初中数学几何旋转最值最短路径问题专题训练

初中数学几何旋转最值最短路径问题专题训练

专练3 最短路径模型——旋转最值类

基本模型图:

【典例1】如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 边上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB′F ，连结B′D ，则B′D 的最小值是（ ）．

A ． B.6 C. D.4

【思路探究】根据E 为AB 中点，BE ＝B′E 可知，点A 、B 、B′在以点E 为圆心，AE 长为半径的圆上，D 、E 为定点，B′是动点，当E 、B′、D 三点共线时，B′D 的长最小，此时B′D ＝DE －EB′，问题得解.

【解析】∵AE ＝BE ，BE ＝B′E ，由圆的定义可知，A 、B 、B′在以点E 为圆心，AB 长为直径的圆上，如图所示. B′D 的长最小值= DE －EB′22=.故选A ．

【启示】此题属于动点（B′）到一定点（E ）的距离为定值（“定点定长”），联想到以E

为圆心，EB′为半径的定圆，当点D 到圆上的最小距离为点D 到圆心的距离－圆的半径.当然此题也可借助三角形三边关系解决，如B D DE B E ''≤-，当且仅当点E 、B′、D 三点共线时，等号成立.

【典例2】如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ，连接CF 交BD 于点G ，连结BE 交AG 于点H ，若正方形的边长是2，则线段DH 长度的最小值是 .

【思路探究】根据正方形的轴对称性易得∠AHB ＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆上.取AB 中点O ，当D 、H 、O 三点共线时，DH 的值最小，此时DH ＝OD －OH ，问题得解.

【解析】由△ABE ≌△DCF ，得∠ABE ＝∠DCF ，根据正方形的轴对称性，可得∠DCF ＝∠DAG ，∠ABE ＝∠DAG ，所以∠AHB ＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆弧上.取AB 中

点O ，OD 交⊙O 于点H ，此时DH 最小，∵OH ＝112

AB =，OD

，∴DH 的最小值为OD －OH

1-.

【启示】此题属于动点是斜边为定值的直角三角形的直角顶点，联想到直径所对圆周角为直角（定弦定角），故点H 在以AB 为直径的圆上，点D 在圆外，DH 的最小值为DO －OH .当然此题也可利用DH OD OH ≤-的基本模型解决.

【针对训练 】

1. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，当点A 在x 轴正半轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点O 的最大距离为（ ）.

A

B

C

．1+ D ．3

H G

A

2.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，E 是矩形内部的一个动点，且AE ⊥BE ，则线段CE 的最小值为（ ）.

A ．32

B. C. D.4 3. 如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P 、Q 分别是边BC 和半圆上的运点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是（ ）.

A.6

B.1

C.9

D.322

4.如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（ ）. A.213- B.213+ C.5 D.9

16 5．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 边上的动点，BF ⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ，则CG 的最小值为（ ）．

A 1

B 1 1 1

6．如图，△ABC 、△EFG 是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FG 相交于点M ，当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是

A ．2

B 1 1

7．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连结A′C ，则A′C 长度的最小值是 .

8． 如图，△ABC 为等边三角形，AB =2，若点P 为△ABC 内一动点，且满足∠PAB =∠ACP ，则线段PB 长度的最小值为 ．