高等数学练习题附答案

《高等数学》

专业年级学号姓名

一、判断题.将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分）

（）1.收敛的数列必有界.

（）2.无穷大量与有界量之积是无穷大量. （）3.闭区间上的间断函数必无界. （）4.单调函数的导函数也是单调函数. （）5.若)(x f 在0x 点可导，则

)(x f 也在0x 点可导.

（）6.若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线. （）7.若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续. （）8.若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）

处可微.

（）9.微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.

（）10.设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且1)0()0(+'=''f f ,则)0(f 为

)(x f 的一个极小值.

二、填空题.（每题2分，共20分）

1.设2

)1(x x f =-，则=+)1(x f .

2.若1

21

2)(11+-=

x

x

x f ，则

=+

→0lim x .

3.设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g ,6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则=')3(g .

4.设y

x

xy u +

=,则=du . 5.曲线3

2

6y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为.

6.设)(x f 为可导函数,)()1

()(,1)1(2x f x

f x F f +==',则=')1(F .

7.若

),1(2)(0

2x x dt t x f +=⎰

则=)2(f .

8.x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为.

9.广义积分

=-+∞⎰

dx e x 20

.

10.设D 为圆形区域=+≤+⎰⎰dxdy x y y x

D

522

1,1.

三、计算题（每题5分，共40分）

1.计算))

2(1

)1(11(lim 222n n n n ++++∞→Λ. 2.求10

3

2

)

10()3()2)(1(++++=x x x x y ΛΛ在（0，+∞）内的导数.

3.求不定积分

dx x x ⎰

-)

1(1.

4.计算定积分

dx x x ⎰

-π

53sin sin .

5.求函数2

2

3

24),(y xy x x y x f -+-=的极值. 6.设平面区域D 是由x y x y ==

,围成，计算dxdy y

y

D

⎰⎰

sin . 7.计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积.

8.求微分方程y

x

y y 2-

='的通解. 四、证明题（每题10分，共20分）

1.

证明：tan arc x

=)(+∞<<-∞x .

2.设)(x f 在闭区间[],b a 上连续，且,0)(>x f

证明：方程0)

(=x F 在区间),(b a 内有且仅有一个实根.

《高等数学》参考答案

一、判断题.将√或×填入相应的括号内（每题2分，共20分）

1.√；

2.×；

3.×；

4.×；

5.×；

6.×；

7.×；

8.×；

9.√；10.√.

二、填空题.（每题2分，共20分）

1.442

++x x ；2.1；3.1/2；4.dy y x x dx y y )/()/1(2

-++； 5.2/3；6.1；7.336；8.8；9.1/2；10.0.

三、计算题（每题5分，共40分）

1.解：因为21(2)n n +222111(1)(2)n n n <+++<+L 2

1

n n +

且21lim

0(2)n n n →∞+=，2

1lim

n n n →∞+=0 由迫敛性定理知：))

2(1

)1(11(

lim 222n n n n ++++∞

→Λ=0 2.解：先求对数)10ln(10)2ln(2)1ln(ln +++++=x x x y Λ 3.解：原式=⎰

-x d x

112

=⎰

-x d x 2

)

(112

=2c x +arcsin

4.解：原式=

dx x x ⎰

π

23cos sin

=

⎰

-

20

2

3sin cos π

xdx x ⎰

ππ

2

2

3sin cos xdx x

=

⎰

-

20

2

3sin sin π

x xd ⎰

ππ

2

2

3sin sin x xd

=2

025][sin 52πx ππ2

25

][sin 52x -

=4/5

5.解：02832

=--='y x x f x 022=-='y x f y

故⎩⎨

⎧==00y x 或⎩

⎨⎧==22

y x 当⎩

⎨

⎧==00

y x 时8)0,0(-=''xx

f ，2)0,0(-=''yy f ，2)0,0(=''xy f 02)2()8(2>--⨯-=∆Θ且A=08<-

∴ （0，0）为极大值点且0)0,0(=f