求递推数列通项公式和求和的常用方法

求递推数列通项公式和求和的常用方法

求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为中学中所研究的等差或等比数列，下面就求递推数列通向公式的常用方法举例一二，供参考：

一 公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有1n n n a S S -=-(2)n ≥，等差数列或等比数列的通项公式。

例一 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*

1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项公式？

【解析】：

1n n S a =-，∴ 111n n n n n a S S a a +++=-=-，∴ 112n n a a +=

，又11

2

a =， ∴ 12n

n a ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

.

反思：利用相关数列{}n a 与{}n S 的关系：11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.

跟踪训练1.已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足关系()

1lg

n S n +=(1,2)n =⋅⋅⋅.试证数列{}n a 是等比数列.

二 归纳法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法.

例二 已知数列{}n a 中，11a =，121(2)n n a a n -=+≥，求数列{}n a 的通项公式. 【解析】：

11a =，121(2)n n a a n -=+≥，∴2121a a =+3=，3221a a =+7=⋅⋅⋅⋅

猜测21n n a =-*

()n N ∈，再用数学归纳法证明.（略）

反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明其正确性. 跟踪训练2.设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，并且对于所有自然数n ，n a 与1的等差中项等于n S 与1的等比中项，求数列{}n a 的通项公式.

三 累加法：利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+⋅⋅⋅-求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如

1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）.

例三 已知无穷数列{}n a 的的通项公式是12n

n a ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，若数列{}n b 满足11b =，(1)n ≥，求数列{}n b 的通项

公式.

【解析】：11b =,112n

n n b b +⎛⎫

-= ⎪⎝⎭

(1)n ≥,∴1211()()n n n b b b b b b -=+-+⋅⋅⋅-=1+12+⋅⋅+

1

12n -⎛⎫ ⎪⎝⎭

=1

122n -⎛⎫- ⎪

⎝⎭

.

反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为1()n n a a f n +=+.

跟踪训练3.已知112a =,112n

n n a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭

*

()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.

四 累乘法:利用恒等式3

21

121

(0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=⋅⋅⋅≠≥求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 1()n n a g n a +=的递推数列通项公式的基本方法(数列()g n 可求前n 项积).

例四 已知11a =,1()n n n a n a a +=-*

()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.

【解析】：

1()n n n a n a a +=-,∴

11n n a n a n ++=,又有321121

(0,2)n n n n a

a a a a a n a a a -=⋅⋅⋅≠≥= 1×23

n

×××

12n-1

⋅⋅⋅=n ,当1n =时11a =，满足n a n =，∴n a n =. 反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为1()n n a g n a +=.

跟踪训练4.已知数列{}n a 满足11a =,123123(1)(2)n n a a a a n a n -=+++⋅⋅⋅+-≥.则{}n a 的通项公式是. 五 构造新数列: 将递推公式n+1n a qa d =+（,q d 为常数，0q ≠，0d ≠）通过1()()n n a x q a x ++=+与原递推公式恒等变成1()11

n n d d a q a q q ++

=+--的方法叫构造新数列. 例五 已知数列{}n a 中, 11a =,121(2)n n a a n -=+≥,求{}n a 的通项公式. 【解析】:利用1()2()n n a x a x -+=+,求得112(1)n n a a -+=+,∴{}1n a +是首项为

112a +=,公比为2的等比数列,即12n n a +=,21n n a ∴=-

反思:.构造新数列的实质是通过1()()n n a x q a x ++=+来构造一个我们所熟知的等差或等比数列.

跟踪训练5.已知数列中, 11a =,1

n-13n n a a -=+(2)n ≥求数列{}n a 的通项公式.

六 倒数变换：将递推数列1n n n ca a a d +=

+(0,0)c d ≠≠,取倒数变成

1111

n n d a c a c

+=+ 的形式的方法叫倒数变换. 例六 已知数列{}n a *

()n N ∈中, 11a =,121

n

n n a a a +=

+,求数列{}n a 的通项公式.

【解析】:将121n n n a a a +=+取倒数得:

111

2n n

a a +=+,1112n n a a +-=,∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

是以1

1

1a =为首项,公差为2的等