点P是半径为5的⊙O内
O
的一定点，且OP=4，则过P
点的所有弦中，弦长可能取 A
B
的整数值为（ C ）
(4)平分弦所对的优弧
D
(5)平分弦所对的劣弧
注意:当具备了(2）(3)时,应对另一
条弦增加”不是直径”的限制.
垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
C
D
B
O
A
C
O
C
B
判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
A
O E
B
D C
A
O E
B
( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分
弦所对的两条弧.
∴四边形ADOE为矩形，
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
在直径是20cm的⊙O中，A⌒B的度数是60˙，
（（对C如D2称1⊥））图轴A你这，B垂 平是，能个A什B垂分径发图是么足弦定现形⊙？为所图是O理的E对中轴：一.有对的条垂哪称两弦直些图条，于相形弧作等吗弦直．的？的径线如直C段果D径，和是使平，分它弦的，并
弧？为什么？
A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
双基训练
4. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C )
A.2cm B. 3cm C. 2 3cm D. 2 5cm
5.已知点P是半径为5的⊙O内
O
的一定点，且OP=4，则过P
点的所有弦中，弦长可能取 A
B
的整数值为（ C ）
(4)平分弦所对的优弧
D
(5)平分弦所对的劣弧
注意:当具备了(2）(3)时,应对另一
条弦增加”不是直径”的限制.
垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
C
D
B
O
A
C
O
C
B
判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
A
O E
B
D C
A
O E
B
( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分
弦所对的两条弧.
∴四边形ADOE为矩形，
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
在直径是20cm的⊙O中，A⌒B的度数是60˙，
垂径定理PPT演示课件
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条 弦所对的两条弧
如图 DC为直径 AB垂直于DC 则AE=EB 弧AC 等于弧BC，弧AD= 弧BD
•1
垂径定理证明
如图 ，在⊙O中，DC为直径， AB是弦，AB⊥DC，AB、CD 交于E，求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD
连OA、OB ∵OA、OB是半径 ∴OA=OB ∴△OAB是等腰三角形 ∵AB⊥DC ∴AE=BE，∠AOE=∠BOE
o
A
D
B
•6
已知如图：圆O中，0B=8, ∠B0C=450 ∠BCD=750 求DC=?
D
E
0
B
C
•7
小结
有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它 们构造的直角三角形来研究
连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助 线添法。
•8
【例题】
如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于E，若AE＝ 2cm，BE＝6cm，∠CEA＝300，求：
（等腰三角形三线合一） ∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC ∴弧AC=弧BC
•2
垂径定理及其推论
一条直线①过圆心；②垂直于一条弦；③ 平分这条弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平 分弦所对的优弧。
这五个条件只须知道两个，即可得出另三 个注意Fra bibliotek平分弦时，直径除外
•3
判断
1.弦的垂直平分线一定经过圆心。 2.经过弦的中点的直径一定垂直于弦。 3.平分弦所对的一条弧的直径，平分这条弦
（1）CD的长； （2）C点到AB的距离与D点到AB的距离之比。
D
F
AG E O• H
B
C
•9
例1图
如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦 AB和CD，它们的交点E到圆心O的距离等于1， 则 AB2+CD2＝（ ）
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条 弦所对的两条弧
如图 DC为直径 AB垂直于DC 则AE=EB 弧AC 等于弧BC，弧AD= 弧BD
•1
垂径定理证明
如图 ，在⊙O中，DC为直径， AB是弦，AB⊥DC，AB、CD 交于E，求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD
连OA、OB ∵OA、OB是半径 ∴OA=OB ∴△OAB是等腰三角形 ∵AB⊥DC ∴AE=BE，∠AOE=∠BOE
o
A
D
B
•6
已知如图：圆O中，0B=8, ∠B0C=450 ∠BCD=750 求DC=?
D
E
0
B
C
•7
小结
有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它 们构造的直角三角形来研究
连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助 线添法。
•8
【例题】
如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于E，若AE＝ 2cm，BE＝6cm，∠CEA＝300，求：
（等腰三角形三线合一） ∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC ∴弧AC=弧BC
•2
垂径定理及其推论
一条直线①过圆心；②垂直于一条弦；③ 平分这条弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平 分弦所对的优弧。
这五个条件只须知道两个，即可得出另三 个注意Fra bibliotek平分弦时，直径除外
•3
判断
1.弦的垂直平分线一定经过圆心。 2.经过弦的中点的直径一定垂直于弦。 3.平分弦所对的一条弧的直径，平分这条弦
（1）CD的长； （2）C点到AB的距离与D点到AB的距离之比。
D
F
AG E O• H
B
C
•9
例1图
如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦 AB和CD，它们的交点E到圆心O的距离等于1， 则 AB2+CD2＝（ ）
《圆的垂径定理》课件
第四步
综合第二步和第三步的结论， 得出垂径定理。
定理的应用
01
02
03
计算弦长
已知圆的半径和弦所对的 圆心角，利用垂径定理可 以计算出弦的长度。
计算弧长
已知圆的半径和弧所对的 圆心角，利用垂径定理可 以计算出弧的长度。
计算圆心角
已知圆的半径和弦长，利 用垂径定理可以计算出圆 心角的度数。
03
垂径定理的应用
02
垂径定理在解析几何中可以用于 解决一些实际应用问题，例如计 算桥梁的承重能力、设计圆形工 件等。
垂径定理在实际问题中的应用
在实际生活中，垂径定理的应用非常 广泛，例如在建筑设计、机械制造、 航空航天等领域中，垂径定理都发挥 着重要的作用。
垂径定理在物理学中也有应用，例如 在研究光的反射和折射、地球的重力 场等。
垂径定理在几何问题中的应用
垂径定理在证明圆的性质时发挥了重要作用，例如证明圆周角定 理、圆内接四边形的性质等。
垂径定理是解决几何问题中关于圆的问题的基础，例如求圆的面 积、周长、圆心角等。
垂径定理在解析几何中的应用
01
在解析几何中，垂径定理可以与 其他数学知识结合使用，例如与 三角函数、坐标系等结合，解决 更复杂的几何问题。
详细描述
弦切角定理指出，在圆中，连接弦与切线的交点的线段与弦所夹的角等于该弦 所对应的圆心角。这个定理在解决与弦、切线和圆心角相关的问题时非常有用 。
切线长定理
总结词
切线长定理是关于圆的切线长度的重 要定理。
详细描述
切线长定理指出，过圆外一点向圆作 两条切线，则该点到两切点的线段长 度相等。这个定理在解决与圆的切线 和相关长度相关的问题时非常有用。
定理的应用
垂径定理【全国一等奖】-完整版PPT课件
1.1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）是 圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为37.4m，拱 高（即弧的中点到弦的距离）为7.2m，求桥拱所在圆 的半径（结果精确到0.1m）.
解为：Rm如，图经，过用圆A⌒心BO表作示弦桥A拱B，的A⌒垂B 线所O在D圆，的D为圆垂心足为，O，与半A⌒径B 相交于点C.根据垂径定理，D是AB的中点，C是A⌒B 的中
点，CD就是拱高.由题设
AB=37.4，CD=7.2，
37.4 C
AD 1 AB 1 37.4 18.7, 7.2
2
2
OD=OC-DC=R-7.2.
A
D
B
R
在Rt△OAD中，由勾股定理，
得：OA2=AD2+OD2，
O
即 R2=18.72+(R-7.2)2.பைடு நூலகம்解得 R≈27.9（m）.
答：桥拱所在圆的半径约为27.9m.
2.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦
所夹的弧相等吗？为什么？ 相等
E
C
D
O·
证明:作直径EF垂直于弦AB， A
B
由于AB//CD，因此EF⊥CD，
F
由于EF⊥AB，因此，AE=BE，
由于EF⊥CD，因此，CE=DE，
从而AE-CE=BE-DE，即AC=BD.
解为：Rm如，图经，过用圆A⌒心BO表作示弦桥A拱B，的A⌒垂B 线所O在D圆，的D为圆垂心足为，O，与半A⌒径B 相交于点C.根据垂径定理，D是AB的中点，C是A⌒B 的中
点，CD就是拱高.由题设
AB=37.4，CD=7.2，
37.4 C
AD 1 AB 1 37.4 18.7, 7.2
2
2
OD=OC-DC=R-7.2.
A
D
B
R
在Rt△OAD中，由勾股定理，
得：OA2=AD2+OD2，
O
即 R2=18.72+(R-7.2)2.பைடு நூலகம்解得 R≈27.9（m）.
答：桥拱所在圆的半径约为27.9m.
2.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦
所夹的弧相等吗？为什么？ 相等
E
C
D
O·
证明:作直径EF垂直于弦AB， A
B
由于AB//CD，因此EF⊥CD，
F
由于EF⊥AB，因此，AE=BE，
由于EF⊥CD，因此，CE=DE，
从而AE-CE=BE-DE，即AC=BD.
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解：在⊙O中 OE AB
AE 1 AB 1 8 4
O
22
在Rt△AOE中
A
E
B
AO2 OE2 AE2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
变式： 图中两圆为同心圆
O
变式1：AC与BD有什么关系？
AC
变式2：AC＝BD依然成立吗
DB
O A CM
ND B
B
变式3：隐去（变式1）中的大圆，
得右图连接OA，OB，设OA=OB，
O
AC、BD有什么关系？为什么？
AC
DB
变式4：隐去（变式1）中的大
O
圆，得右图，连接OC，OD，
设OC=OD，AC、BD有什么关 A C
DB
系？为什么？
如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条 弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
定理辨析
判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
C
C
O
A
E
D
O
B
A
E
D
A
B
O
E
B
D C
O O
A
E
B
A
D
E
B
A
O
E
B
引申定理
▪ 定理中的垂径可以是直径、半径、弦心距 等过圆心的直线或线段。从而得到垂径定 理的变式：
▪ 一条直线具有：
经过圆心 垂直于弦
可推得
平分弦
平分弦所对的劣 （优）弧
例题与练习
例1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心 O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
取值范围是__3___O__M____5__
O
AM
B
2，如图直径为52cm的圆柱体油槽的横截面，装 入油后，油深CD为16cm，那么油面宽度AB＝
__4_8__cm.
O
AD
B
C
3，如图，已知AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB于点E，BE＝4cm，CD＝16cm， 求⊙O的半径.ABiblioteka OC=10OC
ED
线段： AE=BE
弧：
⌒⌒ AD=BD.
⌒⌒ AC=BC
A
C
·O
E B
D
垂径定理：垂直于弦的直径平 分弦，并且平分弦所对的两条 弧．
定理理解： 已知 直径垂直弦
A
结论 直径平分弦、平分弦所对的弧
转化为数学符号：
C
·O
E B
D
由 CD是直径，AB是弦 CD⊥AB
可推得
AE=BE,
A⌒C=B⌒C, A⌒D=B⌒D.
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形，
由垂径定理得：AE 1 AC，AD 1 AB C
2
2
又 ∵AC=AB
E
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形. A
·O
D
B
拓展练习
1，如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，点M 在线段AB（包括端点A、B）上移动，则OM的
垂径定理课件优秀课件
观察并回答
（1）两条直径AB、CD，CD平分AB吗？ （2）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦， 弦AB是否一定被直径CD平分？
C B
O
C
B O
A
D
AD
思考：当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系时，弦
AB有可能被直径CD平分？
活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． 沿着直径CD折一折，你能发现图中有那些相等的线段和弧？为 什么？