高数2习题册复习课程

2016～2017 学年第一学期

高等数学Ⅱ-1 练习册高等数学Ⅲ-1 练习册

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第一章 函数与极限

§ 1.1 映射与函数 一、本节学习目标：

1.掌握常见函数的定义域，函数的特性。掌握将一般初等函数拆成几个简单函数的复合。

2.熟悉基本初等函数的类型、性质及图形,了解初等函数的概念。 二、本节重难点:

1.a 的δ邻域：(,){}{}(,)U a x x a x a x a a a δδδδδδ=-<=-<<+=-+

2.构成函数的要素: 定义域及对应法则。函数相等：函数的定义域和对应法则相同。

3.1

,-f

f 互为反函数，且有()1

f f

f x x x D -≡∈⎡⎤⎣⎦，，()1f f f y y y R -⎡⎤≡∈⎣⎦，.

1f -的定义域为f 的值域。

练习题

1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）

A. ()()f x g x x =

= B. 2()ln ,()2ln f x x g x x ==

C.

2

()()f x g x ==

D.2(),()f x g x x == 2.下列函数中为偶函数的是（ ）

A. cos 2x x

B. 3

cos x x + C. sin x x D. 2

sin x x

3. 下列函数中，奇函数是( )．

A. 31y x =+

B. ln y x =

C. +sin y x x =

D. 2+cos y x x =

4.下列函数中不是初等函数的是（ ）

A.0

00x x y x x x >⎧⎪

==⎨⎪-<⎩

B.ln sin(1)y x =+

C.y

D.21

11

01x x y x x ⎧-≠⎪

=-⎨⎪=⎩

5.凡是分段函数都不是初等函数。（ ）

6.复合函数[g()]y f x =的定义域即()u g x =的定义域。（ ）

7.函数1

ln(1)

y x =

+的定义域是(1,)-+∞。（ ）

8.满足32x +<的全体实数，称以 为中心， 为半径的邻域。 9.设2

1

(),[()]1f x f f x x

=

=- 。10.arcsin(1)y x =+的定义域 。

11.指出函数y =的复合过程。 12. 指出函数2

1sin 2x

y =的复合过程。

§ 1.2 数列的极限

一、本节学习目标：

1.理解数列极限的概念。 二、本节重难点:

1.-N ε“”语言：0,.lim .n n n N N n N x a x a εε+

→∞

∀>∃∈>-<=，使得当时，有记作

注：（1）ε的任意性。（ε的作用在于衡量n x 与a 的接近程度） （2）N 的选取是与ε有关的。

2.如果数列{}n x 收敛于a ，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a 。

3.推论：如果数列中两个子列的极限存在不相等，则这个数列发散。

4.常用结论: (1)212lim lim lim k k n k k n x x a x a -→∞

→∞

→∞

==⇔=

(2)若212lim ,lim k k k k x x -→∞

→∞

至少有一个不存在，或212lim ,lim k k k k x x -→∞

→∞

存

在，但212lim lim k k k k x x -→∞

→∞

≠，则lim n n x →∞

不存在。

练习题

1. 设数列{}n x ，当n 越来越大时，n x a -越来越小，则lim .n n x a →∞

= （ ）

2. 设数列{}n x ，对0,N N n N ε+

∀>∃∈>，当时,有无穷多个n x 满足,n x a ε-<

则lim n n x a →∞

=. （ ）

3. 数列{}n x ,对0ε∀>，{}n x 中仅有有限个n x 不满足,n x a ε-<则lim .n n x a →∞

=（ ）

4. 有界数列{}n x 必收敛.（ ）

5. 无界数列{}n x 必发散。（ ）

6. 发散数列{}n x 必无界.（ ）

7. 若数列{}n x 收敛，则数列{}n x 有界。（ ）

8.* 用数列极限的定义证明下列极限：

（1）212lim 313n n n →∞+=+ （2）sinn

lim 0n n

→∞=

§ 1.3 函数的极限

一、本节学习目标：

1.理解函数极限的概念，掌握函数极限的性质。 二、本节重难点:

1. 自变量趋于有限值时函数的极限：0

0lim (x)A (x)A x x f f x x →=→→或（当）

2. 自变量趋于无穷大时函数的极限: lim (x)A x f →∞

=或(x)A(x )f →→∞当

3.(1)0

lim ()x x f x A →=⇔0

lim ()lim ()A x x x x f x f x -+→→==.

(2)0

lim ()x x f x →不存在⇔0

lim (),lim ()x x x x f x f x -+→→中至少有一个不存在,或0

lim ()x x f x +→，

lim ()x x f x -→存在但00

lim ()lim ()x x x x f x f x -+→→≠.

(3)lim ()x f x A →∞

=⇔lim ()lim ()A x x f x f x →-∞

→+∞

==.

(4)lim ()x f x →∞

不存在⇔lim (),lim ()x x f x f x →-∞

→+∞

中至少有一个不存在,或lim ()x f x →+∞

，

lim ()x f x →-∞

存在但lim ()lim ()x x f x f x →-∞

→+∞

≠.

4. 对于分段函数在其定义域内的分界点处的极限一定要讨论左、右极限。

练习题

1. 当1x →时，函数312y x =-→，问δ等于多少时，能使1x δ-<时，20.01y -<

2.当x →∞时，函数21

2x y x

-=

→，

问X 等于多少时，能使x X >时，20.01y -<