函数与方程零点问题

实用标准文档 文案大全 函数与方程 1．函数的零点 (1)定义： 对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． (2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系： 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． [探究] 1.函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？ 提示：函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点． 2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否一定是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0呢？ 提示：不一定．由图(1)(2)可知．

3．函数零点具有哪些性质？ 提示：对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数零点具有以下性质： (1)当它通过零点且穿过x轴时，函数值变号； (2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0

二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象

与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 两个 一个 零个

3．二分法的定义 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)实用标准文档 文案大全 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )

解析：选C 由图象可知，选项C所对应零点左右两侧的函数值的符号是相同的，不能用二分法求解． 2．(教材习题改编)若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)，(0,2)内，那么下列命题中正确的是( ) A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点 B．函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点 C．函数f(x)在区间[2,16)上无零点 D．函数f(x)在区间(1,16)内无零点 解析：选C 由题意可知，函数f(x)的唯一零点一定在区间(0,2)内，故一定不在[2,16)内． 3．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为( ) x －1 0 1 2 3

ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x＋2 1 2 3 4 5

A.(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3) 解析：选C 令f(x)＝ex－x－2，则 f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，

f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.39－4>0，

f(3)＝20.09－5>0，

所以方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为(1,2)． 4．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________． 解析：∵函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点为2和3， 实用标准文档 文案大全 ∴ 2＋3＝a，2×3＝－b，即a＝5，b＝－6. ∴g(x)＝bx2－ax－1＝－6x2－5x－1， 令g(x)＝0，得x＝－12或－13.

答案：－12，－13 5．函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在零点，则实数a的取值范围是________． 解析：∵f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)上有零点， 且f(x)为一次函数， ∴f(－1)·f(1)<0，即(1－5a)(1＋a)<0.

∴a>15或a<－1.

答案：a>15或a<－1

确定函数零点所在的区间 [例1] (1)(2013·唐山模拟)设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间( ) A．(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)

(2)(2013·朝阳模拟)函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( ) A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2) [自主解答] (1)∵f(x)＝ex＋x－4，∴f′(x)＝ex＋1>0，∴函数f(x)在R上单调递增．对于A项，f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－1<0，f(0)＝－3<0，f(－1)f(0)>0，A不正确，同理可验证B、D不正确．对于C项，∵f(1)＝e＋1－4＝e－3<0，f(2)＝e2＋2－4＝e2－2>0，f(1)f(2)<0. (2)由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解得0[答案] (1)C (2)C

若方程xlg(x＋2)＝1的实根在区间(k，k＋1)(k∈Z)内，则k为何值？ 实用标准文档 文案大全 解：由题意知，x≠0，则原方程即为lg(x＋2)＝1x，在同一直角坐标系中作出函数y＝lg(x＋2)与y＝1x的图象，如图所示，由图象可知，原方程有两个根，一个在区间(－2，－1)上，一个在区间(1,2)上，所以k＝－2或k＝1.

——————————————————— 判断函数零点所在区间的方法 判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理．当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．

1．(2013·武汉模拟)在下列区间中，函数f(x)＝e－x－4x－3的零点所在的区间为( ) A.－34，－12 B.－12，－14

C.－14，0 D.0，14 解析：选B 易知函数f(x)在R上是单调减函数．对于A，注意到f－34＝e34－4×

－3

4

－3＝e34>0，f－12＝e12－4×－12－3＝e12－1>0，因此函数f(x)＝e－x－4x－3的零点不在区间－34，－12上；对于B，注意到f－12>0，f－14＝e14－4×－14－3＝e14－2<414－2<0，因此在区间－12，－14上函数f(x)＝e－x－4x－3一定存在零点；对于C，注意到f

－1

4

<0，f(0)＝－2<0，因此函数f(x)＝e－x－4x－3的零点不在区间－14，0上；对于D，注意

到f(0)＝－2<0，f14＝e14－4×14－3＝e14－4<0，因此函数f(x)＝e－x－4x－3的零点不在区间0，14上． 2．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝ln x－2x的零点，则g(x0)等于________．

解析：∵函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴函数f′(x)＝1x＋2x2>0，即函数f(x)在(0，实用标准文档 文案大全 ＋∞)上单调递增．由f(2)＝ln 2－1<0，f(e)＝ln e－2e>0，知x0∈(2，e)， ∴g(x0)＝[x0]＝2. 答案：2 实用标准文档

文案大全 判断函数零点个数 [例2] (1)(2012·北京高考)函数f(x)＝x12－12x的零点个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3

(2)函数f(x)＝ ln x－x2＋2xx>0，4x＋1x≤0的零点个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3

[自主解答] (1)因为y＝x12在x∈[0，＋∞)上单调递增，y＝12x在x∈R上单调递减，

所以f(x)＝x12－12x在x∈[0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝－1<0，f(1)＝12>0，所以f(x)＝x12－12x在定义域内有唯一零点． (2)当x≤0时，函数有零点x＝－14；当x>0时，作出函数y＝ln x，y＝x2－2x的图象，观察图象可知两个函数的图象(如图)

有2个交点，即当x>0时函数f(x)有2个零点．故函数f(x)的零点的个数为3. [答案] (1)B (2)D ——————————————————— 判断函数零点个数的方法 (1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确

定函数有多少个零点或零点值所具有的性质； (3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．