【备战2014】北京中国人民大学附中高考数学 综合能力题选讲 第29讲 条件开放的探索性问题(含详解)
【2014必备】北京中国人民大学附中高考数学综合能力题(题型预测+范例选讲)选讲：第06讲 三角函数与三角形(
数学高考综合能力题选讲6三角函数与三角形题型预测考试说明中明确要求：要掌握正、余弦定理及其推导过程，并能运用它们来解三角形．这一类型的题目在高考中也时有出现．因此，在复习中要重视题型：运用三角恒等变换，三角函数的图象性质，结合正、余弦定理、三角形的内角和定理来解涉及三角形的问题．范例选讲例1在中，角所对的边分别为．若，求角．讲解：解三角形的问题，对于已知条件的变形一般有两种思路：（1）把边转化为角；（2）把角转化为边．本题中，由于解题目标是求角度，利用正弦定理，将已知等式中的边转化为角．可得.对上式进行恒等变形时，应将角B、C向所求角转化．考虑到，故有，∴.又∵ ,∴ ,即，由，可解得．点评正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式、内角和公式是解三角形时常用的工具．例2 在△ABC中，已知.（1）若任意交换的位置，的值是否会发生变化?试证明你的结论；（2）求的最大值.讲解（1）看到这样一个问题，我们不要急于交换的位置，而应该先想一想：在什么情况下，交换的位置，不会导致的值改变？答案应该是明显的，那就是当这个表达式是关于的对称关系式时．基于这样的想法，我们应该首先对这个表达式进行恒等变形．∵，∴任意交换的位置，的值不会发生变化．（2）如何求出的最大值？从（1）的结论来看，既然在表达式中的位置是平等的，那么，我们是否可以做这样的猜想：当时，取得最值．这样的猜想是否正确？我们可以用特殊值来验证．不难得出结论：猜想可能是正确的，且所取到的最值应是最大值．接下来的问题是：如何从理论上来证明这一点？有下面几种不同的处理办法：法一将看作是关于的二次函数..所以，当，且取到最大值1时，也即时，取得最大值．法二用调整的方法, 也即对于每个固定的的值，去调整，求出取得最大值时所满足的条件．对于，如果固定，则可将看作是关于的一次或常数函数．为了讨论其最大值，显然应该考虑的符号，并由此展开讨论．若，则，所以，，所以，所以，只需考虑的情形．此时是关于的常数函数或单调递增的一次函数，因此，最大值必可在（即）时取得．所以，，等号当且仅当时取得．点评根据已知条件做出合理猜想，常常是探求结论的有效方法．编者注。
2014年北京市数学(文)高考真题含答案带解析(超完美word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷文科数学一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则A B = （ ）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}3 2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.x y e -=B.y x =C.ln y x =D.y x =3.已知向量()2,4a = ，()1,1b =-，则2a b -= （ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.1B.3C.7D.155.设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分不必要条件 6.已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中， 包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1B.()1,2C.()2,4D.()4,+∞7.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ， 使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.4 8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”. 在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟） 满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数）， 图中记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据， 可以得到最佳加工时间为（ ）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.若()()12x i i i x R +=-+∈，则x = . 10.设双曲线C的两个焦点为()，)，一个顶点式()1,0，则C 的方程为.11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.侧（左）视图正（主）视图12.在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = . 13.若x 、y 满足11010y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则z y +的最小值为 .14.顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这 项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都 完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：则最短交货期为 工作日.三、解答题共6小题，共80分。
高中数学二轮总复习知能演练选考内容第29讲几何证明与不等式选讲理试题
选考内容选考内容第29讲几何证明与不等式选讲创作人：历恰面日期：2020年1月1日
x、y满足1
x2＋
1
y2
＝1，那么x2＋2y2的最小值为____________．
反思备忘：
2.如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB 于D点，那么CD＝.
反思备忘：
3.如图，割线PBC经过圆心O，PB＝OB＝1，OB绕点O逆时针旋转120°到OD，连结PD交圆O于点E，那么PE＝.
反思备忘：
4.命题“∃x∈R，|x－a|＋|x＋1|≤2”是假命题，那么实数a的取值范围是
__________．
反思备忘：
5.如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，那么圆O的面积等于__________．
反思备忘：
x、y、z满足x＋2y＋3z＝1，那么x2＋y2＋z2的最小值为________．
反思备忘：
f(x)＝(x－a)2＋(x－b)2＋(x－c)2＋a＋b＋c2
3
(a，b，c为实数)的最小值为m，假设
a－b＋2c＝3，求m的最小值．反思备忘：
8.如图，⊙O 是以AB 为直径的△ABC 的外接圆，点D 是劣弧BC 的中点，连接AD 并延长，与过C 点的切线交于P ，OD 与BC 相交于点E .
(1)求证：OE ＝1
2
AC ；
(2)求证：PD PA ＝BD 2
AC
2.
反思备忘：。
【2014必备】北京中国人民大学附中高考数学综合能力题(题型预测+范例选讲)选讲：第03讲 指数函数与对数函数
数学高考综合能力题选讲3指数函数与对数函数题型预测指数函数与对数函数都是非常重要的初等函数，也是我们在高中阶段研究函数问题时主要的载体．其它初等函数与之相复合，所得到的新函数的定义域、值域、单调性，以及它们与不等式的综合常常成为考查的核心．范例选讲例1．已知，其中．（1）试求的定义域和值域；求出的反函数；（2）求出的反函数；（3）判断函数的奇偶性和单调性；（4）若实数满足，求的取值范围.讲解（1）由于，所以，函数的定义域为R.为求的值域，观察函数的解析式．注意到其实是一个单调函数（）和一个非单调函数（）之和，因此，的单调性并不能通过简单判断很快得到．解决这个问题，我们可以有下面的两种选择：一、从单调性的定义出发．即任取，且，比较的大小关系，这种方法留给同学自己完成．二、通过刚才的观察，很快可以看出：在上单调递增，此时，的取值范围为；当时，，因此，若令，则由，则可知：此时的取值范围为．又时，．所以，函数的值域为．所以，函数的值域为R．（2）设，则=，利用与互为倒数，可得=，所以，．所以，=，R．（3）任取R，则==，所以，函数为奇函数．任取，且，则由及指数函数的性质可知：，，所以，，即．所以，在定义域内单调递增．（4）由得：，即：结合的单调性可知：上式等价于：，解之得：．点评①定义域是研究函数的基础．求值域、判断奇偶性、单调性、研究函数图象等都应先从定义域出发．②从定义域出发，利用函数的单调性，是求函数值域常用的方法．例2．已知函数，对定义域内的任意都有成立．（1）求实数的值；（2）若当时，的取值范围恰为，求实数的值．讲解：（1）由及可得：解之得：．当时，函数无意义，所以，只有．（2）时，，其定义域为.所以，或．①若，则．为研究时的值域，可考虑在上的单调性．下证在上单调递减．任取，且，则又，所以，，即．所以，当，在上单调递减由题：时，的取值范围恰为，所以，必有，解之得：（因为，所以舍去）②若，则．又由于，所以，．此时，同上可证在上单调递增（证明过程略）．所以，在上的取值范围应为，而为常数，故的取值范围不可能恰为．所以，在这种情况下，无解．综上，符合题意的实数的值为，点评本题（2）中，充分的运用已知条件，可以减少分类讨论的次数．。
2014高考数学总复习 课时作业29 新人教版
课时作业(29)(第一次作业)1．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，E 、F 分别是正方形A 1B 1C 1D 1和ADD 1A 1的中心，则EF 和CD 所成的角是( )A ．60°B ．45°C ．30° D．90° 答案 B解析 连接A 1D ，DC 1，A 1C 1，∵E ，F 为A 1D ，A 1C 1中点， ∴EF ∥C 1D .∴EF 和CD 所成角即为∠C 1DC ＝45°.2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB 1→，CM →〉的值等于( ) A.12B.21015 C.23D.1115答案 B解析 分别以DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴建系，令AD ＝1， ∴DB 1→＝(1,1,1)， CM →＝(1，－12，0)．∴cos 〈DB 1→，CM 〉＝1－123·52＝1515. ∴sin 〈DB →，CM →〉＝21015.3．(2012·某某)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A.55B.53 C.255 D.35答案 A解析 不妨设CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2.由题图知，A 点的坐标为(2,0,0)，B 点的坐标为(0,0,1)，B 1点的坐标为(0,2,1)，C 1点的坐标为(0,2,0)．所以BC 1→＝(0,2，－1)，AB 1→＝(－2,2,1)．所以cos 〈BC 1→，AB 1→〉＝0×－2＋2×2＋－1×135＝55.4．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为( )A.12B.32 C.35D.45 答案 D解析 取AC 中点E ，令AB ＝2 分别以EB ，EC ，ED 为x ，y ，z 轴建系B 1(3，0,2)，C (0,1,0)，A (0，－1,0)，D (0,0,2)，DB 1→＝(3，0,0)，DC →＝(0,1，－2)，DA →＝(0，－1，－2)，平面B 1DC 法向量为n ＝(0,2,1)cos 〈DA →，n 〉＝－45∴AD 与面B 1DC 所成的角正弦值为45.5．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，CC 1＝2，则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成角的正弦值为( )A.32B.52C.105 D.1010答案 C解析 连接A 1C 1交B 1D 1于O 点，由已知条件得C 1O ⊥B 1D 1，且平面BDD 1B 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以C 1O ⊥平面BDD 1B 1.连接BO ，则BO 为BC 1在平面BDD 1B 1上的射影，∠C 1BO 即为所求，OC 1＝12A 1C 1＝12AC ＝22，BC 1＝42＋22＝2 5. 通过计算得sin ∠C 1BO ＝OC 1BC 1＝105. 6．若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是( ) A.63B.33 C.23D.13答案 B解析 以正三棱锥O －ABC 的顶点O 为原点，OA ，OB ，OC 为x ，y ，z 轴建系(图略)，设侧棱长为1，则A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)． 侧面OAB 的法向量为OC →＝(0,0,1)， 底面ABC 的法向量为n ＝(13，13，13)．∴cos 〈OC →，n 〉＝OC →·n|OC →|·|n |＝131·132＋132＋132＝33. 7．正四棱锥S －ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 所成的角是________．答案 30°解析 如图所示，以O 为原点建立空间直角坐标系O －xyz .设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，P (0，－a 2，a2)．则CA →＝(2a,0,0)，AP →＝(－a ，－a 2，a 2)，CB →＝(a ，a,0)．设平面PAC 的法向量为n ，可求得n ＝(0,1,1)， 则cos 〈CB →，n 〉＝CB →·n |CB →||n |＝a 2a 2·2＝12. ∴〈CB →，n 〉＝60°.∴直线BC 与平面PAC 所成的角为90°－60°＝30°.8．(2011·大纲全国理)己知点E 、F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1、CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于________．答案23解析 设面AEF 与面ABC 所成的二面角为θ，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为3，则△AEF 在面ABC 上的射影是△ABC .在△AEF 中，AE ＝32＋12＝10，AF ＝322＋22＝22，EF ＝2－12＋32＝10. △AEF 的面积等于12×22×102－12222＝3112，而△ABC 的面积等于12×32＝92，因此有cos θ＝S △ABC S △AEF ＝311，sin θ＝1－cos 2θ＝211，tan θ＝sin θcos θ＝23，即面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值是23. 9.如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．答案 (1,1,1)解析 连接AC ，BD 交于O ，连接OE ， cos 〈DP →，AE →〉＝33，∴cos ∠AEO ＝33.又∵OA ＝2，∴OE ＝1，∴E 为(1,1,1)．10．(2012·某某)如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥PD ，BC ＝1，PC ＝23，PD ＝CD ＝2.(1)求异面直线PA 与BC 所成角的正切值； (2)证明：平面PDC ⊥平面ABCD ；(3)求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值．解析 (1)如图，在四棱锥P —ABCD 中，因为底面ABCD 是矩形，所以AD ＝BC 且AD ∥BC .故∠PAD 为异面直线PA 与BC 所成的角．又因为AD ⊥PD ，在Rt △PDA 中，tan ∠PAD ＝PDAD＝2. 所以，异面直线PA 与BC 所成角的正切值为2.(2)证明：由于底面ABCD 是矩形，故AD ⊥CD ，又由于AD ⊥PD ，CD ∩PD ＝D ，因此AD ⊥平面PDC ，而AD ⊂平面ABCD ，所以平面PDC ⊥平面ABCD .(3)在平面PDC 内，过点P 作PE ⊥CD 交直线CD 于点E ，连接EB . 由于平面PDC ⊥平面ABCD ，而直线CD 是平面PDC 与平面ABCD 的交线． 故PE ⊥平面ABCD ，由此得∠PBE 为直线PB 与平面ABCD 所成的角． 在△PDC 中，由于PD ＝CD ＝2，PC ＝23，可得∠PCD ＝30°. 在Rt △PEC 中，PE ＝PC sin30°＝ 3. 由AD ∥BC ，AD ⊥平面PDC ，得BC ⊥平面PDC . 因此BC ⊥PC .在Rt △PCB 中，PB ＝PC 2＋BC 2＝13.在Rt △PEB 中，sin ∠PBE ＝PE PB ＝3913. 所以直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值为3913. 11.如右图所示，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12.求面SCD 与面SBA 所成二面角的余弦值．解析 以A 为坐标原点，BA 、AD 、AS 所在直线分别为x 、y 、z 建立如图所示的空间直角坐标系，则S (0,0,1)，C (－1,1,0)，D (0，12，0)．∴SC →＝(－1,1，－1)，SD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－1.设平面SCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∵n ⊥SC →，n ⊥SD →， ∴n ·SC →＝0，n ·SD →＝0. 即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y －z ＝0，y2－z ＝0.解得x ＝z ，y ＝2z .令z ＝1，则n ＝(1,2,1)．又∵平面SAB 的法向量为AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，∴cos 〈n ，AD →〉＝n ·AD →|n |·|AD →|＝0＋1＋06×12＝63.由题意知，二面角为锐角，所以二面角的大小等于两法向量的夹角． ∴所求二面角的余弦值为arccos 63. 12.(2012·某某)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，FC ⊥平面ABCD ，AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF .(1)求证：BD ⊥平面AED ； (2)求二面角F －BD －C 的余弦值．解析 (1)证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，所以∠ADC ＝∠BCD ＝120°.又CB ＝CD ，所以∠CDB ＝30°. 因此∠ADB ＝90°，即AD ⊥BD .又AE ⊥BD ，且AE ∩AD ＝A ，AE ，AD ⊂平面AED ， 所以BD ⊥平面AED .(2)方法一 由(1)知AD ⊥BD ，所以AC ⊥BC . 又FC ⊥平面ABCD ， 因此CA ，CB ，CF 两两垂直．以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CF 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设CB ＝1，则C (0,0,0)，B (0,1,0)，D (32，－12，0)，F (0,0,1)． 因此BD →＝(32，－32，0)，BF →＝(0，－1,1)．设平面BDF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则m ·BD →＝0，m ·BF →＝0. 所以x ＝3y ＝3z . 取z ＝1，则m ＝(3，1,1)．由于CF →＝(0,0,1)是平面BDC 的一个法向量，则cos 〈m ，CF →〉＝m ·CF →|m ||CF →|＝15＝55.所以二面角F －BD －C 的余弦值为55. 方法二 取BD 的中点G ，连接CG ，FG ，由于CB ＝CD ，因此CG ⊥BD .又FC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以FC ⊥BD . 由于FC ∩CG ＝C ，FC ，CG ⊂平面FCG ， 所以BD ⊥平面FCG .故BD ⊥FG .所以∠FGC 为二面角F －BD －C 的平面角． 在等腰三角形BCD 中，由于∠BCD ＝120°， 因此CG ＝12CB .又CB ＝CF ，所以GF ＝CG 2＋CF 2＝5CG . 故cos ∠FGC ＝55. 因此二面角F －BD －C 的余弦值为55. 13．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为2，P 是侧棱AA 1上任意一点． (1)求正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积；(2)判断直线B 1P 与平面ACC 1A 1是否垂直，请证明你的结论； (3)当BC 1⊥B 1P 时，求二面角C －B 1P －C 1的余弦值．解析 (1)VABC －A 1B 1C 1＝S △ABC ·AA 1＝34×22×2＝2 3. (2)不垂直．建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，设AP ＝a ， 则A ，C ，B 1，P 的坐标分别为(0，－1,0)，(0,1,0)，(3，0,2)，(0，－1，a )． AC →＝(0,2,0)，B 1P →＝(－3，－1，a －2)，AC →·B 1P →＝－2≠0，∴B 1P 不垂直AC .∴直线B 1P 不可能与平面ACC 1A 1垂直． (3)BC 1→＝(－3，1,2)， 由BC 1⊥B 1P ，得BC 1→·B 1P →＝0. 即2＋2(a －2)＝0，∴a ＝1. 又BC 1⊥B 1C ，∴BC 1⊥平面CB 1P .∴BC 1→＝(－3，1,2)是平面CB 1P 的法向量． 设平面C 1B 1P 的法向量为n ＝(1，y ，z )， 由⎩⎨⎧B 1P →·n ＝0，B 1C 1→·n ＝0，则n ＝(1，3，－23)．设二面角C －B 1P －C 1的大小为α，则cos α＝|BC 1→·n ||BC 1→|·|n |＝64.∴二面角C －B 1P －C 1的余弦值的大小为64.。
北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编29定积分的计算及其应用(教师版)
北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编29：定积分的计算及其应用一、选择题1 ．(安徽寿县一中2012年高三第四次月考试卷)求由曲线,直线及轴所围成的图形的面积错误的为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C ．2 ．(江西重点高中协作体第二次联考理科)若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤=)2(,0)23(,4)3(,1)(2x x x x x f ,则dxx x f ])([21+⎰-的值为 （ ）A ．3332++πB ．2353++πC ．2333++πD ．3352++π【答案】 C ．3 ．(2011-2012学年厦门市3月份高三数学质量检查试题(理科))如图,已知幂函数y x α=的图像过点(2,4)P ,则图中阴影部分的面积等于（ ）A ．163B ．83C ．43D ．23【答案】C ．4 ．(2012年高考(湖北理))已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为（ ）A ．2π5B ．43 C ．32D ．π2【答案】解析:根据图像可得: 2()1y f x x ==-+,再由定积分的几何意义,可求得面积为12311114(1)()33S x dx x x --=-+=-+=⎰. 5 ．(2012年高考(福建理))如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A ．14B ．15 C ．16D ．17【答案】 【答案】C【解析】312201211)()13260S x dx x x S ==-==⎰正阴影,故16P =,答案C 6 ．（北京四中2013届高三上学期期中测验数学(理)试题）函数 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．B ．1C ．2D ．【答案】A 【解析】根据积分的应用可求面积为2211()(1)cos S f x dx x dx xdxππ--==++⎰⎰⎰2021113()sin 1222x x xπ-=++=+=,选（ ）A ．7 ．（2013北京朝阳二模数学理科试题）若120()d 0x mx x +=⎰,则实数m 的值为（ ）A ．13-B ．23- C ．1-D ．2-【答案】B ．8 ．（2013届北京大兴区一模理科）抛物线2(22)y x x =-≤≤绕y 轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的体积是 （ ）A ．1B ．8C ．D ．【答案】B9 ．(陕西省西安中学2012届高三下学期第三次月考试题)如图,设D 是图中边长为的正方形区域,E 是D 内函数y=x 2图象下方的点构成的区域.向D 中随机投一点,则该点落入E 中的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】 C ．10．(东北四校2012届高三第一次高考模拟考试数学(理)试题)若,则a 的值是 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．6 【答案】 （ ） A ．11．(2013湖北高考数学(理))一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度()25731v t t t=-++(t 的单位:s ,v 的单位:/m s )行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位;m )是（ ）A ．125ln5+B ．11825ln3+ C ．425ln5+ D ．450ln 2+【答案】 C解:令 ()257301v t t t=-+=+,则4t =.汽车刹车的距离是402573425ln51t dt t ⎛⎫-+=+ ⎪+⎝⎭⎰,故选 C ． 12．（2013北京高考数学（理））直线l 过抛物线C : x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于 （ ）A ．43 B ．2C ．83D 【答案】Cl 的方程是1y =,所求面积相当于一个矩形面积减去一个积分值:2222008424()4123x x S dx =-=-=⎰. 二、填空题13．（北京市海淀区2013届高三上学期期中练习数学（理）试题）___________.【答案】14．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习(一)数学理试题）直线2-=x y 及y 轴所围成的图形的面积为______________.【答案】163【解析】由=2y y x ⎧⎪⎨-⎪⎩,解得4=2x y =⎧⎨⎩,即(4,2)B ,所以所求面积为34242002116(2)](2)323x dx x x x -=-+=⎰15．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））计算____________.【答案】e216．(2013湖南高考数学(理))若_________.【答案】 3 解:17．(2012年高考(江西理))计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰___________.【答案】23【解析】本题考查有关多项式函数,三角函数定积分的应用. 31211111112(sin )cos |cos1cos1333333x x x dx x --⎛⎫-⎛⎫⎛⎫+=-=---=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰. 18．(福建省龙岩市高中毕业班数学3月质量检查(理科))设函数2()(0)f x a x ca =+≠,若100()()f x dx f x =⎰, 其中001x <<,则0x =________.【答案】π19．(2012年高考(山东理))设0a >.若曲线y =,0x a y ==所围成封闭图形的面积为2a ,则a =______.【答案】【解析】由已知得223023032|32a a x x S aa====⎰,所以3221=a ,所以94=a .20．(湖北黄冈中学高三五月模拟)函数1)(23++-=x x x x f 在点)2,1(处的切线与函数2)(x x g =围成的图形的面积等于_________.【答案】4321．(2012年石景山区高三数学一模理科)如图,圆222:O x y π+=内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分),随机往圆O 内投一个点A ,则点A 落在区域M 内的概率是_________.【答案】34π22．(2012年高考(上海文))已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ,若中A (0,0),B (21,1),C (1,0).函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为_______ .【答案】[解析] 如图1,⎩⎨⎧≤<-≤≤=1,220,2)(2121x x x x x f ,所以⎩⎨⎧≤<+-≤≤==1,220,2)(212212x x x x x x xf y ,易知,y =xf (x )的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如图2,封闭图形MND 与OMP 全等,面积相等,故所求面积即为矩形ODMP 的面积S=412121=⨯.23．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）图中阴影部分的面积等于 ．【答案】1解：根据积分应用可知所求面积为123131x dx x==⎰。
必备北京中国人民大学附中高考数学综合能力题选讲：第讲参数范围型综合问题含详解
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数学高考综合能力题选讲22
参数范围型综合问题
题型预测
参数范围的问题,内容涉及代数和几何的多个方面,综合考查学生应用数学知识解决问题的能力。在历年高考中占有较稳定的比重。解决这一类问题,常用的思想方法有:函数思想、数形结合等。
综上 。
解法２:如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到:判别式往往是产生不等关系的根源。由判别式非负可以很快确定 的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与 联系起来。一般来说,韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于 不是关于 的对称式．问题找到后,解决的方法自然也就有了，即我们可以构造关于 的对称式: 。简解如下：
(3）当 ，即 时， 是Ｒ上的减函数,此时 也无最小值，与题设矛盾；
所以,由(1）(２）（３）可得：当 ,即 时，
。
等号当且仅当 ,即 时成立。
由 及 ,可得:
。
解之得: 。
从另一个角度考虑,“ 的最小值是 且 ”，也就是说 恒成立。于是，我们可以得到下面的解法:
解法二。由 可得: 。
令 ，则命题可转化为:当 时, 恒成立。
讲解:首先,不难得到: = 。要求 的取值范围,不外乎两条路:其一是构造所求变量关于某个（或某几个)参数的函数关系式（或方程),通过求函数的值域来达到目的；其二则是构造关于所求量的一个不等关系。由此出发,可得到下面的两种解法。
解法1：ﻩ在 = 中，有两个变量 ，但这两个变量的范围很难确定,故需要利用第３个变量。比较自然的想法是“直线AB的斜率ｋ”。于是,问题就转化为“如何将 转化为关于k的表达式”。
【2014必备】北京中国人民大学附中高考数学综合能力题(题型预测+范例选讲)选讲：第26讲 建构数列模型的应用
数学高考综合能力题选讲26建构数列模型的应用性问题题型预测数列作为特殊的函数，在高中数学中占有相当重要的位置，涉及实际应用的问题广泛而多样，如：增长率、银行信贷等．解答这一类问题，要充分应用观察、归纳、猜想的手段，注意其间的递推关系，建立出等差、等比、或递推数列的模型．建立数列的递推关系来解题将有可能成为高考命题革新的一个方向．范例选讲例1．某县位于沙漠边缘，当地居民与风沙进行着艰苦的斗争，到2000年底全县的绿地已占全县总面积的30%．从2001年起，市政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度，则每年有16%的原沙漠地带变成了绿地，但同时，原有绿地的4%又被侵蚀，变成了沙漠．（Ⅰ）在这种政策之下，是否有可能在将来的某一年，全县绿地面积超过80%？（Ⅱ）至少在多少年底，该县的绿地面积才能超过全县总面积的60%？讲解：本题为实际问题，首先应该读懂题意，搞清研究对象，然后把它转化为数学问题．不难看出，这是一道数列型应用问题．因此，我们可以设：全县面积为1，记2000年底的全县绿地面积占总面积的百分比为，经过n 年后全县绿地面积占总面积的百分比为，则我们所要回答的问题就是：（Ⅰ）是否存在自然数，使得>80% ？（Ⅱ）求使得>60%成立的最小的自然数.为了解决这些问题，我们可以根据题意，列出数列的相邻项之间的函数关系，然后由此递推公式出发，设法求出这个数列的通项公式．由题可知：，所以，当时，，两式作差得：又，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列．所以，由上式可知：对于任意，均有．即全县绿地面积不可能超过总面积的80%．（Ⅱ）令，得，由指数函数的性质可知：随的增大而单调递减，因此，我们只需从开始验证，直到找到第一个使得的自然数即为所求．验证可知：当时，均有，而当时，，由指数函数的单调性可知：当时，均有．所以，从2000年底开始，5年后，即2005年底，全县绿地面积才开始超过总面积的60%．点评：（Ⅱ）中，也可通过估值的方法来确定的值．例2．某人计划年初向银行贷款10万元用于买房．他选择10年期贷款，偿还贷款的方式为：分10次等额归还，每年一次，并从借后次年年初开始归还，若10年期贷款的年利率为4％，且每年利息均按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），问每年应还多少元（精确到1元）？讲解：作为解决这个问题的第一步，我们首先需要明确的是：如果不考虑其它因素，同等款额的钱在不同时期的价值是不同的．比如说：现在的10元钱，其价值应该大于1年后的10元钱．原因在于：现在的10元钱，在1年的时间内要产生利息．在此基础上，这个问题，有两种思考的方法：法1．如果注意到按照贷款的规定，在贷款全部还清时，10万元贷款的价值，与这个人还款的价值总额应该相等．则我们可以考虑把所有的款项都转化到同一时间（即贷款全部付清时）去计算．10万元，在10年后（即贷款全部付清时）的价值为元．设每年还款x元．则第1次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为；第2次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为；……；第10次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为元．于是：105×(1+4％)10= x(1+4％)9+x(1＋4％)8＋x(1＋4％)7+…+x由等比数列求和公式可得：．其中1010234⨯⨯⨯⨯≈1.04=(1+0.04)=1+100.04+450.04+1200.04+2100.04+ 1.4802所以，法2．从另一个角度思考，我们可以分步计算．考虑这个人在每年还款后还欠银行多少钱．仍然设每年还款x元．则第一年还款后，欠银行的余额为：元；如果设第k年还款后，欠银行的余额为元，则．不难得出：＝105×(1+4％)10－x(1+4％)9－x(1＋4％)8－x(1＋4％)7－…－x 另一方面，按道理，第10次还款后，这个人已经把贷款全部还清了，故有．由此布列方程，得到同样的结果．点评：存、贷款问题为典型的数列应用题，解决问题的关键在于：1．分清单利、复利（即等差与等比）；2．寻找好的切入点（如本题的两种不同的思考方法），恰当转化．例3．将四边形的每条边都涂以红、黄、蓝三种颜色中的一种，要使得相邻的边的颜色互不相同，有多少种不同的涂色方法？讲解：本题从表面上看是排列组合的问题，与数列没有关系，但直接考虑并不简单，为此，我们考虑更一般的问题（即对于n边形的涂色问题），并建构如下递推数列的模型：设n边形（各边依次为）满足条件的涂色方法有种．考虑n＋1边形的涂法：从边开始考虑，对于，有3种涂法；对于边，由于要不同于边，故有2种涂法；……；对于，有2种涂法；最后考虑边，如果不考虑这条边是否与边同色，则也应该有2种涂法，故涂法种数为．上述涂色的方法中，包括两种，第一种是边与边的颜色不同，这种涂色方法恰好符合题意，其总数应该为；第二种是边与边的颜色相同，对于这一种涂色方法，如果我们把边与边看作是同一条边，则其涂色方法也满足题目中对于n边形的要求，故涂色方法总数应该为．由此，不难得出：．所以，．另一方面，显然有．所以，，显然，．点评：本题的难点在于递推数列模型的建立．一般来说，数列型应用题的特点是：与n有关．。
【2014必备】北京中国人民大学附中高考数学综合能力题(题型预测+范例选讲)选讲：第02讲 函数的基本性质(含
数学高考综合能力题选讲2函数的基本性质题型预测函数的性质主要包括：函数的单调性、奇偶性和周期性。
函数是中学数学的重要内容，函数的性质也是高考考查的重中之重。
高考对本部分内容的要求较高，不仅要求熟练掌握这些性质，还要求能够运用定义去证明和判断，以及能够灵活运用这些性质解题。
范例选讲例1对于满足的一切实数，不等式恒成立，试求的取值范围。
讲解不等式很容易让我们联想到二次函数：基于这种认识，本题实质上就是：对于二次曲线系（），考虑使得恒成立的的取值范围。
对于每一个给定的，由于的二根分别为，记，，则的解集为：=所以，当在区间上变化时，使得恒成立的的取值范围就是所有的交集。
因为，所以，的最大值为3，的最小值为。
所以，本题的答案应该为：。
上述解法实际上源于我们思维的一种定势，即习惯于把当作变量，而把其余的字母作为参数。
而事实上，在上面的不等式中，与的地位是平等的。
如果我们换一个角度看问题，即把作为自变量，而把作为参数，则可以得到下面的另一种较为简洁的解法：考虑关于的函数：，可以看到：是关于的一次函数或常数函数，要使得对于满足的一切实数，恒成立，由函数的单调性可知，需且只需：解之得：或。
点评（1）不等式与函数有着千丝万缕的联系，通过适当的转化，可以使得问题的表述更接近于我们熟悉的知识，从而得解。
（2）注意利用函数的性质解题。
（3）注重问题的本质。
在熟悉通性通法的同时，也要敢于打破思维定势，换一个角度看问题。
例2设是定义在[-1，1]上的偶函数，与的图象关于直线对称。
且当时，（1）求函数的表达式；（2）在或的情况下，分别讨论函数的最大值，并指出为何值时，的图像的最高点恰好落在直线上。
讲解（1）注意到是定义在区间上的函数，因此，根据对称性，我们只能求出在区间上的解析式，在区间上的解析式，则可以根据函数的奇偶性去求。
当时，，由于与的图象关于直线对称，所以，当时，，由为偶函数，可知：所以，（2）因为为偶函数，所以，（）的最大值，必等于在区间上的最大值。
北京中国人民大学附中高考数学综合能力题选讲 第22讲 参数范围型综合问题(含详解)
参数范围型综合问题题型预测参数范围的问题，内容涉及代数和几何的多个方面，综合考查学生应用数学知识解决问题的能力。
在历年高考中占有较稳定的比重。
解决这一类问题，常用的思想方法有：函数思想、数形结合等。
范例选讲例1．对于满足40≤≤p 的一切实数，不等式342-+>+p x px x 恒成立，试求x 的取值范围。
讲解：将p 视为主元，设()()()2143f p p x x x =-+-+，则当40≤≤p 时，()f p >0恒成立。
等价于：()()0040f f >⎧⎪⎨>⎪⎩。
即2243010x x x ⎧-+>⎪⎨->⎪⎩。
解得31x x ><-或。
点评：换个角度看问题，换个方面去解释，换个方向去思考。
在数学学习过程中，要注意多角度、多方向、多层次地去思考问题，这样不但对问题的认识更全面、更深刻，还可以发展自己的思维能力。
例2．已知函数()22xx a f x =-。
（Ⅰ）将()y f x =的图像向右平移两个单位，得到函数()y g x =，求函数()y g x =的解析式；（Ⅱ）函数()y h x =与函数()y g x =的图像关于直线1y =对称，求函数()y h x =的解析式；（Ⅲ）设()()()1F x f x h x a=+，已知()F x 的最小值是m，且2m >a 的取值范围。
讲解：（Ⅰ）()()222422242x x x x a a g x f x --=-=-=-； （Ⅱ）设点()(),P x h x 是函数()y h x =上任一点，点()(),P x h x 关于1y =的对称点是()()',2P x h x -由于函数()y h x =与函数()y g x =的图像关于直线1y =对称，所以，点'P 在函数()y g x =的图像上，也即：()()2h x g x -=。
所以，()()242242x x a h x g x =-=-+； （Ⅲ）()()()1F x f x h x a =+()111241242x x a a ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭要求m 的取值范围，可以通过构造关于m 的不等式来获得解答，方法之一是直接法，即先求出()F x的最小值，再令其大于2+解法一。
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1
条件开放的探索性问题
题型预测
探索性问题的明显特征是问题本身具有开放性及问题解决的过程中带有较强的探索
性．对于条件开放的探索性问题，往往采用分析法，从结论和部分已知的条件入手，执果索
因，导出所需的条件．另外，需要注意的是，这一类问题所要求的往往是问题的充分条件，
而不一定是充要条件，因此，直觉联想、较好的洞察力都将有助于这一类问题的解答．
范例选讲
例1．在四棱锥PABCD中，四条侧棱长都相等，底面ABCD是梯形，//ABCD，
ABCD．为保证顶点P在底面ABCD所在平面上的射影O在梯形ABCD
的外部，那么
梯形ABCD需满足条件___________________（填上你认为正确的一个条件即可）．
讲解： 条件给我们以启示．由于四条侧棱长都相等，所以，
顶点P在底面ABCD上的射影O到梯形ABCD四个顶点的距离
相等．即梯形ABCD有外接圆，且外接圆的圆心就是O．显然
梯形ABCD必须为等腰梯形．
再看结论．结论要求这个射影在梯形的外部，事实上，我们
只需找出使这个结论成立的一个充分条件即可．
显然，点B、C应该在过A的直径AE的同侧．不难发现，
ACB
应该为钝角三角形．
故当90ACB（且AC>BC）时可满足条件．其余等价的或类似的条件可以随读者想
象．
点评：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将
题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件．这类题要求学生变换思
维方向，有利于培养学生的逆向思维能力．
例2．老师给出一个函数yfx，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个
性质：
甲：对于xR，都有11fxfx；
乙：在(,0]上函数递减；
丙：在0,上函数递增；
丁：0f不是函数的最小值．
D
C
A
B
E
2
如果其中恰有三个人说得正确，请写出一个这样的函数：____________．
讲解：首先看甲的话，所谓“对于xR，都有11fxfx”，其含义即为：
函数fx的图像关于直线1x对称．数形结合，不难发现：甲与丙的话相矛盾．（在对
称轴的两侧，函数的单调性相反）
因此，我们只需选择满足甲、乙、丁（或乙、丙、丁）条件的函数即可．
如果我们希望找到满足甲、乙、丁条件的函数，则需要认识到：所谓函数在(,0]上
单调递减，并不是说函数fx的单调递减区间只有(,0]．考虑到关于直线1x的对称
性，我们不妨构造函数，使之在(,1]上单调递减，这样，既不与乙的话矛盾，也满足丁
所说的性质．如21fxx即可．
如果希望找到满足乙、丙、丁条件的函数，则分段函数是必然的选择．如
1, 0, 0xxfxxx
．
点评：本题考查学生对于函数性质的理解和掌握．思考这样的问题，常常需要从熟悉的
函数（一次、二次、反比例函数，指数、对数、三角函数等）入手，另外，分段函数往往是
解决问题的关键．
例3．对任意函数fx，xD，可按图示构造一个数列发生器，
其工作原理如下：
① 输入数据0xD，经数列发生器输出10xfx；
② 若1xD，则数列发生器结束工作；若1xD，则将1x反馈
回输入端，再输出21xfx，并依此规律继续下去．
现定义421xfxx．
（Ⅰ）若输入04965x，则由数列发生器产生数列nx．请写出
数列nx的所有项；
（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列nx，试求输入的初始数据0x的值；
（Ⅲ）若输入0x时，产生的无穷数列nx满足：对任意正整数n，均有1nnxx，求
0
x
的取值范围．
（Ⅳ）是否存在0x，当输入数据0x时，该数列发生器产生一个各项均为负数的的无穷
3
数列．
讲解：（Ⅰ）对于函数421xfxx，,11,D．
若04965x，代入计算可得：123111,,1195xxx，
故产生的数列nx只有三项．
（Ⅱ）要使数列发生器产生一个无穷的常数数列，实际上是对于任意的正整数n，都应
该有1nnxx．又1nnxfx421nnxx．所以，只需令fxx．
解得：1 2xx或．
由于题目实际上只要求找到产生“无穷常数数列”的一个充分条件，所以，令01x（或
2）即可．此时必有1nnxx＝1（或2）．
事实上，相对于本题来讲，01x（或2）是产生“无穷常数数列”的充要条件（这是
因为函数421xfxx是一一对应）．如果把函数换成2322xxfxx，请读者思考：
有多少个满足条件的初值0x？
（Ⅲ）要使得对任意正整数n，均有1nnxx，我们不妨先探索上述结论成立的一个必
要条件．即1121421xxxx．
事实上，不等式421xxx的解为1x或12x．（＊）
所以，11x或112x．
下面我们来研究这个条件是否充分．
当11x时，12114264411xxxx，所以，虽然有12xx，但此时324xx，
显然不符合题意．
当112x时，由上可知：12xx，且不难求得212x，以此类推，可知，必有：
对任意正整数n，均有1nnxx成立．
综上所述，112x．由10xfx及（＊），不难得知：0x的取值范围为1,2．
4
（Ⅳ）要求使得0nx任取nN成立的初值0x．实质上是执果索因．令0nx，
则由1nnxfx不难解得1112nx．
又由12nnxfx，可解得：21557nx．
由此我们知道，如果0nx，则必有21557nx．即nx与2nx不可能同时小于0．
故在本题的规则下，不可能产生各项均为负数的数列nx．
点评：本题为条件探索型问题，执果索因，恰当运用分析法，寻找使结论成立的充分条
件是解决这类问题的常用方法．