柯西不等式3.3学案

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高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式 3.3 排序不

3.3 排序不等式课堂导学三点剖析一、利用排序不等式证明不等式【例1】已知a,b,c∈R +,求证:23≥+++++b a c c a b c b a .证明：不妨设a≥b≥c>0,①则0<b+c≤c+a≤a+b,从而有b a ac c b +≥+≥+111.②对①②应用排序原理,得c b ba c cb a ac b a a c b b a c+++++≥+++++,③c b ca c ab a bc b a a c b b a c +++++≥+++++,④③+④,得2(c b a a c b b a c +++++)≥(b a b b a a +++)+(a c aa c c+++)+(c b cc b b+++)=3. ∴23≥+++++b a cc a bc b a(当且仅当a=b=c 时等号成立).各个击破类题演练1设a,b,c 都是正数,证明2222cb a b ac a c b c b a ++≥+++++.证明:不妨设a≥b≥c>0,①则a+b≥a+c≥b+c>0,b ac a c b +≥+≥+111>0,b a cc a bc b a+≥+≥+>0,②对①②应用排序原理,得b a caa c bcc b abb ac c a b c b a +++++≥+++++222,③b a cba c bac b acb ac c a b c b a +++++≥+++++222,④③+④,得2(b a c c a b c b a +++++222)≥a+b+c, ∴2222cb a b ac a c b c b a ++≥+++++(当且仅当a=b=c 时,等号成立).二、利用排序不等式证明条件不等式【例2】设a,b,c,d 是满足ab+bc+cd+da=1的非负实数,求证:313333≥+++++++++++c b a d d b a c d c a b d c b a . 证明:不妨设a≥b≥c≥d≥0,①则a+b+c≥a+b+d≥a+c+d≥b+c+d>0,得cb a d d b acd c a b d c b a ++≥++≥++≥++2222≥0,② 令S=cb a d d b acd c a b d c b a +++++++++++3333, 对于①②应用排序原理,得 S≥cb a a d d b a dcd c a c b d c b b a +++++++++++2222,③ S≥cb a b d d b a acd c a d b d c b c a +++++++++++2222,④ S≥cb acd d b a b c d c a a b d c b d a +++++++++++2222,⑤ ③+④+⑤,可得3S≥a 2+b 2+c 2+d 2=222222222222a d d c c b b a +++++++≥ab+bc+cd+da=1. ∴S≥31(当且仅当a=b=c=d=21时,等号成立). 类题演练2 设a 1,a 2,…，a n 是1,2,…,n 的一个排列,求证:21+32+…+n n a a a a a a n n 132211-+++≤-Λ. 证明:设b 1,b 2,…,b n-1是a 1,a 2,…,a n-1的一个排列,且b 1<b 2<…<b n-1;c 1,c 2,…,c n-1是a 2,a 3,…,a n 的一个排列,且c 1<c 2<…<c n-1, 则121111->>>n c c c Λ且b 1≥1,b 2≥2,…,b n-1≥n -1;c 1≤2,c 2≤3,…,c n-1≤n. 利用排序不等式有nn a a a a a a 13221-+++Λ≥n n c b c b c b n n 132********-+++≥+++--ΛΛ. 变式提升1设实数x 1≥x 2≥…≥x n ,y 1≥y 2≥…≥y n ,z 1,z 2,…,z n 是y 1,y 2,…,y n 的一个置换,证明∑=-n i i i y x1)(2≤∑=-n i i i z x 1)(2. 证明:显然所需证明之不等式等价于∑∑==≥n i i in i i i z x y x 11,这由排序不等式可直接得到.三、利用排序不等式解决其他问题【例3】有十个人各拿一只水桶去打水,设水龙头灌满第i 个人的水桶需要t i 分钟,且这些t i (i=1,2,…,10)各不相等,试问:(1)只有一只水龙头供水时,应如何安排这十个人打水的次序,使他们的总的花费时间最少?这个最少时间是多少?(2)若有两个相同的水龙头供水时,应如何安排这十个人的次序,使他们的总的花费时间最少?这个最少时间是多少?解析：(1)设按某次序打水时水龙头灌满第i 个人的水桶需要s i 分钟,则第一人花费的时间为s 1分钟,第二人花费的时间为(s 1+s 2)分钟,…,第十人花费的时间为(s 1+s 2+…+s 10)分钟,总的花费时间为s 1+(s 1+s 2)+…+(s 1+s 2+…+s 10)=10s 1+9s 2+…+2s 9+s 10.其中,序列s 1,s 2,…,s 10是t 1,t 2,…,t 10的一个排列.由题设,这些t i 各不相同,不妨设t 1<t 2<…<t 10,则由排序原理知10s 1+9s 2+…+2s 9+s 10≥10t 1+9t 2+…+2t 9+t 10，即按任意一个次序打水花费的总时间不小于按如下顺序打水的时间:先按打水所需时间从小到大依次排队,然后逐个打水,此时花费时间最省,总的花费时间为(10t 1+9t 2+…+2t 9+t 10)分钟.(2)如果有两个水龙头,设总时间最少时有m 个人在第一个水龙头打水,设依次所用时间为p 1,p 2,…,p m ;有10-m 个人在第二个水龙头打水,依次所需时间设为q 1,q 2,…,q 10-m .显然必有一个水龙头的打水人数不少于5人,不妨设为第一个水龙头,也不可能有一个水龙头没人去打水,则5≤m<10.由(1)知p 1<p 2<…<p m ,q 1<q 2<…<q 10-m .总的花费时间为T=mp 1+(m-1)p 2+…+p m +(10-m)q 1+(9-m)q 2+…+q 10-m .其中{p 1,p 2,…,p m ,q 1,q 2,…,q 10-m }={t 1,t 2,…,t 10},t 1<t 2<…<t 10.首先我们来证明m=5.若不然,即m>5,我们让在第一个水龙头打水的第一人到第二个水龙头的第一位去,则总的花费时间变为T′=(m -1)p 2+…+p m +(11-m)p 1+(10-m)q 1+…+q 10-m .所以T-T′=(2m -11)p 1>0,即当m>5时,我们让第一个水龙头的第一人到第二个水龙头去后,总时间减少.故在m=5时,总时间可能取得最小值.由于m=5,故两个水龙头人一样多.总用时为T=(5p 1+4p 2+3p 3+2p 4+p 5)+(5q 1+4q 2+3q 3+2q 4+q 5). 由于p 1<p 2<…<p 5,q 1<q 2<…<q 5.不妨设p 1=t 1.下证q 1<p 2.否则我们交换用时为q 1,p 2的两人的位置后,总用时变为T″=(5p 1+4q 1+3p 3+2p 4+p 5)+(5p 2+4q 2+3q 3+2q 4+q 5),则T-T″=q 1-p 2>0,即经交换后总时间变少.因此q 1<p 2,也即q 1=t 2.类似地,我们可以证明p i <q i <q i +1(i=1,2,3,4),p 5<q 5.从而最省时的打水顺序为水龙头一:t 1,t 3,t 5,t 7,t 9;水龙头二:t 2,t 4,t 6,t 8,t 10.其中t 1<t 2<…<t 10.类题演练3设a 1,a 2,…,a n 是n 个正数,证明n n n a a a n a a a •••≥+++ΛΛ2121,当且仅当a 1=a 2=…=a n 时等号成立.证法一:记G=n n a a a •••Λ21,令b i =G a i (i=1,2,…,n),则原不等式b 1+b 2+…+b n ≥n,其中b 1·b 2·…·b n =1.取x 1,x 2,…,x n ,使b 1=21x x ,b 2=32x x ,…,b n-1=n n x x 1-,则b n =1x x n ,由排序不等式易证 b 1+b 2+…+b n =21x x +32x x +…+nn x x 1-≥n,当且仅当x 1=x 2=…=x n 时等号成立. 所以所证不等式成立,当且仅当a 1=a 2=…=a n 时等号成立.证法二:令t i =a ii G a a a Λ21(i=1,2,…,n),则t n =1.从而正数序列t 1,t 2,…,t n 及nt t t 1,,1,121Λ对应两项大小次序正好相反,由排序原理得 n=t 1·11t +t 2·21t +…+t n ·n t 1≤t 1·n t 1+t 2·11t +…+t n ·11-n t , 即n≤G a G a G a n +++Λ21=Ga a a n +++Λ21, 从而G≤na a a n +++Λ21,当且仅当a 1=a 2=…=a n 时等号成立. 变式提升2设a,b,c 是某三角形的三边长,T 是该三角形的面积,证明a 2+b 2+c 2≥34T,并问何时取等号?证明:根据Heron 公式,需证明不等式等价于(a 2+b 2+c 2)2≥3(a+b+c)(b+c -a)(c+a-b)(a+b-c)=3［(b+c)2-a 2］·［a 2-(b-c)2］=3［(2bc)2-(a 2-b 2-c 2）2］,这又等价于要证明a 4+b 4+c 4≥a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2,它由排序不等式可立即得到,这就证明了a 2+b 2+c 2≥34T,等号当且仅当a 2=b 2=c 2,即a=b=c 时成立.。

人教版数学高二《二维形式的柯西不等式》精品导学案人教

不等式选讲二维形式的柯西不等式学习目标：1。

认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；2. 通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法重点难点：柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。

教学过程：一、引入：除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。

这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。

1、什么是柯西不等式：定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立。

证明：略。

推论：1． ||2222bd ac d c b a +≥+⋅+(当且仅当ad=bc 时，等号成立.)2．),,,.()())((2+∈+≥++R d c b a bd ac d b c a (当且仅当ad=bc 时，等号成立.)3．||||2222bd ac d c b a +≥+⋅+（当且仅当|ad|=|bc|时，等号成立）例1：已知a,b 为实数，求证2332244)())((b a b a b a +≥++ 说明：在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算。

所以，经典不等式是数学研究的有力工具。

例题2：求函数x x y 21015-+-=的最大值。

分析：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式的一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件。

这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd 的形式就能用柯西不等式求其最大值。

（2222||d c b a bd ac +⋅+≤+）解：函数的定义域为【1，5】，且y>036427)5()1()2(552152222=⨯=-+-⨯+≤-⨯+-⨯=x x xx y当且仅当x x -⨯=-⨯5512时，等号成立，即27127=x 时，函数取最大值36 课堂练习：1. 证明: (x 2+y 4)(a 4+b 2)≥(a 2x+by 2)22.求函数x x y -+-=6453的最大值.例3.设a,b 是正实数，a+b=1，求证411≥+ba 分析：注意到)11)((11b a b a b a ++=+，有了)11)((ba b a ++就可以用柯西不等式了。

高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式教案新人教A版选修4_5

3.3排序不等式一、教学目标1．了解排序不等式的数学思想和背景．2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．二、课时安排1课时三、教学重点1．了解排序不等式的数学思想和背景．2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．四、教学难点1．了解排序不等式的数学思想和背景．2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．五、教学过程（一）导入新课某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件和2件．现在选择商店中单价分别为3元，2元和1元的礼品，则至少要花________元，最多要花________元．【解析】取两组实数(2,4,5)和(1,2,3)，则顺序和为2×1＋4×2＋5×3＝25，反序和为2×3＋4×2＋5×1＝19.所以最少花费为19元，最多花费为25元．【答案】19 25（二）讲授新课教材整理1 顺序和、乱序和、反序和的概念设a1≤a2≤a3≤…≤a n，b1≤b2≤b3≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则称a i与b i(i＝1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和为顺序和，和为乱序和，相反顺序相乘所得积的和称为反序和．教材整理2 排序不等式设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则≤≤，当且仅当a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n时，反序和等于顺序和，此不等式简记为≤≤顺序和．（三）重难点精讲题型一、用排序不等式证明不等式(字母大小已定) 例1已知a ，b ，c 为正数，a ≥b ≥c ，求证： (1)1bc ≥1ca ≥1ab；(2)a 2b 2c 2＋b 2c 2a 2＋c 2a 2b 2≥1a 2＋1b 2＋1c2. 【精彩点拨】由于题目条件中已明确a ≥b ≥c ，故可以直接构造两个数组．【自主解答】 (1)∵a ≥b >0，于是1a ≤1b.又c >0，∴1c >0，从而1bc ≥1ca ，同理，∵b ≥c >0，于是1b ≤1c， ∴a >0，∴1a >0，于是得1ca ≥1ab，从而1bc ≥1ca ≥1ab.(2)由(1)知1bc ≥1ca ≥1ab>0且a ≥b ≥c >0，∴1b 2c2≥1c 2a2≥1a 2b2，a 2≥b 2≥c 2.由排序不等式，顺序和≥乱序和得a 2b 2c 2＋b 2c 2a 2＋c 2a 2b 2≥b 2b 2c 2＋c 2c 2a 2＋a 2a 2b 2＝1c 2＋1a 2＋1b 2＝1a 2＋1b 2＋1c 2，故a 2b 2c 2＋b 2c 2a 2＋c 2a 2b 2≥1a 2＋1b 2＋1c2. 规律总结：利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．[再练一题]1．本例题中条件不变，求证：a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥c 2a 3＋a 2b 3＋b 2c3.【证明】 ∵a ≥b ≥c ≥0， ∴a 5≥b 5≥c 5， 1c ≥1b ≥1a＞0.∴1bc ≥1ac ≥1ba，∴1b 3c3≥1a 3c3≥1b 3a 3，由顺序和≥乱序和得a 5b 3c 3＋b 5a 3c 3＋c 5b 3a 3≥b 5b 3c 3＋c 5a 3c 3＋a 5b 3a 3 ＝b 2c 3＋c 2a 3＋a 2b3， ∴a 5b 3c 3＋b 5a 3c 3＋c 5b 3a 3≥c 2a 3＋a 2b 3＋b 2c3. 题型二、字母大小顺序不定的不等式证明例2设a ，b ，c 为正数，求证：a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab.【精彩点拨】 (1)题目涉及到与排序有关的不等式；(2)题目中没有给出a ，b ，c 的大小顺序．解答本题时不妨先设定a ≤b ≤c ，再利用排序不等式加以证明．【自主解答】不妨设0<a ≤b ≤c ，则a 3≤b 3≤c 3， 0<1bc ≤1ca ≤1ab，由排序原理：乱序和≤顺序和，得a 3·1ca ＋b 3·1ab ＋c 3·1bc ≤a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab ，a 3·1ab ＋b 3·1bc ＋c 3·1ca ≤a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab. 将上面两式相加得a 2＋b 2c ＋b 2＋c 2a ＋c 2＋a 2b ≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab ，将不等式两边除以2，得a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab.规律总结：在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况：(1)要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．(2)若给出的字母不具有对称性，一定不能直接限定字母的大小顺序，而要根据具体环境分类讨论．[再练一题]2．设a 1，a 2，…，a n 为正数，求证：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .【证明】不妨设0＜a 1≤a 2≤…≤a n ，则a 21≤a 22≤…≤a 2n ，1a 1≥1a 2≥…≥1a n.由排序不等式知，乱序和不小于反序和，所以a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 21·1a 1＋a 22·1a 2＋…＋a 2n ·1a n ，即 a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 1＋a 2＋…＋a n . 题型三、利用排序不等式求最值例3 设A ，B ，C 表示△ABC 的三个内角，a ，b ，c 表示其对边，求aA ＋bB ＋cCa ＋b ＋c的最小值(A ，B ，C 用弧度制表示)．【精彩点拨】不妨设a ≥b ≥c ＞0，设法构造数组，利用排序不等式求解．【自主解答】不妨设a ≥b ≥c ，则A ≥B ≥C . 由排序不等式，得aA ＋bB ＋cC ＝aA ＋bB ＋cC ， aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ， aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC ，将以上三式相加，得3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )·(A ＋B ＋C )＝π(a ＋b ＋c )，当且仅当A ＝B ＝C ＝π3时，等号成立．∴aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3，即aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c 的最小值为π3.规律总结：1．分析待求函数的结构特征，构造两个有序数组．2．运用排序原理求最值时，一定要验证等号是否成立，若等号不成立，则取不到最值． [再练一题]3．已知x ，y ，z 是正数，且x ＋y ＋z ＝1，求t ＝x 2y ＋y 2z ＋z 2x的最小值．【解】不妨设x ≥y ≥z >0，则x 2≥y 2≥z 2，1z ≥1y ≥1x.由排序不等式，乱序和≥反序和．x 2y ＋y 2z ＋z 2x≥x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z＝x ＋y ＋z .又x ＋y ＋z ＝1，x 2y ＋y 2z ＋z 2x≥1，当且仅当x ＝y ＝z ＝13时，等号成立．故t ＝x 2y ＋y 2z ＋z 2x的最小值为1.题型四、利用排序不等式求解简单的实际问题例4 若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45 min,25 min 和30 min ，每台电脑耽误1 min ，网吧就会损失0.05元．在只能逐台维修的条件下，按怎样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？【精彩点拨】这是一个实际问题，需要转化为数学问题．要使经济损失降到最小，即三台电脑维修的时间与等候的总时间之和最小，又知道若维修第一台用时间t 1 min 时，三台电脑等候维修的总时间为3t 1 min ，依此类推，等候的总时间为3t 1＋2t 2＋t 3 min ，求其最小值即可．【自主解答】设t 1，t 2，t 3为25,30,45的任一排列，由排序原理知3t 1＋2t 2＋t 3≥3×25＋2×30＋45＝180(min)，所以按照维修时间由小到大的顺序维修，可使经济损失降到最小．规律总结：1．首先理解题意，实际问题数学化，建立恰当模型．2．三台电脑的维修时间3t 1＋2t 2＋t 3就是问题的数学模型，从而转化为求最小值(运用排序原理)．[再练一题]4．有5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要时间分别是4 min,8 min,6 min,10 min,5 min ，那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？【解】根据排序不等式的反序和最小，可得最少时间为4×5＋5×4＋6×3＋8×2＋10×1＝84(min)．即按注满时间为4 min,5 min,6 min,8 min,10 min 依次等水，等待的总时间最少．（四）归纳小结排序不等式—⎪⎪⎪—反序和、乱序和、顺序和—排序原理—排序原理的应用（五）随堂检测1．已知x≥y，M＝x4＋y4，N＝x3y＋y3x，则M与N的大小关系是( )A．M>N B．M≥N C．M<N D.M≤N【解析】由排序不等式，知M≥N.【答案】 B2．设a，b，c为正数，P＝a3＋b3＋c3，Q＝a2b＋b2c＋c2a，则P与Q的大小关系是( ) A．P>Q B．P≥Q C．P<Q D.P≤Q【答案】 B3．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c1，c2，c3是4,5,6的一个排列，则c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________.【解析】由排序不等式，顺序和最大，反序和最小，∴最大值为1×4＋2×5＋3×6＝32，最小值为1×6＋2×5＋3×4＝28.【答案】32 28六、板书设计七、作业布置八、教学反思。

高二年级第二学期数学一般形式的柯西不等式学案选修4-5

学案12一般形式的柯西不等式1．三维形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ，则(a 21＋a 22＋a 23)·(b 21＋b 22＋b 23)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2.当且仅当b 1＝b 2＝b 3＝0或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2,3)时等号成立． 2．一般形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.当且仅当b 1＝b 2＝…＝b n ＝0或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．1．如何理解柯西不等式的结构特征？【提示】归纳类比二维形式、三维形式和一般形式的柯西不等式的结构特征，可知柯西不等式的结构特点为：左边为平方和的积，右边是积的和的平方．2．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为a i ＝kb i (i ＝1,2,3…，n )，可以吗？【提示】不可以．若b i ＝0而a i ≠0，则k 不存在．已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：(a b ＋b c ＋c a )(b a ＋c b ＋a c )≥9. 【思路探究】对应三维形式的柯西不等式，a 1＝a b ，a 2＝b c ，a 3＝c a ，b 1＝b a ，b 2＝c b ，b 3＝a c ，而a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3＝1，因而得证．【自主解答】 ∵a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式，知(a b ＋b c ＋c a )(b a ＋c b ＋a c )＝[(a b )2＋(b c )2＋(c a )2]×[(b a )2＋(c b )2＋(a c )2]≥(a b ×b a ＋b c ×c b ＋c a ×a c )2＝(1＋1＋1)2＝9.∴(a b ＋b c ＋c a )(b a ＋c b ＋a c )≥9.1．当a i ，b i 是正数时，柯西不等式变形为(a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.2．本题证明的关键在于构造两组数，创造使用柯西不等式的条件．在运用柯西不等式时，要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确配凑出公式两侧的数组．(2012·福建高考)已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m 的值； (2)若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.【解】 (1)因为f (x ＋2)＝m －|x |，f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m . 由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }．又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.(2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1，又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )(1a ＋12b ＋13c )≥(a ·1a ＋2b ·12b＋3c ·13c)2＝9.已知a 、b 、c ∈(0，＋∞)，1a ＋2b ＋3c ＝2，求a ＋2b ＋3c 的最小值及取得最小值时a 、b 、c 的值．【思路探究】由于1a ＋2b ＋3c ＝2，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西不等式求解．【自主解答】 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴(1a ＋2b ＋3c )·(a ＋2b ＋3c )＝[(1a )2＋(2b )2＋(3c )2][(a )2＋(2b )2＋(3c )2]≥(1a ·a ＋2b ·2b ＋3c ·3c )2＝(1＋2＋3)2＝36，又1a ＋2b ＋3c ＝2，∴a ＋2b ＋3c ≥18，当且仅当a ＝b ＝c ＝3时等号成立，综上，当a ＝b ＝c ＝3时，a ＋2b ＋3c 取得最小值18.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．已知x ＋4y ＋9z ＝1，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．【解】由柯西不等式，知(x ＋4y ＋9z )2≤(12＋42＋92)(x 2＋y 2＋z 2)＝98(x 2＋y 2＋z 2)．又x ＋4y ＋9z ＝1，∴x 2＋y 2＋z 2≥198，(*) 当且仅当x ＝y 4＝z 9时，等号成立．∴x ＝198，y ＝249，z ＝998时，(*)取等号．因此，x 2＋y 2＋z 2的最小值为198.已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝xyz ，且不等式1x ＋y ＋1y ＋z＋1z ＋x≤λ恒成立，求λ的取值范围．【思路探究】 “恒成立”问题需求1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x 的最大值，设法应用柯西不等式求最值．【自主解答】 ∵x >0，y >0，z >0.且x ＋y ＋z ＝xyz . ∴1yz ＋1xz ＋1xy ＝1.又1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤12(1xy ＋1yz ＋1zx) ＝12(1·1xy ＋1·1yz ＋1·1zx) ≤12[(12＋12＋12)(1xy ＋1yz ＋1zx )]12＝32，当且仅当x ＝y ＝z ，即x ＝y ＝z ＝3时等号成立．∴1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x的最大值为32. 故1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤λ恒成立时，应有λ≥32.因此λ的取值范围是[32，＋∞)．应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，试求a 的范围．【解】由a ＋b ＋c ＋d ＝3，得b ＋c ＋d ＝3－a ①由a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，得2b 2＋3c 2＋6d 2＝5－a 2，②(2b 2＋3c 2＋6d 2)(12＋13＋16)≥(b ＋c ＋d )2，即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2.由条件可得，5－a 2≥(3－a )2，解得1≤a ≤2.所以实数a 的取值范围是[1,2]．(教材第41页习题3.2第6题)设x 1，x 2，…，x n ∈R ＋，且x 1＋x 2＋…＋x n ＝1，求证：x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n 1＋x n ≥1n ＋1. (2012·淮安模拟)设a 1，a 2，…，a 2 012都是正数，且a 1＋a 2＋…＋a 2 012＝1，则a 212＋a 1＋a 222＋a 2＋…＋a 22 0122＋a 2 012的最小值是________．【命题意图】本题主要考查不等式的基本性质，柯西不等式等基础知识，考查学生的运算能力和化归与转化的能力．【解析】 ∵(2×2 012＋1)(a 212＋a 1＋a 222＋a 2＋…＋a 22 0122＋a 2 012) ＝[(2＋a 1)＋(2＋a 2)＋…＋(2＋a 2 012)]·(a 212＋a 1＋a 222＋a 2＋…＋a 22 0122＋a 2 012) ≥(2＋a 1·a 12＋a 1＋2＋a 2·a 22＋a 2＋…＋2＋a 2 012·a 2 0122＋a 2 012)2 ＝(a 1＋a 2＋…＋a 2 012)2＝1，∴a 212＋a 1＋a 222＋a 2＋…＋a 22 0122＋a 2 012≥12×2 012＋1＝14 025. 【答案】 14 0251．已知a ，b ，c 大于0，且a ＋b ＋c ＝1，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为( )A ．1B ．4C.13 D ．12【解析】根据柯西不等式，有(a 2＋b 2＋c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋b ＋c )2＝1，∴a 2＋b 2＋c 2≥13.【答案】 C2．若a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，则3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值为( )A ．3B ．3 2C ．18D ．9【解析】由柯西不等式得：(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤(1＋1＋1)(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)＝3[3(a ＋b ＋c )＋3]，又∵a ＋b ＋c ＝1，∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤3×6＝18，∴3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤32，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．故选B.【答案】 B3．若a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，b 21＋b 22＋…＋b 2n ＝4，则a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．[－2,2]C ．(－∞，2]D ．[－1,1]【解析】 ∵(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，∴(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2≤4，∴|a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n |≤2，即－2≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤2，当且仅当a i ＝12b i (i ＝1,2，…，n )时，右边等号成立；当且仅当a i ＝－12b i (i ＝1,2，…，n )时，左边等号成立，故选B. 【答案】 B4．设a ，b ，c 为正数，则(a ＋b ＋c )(4a ＋9b ＋36c )的最小值为________．【解析】由a ，b ，c 为正数，∴(a ＋b ＋c )(4a ＋9b ＋36c )＝[(a )2＋(b )2＋(c )2][(2a )2＋＋(3b )2＋(6c)2] ≥(a ·2a ＋b ·3b ＋c ·6c)2＝121，当且仅当a 2＝b 3＝c 6＝k (k >0)时等号成立．故(a ＋b ＋c )(4a ＋9b ＋36c )的最小值是121.【答案】 121学案13排序不等式1．顺序和、乱序和、反序和的概念设a 1≤a 2≤a 3≤…≤a n ，b 1≤b 2≤b 3≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 是b 1，b 2，…，b n 的任一排列，则称a i 与b i (i ＝1,2，…，n )的相同顺序相乘所得积的和a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 为顺序和，和a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n 为乱序和，相反顺序相乘所得积的和a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1称为反序和．2．排序不等式(排序原理)设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 是b 1，b 2，…，b n 的任一排列，则a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1≤a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≤a 1b 2＋a 2b 2＋…＋a n b n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n 时，反序和等于顺序和，此不等式简记为反序和≤乱序和≤顺序和．1．排序原理的本质含义是怎样的？【提示】两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小．等号成立的条件是其中至少有一序列为常数序列．2．已知两组数a 1≤a 2≤a 3≤a 4≤a 5，b 1≤b 2≤b 3≤b 4≤b 5，其中a 1＝2，a 2＝7，a 3＝8，a 4＝9，a 5＝12，b 1＝3，b 2＝4，b 3＝6，b 4＝10，b 5＝11，将b i (i ＝1,2,3,4,5)重新排列记为c 1，c 2，c 3，c 4，c 5.那么a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 5c 5的最大值和最小值分别是多少？【提示】由排序原理，知顺序和最大，反序和最小．因此最大值为a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋a 4b 4＋a 5b 5＝304.最小值为a 1b 5＋a 2b 4＋a 3b 3＋a 4b 2＋a 5b 1＝212.用排序不等式证明不等式(字母大小已定)已知a ，b ，c 为正数，a ≥b ≥c ，求证：(1)1bc ≥1ca ≥1ab ；(2)a 2b 2c 2＋b 2c 2a 2＋c 2a 2b 2≥1a 2＋1b 2＋1c 2.【思路探究】由于题目条件中已明确a ≥b ≥c ，故可以直接构造两个数组．【自主解答】 (1)∵a ≥b >0，于是1a ≤1b ，又c >0，∴1c >0.从而1bc ≥1ca .同理，∵b ≥c >0，于是1b ≤1c .∴a >0，∴1a >0，于是得1ca ≥1ab . 从而1bc ≥1ca ≥1ab .(2)由(1)知1bc ≥1ca ≥1ab >0且a ≥b ≥c >0，∴1b 2c 2≥1c 2a 2≥1a 2b 2，a 2≥b 2≥c 2.由排序不等式，顺序和≥乱序和得a 2b 2c 2＋b 2c 2a 2＋c 2a 2b 2≥b 2b 2c 2＋c 2c 2a 2＋a 2a 2b 2＝1c 2＋1a 2＋1b 2＝1a 2＋1b 2＋1c 2，故a 2b 2c 2＋b 2c 2a 2＋c 2a 2b 2≥1a 2＋1b 2＋1c 2.利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．本例题中条件不变，求证：a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥c 2a 3＋a 2b 3＋b 2c 3.【证明】 ∵a ≥b ≥c ≥0， ∴a 5≥b 5≥c 5，1c ≥1b ≥1a ＞0. ∴1bc ≥1ac ≥1ba ，∴1b 3c 3≥1a 3c 3≥1b 3a 3，由顺序和≥乱序和得a 5b 3c 3＋b 5a 3c 3＋c 5b 3a 3≥b 5b 3c 3＋c 5a 3c 3＋a 5b 3a 3＝b 2c 3＋c 2a 3＋a 2b 3，∴a 5b 3c 3＋b 5a 3c 3＋c 5b 3a 3≥c 2a 3＋a 2b 3＋b 2c 3.设a ，b ，c 为正数，求证a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab .【思路探究】 (1)题目涉及到与排序有关的不等式；(2)题目中没有给出a ，b ，c 的大小顺序．解答本题时不妨先设定a ≤b ≤c ，再利用排序不等式加以证明．【自主解答】不妨设0<a ≤b ≤c ，则a 3≤b 3≤c 3.0<1bc ≤1ca ≤1ab ，由排序原理：乱序和≤顺序和，得a 3·1ca ＋b 3·1ab ＋c 3·1bc ≤a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab ，a 3·1ab ＋b 3·1bc ＋c 3·1ca ≤a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab .将上面两式相加得a 2＋b 2c ＋b 2＋c 2a ＋c 2＋a 2b ≤2(a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab )，将不等式两边除以2，得a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab .在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况：(1)要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．(2)若给出的字母不具有对称性，一定不能直接限定字母的大小顺序，而要根据具体环境分类讨论．设a 1，a 2，…，a n 为正数，求证：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .【证明】不妨设0＜a 1≤a 2≤…≤a n ，则a 21≤a 22≤…≤a 2n ，1a 1≥1a 2≥…≥1a n. 由排序不等式知，乱序和不小于反序和，所以a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 21·1a 1＋a 22·1a 2＋…＋a 2n ·1a n ，即a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .设A ，B ，C 表示△ABC 的三个内角，a ，b ，c 表示其对边，求aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c的最小值(A ，B ，C 用弧度制表示)．【思路探究】不妨设a ≥b ≥c ＞0，设法构造数组，利用排序不等式求解．【自主解答】不妨设a ≥b ≥c ，则A ≥B ≥C ，由排序不等式，得aA ＋bB ＋cC ＝aA ＋bB ＋cC ，aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ，aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC ，将以上三式相加，得3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )·(A ＋B ＋C )＝π(a ＋b ＋c )，当且仅当A ＝B ＝C ＝π3时，等号成立．∴aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c≥π3，即aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c 的最小值为π3.1．分析待求函数的结构特征，构造两个有序数组．2．运用排序原理求最值时，一定要验证等号是否成立，若等号不成立，则取不到最值．已知x ，y ，z 是正数，且x ＋y ＋z ＝1，求t ＝x 2y ＋y 2z ＋z 2x 的最小值．【解】不妨设x ≥y ≥z >0，则x 2≥y 2≥z 2，1z ≥1y ≥1x .由排序不等式，乱序和≥反序和．x 2y ＋y 2z ＋z 2x≥x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z＝x ＋y ＋z .又x ＋y ＋z ＝1，x 2y ＋y 2z ＋z 2x ≥1，当且仅当x ＝y ＝z ＝13时，等号成立．故t ＝x 2y ＋y 2z ＋z 2x 的最小值为1.实际问题若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45 min,25 min 和30 min ，每台电脑耽误1 min ，网吧就会损失0.05元．在只能逐台维修的条件下，按怎样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？【思路探究】这是一个实际问题，需要转化为数学问题．要使经济损失降到最小，即三台电脑维修的时间与等候的总时间之和最小，又知道若维修第一台用时间t 1 min 时，三台电脑等候维修的总时间为3t 1 min ，依此类推，等候的总时间为3t 1＋2t 2＋t 3 min ，求其最小值即可．【自主解答】设t 1，t 2，t 3为25,30,45的任一排列，由排序原理知3t 1＋2t 2＋t 3≥3×25＋2×30＋45＝180(min)，所以按照维修时间由小到大的顺序维修，可使经济损失降到最小．1．首先，理解题意，实际问题数学化，建立恰当模型．2．三台电脑的维修时间3t1＋2t2＋t3就是问题的数学模型，从而转化为求最小值(运用排序原理)．有5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要时间分别是4分钟，8分钟，6分钟，10分钟，5分钟，那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？【解】根据排序不等式的反序和最小，可得最少时间为4×5＋5×4＋6×3＋8×2＋10×1＝84(分钟)．即按注满时间为4分钟，5分钟，6分钟，8分钟，10分钟依次等水，等待的总时间最少．(教材第45页习题3.3第1题)设a1，a2，…，a n为实数，证明：a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a21＋a22＋…＋a2n，其中c1，c2，…，c n 为a1，a2，…，a n的任一排列．(2012·福州模拟)设x＞0，求证：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n ＋1)x n.【命题意图】本题主要考查了不等式的基本性质、排序原理以及分类讨论的数学思想等相关知识，考查学生的化归和转化能力以及数学推理论证能力．【证明】(1)当x≥1时，1≤x≤x2≤…≤x n，由顺序和≥反序和得1×1＋x·x＋x2·x2＋…＋x n·x n≥1·x n＋x·x n－1＋…＋x n－1·x＋x n·1即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)x n①又因为x，x2，…，x n,1为序列1，x，x2，…，x n的一个排列，所以由乱序和≥反序和得：1·x＋x·x2＋…＋x n－1·x n＋x n·1≥1·x n＋…＋x n·1即x＋x3＋…＋x2n－1＋x n≥(n＋1)x n，∴x＋x3＋…＋x2n－1≥n·x n，②将①和②两式相加得：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)x n.(2)当0＜x＜1时，同理可证1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)x n.综上可知，对x＞0，总有1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)x n成立.1．已知x≥y，M＝x4＋y4，N＝x3y＋y3x，则M与N的大小关系是()A．M>N B．M≥NC．M<N D．M≤N【解析】由排序不等式，知M≥N.【答案】 B2．设a，b，c为正数，P＝a3＋b3＋c3，Q＝a2b＋b2c＋c2a，则P 与Q的大小关系是()A．P>Q B．P≥QC．P<Q D．P≤Q【解析】不妨设a≥b≥c>0，则a2≥b2≥c2>0由排序不等式得：a2a＋b2b＋c2c≥a2b＋b2c＋c2a.∴P≥Q.【答案】 B3．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c1，c2，c3是4,5,6的一个排列，c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________．【解析】由排序不等式，顺序和最大，反序和最小．∴最大值为1×4＋2×5＋3×6＝32，最小值为1×6＋2×5＋3×4＝28.【答案】32284．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件和2件．现在选择商店中单价分别为3元，2元和1元的礼品．则至少要花________元，最多要花________元．【解析】取两组实数(2,4,5)和(1,2,3)，则顺序和为2×1＋4×2＋5×3＝25，反序和为2×3＋4×2＋5×1＝19.所以最少花费为19元，最多花费为25元．【答案】1925。

高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式三排序不等式学案新人教

三排序不等式学习目标 1.了解反序和、乱序和、顺序和等有关概念.2.了解排序不等式及其证明的几何意义与背景.3.掌握排序不等式的结构形式，并能简单应用．知识点排序不等式思考1 某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件及2件，现在选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品，问有多少种不同的购买方案？在这些方案中哪种花钱最少？哪种花钱最多？答案 (1)共有3×2×1＝6(种)不同的购买方案． (2)5×3＋4×2＋2×1＝25(元)，这种方案花钱最多； 5×1＋4×2＋2×3＝19(元)，这种方案花钱最少．思考 2 如图，∠POQ ＝60°，比较112233A OB A OB A OB S SS++与132231A OB A OB A OB SSS++的大小．答案 112233132231.A OB A OB A OB A OB A OB A OB SSSSSS++>++梳理 (1)顺序和、乱序和、反序和的概念设有两个有序实数组：a 1≤a 2≤…≤a n ；b 1≤b 2≤…≤b n ，c 1，c 2，…，c n 是b 1，b 2，…，b n 的任意一个排列．①乱序和：S ＝a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n . ②反序和：S 1＝a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1. ③顺序和：S 2＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n . (2)排序不等式(排序原理)设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 是b 1，b 2，…，b n 的任一排列，则a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1≤a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n 时，反序和等于顺序和．类型一利用排序不等式证明不等式命题角度1 字母已定序问题例1 已知a ，b ，c 为正数，且a ≥b ≥c ，求证：a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥1a ＋1b ＋1c.证明 ∵a ≥b ＞0，于是1a ≤1b，又c ＞0，从而1bc ≥1ca，同理1ca ≥1ab ，从而1bc ≥1ca ≥1ab.又顺序和不小于乱序和，故可得a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥b 5b 3c 3＋c 5c 3a 3＋a 5a 3b 3＝b 2c 3＋c 2a 3＋a 2b 3⎝ ⎛⎭⎪⎫∵a 2≥b 2≥c 2，1c 3≥1b 3≥1a 3≥c 2c 3＋a 2a 3＋b 2b3 ＝1c ＋1a ＋1b ＝1a ＋1b ＋1c.∴原不等式成立．反思与感悟利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．跟踪训练1 已知0＜a ≤b ≤c ，求证：c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c ≥a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a.证明因为0＜a ≤b ≤c ，所以0＜a ＋b ≤c ＋a ≤b ＋c ，所以1a ＋b ≥1c ＋a ≥1b ＋c＞0，又0＜a 2≤b 2≤c 2，所以c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c是顺序和，a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a是乱序和，由排序不等式可知顺序和大于等于乱序和，即不等式c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c ≥a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a成立．命题角度2 字母大小顺序不定问题例2 已知a ，b ，c 均为正数，求证：a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥12(a ＋b ＋c )．证明由不等式的对称性，不妨设a ≥b ≥c ＞0，所以a 2≥b 2≥c 2，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b. 由顺序和≥乱序和得到两个不等式：a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥a 2c ＋a ＋b 2a ＋b ＋c 2b ＋c ， a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a.两式相加，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥b 2＋c 2b ＋c ＋c 2＋a 2c ＋a ＋a 2＋b 2a ＋b，注意到b 2＋c 2b ＋c ≥12(b ＋c )，c 2＋a 2c ＋a ≥12(c ＋a )，a 2＋b 2a ＋b ≥12(a ＋b )，所以2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥12(b ＋c )＋12(c ＋a )＋12(a ＋b ) ＝a ＋b ＋c . 故a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥12(a ＋b ＋c )．反思与感悟对于排序不等式，其核心是必须有两组完全确定的数据，所以解题的关键是构造出这样的两组数据．跟踪训练2 设a ，b ，c ∈R ＋，利用排序不等式证明：a 3＋b 3＋c 3≤b 5＋c 52a 2＋c 5＋a 52b 2＋a 5＋b 52c2.证明不妨设0＜a ≤b ≤c ，则a 5≤b 5≤c 5，1c 2≤1b 2≤1a2，所以由排序不等式可得a 3＋b 3＋c 3＝a 5a 2＋b 5b 2＋c 5c 2≤a 5c 2＋b 5a 2＋c 5b2，a 3＋b 3＋c 3＝a 5a 2＋b 5b 2＋c 5c 2≤a 5b 2＋b 5c 2＋c 5a2，所以a 3＋b 3＋c 3≤b 5＋c 52a 2＋c 5＋a 52b 2＋a 5＋b 52c2.类型二利用排序不等式求最值例3 设a ，b ，c 为任意正数，求ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b的最小值．解由于a ，b ，c 的对称性，不妨设a ≥b ≥c ＞0，则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ， 1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b ，由排序不等式，得a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b ， ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b ≥cb ＋c ＋ac ＋a ＋ba ＋b，上述两式相加，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3，即a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b ≥32.当且仅当a ＝b ＝c 时，a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b 取最小值32.反思与感悟求最小(大)值，往往所给式子是顺(反)序和式．然后利用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理构造出一个或二个适当的乱序和，从而求出其最小(大)值．跟踪训练3 设0＜a ≤b ≤c 且abc ＝1.试求1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )的最小值．解令S ＝1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )，则S ＝(abc )2a 3(b ＋c )＋(abc )2b 3(a ＋c )＋(abc )2c 3(a ＋b )＝bc a (b ＋c )·bc ＋ac b (a ＋c )·ac ＋abc (a ＋b )·ab .由已知可得1a (b ＋c )≥1b (a ＋c )≥1c (a ＋b )，ab ≤ac ≤bc .∴S ≥bc a (b ＋c )·ac ＋ac b (a ＋c )·ab ＋abc (a ＋b )·bc＝c a (b ＋c )＋a b (a ＋c )＋bc (a ＋b ).又S ≥bc a (b ＋c )·ab ＋ac b (a ＋c )·bc ＋abc (a ＋b )·ac＝b a (b ＋c )＋c b (a ＋c )＋a c (a ＋b )，两式相加，得2S ≥1a ＋1b ＋1c ≥3·31abc＝3.∴S ≥32，即1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )的最小值为32.1．设a ，b ，c 均为正数，且P ＝a 3＋b 3＋c 3，Q ＝a 2b ＋b 2c ＋c 2a ，则P 与Q 的大小关系是( ) A ．P ＞Q B ．P ≥Q C ．P ＜Q D ．P ≤Q 答案 B解析不妨设a ≥b ≥c ＞0，则a 2≥b 2≥c 2＞0.由排序不等式，得a 2a ＋b 2b ＋c 2c ≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立，所以P ≥Q .2．已知a 1＝2，a 2＝7，a 3＝8，a 4＝9，a 5＝12，b 1＝3，b 2＝4，b 3＝6，b 4＝10，b 5＝11.将b i (i ＝1,2,3,4,5)重新排列记为c 1，c 2，c 3，c 4，c 5，则a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 5c 5的最大值是( ) A ．324 B ．314 C ．304 D ．212答案 C解析 a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 5c 5≤a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋a 4b 4＋a 5b 5 ＝2×3＋7×4＋8×6＋9×10＋12×11＝304.3．n 个正数与这n 个正数的倒数的乘积的和的最小值为________．答案 n解析设0＜a 1≤a 2≤a 3≤…≤a n ，则0＜a －1n ≤a －1n －1≤…≤a －11，则由排序不等式得，反序和≤乱序和≤顺序和．故最小值为反序和a 1·a －11＋a 2·a －12＋…＋a n ·a －1n ＝n .4．设a ，b 都是正数，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≥a b ＋b a.证明由题意不妨设a ≥b ＞0. 则a 2≥b 2，1b ≥1a ，所以a 2b ≥b2a.根据排序不等式知，a 2b ·1b ＋b 2a ·1a≥a 2b ·1a ＋b 2a ·1b，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≥a b ＋b a.1．对排序不等式的理解排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题，能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式：顺序和、反序和、乱序和，对这三种不同的搭配形式只需注意是怎样的“次序”，两种较为简单的是“顺与反”，而乱序和也就是不按“常理”的顺序了． 2．排序不等式的本质两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小． 3．排序不等式取等号的条件等号成立的条件是其中一序列为常数序列，即a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝b 3＝…＝b n . 4．排序原理的思想在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题．因此，对于排序原理，我们记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题．一、选择题1．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x ＜y ＜z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a ＜b ＜c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( ) A ．ax ＋by ＋cz B ．az ＋by ＋cx C ．ay ＋bz ＋cx D ．ay ＋bx ＋cz答案 B解析根据排序原理，反序和最小，即az ＋by ＋cx 最小．2．已知a ，b ，c ＞0，则a 2(a 2－bc )＋b 2(b 2－ac )＋c 2(c 2－ab )的正负情况是( ) A ．大于零B ．大于零或等于零C ．小于零D ．小于零或等于零答案 B解析当a ＝b ＝c ＝1时，a 2(a 2－bc )＋b 2(b 2－ac )＋c 2(c 2－ab )＝0，当a ＝1，b ＝2，c ＝3时，a 2(a 2－bc )＋b 2(b 2－ac )＋c 2(c 2－ab )＝62.3．设a ，b ，c 都是正数，则式子M ＝a 5＋b 5＋c 5－a 3bc －b 3ac －c 3ab 与0的大小关系是( ) A ．M ≥0 B ．M ≤0C ．M 与0的大小关系与a ，b ，c 的大小有关D ．不能确定答案 A解析不妨设a ≥b ≥c ＞0，则a 3≥b 3≥c 3，且a 4≥b 4≥c 4，则a 5＋b 5＋c 5＝a ·a 4＋b ·b 4＋c ·c 4≥a ·c 4＋b ·a 4＋c ·b 4. ∵a 3≥b 3≥c 3，且ab ≥ac ≥bc ，∴a 4b ＋b 4c ＋c 4a ＝a 3·ab ＋b 3·bc ＋c 3·ca ≥a 3bc ＋b 3ac ＋c 3ab .∴a 5＋b 5＋c 5≥a 3bc ＋b 3ac ＋c 3ab . ∴M ≥0.4．在锐角三角形ABC 中，设P ＝a ＋b ＋c2，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P ≥Q B ．P ＝Q C ．P ≤Q D ．不能确定答案 C解析不妨设A ≥B ≥C ，则a ≥b ≥c ，cos A ≤cos B ≤cos C ，则由排序不等式有Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥a cos B ＋b cos C ＋c cos A＝R (2sin A cos B ＋2sin B cos C ＋2sin C cos A )，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥b cos A ＋c cos B ＋a cos C＝R (2sin B cos A ＋2sin C cos B ＋2sin A cos C )，上面两式相加，得Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥12R (2sin A cos B ＋2sin B cos A ＋2sin B cos C ＋2sin C cos B ＋2sin C cos A ＋2sin A cos C ) ＝R [sin(A ＋B )＋sin(B ＋C )＋sin(A ＋C )] ＝R (sin C ＋sin A ＋sin B )＝P ＝a ＋b ＋c2.5．设a 1，a 2，a 3为正数，E ＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2，F ＝a 1＋a 2＋a 3，则E ，F 的大小关系是( ) A ．E ＜F B ．E ≥F C ．E ＝F D ．E ≤F 答案 B解析不妨设a 1≥a 2≥a 3＞0，则1a 1≤1a 2≤1a 3且a 2a 3≤a 3a 1≤a 1a 2，∴a 1a 2a 3＋a 1a 3a 2＋a 2a 3a 1≥1a 1·a 1a 2＋1a 2·a 2a 3＋1a 3·a 3a 1 ＝a 1＋a 2＋a 3. ∴E ≥F .6．已知x ≥y ，M ＝x 4＋y 4，N ＝x 3y ＋xy 3，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M ＞N B ．M ≥N C ．M ＜N D ．M ≤N 答案 B 解析 ∵x ≥y ， ∴x 3≥y 3.∴M ＝x ·x 3＋y ·y 3≥x 3·y ＋y 3·x ＝x 3y ＋y 3x ＝N . 二、填空题7．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c 1，c 2，c 3是4,5,6的一个排列，则1c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是________，最小值是________．答案 32 28解析由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32，最小值为28.8．5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是4min,8min,6min ，10min ，5min ，统筹安排这5个人接水的顺序，则他们等待的总时间最少为________min. 答案 84解析 5个人按接水时间为4 min,5 min,6 min,8 min ，10 min 的顺序进行接水时等待的总时间最少，为4×5＋5×4＋6×3＋8×2＋10×1＝84(min)．9．在Rt△ABC 中，∠C 为直角，A ，B 所对的边分别为a ，b ，则aA ＋bB 与π4(a ＋b )的大小关系为________．答案 aA ＋bB ≥π4(a ＋b )解析不妨设a ≥b ＞0，则A ≥B ＞0，由排序不等式⎭⎪⎬⎪⎫aA ＋bB ≥aB ＋bA aA ＋bB ＝aA ＋bB ⇒2(aA ＋bB )≥a (A ＋B )＋b (A ＋B )＝π2(a ＋b )， ∴aA ＋bB ≥π4(a ＋b )．10．设a 1，a 2，…，a n 为正数，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝5，则a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1的最小值为________．答案 5解析由所求代数式的对称性，不妨设0＜a 1≤a 2≤…≤a n ，所以a 21≤a 22≤…≤a 2n ， 1a 1≥1a 2≥…≥1a n，而1a 2，1a 3，…，1a n ，1a 1为1a 1，1a 2，1a 3，…，1a n 的一个排列，由乱序和≥反序和，得a 21·1a 2＋a 22·1a 3＋…＋a 2n －1·1a n ＋a 2n ·1a 1≥a 21·1a 1＋a 22·1a 2＋…＋a 2n ·1a n ，即a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n ＝5.三、解答题11．设a ，b ，c ∈(0，＋∞)，利用排序不等式证明：a 2a b 2b c 2c≥a b ＋c b c ＋a c a ＋b.证明不妨设a ≥b ≥c ＞0，则lg a ≥lg b ≥lg c ，所以a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥b lg a ＋c lg b ＋a lg c ，a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥c lg a ＋a lg b ＋b lg c ，所以2a lg a ＋2b lg b ＋2c lg c ≥(b ＋c )lg a ＋(a ＋c )lg b ＋(a ＋b )lg c ，所以lg(a 2a·b 2b·c 2c)≥lg(ab ＋c·ba ＋c·ca ＋b)，故a 2a b 2b c 2c ≥ab ＋c b c ＋a c a ＋b.12．设a 1，a 2，…，a n 是n 个互不相等的正整数，求证： 1＋12＋13＋…＋1n ≤a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n2. 证明设b 1，b 2，…，b n 是a 1，a 2，…，a n 的一个排列，且满足b 1＜b 2＜…＜b n . 因为b 1，b 2，…，b n 是互不相等的正整数，故b 1≥1，b 2≥2，…，b n ≥n . 又因为1＞122＞132＞…＞1n 2，故由排序不等式，得a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n 2≥b 1＋b 222＋b 332＋…＋b nn2≥1×1＋2×122＋3×132＋…＋n ·1n 2＝1＋12＋13＋…＋1n.13．已知0＜α＜β＜γ＜π2，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α＞12(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．证明 ∵0＜α＜β＜γ＜π2，且y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2为减函数，∴0＜sin α＜sin β＜sin γ，cos α＞cos β＞cos γ＞0.∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α＞sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ＝12(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．四、探究与拓展14．设x ，y ，z 为正数，求证：x ＋y ＋z ≤x 2＋y 22z ＋y 2＋z 22x ＋z 2＋x 22y.证明由于不等式关于x ，y ，z 对称，不妨设0＜x ≤y ≤z ，于是x 2≤y 2≤z 2，1z ≤1y ≤1x，由反序和≤乱序和，得x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z ≤x 2·1z ＋y 2·1x ＋z 2·1y，x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z ≤x 2·1y ＋y 2·1z ＋z 2·1x，将上面两式相加得 2(x ＋y ＋z )≤x 2＋y 2z ＋y 2＋z 2x ＋z 2＋x 2y，于是x ＋y ＋z ≤x 2＋y 22z ＋y 2＋z 22x ＋z 2＋x 22y. 15．设x ＞0，求证：1＋x ＋x 2＋…＋x 2n ≥(2n ＋1)x n .证明 (1)当x ≥1时，1≤x ≤x 2≤…≤x n .由排序原理知，1·1＋x ·x ＋x 2·x 2＋…＋x n ·x n ≥x n ·1＋xn －1·x ＋…＋1·x n ，所以1＋x 2＋x 4＋…＋x 2n ≥(n ＋1)x n .① 又因为x ，x 2，…，x n,1为1，x ，x 2，…，x n 的一个排序，于是由排序原理得1·x ＋x ·x2＋…＋x n －1·x n ＋x n ·1≥1·x n ＋x ·xn －1＋…＋x n －1·x ＋x n ·1，所以x ＋x 3＋…＋x2n －1≥nx n .② ①＋②，得 1＋x ＋x 2＋…＋x 2n ≥(2n ＋1)x n .(2)当0＜x ＜1时，1＞x ＞x 2＞…＞x n ，同理可得结论．综合(1)与(2)可知，当x ＞0时，1＋x ＋x 2＋…＋x 2n ≥(2n ＋1)x n. 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高中数学第三讲 3.3一般形式的柯西不等式暑期备课教案新人教A版选修4-5

总第（2）课时
课题：书写练习1
课型：新授课
教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。
重点：正确书写6个字。
难点：注意字的结构和笔画的书写。
教学过程：
一、小结课堂内容，评价上次作业。
二、讲解新课：
1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。（老师读，学生读，加深理解。）3、书写教学“杏花春雨江南”6个字。
二、教学新课
1.讲解以宝盖头、穴字头等作为字头的字
（1）教师讲解字头的书写。（2）学生练习书写，教师指导书写。（3教师根据实际情况小结，提出要求。
2.指导书写例字
（1）出示例字：“宝”：首先要控制好字头，摆正位置，下面的“玉”字占格子的一半以上，特别是最后一横宜稍长，使整个字立正。“穷”：下面的力字宜正，不宜写得太小。（其余字略）（2）学生练习，师巡回指导。3、提出注意点三、讲评：收上学生的作业，进行批改和评比，对写得好的进行表扬，并加盖☆符号章，然后贴在展示板上，向学生展示。
1、观察范字。2、明确写法。
“轻”字的写法：“轻”字左窄右宽，右边的第一笔起笔与左边的第一笔短横相齐平，底部大体相齐，右边上下两部分基本相等。
四、课后延伸
书写：斩、转
板书设计：书写练习2、轻、斩、转
我的思考：以复习巩固导入，并有针对地进行纠正。明确字的重心及每个笔画在田字格中分布的位置，使学生初步掌握字的结构特点。在练习书写“车”字旁的基础上，更好的把握整个字的字形。课后及时巩固，拓展。
二、讲解书写的基本知识和要求：
1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）

高中数学第二章1柯西不等式学案选修

§1 柯西不等式1．认识简单形式的柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义．2．会证明一般形式的柯西不等式，并能利用柯西不等式来解决有关问题．1．简单形式的柯西不等式(1)定理1(二维形式的柯西不等式的代数形式)：对任意实数a ，b ，c ，d ，有(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥__________________，当向量______________与向量________________共线时，等号成立．(2)简单形式的柯西不等式的向量形式：设α＝(a ，b )，β＝(c ，d )是平面上任意两个向量，则______≥|α·β|，当向量(a ，b )与向量(c ，d )共线时，等号成立．(1)二维形式的柯西不等式的推论：①(a ＋b )(c ＋d )≥(ac ＋bd )2(a ，b ，c ，d 为非负实数)；②a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac ＋bd |(a ，b ，c ，d ∈R )；③a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac |＋|bd |(a ，b ，c ，d ∈R )． (2)二维形式的三角不等式：①x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥x 1－x 22＋y 1－y 22(x 1，y 1，x 2，y 2∈R )； ②推论：x 1－x 32＋y 1－y 32＋x 2－x 32＋y 2－y 32≥x 1－x 22＋y 1－y 22(x 1，x 2，x 3，y 1，y 2，y 3∈R )．【做一做1－1】已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )．A ．2B ．4C ．6D ．8 【做一做1－2】已知x ＋2y ＝1，则x 2＋y 2的最小值为________． 2．一般形式的柯西不等式 (1)定理2：设a 1，a 2，…，a n 与b 1，b 2，…，b n 是两组实数，则有(a 21＋a 22＋…＋a 2n )__________________≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当向量______________与向量(b 1，b 2，…，b n )共线时，等号成立．(2)推论(三维形式的柯西不等式)：设a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3是两组实数，则有(a 21＋a 22＋a 23)(b 21＋b 22＋b 23)≥________________．当向量(a 1，a 2，a 3)与向量(b 1，b 2，b 3)共线时“＝”成立．【做一做2－1】设a ＝(1,0，－2)，b ＝(x ，y ，z )，若x 2＋y 2＋z 2＝16，则a ·b 的最大值为________．【做一做2－2】已知x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( )． A ．14 B ．13 C ．12 D ．15 答案：1．(1)(ac ＋bd )2(a ，b ) (c ，d ) (2)|α||β|【做一做1－1】B 由柯西不等式可求出(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥⎝⎛⎭⎪⎫x ·1x＋y ·a y 2＝(1＋a )2，当x ＝1，y ＝a 时，(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 能取到最小值(a ＋1)2，故只需(1＋a )2≥9，即a ≥4即可．【做一做1－2】15 解析：∵1＝x ＋2y ，∴1＝(x ＋2y )2≤(1＋22)(x 2＋y 2)．当且仅当x ＝15，y ＝25时，取等号，∴(x 2＋y 2)min ＝15．2．(1)(b 21＋b 22＋…＋b 2n ) (a 1，a 2，…，a n )(2)(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2【做一做2－1】4 5 由题知，a ·b ＝x －2z ，由柯西不等式知 [12＋02＋(－2)2](x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋0－2z )2，当且仅当向量a 与b 共线时“＝”成立，∴5×16≥(x －2z )2， ∴－45≤x －2z ≤45，即－45≤a ·b ≤45．故a ·b 的最大值为45．【做一做2－2】B 根据柯西不等式，有x 2＋y 2＋z 2＝13(12＋12＋12)·(x 2＋y 2＋z 2)≥13(1×x ＋1×y ＋1×z )2＝13(x ＋y ＋z )2＝13．当且仅当1x ＝1y ＝1z ，即x ＝y ＝z ＝13时等号成立．1．对柯西不等式的理解剖析：柯西不等式的几种形式，都涉及对不等式的理解与记忆，因此，二维形式的柯西不等式可以理解为由四个有顺序的数来对应的一种不等关系，或构造成一个不等式，如基本不等式是由两个数来构造的，但怎样构造要仔细体会．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，(a 2＋b 2)(d 2＋c 2)≥(ad ＋bc )2，谁与谁组合、联系，要有一定的认识．“二维”是根据向量的个数来说的，在平面上一个向量有两个量：横纵坐标，因此“二维”就要有四个量，还可以认为是四个数组合成的一种不等关系．2．一般形式的柯西不等式的应用剖析：我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题，但往往不能直接应用，需要对数学式子的形式进行变化，拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构，才能应用，因而适当变形是我们应用一般形式的柯西不等式的关键，也是难点．我们要注意在数学式子中，数或字母的顺序要对比柯西不等式中的数或字母的顺序，以便能使其形式一致，然后应用解题．3．“1”的利用剖析：数字“1”的利用非常重要，为了利用柯西不等式，除了拼凑应该有的结构形式外，对数字、系数的处理往往能达到某些用字母所代表的数或式子所不能达到的作用．这要求在理论上认识柯西不等式与实际应用时二者达到一种默契，即不因为“形式”的影响而不会用柯西不等式．题型一利用柯西不等式证明不等式【例1】已知3x 2＋2y 2≤6，求证：2x ＋y ≤11．分析：将不等式2x ＋y ≤11的左边凑成柯西不等式的形式，然后证明．反思：为了利用柯西不等式，将2x ＋y 平方，这一运算技巧是证明不等式的关键．【例2】已知正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1．证明a 3＋b 3＋c 3≥a 2＋b 2＋c 23．分析：如何构造两组数，利用柯西不等式是关键．反思：在本题中，a ，b ，c 的指数的变化是关键，要根据柯西不等式的需要进行适当的变形．题型二利用柯西不等式求最值【例3】设x ，y ，z ∈R ，且x －216＋y ＋25＋z －24＝1．求x ＋y ＋z 的最大值和最小值．分析：根据柯西不等式的需要给式子进行变形，注意等价性．反思：当式子中有根号、平方等形式时，经常用柯西不等式来解决．答案：【例1】证明：由柯西不等式，得(2x ＋y )2≤[(3x )2＋(2y )2]⎣⎢⎡ ⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122 ＝(3x 2＋2y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋12≤6×116＝11．于是2x ＋y ≤11．当且仅当3x 23＝2y 12，即x y ＝43时等号成立．【例2】证明：利用柯西不等式，有31313133322222222222222222()()[()()()]()a b c a a b b c c a b c a b c ≤++++＋＋＝＋＋3333332=()()=()()a b c a b c a b c a b c ++++++++，又∵a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，在此不等式两边同乘以2，再加上a 2＋b 2＋c 2，得(a ＋b ＋c )2≤3(a 2＋b 2＋c 2)．∴(a 2＋b 2＋c 2)2≤(a 3＋b 3＋c 3)·3(a 2＋b 2＋c 2)，∴a 3＋b 3＋c 3≥a 2＋b 2＋c 23．当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．【例3】解：根据柯西不等式，知[42＋(5)2＋22]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋252＋⎝⎛⎭⎪⎫z －322≥⎣⎢⎡4·x －14＋5·y ＋25＋2·⎦⎥⎤z －322，当且仅当x －116＝y ＋25＝z －34，即x ＝215，y ＝－1，z ＝195或x ＝－115，y ＝－3，z ＝115时等号成立．∴25×1≥(x ＋y ＋z －2)2． ∴|x ＋y ＋z －2|≤5， ∴－3≤x ＋y ＋z ≤7，即x ＋y ＋z 的最大值为7，最小值为－3．1设x ，y ，m ，n ＞0，且m x ＋ny＝1，则u ＝x ＋y 的最小值是( )．A ．(m ＋n )2B ．mC ．nD ．(m ＋n )22若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a －b 的取值范围为( )． A ．[－25，25] B ．[－210，210] C ．[－10，10] D ．[－5，5]3函数y ＝21－x ＋2x ＋1的最大值为________．4设x 1，x 2，…，x n 为正数，求证：(x 1＋x 2＋…＋x n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x n ≥n 2．答案：1．A 根据柯西不等式，得x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫m x ＋n y ≥⎝⎛⎭⎪⎫x ·m x＋y ·n y 2＝(m ＋n )2，当且仅当x m ＝y n时，等号成立，这时u 取最小值为(m ＋n )2． 2．A 解析：由柯西不等式知(a 2＋b 2)[12＋(－1)2]≥(a －b )2，当且仅当a ＝5，b ＝－5或a ＝－5，b ＝5时等号成立，∴10×2≥(a －b )2，∴－25≤a －b ≤25．3．3 利用柯西不等式进行变形，得到[(2)2＋12][(21－x )2＋(2x ＋1)2]≥(21－x ＋2x ＋1)2，即3×3≥(21－x ＋2x ＋1)2，当且仅当x ＝0时等号成立， ∴21－x ＋2x ＋1≤3． 4．证明：由柯西不等式，得(x 1＋x 2＋…＋x n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x n ≥(1＋1＋…＋1共n 个12，即(x 1＋x 2＋…＋x n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x n ≥n 2．。

柯西不等式导学案

柯西不等式学案刘才华 2013. 5.31一、二维的柯西不等式：若,,,a b c d R ∈， .当且仅当时, 等号成立.变式10.若,,,a b c d R ∈，则||2222bd ac dc b a ++⋅+或bd ac dc b a ++⋅+2222；变式20. 若,,,a b c d R ∈，；变式30.（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：变式40（柯西不等式的向量形式）设,αβ是两个向量，则 .二、三维的柯西不等式：若,,,,,a b c d e f R ∈，则 _____ . 当且仅当 ______________时, 等号成立.三、 n 维的柯西不等式的一般形式：设n 为大于1的自然数，,i ia b R ∈(=i 1,2,…,n )，则：211212)(∑∑∑===≥ni ii ni i ni ib a b a 即当且仅当_____________________________________时, 等号成立. 四、柯西不等式应用：求式子的最值及证明不等式。

基本方法（1）巧拆常数：例1：设a 、b 、c 为正数且各不相等。

求证：cb a ac c b b a ++>+++++9222 （2）重新安排某些项的次序：例2：a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21,求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++（3）改变结构：例3、若a >b >c 求证：c a c b b a -≥-+-411 （4）添项：例4：+∈R c b a ,,求证：23≥+++++b a c a c b c b a 4.1求最值1、已知,12=+y x 求22y x +的最小值。

2、已知,63222=+y x 求y x 2+的最大值。

3、设b a 、为正数，求)212)(1(ab b a ++的最小值。

新人教A版高中数学《第三讲柯西不等式与排序不等式》word教案

第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一）教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义，并会证明二维柯西不等式及向量形式.教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式. 教学难点：理解几何意义. 教学过程：一、复习准备：1. 提问：二元均值不等式有哪几种形式？答案：(0,0)2a ba b +>>及几种变式. 2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥ 二、讲授新课：1. 教学柯西不等式：① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. （要点：展开→配方）证法三：（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =，则22||m a b =+，2||n c d =+∵ m n ac bd •=+，且||||cos ,m n m n m n =<>，则||||||m n m n ≤. ∴ ….. 证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立.∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++≤0，即….. ③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？ 222||c d ac bd +≥+ 或 222||||c d ac bd +≥+222c d ac bd +≥+.④ 提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出）→ 讨论：上面时候等号成立？（β是零向量，或者,αβ共线）⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式：① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明→ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）三、巩固练习：1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式2. 作业：教材P 37 4、5题. 第二课时3.1 二维形式的柯西不等式（二）教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系. 教学重点：利用二维柯西不等式解决问题. 教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式. 教学过程：一、复习准备：1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？几何意义？答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+≥2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3. 如何利用二维柯西不等式求函数y ?要点：利用变式22||ac bd c d ++.二、讲授新课：1. 教学最大（小）值：① 出示例1：求函数y =分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演→变式：y = → 推广：,,,,,)y a b c d e f R +=∈② 练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值.解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313x y x y x y +=++≥+=. 讨论：其它方法（数形结合法） 2. 教学不等式的证明：① 出示例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y+≥.分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比 → 构造）要点：2222111111()()]22x y x y x y +=++=++≥… 讨论：其它证法（利用基本不等式）② 练习：已知a 、b R +∈，求证：11()()4a b a b++≥.3. 练习：① 已知,,,x y a b R +∈，且1a bx y+=，则x y +的最小值.要点：()()a bx y x y x y+=++=…. → 其它证法② 若,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求222x y z ++的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）变式：若,,x y z R +∈，且1x y z ++=.3. 小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧. 三、巩固练习：1. 练习：教材P 37 8、9题2. 作业：教材P 37 1、6、7题第三课时3.2 一般形式的柯西不等式教学要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题.教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想. 教学过程：一、复习准备： 1. 练习：2. 提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+；2222222()()()a b c d e f ad be cf ++++≥++二、讲授新课：1. 教学一般形式的柯西不等式：① 提问：由平面向量的柯西不等式||||||αβαβ≤，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？② 猜想：n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？结论：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈，则 222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++≥+++讨论：什么时候取等号？（当且仅当1212n na a ab b b ===时取等号，假设0i b ≠）联想：设1122n n B a b a b a b =+++，22212n A a a a =++，22212n C b b b =+++，则有20B AC -≥，可联想到一些什么？③ 讨论：如何构造二次函数证明n 维形式的柯西不等式？（注意分类）要点：令2222121122)2()n n n f x a a a x a b a b a b x =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+（）（22212()n b b b +++⋅⋅⋅+ ，则 2221122()()())0n n f x a x b a x b a x b =++++⋅⋅⋅+≥+（.又222120n a a a ++⋅⋅⋅+>，从而结合二次函数的图像可知，[]22221122122()4()n n n a b a b a b a a a ∆=+++-++22212()n b b b +++≤0即有要证明的结论成立. （注意：分析什么时候等号成立.）④ 变式：222212121()n n a a a a a a n++≥++⋅⋅⋅+. （讨论如何证明）2. 教学柯西不等式的应用：① 出示例1：已知321x y z ++=，求222x y z ++的最小值.分析：如何变形后构造柯西不等式？ → 板演 → 变式：② 练习：若,,x y z R +∈，且1111x y z ++=，求23y zx ++的最小值.③ 出示例2：若a >b >c ，求证：ca cb b a -≥-+-411. 要点：21111()()[()()]()(11)4a c a b b c a b b c a b b c-+=-+-+≥+=---- 3. 小结：柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明. 三、巩固练习：1. 练习：教材P 41 4题2. 作业：教材P 41 5、6题第四课时3.3 排序不等式教学要求：了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法.教学重点：应用排序不等式证明不等式. 教学难点：排序不等式的证明思路. 教学过程：一、复习准备：1. 提问：前面所学习的一些经典不等式？（柯西不等式、三角不等式）2. 举例：说说两类经典不等式的应用实例. 二、讲授新课：1. 教学排序不等式： ① 看书：P 42~P 44.② 提出排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数组:12a a ≤≤···n a ≤;12b b ≤≤···n b ≤.12,,c c ···n c 是12,b b ，···,n b 的任一排列,则有1122a b a b ++···+n n a b (同序和)1122a c a c ≥++···+n n a c (乱序和) 121n n a b a b -≥++···+1n a b (反序和) 当且仅当12a a ==···=n a 或12b b ==···=n b 时，反序和等于同序和. （要点：理解其思想，记住其形式） 2. 教学排序不等式的应用：① 出示例1：设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是n 个互不相同的正整数，求证：32122211112323n a a a a n n+++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+. 分析：如何构造有序排列？如何运用套用排序不等式？证明过程：设12,,,n b b b ⋅⋅⋅是12,,,n a a a ⋅⋅⋅的一个排列，且12n b b b <<⋅⋅⋅<，则121,2,,n b b b n ≥≥⋅⋅⋅≥.又222111123n>>>⋅⋅⋅>，由排序不等式，得3322112222222323n n a a b b a b a b n n +++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+≥… 小结：分析目标，构造有序排列. ② 练习：已知,,a b c 为正数，求证：3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++. 解答要点：由对称性，假设a b c ≤≤，则222a b c ≤≤，于是 222222a a b b c c a c b a c b ++≥++，222222a a b b c c a b b c c a ++≥++，两式相加即得.3. 小结：排序不等式的基本形式. 三、巩固练习：1. 练习：教材P 45 1题2. 作业：教材P 45 3、4题。

Cauchy不等式教学设计及导学案

柯西不等式导学案【学习目标】1．理解柯西不等式的二维、三维形式，了解柯西不等式的n 维形式与向量形式；2. 能利用柯西不等式求一些特殊函数的最值，以及证明一些简单的不等式.【复习指导】不等式的证明是中学数学学习的难点，柯西不等式只要掌握一些简单的应用即可.【基础先学】1、二维形式的柯西不等式：,,,,______________________a b c d R ∈设则，当且仅当____________时，等号成立.2、三维形式的柯西不等式：,,1,2,3___________________________________i i a b R i ∈=设则，当且仅当0(1,2,3),i i i b i k a kb ===，或存在一个实数使得时，等号成立.3、 n 维形式的柯西不等式：,,1,2,3,,___________________________________i i a b R i n ∈=设…,则，当且仅当0(1,2,i b i ==…,n) 或存在一个数k ，使得(1,2,n)i i a kb i ==…，时，等号成立.【基础巩固】1. 若,R a b ∈，且2210a b +=，则+b a 的取值范围为（）A. [-B. [-C. [D. [2. 已知+y=1x ，那么222x +3y 的最小值是（）A. 56B. 65C. 2536D. 36253. 已知+,a b R ∈且1,a b += 则2P=(ax+by)与22Q=ax +by 的关系是（）A. P Q ≤B. P Q <C. P Q ≥D. P Q >4. 已知+,a b R ∈且+y 1x z +=，则222+z x y +的最小值是（）A. 1B.13 C.23 D. 32【2014高考考向导析】题型一:求函数的最值例1. 【展示反馈】求函数.【练习评价】1：求函数的最大值.例2. 【点拨思辨】,R x y ∈，2210x y +=，求3x y +的最大值与最小值.【练习评价】2：,R x y ∈，22510x y +=，求x y +的最大值与最小值.例3．【点拨思辨】设23529x y z ++=，求函数y =.【练习评价】3：1、 ,,R x y z +∈，若2224x y z ++=则22x y z -+的最小值为_______. 2、,,R a b c +∈，且9a b c ++=，则4916a b c++的最小值为_______.题型二：利用柯西不等式证明不等式例3．【点拨思辨】已知+,a b R ∈ +b=1a ，12,x x R +∈，求证：122112(a +b )(a +b )x x x x x x ≥.【练习评价】4: (1) 设0xy >，求证: 222241()()9x y y x ++≥; (2) 已知221a b +=，求证: |cos sin |1a b θθ+≤.（3）若a b c >>，求证:114+a b b c a c≥---【练习评价:高考链接】1.（2012.郑州）已知实数,,,a b c d 满足221a b +=，221c d +=，则ac bd +的最小值为_________.2.（2012.湖北）设222,,,1,23________.x y z R x y z x y z x y z ∈++=++=++=且满足则3.（2013.湖北）设222222,,,,,10,40,().a b c a b x y z R a b c x y z x y z +++∈++=++==++且满足则A.14B. 13C. 12D. 343（2012. 福建）已知函数()|2|,f x m x m R =--∈，且(2)0f x +≥的解集为[]1,1-；（1）求m 的值；（2）若+,,a b c R ∈,且11123m a b c++=，求证：2+39a b c +≥【课堂小结】【作业】《高考调研》课时作业（九十四）。

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§3.3一般形式的柯西不等式（学案）
编辑：冯萍审核：梅龙友使用年级及学生：
教学目标：
1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；
2.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法教学重点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。

教学难点：应用一般形式柯西不等式证明不等式。

教学过程：一、复习引入：
定理1：（二维柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则
22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立。

变式1、变式2、
定理2：（柯西不等式的向量形式）设α，β为平面上的两个向量，则||||||βαβα⋅≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：
231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+-
二、讲授新课：
类似的，从空间向量的几何背景业能得到|α.β|≤|α|| β| .将空间向量的坐标代入，可得到
成立.
1,2,3)时，等号(b 使得a ，或存在一个实数k， 0β 即共线时， β ， α 当且仅当)b a b a b (a )b b )(b a a (a 23322112
32221232221===++≥++++i i i k 这就是三维形式的柯西不等式.
对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？定理4：（一般形式的柯西不等式）：
三、应用举例：
例1、已知a 1,a 2,…,a n 都是实数，求证：22221221)(1n n a a a a a a n
+++≤+++
变式1、已知,,,a b c d 是不全相等的正数，求证：2222a b c d ab bc cd da +++>+++
例2、、已知222231,x y z x y z ++=++求的最小值.
变式2、已知,,,x y z R +∈ 且1,x y z ++= 求证：149
36x y z
++≥
四、巩固练习：
练习：1．设x ，y ，z 为正实数，且x+y+z=1，求z
y
x
941++的最小值。

2．已知a+b+c+d=1，求a 2+b 2+c 2+d 2的最小值。

3．已知a ，b ，c 为正实数，且a+2b+3c=9，求c b a ++23的最大值。

4．已知a ，b ，c 为正实数，且a 2+2b 2+3c 2=6，求a+b+c 的最小值。

5．已知a ，b ，c 为正实数，且a+2b+c=1，求c
b a 1
11++的最小值。

6．已知x+y+z=52，则m=x 2+2y 2+z 2的最小值是____________
五、课堂小结：重点掌握三维柯西不等式的运用。

六、布置作业：P41习题3.2 2，3，4，5。