第十五届“华杯赛”小学组初赛试题答案

第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛

初赛试题解答（小学组）

一、选择题

1. 如图A-1所示, 平行四边形内有两个大小一样的正六边形, 那么阴影部分的面积占平行四边形面积的 ( ).

（A ） 21 （B ）32 （C ）52 （D ）

12

5

【答案】A.

【解答】由图可知, 左上角和右上角的阴影部分的面积分别恰等于一个平行

四边形内正六边形的面积, 因此阴影部分的面积占平行四边形面积的2

1

.

2. 两条纸带, 较长的一条为23cm, 较短的一条为15cm. 把两条纸带剪下同样长的一段后, 剩下的两条纸带中, 要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍, 那么剪下的长度至少是 ( ) cm.

(A) 6 （B ）7 （C ）8 （D ）9 【答案】B.

【解答】设剪下的长度为x cm, 那么有：

)15(223x x -≥-,

解得7≥x . 因此, 剪下的长度至少为7 cm.

3. 两个水池内有金鱼若干条, 数目相同. 亮亮和红红进行捞鱼比赛, 第一个水池内的金鱼被捞完时, 亮亮和红红所捞到的金鱼数目比是3:4；捞完第二个水池内的金鱼时, 亮亮比第一次多捞33条, 与红红捞到的金鱼数目比是5:3. 那么每个水池内有金鱼 ( ) 条.

(A) 112 （B ）168 （C ）224 （D ）336 【答案】B.

【解答】

解法1：这是一道工程问题的变形, 每个水池内有金鱼

1683

43355(

33=+-+÷（条）. 解法2：可以认为是比例应用题, 设亮亮第一次捞到3n 条, 则红红第一次捞到4n 条, 依题意, 有

3

5

334333=-+n n , 解得n =24, 因此水池内共有金鱼7n =168条.

4. 从

21,31,41,51,61中去掉两个数, 使得剩下的三个数之和与7

6

最接近, 去掉的两个数是 ( ).

（A ） 21,51 （B ）21,61 （C ）31,51 （D ）31,4

1

【答案】D. 【解答】通分

21=420210, 31=420140, 41=420105, 51=42084, 61=42070, 76=420

360. 显然, 210+84+70=364最接近360.

5. 恰有20个因数的最小自然数是 ( ).

(A) 120 （B ）240 （C ）360 （D ）432 【答案】B.

【解答】因为20=2×10=4×5=2×2×5, 因此, 具有20个因数的自然数是3与9个2的乘积, 即:3×2×2×2×2×2×2×2×2×2=1536; 或者是3个3与4个2的乘积, 即: 3×3×3×2×2×2×2=432; 或者是3, 5与4个2的乘积, 即: 3×5×2×2×2×2=240, 因此最小的自然数为240.

6. 如图A-2的大正方形格板是由81个1平方厘米的小正方形铺成, B , C 是两个格点. 若请你在其它的格点中标出一点A , 使得△ABC 的面积恰等于3平方厘米, 则这样的A 点共有 ( ) 个.

（A ）6 （B ）5 （C ）8 （D ）10 【答案】C.

【解答】 从最上面的水平线开始将水平线分别记为第1、第2、…、第10条水平线, 每条水平线均由左至右判断哪个格点符合题目要求. 以此穷举法可以得到：第1条水平线上没有格点符合要求, 第2条水平线上仅有7A 符合要求. 如图A-3所示, 类似可以得到格点2A ,1A ,6A 符合要求, 对称地, 可以得到5A ,4A ,3A ,8A 符合要求. 故答案是C.

二、填空题

7. 算式

4

.03.13

.024

1325.07

21-⨯+

⨯

+-

的值为 .

【答案】1

21

8. 【解答】 4.03.13.024

1325.07

2

1-⨯+

⨯

+-

=10953

43417

5++=75+32=1218

. 8. “低碳生活”从现在做起, 从我做起. 据测算, 1公顷落叶阔叶林每年可吸收二氧化碳14吨. 如果每台空调制冷温度在国家提倡的26℃基础上调到27℃, 相应每年减排二氧化碳21千克. 某市仅此项减排就相当于25000公顷落叶阔叶林全年吸收的二氧化碳；若每个家庭按3台空调计, 该市家庭约有 万户. (保留整数)

【答案】556.

【解答】 25000⨯14⨯1000÷（21⨯3）≈5555555.6.

9. 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中, 选出九个数字, 组成

一个两位数、一个三位数和一个四位数, 使这三个数的和等于2010, 那么其中未被选中的数字是 .

【答案】6.

【解答】由于和为2010 所以四位数首位只能为1, 设四位数、三位数、两位数分别为abc 1, ,def gh . 设没有被选的数字为x , 那么

100()10()()1010a d b e g c f h +++++++=.

两

边

同

时

减

去

h g f e d c b a +++++++, 由于

451=+++++++++x h g f e d c b a , 则

x g e b d a +=++++966)(9)(99.

两边都可以被9整除, 因此6=x .

事实上, 由去掉6以后的9个数码0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9可以组成一个两位数, 一个三位数, 一个四位数: 78, 540, 1392, 满足78 + 540 + 1392 = 2010.

【说明】1) 另一解法. 设四位数、三位数、两位数分别为abc 1, ,def gh , 既然他们的和是2010, 三个整数的个位、十位和百位相加, 一定都有进位, 所以进位的数目至少是3, 设为k . 已知：所有加数数字之和＝和的数字之和＋9×k ＝3＋9k , 由于012945+++

+=, 故有： 363945k ≤+<, 3342

3599

k <

≤<<, 所以4k =, 三个整数abc 1, ,def gh 的数字和是3939k +=, 因此没有被选的数字为6.

2) 可以询问：有多少不同的 {abc 1, ,def gh } 满足它们的和是2010呢？ 从条件可知：20c f h ++=或10c f h ++=. 如果20c f h ++=, 则

19b e g ++≠, 否则39c f h b e g +++++=, 这是不可能的；当10c f h ++=时,