电磁学和电动力学
电磁学和电动力学
引言
电磁学和电动力学是物理学中重要的分支，研究电荷和电流之间相互作用的规律。
本文将全面、详细、完整地探讨电磁学和电动力学的基本概念、主要定律以及其在日常生活和工业应用中的重要性。
电磁学基础
电荷与电场
1. 电荷
电荷是物质所具有的一种基本性质，分为正电荷和负电荷。
相同电荷之间相互排斥，不同电荷之间相互吸引。
2. 电场
电场是电荷周围所产生的力场。
一个电荷会在其周围产生电场，其他电荷会受到电场力的作用而发生运动或变形。
电动力学定律
1. 库仑定律
库仑定律描述了两个电荷之间的电场力的作用关系。
两个电荷之间的作用力与它们的电荷量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
2. 高斯定律
高斯定律描述了电场的产生和分布与电荷的分布之间的关系。
电场线从正电荷发出，趋向于负电荷。
3. 法拉第电磁感应定律
法拉第电磁感应定律描述了磁场变化时电场的产生。
当磁场穿过一个闭合线圈时，会在线圈中产生感应电动势，并引起电流流动。
4. 电动势和电流
电动势是指电源提供给一个电荷单位所做的功。
电流是电荷的流动，单位时间内通过某一截面的电荷量。
5. 安培环路定理
安培环路定理描述了磁场和电流之间的关系。
沿着一条闭合回路的磁场强度的总量等于通过该回路的电流的总和乘以真空中的磁导率。
电磁学与现实生活
电磁学和电动力学对我们的日常生活产生了极大的影响，并应用于许多领域。
家用电器
我们日常使用的家用电器，如电视、冰箱、洗衣机等，都离不开电磁学和电动力学。
电动机的原理使得这些电器可以正常运行，电磁感应定律也是指导电磁炉、电磁炉等发明的基础。
通信技术
现代通信技术中的无线电、微波、红外线等也是电磁学和电动力学的应用。
电磁波的传播使得我们可以进行远距离的通信，并广泛应用于手机、电视、无线网络等设备中。
医学影像
医学影像技术如X光、CT扫描、MRI等的原理都基于电磁学和电动力学。
将电磁波用于人体成像，可以帮助医生诊断和治疗许多疾病。
可再生能源
电磁学和电动力学的研究也对可再生能源的开发和利用具有重要意义。
太阳能、风能、水能等都可以通过电磁学和电动力学的原理转化为电能，以满足能源需求并减少对传统能源的依赖。
结论
电磁学和电动力学是物理学中的重要分支，研究电荷和电流之间的相互作用规律。
通过深入了解电磁学和电动力学的基本概念和定律，我们可以更好地理解电荷、电
场和电流的行为。
电磁学和电动力学的应用也广泛存在于日常生活中的家用电器、通信技术、医学影像和可再生能源等领域，对我们的生活产生了巨大的影响。
对于未来的发展，继续深入研究电磁学和电动力学，推动其应用的创新，将为我们的社会带来更多的发展和进步。
电动力学-电磁学的基本规律
§1.2
电流和磁场
一、电流密度和电荷守恒定律 二、毕奥一萨伐尔定律 三、磁场的环量和旋度 四、磁场的散度
1
一、电流密度和电荷守恒定律
1.电流和电流密度 电荷在电场的作用下，定向的运动形成电流。 电流的强弱用电流强度描述。 定义:单位时间内通过导体(或不导电的空间)中 任一横截面的电量，即
I 描述的是某一截面上电荷流动情况，不能描 述各点处电荷流动情况，而且只给出电荷流动 的数量，并未表明电荷流动的方向。
四、磁场的散度
为了确定磁场，除了给出旋度外，还需要给出 它的散度。 在磁场中磁感应强度穿过某一曲面的通量，称 为磁通量或磁通。表示为
B 的值是单位横截面积上通过的磁通量，因此， B 也称为磁通密度。
11
证明：
对B 取散度
由
——磁通连续性原理
12
表明:
磁感应线是连续的; 磁场是无通量源的场，即磁感应线总是呈闭合曲 线，因为它不能由任何闭合面内发出或终止。 关于磁单极子的存在与否，至今仍没有得到证实。
称为欧姆定律的微分形式。
———电导率
运流电流 真空中或气体中的自由电荷在电 场作用下形成的电流。
4
3、 电荷守恒定律——电磁理论最基本的实验 定律
电荷既不会产生，也不会消灭，只能从一个物 体转移到别的物体，即电量是守恒的。
积分形式 微分形式
稳恒电流情况
5
二、毕奥一萨伐尔定律
电场力
力 = 受力电荷 电场强度 磁场力 力 = 受力电流
0 Ir ˆ B e 2 2 a
用柱坐标的公式求磁场的旋度：
(r<a)
(1) 当r>a时由我们求出的B得出
B 1 ˆr ˆz 0 B e (rB )e z r r
物理电磁感应与电动力学
物理电磁感应与电动力学电磁感应是电动力学中的重要概念之一，它描述了磁场对电流产生力的作用，以及带电粒子在磁场中的运动规律。
本文将从理论基础、应用领域和实验方法三个方面，探讨物理电磁感应与电动力学的相关知识。
一、理论基础物理电磁感应的理论基础主要建立在法拉第电磁感应定律的基础上。
法拉第电磁感应定律指出，当一个导体回路的磁通量发生变化时，导体中就会产生感应电动势。
这一定律是物理电磁感应理论的重要基石，也是实现电能传输和电磁感应技术的基础。
电动力学则是研究电荷在电场和磁场中受力、运动和相互作用的学问。
电动力学的理论基础主要建立在库仑定律、洛伦兹力和麦克斯韦方程组等基本原理上。
库仑定律描述了电荷间的相互作用力，而洛伦兹力则描述了电荷在电磁场中受到的力。
麦克斯韦方程组则是电动力学的基本方程，描述了电磁场的产生和传播规律。
二、应用领域物理电磁感应与电动力学在科学研究和工程应用中具有广泛的应用领域。
在科学研究方面，电磁感应和电动力学的理论可以用于解释电磁波、电磁辐射和电磁相互作用等现象。
在工程应用方面，物理电磁感应技术被广泛应用于电力输配、电子通信、磁共振成像等领域。
在电力输配方面，电动力学的理论基础可以用于解释和优化输电线路的电场和磁场分布，从而避免电力损耗和电磁辐射对人体健康的影响。
在电子通信领域，电磁感应技术可以用于实现无线电通信、雷达检测和无线电频谱分析等应用。
在医学领域，物理电磁感应技术可以应用于磁共振成像和心电图检测等医学诊断工具中。
三、实验方法为了研究和验证物理电磁感应与电动力学的理论，人们开展了大量的实验。
其中，最经典的实验之一就是法拉第的磁感应实验。
该实验通过改变磁场的强度和导体回路的面积，观察回路中感应电流的变化，从而验证了法拉第电磁感应定律的正确性。
此外，还有一些其他的电磁感应实验，如旋转导体实验、电磁感应输电实验等。
这些实验通过改变磁场的方向和电流的强度，观察感应电动势和感应电流的变化，验证了电磁感应的基本规律。
电动力学
内容
电磁试验麦克斯韦方程组是在库仑定律(适用于静电)、毕奥-萨伐尔定律和法拉第电磁感应定律等实验定律 的基础上建立起来的。通过提取上述实验定律中带普遍性的因素，并根据电荷守恒定律引入位移电流，就可以导 出麦克斯韦方程组。在物理上，麦克斯韦方程组其实就是电磁场的运动方程，它在电动力学中占有重要的地位。 另一个基本的规律就是电荷守恒定律，它的内容是：一个封闭系统的总电荷不随时间改变。近代的实验表明，不 仅在一般的物理过程、化学反应过程和原子核反应过程中电荷是守恒的，就是在基本粒子转化的过程中，电荷也 是守恒的。
磁学、电学、物理学、力学、热学、光学、声学、电磁学、核物理学、固体物理学。
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电动力学是研究电磁现象的经典的动力学理论，它主要研究电磁场的基本属性、运动规律以及电磁场和带电 物质的相互作用。同所有的认识过程一样，人类对电磁运动形态的认识，也是由特殊到一般、由现象到本质逐步 深入的。人们对电磁现象的认识范围，是从静电、静磁和似稳电流等特殊方面逐步扩大，直到一般的运动变化的 过程。
电动力学
电磁学释义
01
03 内容 05 相关学科
目录
02 发展 04 电磁关系
电动力学（electrodynamics）电磁现象的经典的动力学理论。通常也称为经典电动力学，电动力学是它的 简称。它研究电磁场的基本属性、运动规律以及电磁场和带电物质的相互作用。迄今人类对自然界认识பைடு நூலகம்最完备、 最深入且应用也最为广泛的是电磁相互作用，因而研究电磁相互作用的基本理论-电动力学有其特殊的重要性，它 渗透到物理学的各个分支。它比电磁学研讨的问题立足点更高，应用到的数学基础更艰深，理论性更强，论述也 更深入和普遍。
麦克斯韦方程组给出了电磁场运动变化的规律，包括电荷电流对电磁场的作用。对于电磁场对电荷电流的作 用，则是由洛伦兹力公式给出的。将麦克斯韦方程组、洛伦兹力公式和带电体的力学运动方程联立起来，就可以 完全确定电磁场和带电体的运动变化。因此，麦克斯韦方程组和洛伦兹力公式构成了描述电磁场运动和电磁作用 普遍规律的完整体系。
电磁学和电动力学在高中物理中的应用
2 2
BL BL v m(R r ) x v v0 m( R r ) x
2 2
2 2
5.为什么不考虑感应电流的磁场
固定于水平面上的光滑金属框abcd处在竖直向下的 匀强磁场B中，金属棒沿框架以速度v向右运动。由于 金属棒切割磁感线，产生了逆时针方向的感应电流I， 故金属棒受到向左的安培力BIL。
4.第二类匀变速运动
v k x v t k t x a k v a kv ma mkv
F合 k v(k mk )
物体所受的合力与速度成正比，则速度随位移均匀变化。
4.第二类匀变速运动
光滑平行金属导轨间距L，置于与导轨平面垂直 的匀强磁场B中，导轨左端接有阻值为R的电阻。一 电阻为r的金属棒以一定的初速度向右滑行。
为什么不考虑感应电流的磁场故导线框中的感应电流在金属棒中点处产生的磁感应强度为bbb???012352ibl????考虑到实际情况这里我们取l02mi10a则???2??我们可以进一步的估算导线框中的感应电流在整根金属棒mn上所产生的磁感应强度的数量级近似为与地磁场数量级相同而实验室所能提供的匀强磁场一般为01t10t导线框中感应电流所产生的磁场可以忽略不计
E 1.v B
时，速度选择器中的粒子将何去何从
E 1.qvB qE , v , 粒子向上偏转 B E 2.qvB qE , v , 粒子向下偏转 B E 3.qvB =qE , v = , 粒子做匀速直线运动 B
E 1.v B
时，速度选择器中的粒子将何去何从
E E E 当v 时，令v v1 v2 (v ) B B B
a
﹢
q
7.带同种电荷的物体一定相互排斥吗 ﹢﹢﹢﹢ q ﹢ ﹢ ﹢ ﹢﹢﹢没有q时，Q均匀分布在球面上。有q时，球面上 将出现感应电荷，电荷将重新分布，如图所示。 如果球面上的负电荷对点电荷q 的引力大于球面 上的正电荷对点电荷q 的斥力，则整个导体球对点电 荷q 的合力为引力，便会发生带同种电荷的物体之间 互相吸引的现象，本质上并不是同种电荷互相吸引。
电动力学讲义
电动力学讲义一、电动力学概述电动力学是物理学中一门重要的基础学科，主要研究电荷运动与电磁场相互作用的规律。
它涉及到电磁学、量子力学、相对论等多个领域，是现代物理学和技术科学的基础。
二、基本概念和理论1. 电荷：电荷是物质的基本属性，分为正电荷和负电荷。
2. 库仑定律：描述两个点电荷之间相互作用力的定律。
3. 电磁场：由电场和磁场组成的空间。
4. 麦克斯韦方程组：描述电磁场的基本规律。
5. 波动方程：描述电磁波在不同介质中传播的规律。
6. 相对论：描述物体在高速运动下与低速运动下物理规律的方程。
三、基本原理和应用1. 电荷守恒原理：在电动力学中，电荷是守恒的，即不能创造也不能消失，只能从一个体系转移到另一个体系。
2. 洛伦兹力：带电粒子在磁场或电场中受到的力。
3. 电磁波的应用：电磁波在现代通讯、雷达、医疗等领域有着广泛的应用。
4. 相对论在宇宙学和粒子物理学中的应用：相对论在解释宇宙和基本粒子的行为时具有重要地位。
四、实验基础和实践实验是电动力学的基础，通过对实验数据的分析和归纳，可以验证和理解电磁学的规律。
实践方面，可以借助实验设备如线圈、电偶极子等，进行电磁场和电磁波的实验研究。
五、总结电动力学是一门理论性和实践性都很强的学科，通过对电荷、电磁场、相对论等基本概念和原理的学习，我们可以更好地理解物理世界。
在实际应用中，电动力学对于现代科技的发展具有重要意义，如电磁波在现代通讯技术中的应用，以及相对论在宇宙学和粒子物理学中的地位。
总之，电动力学是物理学和技术科学的重要基础，对于深入理解和应用物理规律具有不可或缺的作用。
用物理学原理解释电磁感应和电动力学现象
用物理学原理解释电磁感应和电动力学现象电磁感应和电动力学是物理学中重要的研究领域，它们通过物理学原理解释了许多现象和技术应用。
本文将从电磁感应和电动力学的基本原理入手，探讨它们在现实生活中的应用。
首先，我们来了解电磁感应的基本原理。
电磁感应是指当导体中的磁通量发生变化时，会在导体中产生感应电动势。
这一原理由法拉第在19世纪提出，被称为法拉第定律。
根据法拉第定律，感应电动势的大小与磁通量的变化速率成正比。
这意味着当磁场的强度或导体的面积发生变化时，感应电动势的大小也会发生变化。
电磁感应的应用非常广泛。
例如，发电机就是利用电磁感应原理工作的。
当导体在磁场中运动时，磁通量会发生变化，从而在导体中产生感应电动势。
这个感应电动势可以通过电路连接到负载上，从而产生电流。
发电机就是利用这种原理将机械能转化为电能的装置。
除了发电机，变压器也是利用电磁感应原理工作的重要设备。
变压器通过改变电流的大小和方向来实现电能的传输。
当交流电通过变压器的一侧绕组时，会在另一侧绕组中产生感应电动势。
根据法拉第定律，感应电动势的大小与绕组的匝数成正比。
通过合理设计绕组的匝数比，变压器可以实现电压的升降。
接下来，我们转向电动力学的研究。
电动力学是研究电荷在电场和磁场中运动的学科。
在电动力学中，最基本的原理是库仑定律和洛伦兹力定律。
库仑定律描述了电荷之间的相互作用。
根据库仑定律，两个电荷之间的力与它们之间的距离的平方成反比。
这意味着电荷之间的力会随着距离的增加而减小。
库仑定律的应用非常广泛，例如在电路中，电荷在导线中的运动就受到电荷之间的相互作用力的影响。
洛伦兹力定律描述了电荷在电场和磁场中受到的力。
根据洛伦兹力定律，电荷在电场中受到的力与电场强度成正比，电荷在磁场中受到的力与电荷的速度和磁场强度的乘积成正比。
这意味着电荷在电场和磁场中的运动轨迹会受到力的作用而发生改变。
电动力学的应用非常广泛，例如在电动机中，电流通过导线时会在磁场中受到力的作用，从而使导线产生转动。
物理学中的电动力学和磁学
物理学中的电动力学和磁学电动力学和磁学是物理学中非常重要的分支，它们解释了电和磁的现象和相互作用。
电动力学研究电荷如何在电场中相互作用和移动。
磁学研究磁场产生的现象和相互作用。
本文将介绍电动力学和磁学的基本概念和原理，以及它们在日常生活中的应用。
1. 电动力学的基本概念和原理电荷是电动力学中的基本概念之一。
电荷有正负之分，同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。
电场是由电荷产生的，电场的作用可以使带电荷的物体受到电力的作用。
电场强度与距离成反比。
电动力学还研究电流和电路。
电流是由电荷在导体中的移动而产生的，电路由各种电子元件连接而成，形成一定的回路。
欧姆定律说明电流和电阻之间的关系。
电磁感应定律解释了磁场如何影响电路中的电流和电磁波的发射和传播。
2. 磁学的基本概念和原理磁场是由磁荷和电流产生的。
磁场的方向与电流或磁荷的方向垂直。
磁场可以使磁性物质受到磁力的作用。
磁场的强度与距离的平方成反比。
磁谱学研究材料的磁性特性。
在弱场下，材料的磁极矩与磁场的线性关系可以用来衡量材料的磁化程度。
铁磁性材料会永久磁化，使磁化产生，磁场随着距离的增加而逐渐衰减。
顺磁性材料的磁极矩与磁场相反，导致磁场被削弱。
3. 应用电动力学和磁学的应用十分广泛。
电力和电子工业是最大的应用领域。
电力产生、输送、使用中涉及的电路设计、电器和电机中的原理都离不开电动力学和磁学的基础。
例如电压变换器、变速电机和磁共振成像仪等技术都是基于电动力学和磁学的。
天气预报中使用的雷达和卫星也是基于电动力学和磁学原理来进行气象监测的。
雷达发射的电磁波穿过物体并被反射回来，能够确定物体的位置和速度。
卫星则进行了范围更广的监测，测量地表高度和测量极地冰盖和冰川的变化。
此外，电动力学和磁学的应用还包括医学、材料科学和环境保护等领域。
例如，医学上的超声波和核磁共振技术是基于这些原理开发的。
总之，电动力学和磁学都是物理学中非常重要的分支，对现代科学和技术的发展产生了深刻影响，也改变着人们的生活方式。
电动力学总结
电动力学总结电动力学是研究电荷在电场和磁场中的行为的物理学分支。
它是电磁学的重要组成部分，对于我们理解和应用电磁现象至关重要。
本文将对电动力学的主要概念和原理进行总结，从静电场、电场中电荷的行为、磁场以及电磁感应等方面展开讨论。
静电场是在电荷分布不发生改变的情况下产生的电场。
根据库仑定律，电荷之间的作用力与其距离的平方成反比。
这一定律使得静电场中的电荷遵循叠加原理，即各个电荷对其它电荷产生的力可以进行矢量叠加。
静电场中还存在电场线，电场线的方向与电场强度的方向相同，密度反映了电场的强弱。
对于场点附近的电荷，可以用高斯定律来计算该点的电场强度。
高斯定律表明，电场线穿过一个闭合曲面的电通量与该曲面内的电荷成正比。
在电场中，带电粒子会受到电场力的作用，其力的大小与电荷量和电场强度的乘积成正比。
这个力的方向与电场强度的方向相同（正电荷）或相反（负电荷）。
带电粒子在电场中的受力运动具有加速度，根据牛顿第二定律可以推导出它的运动方程。
其中，加速度与电场强度的比例系数称为带电粒子的电荷质量比。
当电荷通过传导体或导线的形式移动时，会产生电流。
电流是单位时间内通过传导体横截面的电荷数量，单位是安培（A）。
根据欧姆定律，电流与电压之间存在线性关系。
电流在导体内的传输也受到电阻的影响，电阻是导体对电流运动的阻碍程度，单位是欧姆（Ω）。
电阻与导体的材料、长度和截面积有关。
欧姆定律指出，电流通过导体时，导体两端的电压与导线电阻成正比。
除了电场外，电动力学研究了磁场的行为。
磁场是由运动电荷产生的，它对带电粒子施加力的方向与速度和磁场的关系有关。
根据洛伦兹力的表达式，带电粒子在磁场中受到的力正比于电荷、速度和磁场强度的乘积。
洛伦兹力的方向垂直于磁场线和速度的平面，它使得带电粒子在磁场中绕着磁场线进行圆周运动。
这一原理解释了交流电机和电子在磁场中的轨迹。
电场和磁场之间存在紧密的联系，它们可以相互转换。
电磁感应就是这种相互转换的例子之一。
电磁学与电动力学(下)
第五章 电磁波的辐射5.1 对时谐场(ti eω-~),证明电场的计算公式ϕω∇-=A E i 和ωμ/j B E )(02-⨯∇=ic 等效.【证】 由A B ⨯∇=得ωμωμ/j A A /j A E ])([])([02202-∇-⋅∇∇=-⨯∇⨯∇=ic icϕωϕω∇-=∂∂-∂∂-∇=A Ai tc t c ic ]1)1([22222, 利用delta = ik ，a/at = -iw 证毕.5.2 从三维波动方程),(412222t f tc r πψψ-=∂∂-∇的推迟势解ct t V d t f t |r r |r r ,r r '--='''-''=⎰|,|)(),(ψ 出发,计算脉冲式点激发源)()()()(),(t z y x t f ''''=''δδδδr 、无穷长直线脉冲式激发源)()()(),(t y x t f '''=''δδδr 和无限大平面脉冲式激发源)()(),(t x t f ''=''δδr 的推迟势解.你会发现,三维推迟势解的扰动仅限于半径为ct 的球面,而二维和一维解则在波前下游长期维持扰动状态.试对此作出物理解释. 【解】 对脉冲式点激发源有)(1|)()()()(),(crt r z d y d x d t z y x t -=''''-''''=⎰δδδδδψ|r r r ,迟势解的扰动仅限于半径为ct 的球面.对长直线脉冲式激发源有V d t y x t ''-'''=⎰|r r r |)()()(),(δδδψ⎰∞∞-''-++'-++-=z d z z y x c z z y x t 2/1222222])([(}/])([{δ.利用δ函数的如下性质∑-=-=ii xx x x dx df x f i)()/())((1δδ,可将上述积分化为∑⎰∞∞--'=''-++''-'''=i i i z z z z y x z d z z z d z df t y x i 2/12221])([()()(),,(δψ,式中c z z y x t z f /])([)(2/1222'-++-=', 0/])([)(2/1222='-++-='c z z y x t z f i i ,tc y x t c z z y x c z z zd df i i z z i 22/122222/1222][])([||--='-++'-=''='. 注意,)(z f '存在两个零点,对积分的贡献相同,总贡献为2/12222/1222222][)(2][)(2),,(ρρΘΘψ--=--+-=t c ct c y x t c y x ct c t y x , 式中Θ为单位阶跃函数,2/122)(y x +=ρ.无限面源可由上述线源结果叠加求得:⎰⎰∞∞-∞∞---+-==dy y x t c y x ct c dy t y x t x 2/1222222][)(2),,(),(Θψψ |)|(2][|)|(22222222/12222x ct c y x t c dyx ct c x t c x t c -=---=⎰---ΘπΘ. 由线源和面源的结果可见,线源的波前为以源为轴、半径为ct 的圆柱面,面源的波前为与源面平行、距离为ct 的平面.对于这两种情况,波前下游长期维持扰动状态.理由在于,源的尺寸无限,在任意时刻t ,总会有扰动信号抵达波前下游的任意位置.5.3 半径为R 的理想导电球壳,为过球心的平面切成两半,分别加上交变电势t V ωcos ±.在长波近似(c R <<ω)下,求辐射功率角分布和总辐射功率. 【解】 在长波近似下,只需给出系统最低阶矩对辐射场的贡献.由2.9题之结果,系统的最低阶非零矩为偶极矩,且z t V a e p ωπεcos 620=,式中z e 为垂直于切割面的单位矢量.经写成复数形式有z t i Ve a e p ωπε-=206.将上述偶极矩代入偶极子辐射功率角分布和总辐射功率公式得θωεθπμΩ22p sin 89sin 32||32440220cV a c d dP == , 32440302312||cV a c P ωπεπε==p. 5.4 对纯偶极矩电荷系统,其电偶极矩为)(t p ,电四极矩和更高阶矩,以及各阶磁矩均为零,其矢势为tc r t c r t r c r t t ∂-∂≡--=)/()/(,4)/(),(0p p p r A πμ.(1由洛伦斯规范条件0/2=∂∂+⋅∇t c ϕA ,求对应的标势ϕ;(2)计算对应的磁场和电场（不作任何近似）;(3)求时谐偶极子t i e t ω-=0)(p p 的矢势、磁场和电场表达式. 【解】 (1) 由洛伦斯规范条件求标势⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅∇+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅∇-=⋅∇-=∂∂c r t r c r t r c c t p p A 1)1(4202πμϕ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=c r t cr c r t r r pp e 114120πε. 将上式对时间积分得⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=c r t cr c r t r r pp e 114120πεϕ. (2)由电磁势求电场和磁场⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅∇+⋅∇+⋅∇+⋅∇=∇22330)()()()(41cr cr r r r p p r r p p r πεϕ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⋅⋅-+⋅⋅-=r r r r r r cr cr r e p e e p e p e p e p )(1)(3)(3412230 πε, pp A r c r t 200414πεπμ==∂∂,t∂∂--∇=A E ϕ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+-⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=)(1)(3141230p e e p e p e r rr r cr r t c r πε, r cr rr r e p pp pA B ⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯∇+⨯∇=⨯∇= 2004114πμπμ. 上述诸式中,)/(c r t -p 被略写为p .(3) 求时谐偶极子t i e t ω-=0)(p p 的矢势、磁场和电场表达式对时谐偶极子,前面求得的电磁势和电磁场表达式中的p 应代之以)](exp[)]/(exp[00t kr i c r t i ωω-=--p p ,或ikr e t )(p ,对时间的导数替换成乘子ωi -从而写出相关表达式如下:p r A re i t ikrπωμ4),(0-=,⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=ikr r e ck r ikr 11)(420p e B πμ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯--⋅-=)()(3)1(4230p e e p e p e E r r r r ikr r k r ikr e πε. 5.5 利用5.4题结果,证明时谐偶极子电磁角动量L 的平均辐射率为)Im(12*03p p L ⨯=πεk dt d , 式中c k /ω=,Im 表示虚部,*号表示共轭.(提示:利用恒等式I nn34sin 020πθθφππ=⎰⎰d d , 式中r r /r e n ==,I为单位张量.)【证】 电磁角动量平均辐射率由下式表示⎰⎰⎰⎰⨯⋅-=⨯-⋅=)]([)(r T n r T σLd σd dtd , 式中r T ⨯-为平均电磁角动量流密度,)/Re(0021μεB B E E I T **--=w ,w 为电磁能量密度.被积式可化为B n B n E n E n n T n r T n ⨯⋅+⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅**)()(021021r r r με .对时谐电偶极子场来说(见5.4题),成立0=⋅*B n ,上式右边第二项为零.由时谐偶极子的电场表达式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯--⋅-=)()(3)1(423p n n p n p n E r k r ikr e ikrπε, 得 203042)(24)1(r ike r e ikr ikr ikr *-*-⋅≈⋅+=⋅p n p n E n *πεπε, p n p n p n E n ⨯≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯--=⨯re k r k r ikr e ikr ikr02234)1(4πεπε. 代入平均辐射率公式,过半径r 的大球面积分,得⎰⎰⨯⋅=*φθθεπd d ik dt d sin )(16Re 023n p p n L ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=*⎰⎰p nn p ππθθφεπ020023sin 16Re d d ik )Im(12023p p ⨯=*επk , 证毕.5.6 绕z 轴作匀速圆周运动电荷的电偶极矩可表为如下复数形式:t i y x e i qa ω-+=)(0e e p式中q 为粒子电量,0a 为轨道半径,ω为转动角频率.由5.5题的结果,计算电磁角动量的平均辐射率,证明它的数值与平均辐射功率之比为ω/1. 【解】 对由5.5题结果得)()Im(12)Im(1202023*03y x y x i i a q k k dt d e e e e p p L +⨯-=⨯=πεπεz z ca q a q k e e πωμπε662023002023==, 其数值与与平均辐射功率(见5.4节例2)ca q P πωμ62240=之比为ω/1.5.7 载有恒定电流的圆线圈绕其直径匀速旋转,半径为a ,电流强度为I ,角速度为ω,满足c a <<ω,求辐射场和辐射功率.【解】 设0=t 时圆线圈的磁矩指向x e 方向,则圆线圈的磁矩为])(Re[)sin (cos 22t i y x y x e i Ia t t Ia ωπωωπ-+=+=e e e e m .代入磁偶极子辐射场和辐射功率公式求得如下结果:r r y x t kr i r r ikr i e rc Ia r c e e e e e e e m B ⨯⨯+=⨯⨯=-])[(4)(4)(22020ωμπμ , r y x t kr i ikr r i ecre Ia c e e e e B E ⨯+-=⨯=-)(4)(20ωμ,r r y x r r i rc a I r c e e e e e e m S 225042422320|)(|32||32⨯+=⨯=εωπμ . 由 φφθφφθθe e e e e i i r i y x ie e e i ++=+cos sin得 )cos ()(θφφθe e e e e i e i i r y x +-=⨯+,)(cos ])[(φθφθe e e e e e i e i i r r y x +-=⨯⨯+,代回上述公式,最终求得)(cos 4)(2220φθφωθωμe e B i e rc Ia t kr i +=+-,)cos (4)(3022φθφωθεωe e E -=+-i e rc Ia t kr i ,r rc a I e S )cos 1(322250424θεω+=.504246ca I d P επω=⋅=⎰⎰σS . 5.8 给定半波天线电流强度分布t i e z k I I ωλ--=)]25.0(sin[0,计算它的电偶极矩及电偶极辐射总功率.将得到的结果与半波天线的总辐射功率)8/(44.2200πμcI P =比较并做出解释.【解】 电偶极矩和辐射总功率分别为z t i //z t i e icI dz e z k I ie e p ωλλωωλω---⎰=-=24402)]25.0(sin[,πμπμπε867.2312||200200302cI cI c P ≈==p. 电偶极矩辐射功率略大于半波天线的辐射功率,这是因为半波天线的四极矩和更高阶矩被忽略,它们的辐射场与电偶极辐射场之间存在复杂的相位关系,叠加之后反而导致实际辐射功率小于单考虑电偶极矩成分得到的辐射功率.第六章 运动电荷的辐射6.1 从运动电荷的辐射场公式出发,证明: (1)n B E ⨯=c ,式中**=R /R n ;(2)在非相对论近似下,运动电荷的辐射场可表为n B E n a B ⨯=⨯=**c cRe ,40πμ. 【证】 (1)运动电荷的辐射场为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=******a v R R E R c c S e 14230πε, E R B ⨯=**cR .注意,0=⨯E n ,于是有E n E n E n E n n B =⋅-=⨯⨯=⨯)()(c ,(2)在非相对论近似下有)(4)(40230******⨯⨯=⨯⨯=a n n a R R E Re c R e πμπε, n a a n n n E n B ⨯=⨯⨯⨯=⨯=****cR e c R e c πμπε4)]([41030,n B E ⨯=c .证毕.6.2 电荷q 、质量m 的非相对论粒子,在有心排斥势场)(r V 中做径向运动,自无穷远出发,运动至min r (该处粒子速度为零)发生反射,再返回至无穷远处. (1)证明在上述过程中,粒子发出的总辐射能为⎰∞-⎪⎭⎫⎝⎛=min )()(23min 23202r r V r V drdr dV m c m q W πε.(提示:利用势场中粒子运动方程和能量守恒关系计算粒子的加速度和速度.)(2)设有心排斥势场为库仑场,即)4/()(0r qQ r V πε=,证明总辐射能为)45/(8350Qc qmv W =,式中0v 为无穷远处粒子速度(提示:用到不定积分公式: ⎰-++-=-x x x xdx x 1)348(152122计算定积分.)【证】 (1)由能量守恒,粒子的初始动能应等于min r 处的势能,即)(21min 20r V mv =. 设粒子抵达r 处的速度为v ,同样由能量守恒得)(21)(min 2r V mv r V =+, 或 )()(/2min r V r V m v -=. 粒子的加速度为dr dV m a /1--=,据此求得粒子的总辐射能量为⎰⎰∞∞-==minmin)()(2362min 232023022r r r V r V drdr dV m c m q v c dr a q W πεπε.(2)对库仑场,有2004,4)(rqQdr dV r qQr V πεπε-==, 代入上述辐射能量公式得,458151661616/14423350350102350114350min min02203202min QcqmvQc qmv x dx x Qcqmv R RdRQcqmv rr dr qQr r qQ m c m q W r ==-=-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎰⎰⎰∞-∞πεπεπε证毕.6.3 两带电粒子电荷同号,电量和质量分别为1e 、2e 和1m 、2m ,从较远的距离相互靠近,至某个最近距离相对速度为零,然后在斥力的作用下远离.设初始相对速度为0v (c <<),沿粒子的连线方向.证明在上述过程中,两粒子发出的总辐射能为2221121350458⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=m e m e e e c v m W , 式中2121m m m m m +=. (提示:解题思路与 6.2题类似,需利用经典力学有心力场中两体问题的分析结果,在质心参考系中进行计算比较方便.)【证】 在质心参考系中,两粒子的位置矢量分别设为1r 和2r ,成立r r r 30214ree r dr dV m πε=-= , 式中21212112212121,,,m m mm m m m m m m m +=+-=+=-= r r r r r r r .系统的电偶极矩为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++=-=22112112212211m e m e m m m m e m e e e rr r r p . 按电偶极子辐射功率公式,求得系统的辐射功率为222211302302||66||r p ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==m e m e c m c P πεπε, 2222113061dr dV m e m e c ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πε, 式中)4/(021r e e V πε=.总辐射能量为⎰⎰∞-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==min)()(231min 22221130r r V r V drdr dVm m e m e c Pdt W πε.遵循与6.2题几乎完全类似的步骤,可获得最终结果222112135458⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=m e m e e e c v m W ,证毕. 6.4 质量为m 、电量为q 的粒子,受到简谐力r 20ωm -和均匀外磁场的磁力B v ⨯q .取z 轴与B 平行,在低速(c v <<)和粒子回旋频率远小于粒子固有频率0ω的近似下,给出粒子的运动规律,确定沿磁场方向和垂直磁场方向上的辐射场的频率和偏振特性.(提示:求粒子运动方程的形如(z y x ,,)=(c b a ,,)t i eω-的解,由非零解条件确定ω和振幅比.)【解】 粒子的运动方程为z z x mqB y y y m qB x x 202020,,ωωω-=--=+-=. 求ti eω-~时谐运动解,上述方程化为0)(,0)(202202=+-=--x mqB i y y m qB i x ωωωωωω , 0)(202=-z ωω.上述代数方程组存在非零解的充分必要条件是系数行列式为零,即 0000/0/det 202202202=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----ωωωωωωωωm qB i m qB i , 据此求得关于ω满足的代数方程0]))[((222202202=---c ωωωωωω,式中m qB c /=ω为粒子在磁场中作圆周运动的回旋频率.由上式可解得(限于取正根))4(,220210c c ωωωωω±+= .当0ωω<<c 时,有c ωωωω2100,±= .将这些值分别代回粒子运动方程,可求得三组特解(求解过程中同样采用0ωω<<c 近似):t i e C z y x 01,0:0ωω-==== ;0,:)(221021===-=+-z eC iy x t i c cωωωωω; 0,:)(31021==-=+=--z e C iy x ti ccωωωωω.将上述三个特解叠加,求得粒子运动方程的通解:ti y x t i y x t i c c e i C e i C e C )(2)(212102100)()(ωωωωω--+--++-+=e e e e r .沿平行于磁场即z 轴方向观测,仅x 和y 方向的粒子运动对辐射场有贡献,频率分别为c ωω210+和c ωω210-,前者为右旋圆偏振波,后者为左旋圆偏振波.沿垂直于磁场方向观测,三个方向的粒子运动均会产生贡献,但粒子的视运动均为直线运动,对应线偏振波,频率为0ω、c ωω210+和c ωω210-. 6.5 对于运动电荷的加速度与速度平行的情况,证明最强辐射方向与粒子运动方向的夹角为)]3/()1151[(cos 21max ββθ-+=-,式中c v /=β,v 为粒子速度.进一步,对相对论粒子(1≈β),证明)2/(1max γθ≈,式中2/12)1(--=βγ.【证】 当粒子加速度与速度平行时,辐射功率的角分布为5302222)cos 1(16sin θβεπθΩ-=c a e d dP .最强辐射方向满足0)cos 1(sin max52=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=θθθβθθd d, 据此求得05cos 2cos 3max max 2=-+βθθβ, 从中解得)1151(31cos 2max -+=ββθ,上式即题目给出的答案.对相对论粒子,将上式改写为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=111151)/11(31cos 2max γγθ, 22222811852111815421131γγγγγ-=-+≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≈, 对比2max 21max 1cos θθ-≈,得)2/(1max γθ≈,证毕. 6.6 静止质量质量为m 、电荷为q 、速度为v 的粒子在垂直于均匀磁场B 的平面中运动. (1)计算辐射功率,将其表为m 、q 、))/1((2/122--=c v γ和B 的函数.(2)对相对论性粒子,如果粒子的初始能量为200mc E γ=,证明能量通过辐射损失衰减至02E mc E <=γ所需要的时间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈024330116γγπεBq cm t .(3)对非相对论性粒子（c v <<）,零时刻粒子动能为0T ,计算粒子动量降至T 所花费的时间. (4)如果粒子被捕获在地磁场中,沿着某条磁力线旋转,并在南北两个磁镜点之间来回振荡,试比较在磁镜点处（粒子在该处反射）和赤道处粒子的辐射功率的相对大小.(提示:利用在随空间缓慢变化的磁场中粒子磁矩)2/(2B mv ⊥守恒的条件.)【解】 (1)粒子绕磁场作圆周运动,其回旋频率为)/(m qm γω=,加速度为)/(m qmv v a γω==,与速度垂直,从而辐射功率为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-===22024232022423024411666γπεγπεγπεγc m B q c m v B q c a q P .(2)对相对论粒子,其能量为2mc γ,因辐射损失而衰减,满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=2202422116)(γπεγγc m B q P dt mc d , 即 33024223302426116c m B q c m B q dt d πεγγπεγγ-≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=. 由上式积分,求得粒子能量衰减至2mc E γ=所需要的时间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-≈⎰02433024233011660γγπεγγπεγγB q c m B q d c m t . (3)对非相对论粒子,不作1>>γ近似,同样设γ的始、末值为0γ和γ,经历的时间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+=--=⎰)1)(1()1)(1(ln 26)1(600243302243300γγγγπεγγπεγγB q c m B q d c m t .题目给的是始、末态粒子动能,成立2002)1(,)1(mc T mc T -=-=γγ ,以至粒子动能由0T 经辐射损失衰减至T 所需要的时间为⎪⎭⎫ ⎝⎛≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=T T B q c m T T B q c m t 0243300024330ln 26)1()1(ln 26πεγγπε. (4)捕获粒子在沿地磁场磁力线振荡过程中,粒子的磁矩近似守恒,即≈⊥)2/(2B mv 常数.通常捕获粒子为非相对论粒子,故辐射功率近似和22⊥v B 成正比,即和3B 成正比.因此,在磁镜点处和赤道处粒子的辐射功率之比近似等于两处磁场比的三次方.。
电磁学 细分学科
电磁学细分学科电磁学是物理学中的一个重要分支，研究电场、磁场及其相互作用。
它是一门广泛的学科，涉及的内容非常丰富。
因此，电磁学又被细分为多个学科，这些学科包括以下几个方面：1. 静电学静电学是研究空间中恒定电场的物理学，即不随时间变化的电场。
在静电学中，我们研究电场中的电势、电荷的分布和静电力等基础性质。
静电学在电学中有着非常重要的地位，它是理解电场和电势能的基础。
2. 磁学磁学是研究磁场的物理学。
磁学主要包括静磁学和动态磁学两个方面，其中静磁学主要研究恒定磁场下的磁场性质，而动态磁学主要研究随着时间变化的磁场和电场之间的相互作用。
3. 电磁力学电磁力学是磁力学和静电学的合成，即研究电和磁之间相互作用的物理学。
电磁力学包括静态电磁场和动态电磁场两个方面。
它描述了磁场和电场的耦合并形成了电磁波，它也解释了电磁场如何在空间中以一定形式存在。
4. 电动力学电动力学是研究电动力的物理学。
它主要研究动态电场中电荷的运动，电场和磁场之间的相互作用、电荷运动的规律、电磁波的产生和传播等。
因此，它对于理解电流、电场、磁场的本质性质和电磁学的发展有着不可替代的作用。
5. 电磁波电磁波是由电和磁的相互作用而产生的能量传播方式。
它是电磁学中的一个重要分支，研究电磁场如何形成和传播的规律。
电磁波在通讯、无线电、雷达等方面的应用非常广泛。
6. 光学光学是研究光现象的物理学，它也是电磁学中的重要分支。
光现象的产生与电磁波的传播密切相关。
通过光学的研究，我们可以更好地理解电磁波的本质和特性。
综上所述，电磁学是一门非常广泛的学科，并且不断演化和发展着。
电磁学的各个细分学科都有着各自的研究范围和重要性，并且相互联系和依存。
只有通过深入理解每个细分学科的基础知识，我们才能更好地掌握电磁学的本质和认识它的重要性。