高中数学必修四 同角三角函数及诱导公式(第4讲)

第 4讲 同角三角函数及诱导公式

【开心自测】

1. . 已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求α的三个三角函数值。

2. 求函数x

x

x

x y tan tan cos cos +

=

的值域 3、已知方程sin(α - 3π) = 2cos(α - 4π)，求

)

sin()2

3sin(2)

2cos(5)sin(ααπ

απαπ----+-的值

【教学重难点及考点占比】重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的

定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一），诱导公式、三角函数线的正确理解四组诱导公式的记忆、理解、运用。难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；四组诱导公式的推导、记忆及符号的判断

【知识梳理】

一、同角三角函数的基本关系式

同角三角函数的的关系式揭示了：“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在：“同角”二字上．

如12cos 2sin 2

2

=+αα，αα

α

8tan 8cos 8sin =等都成立，理由是式子中的角为“同角”

． 二、同角公式的主要应用

（1）已知某角的一个三角函数值，求它的其余三角函数值．

（2）化简和证明三角恒等式． 三、诱导公式

诱导公式是指角α的三角函数与诸如-α，α±︒180，α±︒90，α±︒270，α-︒360，α+⋅︒k 360等同角的三角函数之间的关系，其内容相似，极易混淆，其记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限 利用诱导公式把任意的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：

【金题精讲】

例1. 求下列三角函数值：

（1） sin 960

； （2） 43cos()6

π

-．

（3） 11sin

6π； （4） 17sin()3

π

-．

的角的三角函数

例2．（1）化简

)

-︒-⋅180︒--360︒+⋅)+︒αααα180cos()sin()

sin(180cos(

（2）化简

)

--)-)-)

+)-απαπαπαπαπsin(3sin(cos(cos(2sin(

（3）化简

)

1050sin()600cot()

420cos()210cos()150tan(︒-︒-︒-︒-︒-

例3. 求值.)4

37

tan(585cos 311cot )1200sin(3ππ-⋅︒-⋅︒-

例4.已知2tan =α,则: (1)α

α

αcos 9sin 4cos 3sin 2--a =

(2)α

αα2

222cos 9sin 4cos 3sin 2--a =

(3) αααα2

2

cos 5cos sin 3sin 4--=

例5.化简α

αα

α6

644sin cos 1sin cos 1----

【达标训练】

1．已知),0(,5

3cos παα∈-=,则αtan = ( )

A 、

3

4 B 、-34 C 、±

3

4 D 、±

4

3 2．若[)πα2,0∈，且ααααcos sin sin 1cos 12

2

-=-+-，则α的取值范围是 （ ）

A 、⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡2,

0π B 、⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡ππ,2 C 、⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡23,

ππ D 、⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡ππ,23 3．设α为锐角，且n m =+=-)cos 1lg(,)cos 1lg(αα，则=αsin lg （ ）

A 、n m -

B 、n m +

C 、

)(2

1

n m - D 、

)(2

1

n m + 4．已知

21cos sin 1-=+x x ，则1

sin cos -x α

的值是

（ ）

A 、

2

1 B 、-

2

1 C 、

2 D 、-2

5．已知0cos cos ,5

3

sin =+=ααα且，则αtan 的值为 （ ）

A 、

4

3 B 、-43 C 、±4

3

D 、3

4

-

6．=++-)2sin()2sin(ππ ．

7．若παπαπ22

3,21)cos(<<-

=+，则=+)3sin(απ ． 8．53)3cos(=+απ，则=-)3

2cos(απ

．

9．已知παπ

απαπ<<=+--2

(32)cos(

)sin(）求值： （1）ααcos sin - （2）)2(cos )2(sin 3

3

απαπ-+-

10．若3sin 1sin 1=++-x x ，求)sin()cos(ππ-⋅-x x 的值．